数学(十)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

2a2=a1+(g-1)=aag=a3=2. 那么n=k十1时，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k= a2 2k+3=2(k+1)+1也成立. ∴au=a1g"-1=2"-t(n∈N*. 则对任意的n∈N”,都有an=2n十1成立； (2)由(1)知b,=21-1十am=2n-1+2"-1, (2)由(1)可知，am·2"=(21十1)·2” ∴.S=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+ Sm=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2"-1+ 2”-1)=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+… (2n+1)·2", ① +21+D.+若i+-1 2Sm=3×22+5×23+7×24+…+(21-1)×2”+ 2 (2n+1)×2"+1. :S-(n2+2")=-1<0,S<n2+2 由①-②得：-Sm=6+2×(22+23+…+2")-(2 20.[解](1)由题意得f(x)=e-a(.x∈R), +1)X2"+1 ①当a≤0时，f(x)>0,所以f(x)在R上单调递 增； =6+2×2×1-2")-(2m+1)×2+1=（1 1-2 ②当a>0时，由f(x)=0,得x=lna, 当x<lna时，f(x)<0,f(x)在(-∞，lna)上单调 2n)×2"+门1-2， 递减： 即S=(2n-1)·2"+1+2. 当x>lna时，f'(x)>0,f(x)在(lna,十o∞)上单调 22.[解](1)：f'(x)=ae(x+1),g'(x)=2x+2,由 递增。 (2)由于f(x)有两个零点xx2,不妨设x1<x2, 已如可释得9 由(I)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，不符 即 2ae4解得a=2,b=-1,c=2. 合题意： {ae=3十b=c, e 当a>0时，x∈R,f(.x）mim=f(lna)=a-a(lna+1) .切线的斜率g(1)=4, =-a·lna<0,即ln>0,解得a>1, .切线1的方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0. 此时有f(-1)=上>0，f(0)=1-4<0,所以存在 (2)由(1)可得f(x)=2.xe-1,g(x)=x2+2x-1, 设h(x)=[ef(x)]-g(x)=2kxre-(x2+2x-1), x1∈(-1,0)，使得f(x1)=0, 即h(x)≥0，对任意x∈[-1，十∞)恒成立，从而 由于y=e2-x-lnx-1(x>1),所以y=e-1一 h(x)min≥≥0， 士在1，+∞)上华润递增： .h'(x)=2k(x+1)e-2(x+1)=2(x+1)(ke-1). ①当k≤0时，h'(x)≤0，h(x)在[一1，+∞)上单调 所以当x>1时，y'>e-2>0,所以y=e-x-lnx 递减，又h(1)=2ke-2<0,显然h(x)≥0不恒成立， 一1在(1，十o∞)上单调递增， ②当k>0时，'(x)=0,解得x1=-1,x2=-lnk, 所以当x>1时，y=e-x-lnx-1>e-2>0: (i)当-lnk<-1时，即k>e时，h'(x)≥0，h(x)单 所以fa+lna)=e+lna-a(a+lna+1)=a(e“-a 调递增， -lna-1)>0, 所以存在x2∈(lna,a十lna),使得f(x2)=0, 又h(x)mn=h(-1)=-2张+2=2(e-2<0. e e 综上，当a>1时，f(x)有两个零点x1,x2 显然h(x)≥0不恒成立， 证明：由于e=a(x1十1)，e=a(x2十1)，且-1< (i)当-lnk=-1时，即k=e时，(x)>0,(x)单 x1<0<lna<x2,则0<x1+1<x2+1, 调递增， 所以x1=lna+ln(x+1),x2=lna+ln(x2+1), 所以一x1=h9十l ∴h(x)mm=h(-1)=-2坠+2=2e2=0,即 e e 十1 h(x)≥0恒成立， (2十1 十1=n1 (i)当-lnk>一1时，即0<k<e时， 设+1 名+百=>10，有+11， 则 1-7 当x∈[-1，-lnk)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当 x2-x1=In t. +1=h1 x∈（一lnk,十o∞）时，h'(x)>0,h(x)单调递增， t-11 h()min=h(-In k)=-2Ink-(In2 k-2Ink-1) 要证x1+x2>0,只需证1l1-2>0, t-1 =1-1n2k≥0，解得是<<e, 即证lnt>2t-) t+1 ≤k<e e 设h(t)=1nt- 1+1(>1). 