精品解析：2025年湖南省常德市中考三模数学试题

2025年湖南省初中学业水平数学模拟考试（一） （本试题卷共6页，时量120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. π C. D. 0 2. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A 25 B. 22 C. 19 D. 18 9. 如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在函数 中，自变量的取值范围是_______． 12. 新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为______． 13. 计算：________． 14. 不等式组的解集是______． 15. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是______． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 17. 如图，是的直径，点、在上，，则______度． 18. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 三、解答题（19-20每题6分，21-22每题8分，23-24每题9分，25-26每题10分，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中m满足：. 21. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 22. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 23. 为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整统计图表： 频数分布统计表 组别 时间（分钟） 频数 6 14 4 根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）频数分布统计表中的　　，　　； （2）补全频数分布直方图； （3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？ （4）若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率． 24. 如图，一次函数图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 25. 实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省初中学业水平数学模拟考试（一） （本试题卷共6页，时量120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. π C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据零次幂可判断A，根据绝对值的意义可判断B，化简多重符号可判断C，根据二次根式的性质可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A符合题意， ，故B符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选ABC 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，绝对值的含义，化简多重符号，二次根式的性质，熟记运算法则是解本题的关键． 3. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察立体图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答． 4. 我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的概念，即可解答，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 详解】解：重新排序得到：25，26，27，28，29，30，30． 根据题意可得中位数为，众数为， 故选：C. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 7. 如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF． 【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8， ∴CD＝AB＝8，AB∥CD， ∵AE＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝5， ∵CF∥DE， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF＝8， ∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键． 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，先求出，再根据切线的性质得，再根据三解形内角和定理得，得，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 故选：A． 10. 已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键．由抛物线开口向上知：； 抛物线与y轴的负半轴相交知； 对称轴在y轴的左侧知：，即可判断①；根据对称轴为直线，得出，从而得出，即可判断②；由抛物线的性质可知，当时，y有最小值，得出，即可判断③；根据抛物线的对称轴为， 且与x轴的一个交点的横坐标为1， 得出另一个交点的横坐标为，即可判断④；根据当时，，得出，即可判断⑤． 【详解】解：①由抛物线开口向上知：；抛物线与轴的负半轴相交知；对称轴在轴的左侧知：， ∴，故①错误； ②∵对称轴为直线， ∴， 即， ∴，故②错误； ③由抛物线性质可知，当时，有最小值， 即， 即，故③正确； ④因为抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，所以另一个交点的横坐标为．因此方程的两根分别是1，．故④正确； ⑤由图像可得，当时，， 即：，故⑤正确． 故正确选项有③④⑤共3个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在函数 中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关系式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 12. 新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数． 【详解】解：4430万， 故答案为：． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再求公共部分得解集即可．本题考查一元一次不等式组的解，不等式组的解是由两方程解的公共部分组成的；注意不等式两边都除以负数时，不等号的方向要改变． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为， 故答案为：． 15. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，根据在中，D是的中点，得，再结合，证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵在中，D是的中点， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 17. 如图，是的直径，点、在上，，则______度． 【答案】120 【解析】 【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则． 【详解】解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角， ∴， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键． 18. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（19-20每题6分，21-22每题8分，23-24每题9分，25-26每题10分，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 20. 先化简，再求值：，其中m满足：. 【答案】 ，1． 【解析】 【分析】将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m所满足的条件得出，将其代入化简后的公式，即可求得答案． 【详解】解：原式为 = = = =， 又∵m满足，即，将代入上式化简的结果， ∴原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免． 21. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 【答案】（1）每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元 （2）最多购买A种娃娃66个 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元； 【小问2详解】 解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为66， 即最多购买A种娃娃66个． 22. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 【答案】黄鹤楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴黄鹤楼的高度约为． 23. 为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表： 频数分布统计表 组别 时间（分钟） 频数 6 14 4 根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）频数分布统计表中的　　，　　； （2）补全频数分布直方图； （3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？ （4）若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）18；8 （2）见解析 （3）240人 （4） 【解析】 【分析】（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题； （2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可； （3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可； （4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 抽取的总人数为：（人）， ∴m=50×36%=18， ∴n=50-6-14-18-4=8， 故答案为：18，8； 【小问2详解】 数分布直方图补全如下： 【小问3详解】 （人， 答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人； 【小问4详解】 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男 （男1，女 （男1，女 男2 （男2，男 （男2，女 （男2，女 女1 （女1，男 （女1，男 （女1，女 女2 （女2，男 （女2，男 （女1，女 由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种， 抽取两名同学恰好是一男一女的概率． 【点睛】本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 【答案】（1）， （2）1或9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数过点，，得，，再运用待定系数法求解即可； （2）设出平移后直线的解析式得，故，结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点，， ∴， 解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 25. 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）选择②条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用证明，即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； （3）连接，取中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【小问1详解】 解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； 【小问2详解】 证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $