数学(一)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学(一) (满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题日要求的) ( ) A.第127项 B.第128项 C.第129项 D.第130项 2.已知等差数列(a。)的前n项为S.,b。=2·且b.+b=17,b。+b-68,则S。= ) =短r B.100 A.90 C.110 D.120 3.设等比数列a.的前n项和为S,S。=-1,S=一5,则S __ ) A.-9 B.-21 C.-25 D.-63 ,2 ln的最大值为 4.函数y一 _ ^ _ 2 B.e A.e-) C. D.10 1 完 ,_ 大时,箱子底面边长为 _~_ B.40 A.30 C.50 D.60 将 6.设函数f(x)一x十(a-1)x}十ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切 线方程为 _ ) B_-一 C.-2x A.--2x D._一 7.已知数列(a.)满足a-1,a,-a.2-2a。+1(nN),则ao1= ( A.1 B.0 C.2019 D.-2019 1-1 8.函数f(x)三x一2x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 ) A.y--2x-1 By--2x+1 C.y-2x-3 D.-2x+1 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) _ 9.已知等比数列.的前”项和为S。,下列数列中一定是等比数列的有 _~ A.) B.d C. lgd。) D.S,S-S,S-S 10.若函数v三/(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 ,_ y一/(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是 __ By-lnx C.y-e A.y-cosx D.-2 11.下列结论正确的是 ) A.若y-0,则y'-0 B.若y-5x,则-5 C.若y-1,则y'---* 12.已知等比数列a。)的公比q一一 ( 则以下结论正确的有 _ B.aao C.b0 A.a·<0 D.b>b。 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.无穷数列a.由个不同的数组成,S.为a.的前n项和.若对任意的nN,S.E2,3 则的最大值为 14.曲线v-2lnx在点(1,0)处的切线方程为 2 .13_4,则数列a.)的通项a.- 16.已知数列/a.)满足a-1, 'a1 a.1 1-2 四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设数列a.的前n项和为S.,满足(1一q)S.十qa.=1,目q(q-1)≠0 (1)求数列a的通项公式 (2)若S,S,S。成等差数列,求证:a,a,a:成等差数列. 1-3 18.(本小题满分12分)已知函数ff(x)一3x^②}+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率 (2)在区间x,心十Ac]上的平均变化率 1-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)= (1)求曲线v一f(x)在点(0,-1)处的切线方程 (2)证明:当a>1时,f(x)十e>0 1-5 20.(本小题满分12分)设数列(a.)的前n项和为S..已知a=a(aER且a-3),a= S.+3,nN'. (1)设一S一3,求数列的通项公式 (2)若a.a.,nEN,求a的取值范围. 1-6 21.(本小题满分12分)在等差数列a.中,已知a.=1,a=-5. (1)求数列a.的通项公式 (2)若数列q。的前项和S。三一25,求的值 1-7 (1)求/(x)的单调区间; 上方. 1-8参考答案与详解 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（一） 1.B[起该数列的第一项1写成片，再将该数列分组， 对于选项B.国为广)=>0不存在：使得 f(x1)f(x2)=-1:对于选项C,因为f(x)=e>0,不 第一姐一项：十第二组两项：分品：第三组三项：宁 1 存在，x1,x2,使得(x1)f'(x2)=一1：对于选项D, 23 1234 周为fx)=2红，春在1=1，g=-一，伐得f） 乞，宁：第四组四项：车，3·之，1…容易发现：每组 f(x2)=4x1.x2=-1.故选AD.] 中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每 11.ABC 组分子从1开蛤逐一增加，因此8应往于第十六组中 2 12.AD[r等比数列{an}的公比g=一 第入位，由1+2+…+15+8=128，得号是该教列的 ∴aw和ao异号agao=(-号）<0，故A正痛： 第128项.] 