2(t-1) 综上所迷得】≤k≤e. 1 4(1-1)2 则h')=7+-+1>0: 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（十） 所以h(t)在(1，十o∞)上单调递增， 1.D [若教列{an}的最大项为第n项，则0nu-1” an≥dw+1 所以当>1时，h)>A(1D=0,即1n1>2-, t+1 故x1十x2>0. a,=8+21-7 8+22>8+22 2M-1 21.[解](1)由题意可得a2=3u1一4=9-4=5，a3 2 3a28=15-8=7, 8+22>8+22 2+ 由数列{an}的前三项可猜想数列{am}是以3为首项 11 2为公差的等差数列， 解得 即an=2n+1. 证明如下： 当n=1时，a1=3成立： :n∈N,∴n=5,a5= 假设n=k时，a=2k十1成立. 259为数列{an的最大项，当” 32 18 越近于+o时趋近于8“a=号数到1a,的录 1l.ABC[等差教列{am},{bn}的公差均为d(d≠0)， 对于A,由a+1一man=m(a+1一an)=md(常 小项为}m十M的值为号+罗-罗故选D] 数)，知数列{mam}是等差数列；对于B,由(a+1 房+1)-(a7-b品)=(an+1-an)(an+1十an）-(bm+ 2.C[令bn=a2m-1十2a2m,则bw+1=a2m+1十2a2m+2,所 -bm)(bn+1+bn)=d[2a1+(2n-1)d]-d[2b+(2n 以b,+1-b,=a2m+1+2a2m+2-(a2m-1+2a2m）= 一1)d]=2d(a1-b)为常数，知数列{a异-b}是等差 (a2m+1-a2m-1)+2(a2w+2-a2m)=2d+4d=6d=6X 教列：对于C,由aw+1一bm+1一(aw一bm）=(an+1 1=6.故选C. an)一(bn+1一bn)=0为常数，知数列{an一bn}是等差 3.B[因为g=am一am-1=一4，=a2=一3，所以bm= 数列：对于D,由an+1bn+1一abn=(am十d)(bn十d) b1g-1=3×(-4)"-1-.所以bn1=-3X(-4)-11 一anbn=d2十d(an十bn）不为常数，知数列{abn}不 3×4”-1,即b》是首项为3，公比为4的等比数列.所以 是等差数列.故选A、B、C.] 161+1b1++1=30二=4-1.故选B] 12.AC[f(x)=xlnx的导函数为f'(x)=1+lnx,则 1-4 4.B[由已知得，m2-1二2-D=3. )=21兰g)-兰，时于N m一1 g(x)>0,即1中ln2>0,解得x>1,故A正确：对 m-1≠0， m+1=3,.m=2.故选B.] 于Bg)=兰，当E(0,1D时R(x)>0, 5.C[对于0y-0故①错：对于@.“y=一号 g(x)在(0,1)上单调追增，故B错误；对于C, y1-8=品故@正确：显热③国正确，批选C] 受(-)>f-)可化为f)-受星 6D[由/=品a可知A.B均结：由gy=3rn3 >f)-受.设g)=)-受，又r>>0, g(x)在(0，十o∞)上单调递减，∴g'(x)=1十lnx 可知D正确.] 7.B[令bm=nan,则2bn=bn-1+bu+1(n≥2)， mx≤0在(0，+oo)上恒成立，即m≥1+lnI在 所以{b,}为等差数列，因为b1=1,b加=4，所以公差 d=3,则b,=31-2,所以b8=52,即18a18=52,所以 (0,十o)上恒成立，又g(x)=1中ln兰在(0,1)上单 aw=9故选R] 调递增，在(1，十∞)上单调递减，∴g(x)在x=1处 取得最大值，g(1)=1,.m≥1，故C正确：对于D,若 8.D[根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每 函数F(x)=f(,r)一ax2有两个极值点，则f(r)=1 个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在 +lnx-2ar有两个零点，即1+lnx-2a.x=0有两 这些零点处取得极值，排除A,B:记导函数f(x)的零 个不等实根.2a=1中ln工，又gx)=1士ln在(0,1D上 点从左到右分别为x1x2,x3,又在(-∞，x1)上f(x) <0,在(x1,x2)上f(x)>0,所以函数f(x)在(-o∞， 单调递增，在(1，十∞)上单调递减，g(1)=1,x→十∞ x1)上单调递减，排除C,故选D.门 9.AD[由题图可知，x=一2是导函数f(x)的一个变 时，g)0.脚2a∈0ue(0,号）故D错误.故 号零点， 选A、C.] 故当x=一2时，函数f(x)取得极值，选项A正确： 13.60[由a1>0,a10·a11<0, x=1不是导函数f(x)的一个变号零点， 可知d<0,a1>0,a11<0, 故当x=1时，函敏f(.x)不能取得极值，选项B错误； ∴.T18=a1十…十a0一a11-…一18 y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f(x)>0, =S10-(S18-S10)=60.] 