数学(二)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知等差数列{an}中，首项a1=4,公差d=一2，则通项公式a.等于 ( 超 A.4-2n B.2n-4 C.6-2n D.2n-6 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Snm-1=-2,Sm=0,S+1=3,m≥2，m∈N”,则m= 如 ( A.3 B.4 C.5 D.6 球 3.在等比数列{a,}中，a,as是方程x2+6.x十2=0的根，则2a1的值为 长 A.-2+2 2 B.-√2 C.√2 D.-√2或2 4.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的 区 是 ( 那 敬 命 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 毁 C.在(1,3)上函数(x)有极大值 艇 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 5.设函数f(x)的定义域为R,x。(x。≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 煎 A.一x。是一f(一x)的极小值点 B.对任意x∈R,f(x)≤f(x) C.一x。是f(一x)的极小值点 D.x。是一f(x)的极大值点 2-1 6.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 7.若数列{an}的通项公式是am=(一1)”·(2n一1)，则a1十a2十a3十…十a1om= A.-200 B.-100 C.200 D.100 8若直线1与曲线y=反和十=号都相切，则1的方程为 A.y=2.x+1 By=2x+号 C.y-2x+1 n+号 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.设{an}(n∈N)是等差数列，公差为d,S,是其前n项的和，且S<S6,S6=S,>Sg,则下 列结论正确的是 A.d<0 B.a=0 C.S>S D.Sg与S,均为S,的最大值 x,xa, 10.已知函数f(x)= 则 4x3-3x,x<a, A.若f)有两个极值点，则a=0或<a<1 B若)有极小值点，则>司 C.若f(x)有极大值点，则a>一号 2 D.使f(x)连续的a有3个取值 1.已知数列a+号++…b+品+是+…+品…者6=a设 a·an+i 数列{bn}的前n项和S,则 Aa,=号 B.a=n C.S.=m+7 41 D.s. 12.下列函数在x=0处取得极小值的是 ( A.y=r B.y=x2+1 C.y=lxl D.y=2 2-2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设数列{an}的通项公式为an=2n一10(n∈N”),则a1|+a2|十…+|a1s= 14.曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为 15.已知f(x)=xe,则f(1)=2e.若过点A(a,0)的任意一条直线都不与该曲线C相切， 则a的取值范围是 16.已知数列{a,的前n项和S,=a,十号，则{a,的通项公式a, 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1.(本小题满分10分)尼知S为正项数列a,的前n项和，且满足S=4+4,∈N. (1)求a1,a2,a3,a4的值： 2-3 (2)求数列{a}的通项公式 18.(本小题满分12分)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为 每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮 船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 2-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x一lnx. 若f(x)在x=x1,x,(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x,)+f(x2)>8一8ln2. 20.(本小题满分12分)根据下列条件，确定数列{am}的通项公式. (1)a,=1,am+1=3an+2: 2-5 (2)a1=1,am+1=(n+1)an; (3)a1=2,a+=a,+ln1+月 2-6 21.(本小题满分12分)已知{a}是等差数列，{b.}是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1, an=b. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn=an十bn,求数列{cn的前n项和. 2-7 2,(本小题满分12分)已知函数f八x)=alnx十7x2-(1+a).x,a∈R (1)当a=1时，求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若对任意的x∈(e,十∞)都有f(x)>0成立，求a的取值范围. 2-8=6.x0△x+3(△x)2 当x>1时，'(x)<0,g(x)单调递减： 函数f(x)在区间[xo,x0十△.x]上的平均变化率为 6.xo△x+3(△x) :当x=1时g)取得最大值g)=之-号十 -=6.x0十3△x. △ 19.[解]（1/)=二ar2+(2a-1Dx+2,/(o)=2. 60. o(x)≤0，即f(x)≤g(x). e 因此曲线y=f(x)在(0，一1)处的切线方程是 故a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方. 2x-y-1=0. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） (2)当a≥1时，f(x)+e≥(x2+x-1+e+1)e. 1.C[.a=4,d=-2,∴am=4+(n-1)X(-2)=6 令g(x)=x2+x-1十e1,则g(x)=2x+1+ -2n.] 2.C[,{am}是等差数列，Sm-1=-2,Sm=0, 当x<-1时，g(x)<0,g(x)单调递减： ∴.am=Sm-Sm-1=2. 当x>一1时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 又Sm+1=3.∴.am+1=Sm+1一Sm=3, 所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0. ,d=am+1一am=1. 20.[解](1)依题意，Sm+1-Sm=am+1=Sm十3”， 即S+1=2Sn+3”,由此得Sw+1-3"+1=2(Sw-3”). 又sm=aam）_ma,+2=0. 2 2 又S1-31=a-3(a≠3)，故数列{Sm-3m}是首项为 a一3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为 a1=-2,.am=-2+(m-1)·1=2,∴.m=5.故 bn=S,-3"=(a-3)2"-1,n∈N* 选C.] (2)由(1)知Sm=3"+(a-3)2"-1,n∈N°， 3.B[设等比数列{am}的公比为q,因为aa,a15是方程r2十 于是，当n≥2时，am=Sw-Sn-1=3"+(a-3)2m- 6.x+2=0的根，所以a3·a1s一a=2,a3十a15=-6,所 -3m-1-(a-3)2"-2=2×3"-1+(a-3)2"-2, a1-a,=4x+a-32[12.(号)）+a-3], 以43<0a16<0,则ag=-2,所以20“-3=ag 一2.故选B.] 当n≥2时，am+1≥an台12· 十a一3≥0→ 4.D[由题图可知，当1<x<2时，f(x)>0, a≥-9. 当2<x<4时，f(x)<0, 又a=41+3>a1. 当4<x<5时，f(x)>0, 综上，所求的a的取值范图是[一9,3)U(3,十∞). ,x=2是函数f(x)的极大值，点，x=4是函数f(x) 21.[解](1)由题意，设等差数列{4m}的公差为d,则 an=a+(n-1)d. 的极小值点，故A,B,C正确，D错误.故选D.] 因为a1=1,ag=-5,可得1十2d=-5, 5.A[对于A,函数一f(一x)与函数f(x)的图象关于 解得d=-3, 原点对称，因此一x0是一f(一x)的极小值点：对于B, 所以数列{am}的通项公式为am=1十(n一1)× 极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域 (-3)=4-31. 上f(x0)是否最大：对于C,函数f(一x)与函数f(x) (2)由1)可知am=4-3m,所以5，="1+(4-3m)] 2 的图象关于y轴对称，因此一x0是f(一x)的极大值 点：对于D,函数f(x)与函数一f(x)的图象关于x轴 对称，因此xo是一∫(x)的极小值，点.故选A.] 又由5=-25，可得-22+号=-25，即38- 6.Ag=1)=①_021=2.1，J △x1.1-10.1 5k-50=0,解得=5或k=-号，又周为k∈N, 7.D[由题意知，a1+a2十a3十…十a1o0=-1+3-5十7 所以k=5. +…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7) +…+(-197+199)=2×50=100.故选D.] 22.[解](1)(x)=4+x(.x>0), 8.D[设直线l在曲线y=√：上的切，点为(x0,√xo), 若a≥0，则f了(x)>0,f(x)在(0，十o∞)上单调递增： 则x0>0, 若a<0,令f(x)=0,解得x=士-a, 由f)=-@+@0,得x>-a, 函数y=匠的导数为y=1,则直线1的鲜率= 2T x 1 由f(x)<0.得0<x<√一a. =,设直线I的方程为y一√x0=。 2√ -(x-x0): 从而f(x)的单调递增区间为（一a,十心），单调递 减区间为(0，√一a). 即t-2√x0y+x0=0, 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 当a<0时，f(x)在（一√a,十∞）上单调递增， 由于直线1与国x2+y2=号相切，则” √/I+4xo√5 在(0，一a)上单调递减. 两边平方并整理得5.x号-4x0一1=0， (2)证明：令p(x)=f(x)-g(x), 当a1时prn+-号 +日>0. 解得0=1)=一号（含， 则g(x)=+x-2x2=1+2-2x 则直线1的方程为x一2y十1=0，即y=2x十2 (1-x)(2.x2+x+1) 故选D.] 9.ABD[由{am》是等差数列，Sm是其前n项的和，且 令g(x)=0,解得x=1. Ss<S6,S6=S1>S8, 当0<x<1时，9(x)>0,(x)单调递增： 则a6=S6-S5>0,a?=S,-S6=0,ag=Sg-S:<0, 2 a7+a8=S8-S6<0. 则数列{am》为递减数列，即选项A,B正确： S=a1十a1=70+70,解得a:=2: 由S9-S5=ag十a8十a?十a6=2(a8十d7)0, 同理，a3=3,a4=4. 即S9<S5,即选项C错误： 1 由a1>a2>…>a6>u7=0>a8>a9>…,可得S6与 ① S,均为Sm的最大值，即选项D正确.故选ABD.] 12 ② 10.CD作出函数y=x和 y=4x3-3x 当n≥2时.Sw-1=2a计2un-1 y=4.x3一3.x的图象，如图 ①-②得(am-aa-1-1)(am十am-1)=0, 所示，对于选项A,若f(x) 由于am十am-1≠0， 有两个极值，点，则a=0或 所以aw-am-1=1, a>2,所以选项A错误； 又由(1)知a1=1, 故数列{am是首项为1，公差为1的等差数列，故 对于选项B,当a=0时， x=0是函数f(x)的极小值 18.[解]设速度为每小时)千米，燃料费是每小时 点，所以选项B错误；对于选 p元，那么由题设知p=kv, 项C,由图易知正确：对于选 项D,使f(x)连续的a有3个取值，即一1.0,1，所以选 因为=10，=6，所以=8=0.06. 项D正确.故选CD.] 于是有p=0.006U° 2 又设船的速度为每小时)千米，行驶1千米所需的总费 l.AC[由题意得a.=n市十n千十…+ n+1 用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.0063十96) 1十2+3十…十n= 元，而行驶1千米所用时间为】小时，所以行驶1千米 n十1 2, 1 4 ∴.bn= 的总费用为g=号006d+96)=a.06r+5 2 2 g=0.012a-9-892a-800 ∴.数列{bn}的前n项和Sn=b1十b2十b3十…十bn 令q=0,解得u=20. =4-+安+++日 nn+1/ 当<20时，g'<0: 当>20时，9>0， =4)0 所以当=20时，0取得最小值. 即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用 故选A,C.] 总和最少， 12.BC 13.130[由a。=21-10(n∈N”)知{am}是以一8为首项，2 19.[解]画数x)的导画数了(x)=,1-L 为公差的等差数列，又由am=21-10>0得n心5，∴.≤5 由f(x1)=f(x2)得 时，an≤0，当>5时，am>0,.|a1|十|ag|十…十 1 111 |a15|=-(a1十a2十a3十a4)+(a5+a6+…十a15)= 20+110=130.] 2√1x12√x2x2 14.x一y+1=0[本题考查导数的儿何意义. 因为1≠2” 11 “y=2+2y=2xy1=1=2-1=1, 所以1十 Vn -2. .所求切线方程为y一2=x一1，即x-y十1=0.] 由基本不等式得2-V压十V压2≥2江 15.(-4,0)[f(x)=(x+1)e,.f(1)=2e,设点 B(To.oe)为曲线C上任意一点. 因为x1≠x2,所以x1x2>256. :y=er十xer=(x十I)er,则曲线C在点B处的切 由题意得f(1)十f(x2)=√r1-lnx1+√g 线方程为y-roe=(xo十1)e(x一xo),根据题 hx2=2√1x-lnx12 意，切线l不经过点A,则关于x0的方程0一xoe= (x0+1)e6(a一xo),即x6-a.x。-a=0无实根. 设g(x)= 2匠-nx,则R)=反-4 ∴△=a2+4a<0,解得-4<a<0. 所以 ∴a的取值范围是（一4,0）.] r (0,16) 16 (16,十+c∞) 16(）aEN)[当=1时a=8=a+ g'(x) 0 + g(r) 2-4n2 3…4=1. 2 所以g(.x)在256，十∞)上单调递增， 故g(x1x2)>g(256)=8-81n2, 当≥2时0，=5。-5,1=，-- 1 即f(x1)+f(x2)>8-8ln2. 20.[解](1)：aw+1=3am十2， 0m= 1 am+1十1=3(am十1)， an-1 2 “教列a为首项a1=1公比g=一2的等比载列， +1+1 am十1 =3, ∴.数列{an十1}为等比数列，公比q=3,又a1+1=2, 故a,-(-）.aEN*刀 aw十1=2·3w-1,∴am=2·30-1-1.(n∈N+) 1 1 17.[解](D由S,=za+2an(neN), (2)am+1=(n+1)aa8m=n+1. 可得a1=a+2a1,解得a1=1 n,8m-1=n-1,23=3,2=241=1. an-l 4n一2 a2 3 累乘可得，am=n×(n一1)×(n一2)×…×3×2X1=n! 所以g(x)在(e,十o∞)递增，于是a≤g(e)= 故an=n!,(n∈N+) e2-2e (3a1=a,+n(1+7 2(e-1 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） 1.B[当n=1时，a1=一1，n=2时，a2=3-4×2= -5,所以公差d=a2-a1=-4.] 2.A[依题意可知，这个同学第1天，第2天.…，跑 n-21 的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列， 2 则这个同学7天一共将跑5000×7+7X6×200= 2 a2-a1=In 39200(m).故选A.] 是=n 3.D[设等比数列{am}的首项为a1,公比为g(q≠0)，因 又a1=2..am=lnn+2.(n∈N+) 为前4项的和为9，积为望所以1g2=9,且 1- 21.[解](1)设数列{am}的公差为d,{bn}的公比为g, =93,得b1, 由 a2=ai-即aig2=号则++ al a2 a3 1bg=b1g2=9, g=3. ∴.bn}的通项公式bn=b-1=3m-1. 又a1=b=1,a14=b1=3-1=27. -》 1 .1+(14-1)d=27,解得d=2. 1-1 a10-.=2.故选D.] 1-q aig ∴.{am}的通项公式am=a1十(n-1)d=1十(n-1)X 2=2n-1(n∈N*). (2)设数列(cm}的前n项和为S 4A[A= 22+a)-×2 41+2. 1 cn=an+bn=2n-1+3*-1, △ △i .Sw=c1十c2十c3十…+cn =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+ 益-回（合+2）=2，故选A] 2m-1+30-1=2(1+2+…+m)-n+39×0-32 5.A[对于A选项，当-2<x<2时，∫(x)>0,当 1-3 =2xn+1)n-n+3。」 <<2时，fx)<0,号为f(x)的极大值点，A选 1 2 2 =n2+31 项正确： 2 对于B选项，当x<-2时，(x)<0,当-2<x< 即数列{c}的前n项和为n2+3”一1 2 时，f(x)>0,一2为∫(x)的极小值，点，B选项错误： 2.[解]（1)当a=1时，f)=lx+2r2-2x, 对于C选项，当<<2时，f(<0,当2时： f)=2-2t.f)=0=- (x)>0,2为f(x)的极小值，点，C选项错误： 对于D选项，由于函数y=∫(x)为可导函数，且 所以所求切战方程为)=一是 ∫（告）<0，号不是fx)的权值点，D选项错误，故选 (2)f(x)=2-(a+1Dx+a_x-1D(x-a A. 6.D[f(x)=x3+a.x2,∴.f(x)=3.x2+2a.x, 当a=1时，f(x)在(0，十oo)递增： :曲线在点P(x0,f(xo)处的切线方程为x十y=0, 当a≤0时，f(x)在(0,1)递减，在(1，十o∞)递增： .3.x+2axo=-1, 当0<a<1时，f(x)在(0，a)递增，在(a,1)递减， 在(1，十∞)递增； “o+x+ar6=0,0l成{0。-l. {a=-2 a=2 当a>1时，f(x)在(0,1)递增，在(1，a)递减，在(a, 当x0=1时，f(xo)=-1, 十0∞)递增. 当xo=一1时，f(xo)=1,点P的坐标为(1，一1)或 (3)由fx>0得r-lhxa<2r2-x (一1,1).故选D. 7.B[f'(x)=2cosx-a,因为函数f(x)=2sinx-ax 设y=x-lnxy=,于是y=r-lnr在0,1)递 十1的图象在(0,1)点处的切线方程为y=x十1，所以 f(0)=1,即f(0)=2-a=1,解得a=1,故选B.] 减，在(1，十o)递增，最小值为1.所以Hx∈(e,十o©)， 8.C[当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，am=Sw x-ln x>0. Sw-1=2n一3，由于a1的值不适合上式，故选C.] 1 于是只要考虑yr∈(e,+o),a<2d x-In x' 9.ACD [由题嘉降 (2n-1)(a1+a2m-1） 2 (21-1)(b1十b2m-1) 2 设g(x)= r-In r' （2n-1a=4,则6-7-3(2=1十39 x-1)(x+2-21nx) 1 (2n-1)b.bn (2n-1)+3 g'(x)= 3m+18=3+15 (z-In r)2 N十1 n十I 设hx)=r+2-21nx,h'(x)=X2,于是h(x) 由于公为整载，则m+1为15的正约载，则m十1的可 x+2-2lnx在(e,+o∞)递增，h(.x)>h(e)=e>0, 能取值有3,5,15， 因此，正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.]