选项C错误： 14[-1号】[=-2+e得K- 当x∈(-2,2)时，f(x)>0,此时函效y=f(x)单调 递增，选项D正确.故选AD.] =-x3+2x+1 -e=-fx),所以fx)是R上的 10.ABD[根据题意，数列{am}是等比数列，设其公比 为g,则”=q 寺品数，又f(0=32-2++≥3x2-2+ 对于A,数列1a,有a=gl,则为等比数 3怎=3≥0当且仅当=0时取等号，所以 a f(x)在其定义域内单调递增，所以不等式f(a一1) 列，A正确； +f(2a2)≤0台f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2)台 对于B,数列《a,+1},有a=g2,则为等比 an-1am 。-1K-2,解得-1<a<7,故实教口的取位范 数列，B正确： 对于C,数列{lga员}，若an=1,数列{an》是等比数 列，但数列(g}不是等比数列，C错误： 15.63[,a1,a3是方程x2-5x十4=0的两个根， 且{am}是递增数列，.a3>u1…a3=4,a1=1. 对于D,数列 又a3=a1g2=4,∴.g2=4. 又，{an》是递增效列且a1=1>0,.q>0,.g=2. an-1 列，D正确.故选ABD.] ÷5.=0g2-1X0-29=63.] 1-g 1-2 19 y=/r, 所以a=1,经检验，当a=1时，x=2是函数y=f(x) 16.(1,1)x-2y+1=0[由 的极值点.即a=1. y= 1得x=1, y=1, (2)由题设，g'(x)=e(a.x3-3.x2+3x2-6x), ∴两曲线的交点坐标为(1,1). 又e>0,所以Hx∈(0,2]，a.x3-3.x2+3ax2-6x≤0， 由f(x)=反，得f(1)=lim +4x-1 △r 问题等价于不等式≤3士g=3对x0,2]版 x+3x2x2+3x1 1 四1+A+12 成立 令hr)=3x+6 x2+3 ,(x∈(0.2]) “y=在点1,1)处的切线方程为y一1=受红一1)， 即x-2y+1=0.] 则h'(x)=- 3Cr+2)+2]<0, 17.[解](1)因为2aw=3a+1, (.x2+3x)2 所以h(x)在区间(0,2]上是减函数， 所以=号鼓列口是公比为号的等比数列 所以x)的最小维为A(2)=号 又a2·a5-27 所以u<号即实数a的取值范周为（一∞，号） 所以（）广-（广，由于各项均为， 21.[解](1)设数列{am}的公比为q(g≠0). 因为2，a2十1，a3成等差数列， 故a1= 3 2,am= () 所以2(a2十1)=2+a3,即2(a1g+1)=2+a1g2, (2)设Q=一 所以g2一2q=0,解得q=2或q=0(含去)， 所以数列的通项公式an=2”(n∈N·). (号)广=6，所以一是孩数列的项，为第6项。 (2)周为a1a2ag…0,=21.22.2…2”=2Ψ=2% 18.[解]设y=fx),则f(x)=1imfx+△)-fx) △x 所以么-空，从两店-子 2 (rtAr)lim(2r+Ar)=2x. =lim △r 2(日)所以 设P(x0%)是满足条件的点. s=[(1-÷)+(÷÷)+(号÷)++(÷)] (1)因为点P处的切线与直线y=4x一5平行，所以 2x0=4,解得x0=2,所以%=4，即P(2,4). 2(1) (2)因为点P处的切线与直线2x-6y十5=0垂直， 22.[解] (1)f(x)=1+ax+1)- 且直线2x一6十5=0的针率为了所以2。·号 (x+1)2 (x+1)2+az -1,解得0=-是所以0=号即P(是，是 x(x+1)2 :f(x)在区间(0,4)上有两个极值点， (3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的 .f(x)=0在(0,4)上有两个根 1 斜率为1an135°=-1，即2x0=-1,解得x0=一2， (x+1D2+ax=0,脚-4=2+2+-x+1+2 所以%=子，即P(子) 在(0,4)上有两个根， 19.解](1)设{an的公差为d,{bn}的公比为g,由题 即y=-Q与y=x十1+2在(0,4)上有两个交点， 意得安0+2 则-a∈(4，要)故a的取值范偶为（一空，-4 解释日2或日=0（合 (2)设切点为(x0,y0),则y%=2x0 .an=,bn=2. f(xo）=2,%=lnro+a0 xo+I' (2证明：由0如会-品 1+,a 0(o+1)=2① 2-T2m 且2=lnxo+ xo+万 2-7 2 2m+7 由D得a=(2-)+1)2代入@得2=hx 2”2#+百 +(2.x0-1)(x0+1) -(合] 即lnxo十2x6-x0-1=0, 令F(x)=lnx+2x2-x-1,则F(x)=1+4x-1 1-司 2 =4x2-x+1 5=2-(位）)- ,4x2-x+1=0的△=-15<0，.4.x2-x+1>0 .Sm<2. 恒成立. 20.[解](1)f'(x)=3x(a.x-2), .F'(x)在(0，十o∞)上恒为正值， 因为x=2是函数的极值点，所以f(2)=0, .F(x)在(0，十oo)上单调递增， 即6(2a-2)=0, ,F(1)=0,∴.xo=1代入①式得a=4. 20高二下学期期末综合冲刺卷·数学(十) (满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 2” ,若其最大项和最小项分别为M和n,则十 。 M的值为 ~ 1 17 D.32 C. 435 2.若(a.)是公差为1的等差数列,则a-,十2a)是 - A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 甜 D.公差为9的等差数列 =短 3.已知在等差数列a.)中,a.=一4n十5,等比数列(b)的公比q满足q=a.一a.(n2)且 b.-a。,则b |十lb|+.十6. |= _ C1- 1 1 A.1-4 B.4-1 D. ( 4.函数f(x)一x一1在区间1,m上的平均变化率为3,则实数n的值为 ) 2 B.2 C.1 A.3 D.4 5.给出下列命题: xln2 ( 其中正确命题的个数为 ) A.1 C.3 B.2 D.4 6.下列各式中正确的是 __ 将 B.(log.)'In10 2 C.(③)'-3x D.(3)-3ln3 7.设数列a)满足a=1,a。=2,且2na.=(n-1)a +(n十1)a,(n→2且nN). 则as二 ( ) }。 {。} 。 A. B. C.3 D. 10-1 8.函数一f(x)的导函数v一f(x)的图象如图所示,则函数v三f(x)的图象可能是( ) #/ ########### 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.如图是函数一f(x)的导函数y三f(x)的图象,则 ( ) A.当x一一2时,函数一f(x)取得极值 B.当x一1时,函数y一f(x)取得极值 C.y一f(x)的图象在x一0处切线的斜率小于零 D.函数三f(x)在区间(一2,2)上单调递增 10.已知数列a。是等比数列,有下列四个命题,其中正确的命题有 A.数列a。是等比数列 B.数列aa是等比数列 C.数列(lga是等比数列 11.设数列a。),均是公差为d(d去0)的等差数列,则下列数列中是等差数列的是 ( ) A.(ma)(n为常数) B.一6}# C.-b. D.ab ( ,则下列命题正确的是 ) A.不等式g(c)>o的解集为(十~) B. 函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,十o)上单调递减 C.当x,→>x>→时,”(^}-)>f(x)-/(xo)桓成立,则m1 D.若函数F(x)一f(x)一ax有两个极值点,则实数a(0,1) 10-2 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在等差数列a.)中,a0,a。·au<0,若此数列的前10项和S。=36,前18项和S。-12,则 数列a.的前18项和T。的值是 则实数的取值范围是 15.已知等比数列a.)是递增数列,S.是a.的前n项和.若a,a。是方程x2-5x十4=0的 两个根,则S.一 ,过两曲线的交点作两 条曲线的切线,则曲线/(x)在交点处的切线方程为 .(第一空2分,第二空3分) 四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分)在各项均为负的等比数列a.)中,2a.一3a.,且a。·a= 27 (1)求数列的通项公式 二# (2)一 是否为该数列的项?若是,为第几项? 10-3 18.(本小题满分12分)在曲线v三x{}上取一点,使得在该点处的切线; (1)平行于直线y-4x-5 (2)垂直于直线2x-6y+5-0; (3)倾斜角为135{}. 分别求出满足上述条件的点的坐标 10-4 19.(本小题满分12分)已知a.)是等差数列,{b)是等比数列,a=1,b.一2,b=2a。,b= 2a十2. (1)求o,6的通项公式 10-5 20.(本小题满分12分)设aR,函数f(x)-ar-3x^{②}。 (1)若x一2是函数y三f(x)的极值点,求实数a的值 (2)若函数g(x)一ef(x)在0,2]上是单调减函数,求实数a的取值范围 10-6 21.(本小题满分12分)等比数例a.中,a=2且2,a十1,a。成等差数列 (1)求a的通项公式 10-7 22.(本小题满分12分)已知函数/(x)-lnx+(aR). 1 (1)若函数f(x)在区间(0,4)上有两个极值点,求a的取值范围; (2)若函数一f(x)的图象与直线一2x相切,求a的值 10-8