但不能确定ag和a1D的大小关系，故B不正确： ,b+b=29s+2“ 2.A[设{am}公差为d,b+b :'ag和a1o异号，且a9>bg且a10>b1o,∴.bg和b1o中至 201+24 少有一个数是负数， 2,+d+2“,+d 2-8-4d-2M+=23十 又b1=12>0,.d<0,∴.b4>b10,故D正确：.b10一定 24+2“3 是负数，即b0<0,故C不正确：故选AD,] 2=24,+24,+24=17,2,=1,a1=0,.S10=10a1+ 13.4[依题意得，a-S∈{2,3}，Sm∈{2,3}且S+1∈ 10×9d=10X9×2=90.故选A.] (2,3},因此am+1=Sm+1-Sm∈{-1.0,1}(n∈N),即数 列{an}从第2项起的不同取值不超过3个，进而可知数 2 3.B[由等比数列性质得S2,S:一S2,S6一S成等比数 列{am}中的项的所有不同取值的个数k≤4，且事实上， 列，即-1×(S6十5)=(-5十1)2，∴.S6=-21.故选 取数列{amn}为2,1,0，-1,1,0、一1.1,0，一1，…，此时相 应的k=4.Sm∈{2,3.因此，k的最大值是4.] B. 14.2x一y一2=0[本题主要考查导数的几何性质. 4.A[令y=1hI=0→x=e,当x>e时，y'<0:当 由y=2nx得y/-兰图为为=y1-1=2,点1.0 0r<e时，y'>0,所以ymx=el,因为在定义城内 为切点，所以切线方程为y=2(一1)，即2x一y一2 只有一个极值，所以ymx=e-1.故选A.] =0. 5.B[V'(x)=-号2+60r=-号x(x-40),周为0< 3 15.3[ay=f0.5)-f2)=(是+3)-（号+3） 1 x<60,所以当0<x<40时，V'(x)>0,此时V(x)单 调递增：当40<x<60时，V'(x)<0,此时V(x)单调 -1-] 递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积 最大时，箱子底面边长为40.故选B. 16.3"-2(n∈N*)[数列{an}满足1=1,1= 31 6.D[本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义， a十1 4 ,f(x)=x3十(a一1)x2十a.x为奇函数，.a一1=0， dm·aw+ -,可得：am+1=3an十4.即a+1+2=3(am十2)， 得a=1,f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1, 所以数列{am+2}是以3为首项以3为公比的等比数 ·f(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程 列，所以am十2=3，可得an=3"-2(n∈N”).故答 为y=x,故选D. 聚为：3"-2(n∈N·).] 7,A[:a1=1,.a2=(a1-1)2=0,ag=(a2-1)2=1, 17.(1)[解]当n=1时，由(1一q)S十g1=1,得a1=1. a4=(a3一1)2=0，…，可知数列{an}是以2为周期的 当n≥2时，由(1一q)Sm十gaw=1,得(1一q)Sm-1十 数列，2o19=a1=1.] qaw-1=1. 8.B[f(x)=x-2.x3,f(x)=4x3-6.x2, 两式相减，得am=gam-1·又因为g(q一1)≠0，所以 f(1)=一1，(1)=一2，因此，所求切线的方程为 g≠0且g≠1， y+1=一2(x-1),即y=一2x+1.故选B.] 所以{am}是以1为首项，q为公比的等比数列， 息AB[由数列a,为等比数列可知，。gg0 故数列{am}的通项公式an=q”-1 (2)[证明] 1-a4 对于A =，故A正确：对于B,出-8出 由(1)可知5m=1-q: ar-1 an-lan an-I ≠0，故B正确：对于C,lga一lga,-1=lga 又由题意得5g+S6=2Sg,即1-a9+1-a61 1-q 1-q 2(1-a9q) g9:为等差数列，但是品二不一定为舍数：中 1-q 化简得a3十a6=2ag,两边同时除以9，得a2十a=2a8 《lgan}不一定为等比数列，故C错误：对于D,若an 故a2,aga5成等差数列. (一1)”为等比数列，公比为一1，则Sm有可能为0，不 18.[解](1)因为f(x)=3.x2+5, 一定成等比数列，故D错误.故选AB.] 所以从0,1到0.2的平均变化率为 10.AD[由题意y=f(x)具有T性质，则存在x1,x2 3×0.2+5-3×0.12-5=0.9. 使得f()f(2)=一1.对于选项A,因为f(x)= 0.2-0.1 -nx,存在n=受=一受使得fnf)=-1: (2)f(xo+△r)-f(xo) =3(x0十△x)2+5-(3x号+5) =3x+6.x0△x+3(△x)2+5-3.x号-5 =6.x0△x+3(△x)2 当x>1时，'(x)<0,g(x)单调递减： 函数f(x)在区间[xo,x0十△.x]上的平均变化率为 6.xo△x+3(△x) :当x=1时g)取得最大值g)=之-号十 -=6.x0十3△x. △ 19.[解]（1/)=二ar2+(2a-1Dx+2,/(o)=2. 60. o(x)≤0，即f(x)≤g(x). e 因此曲线y=f(x)在(0，一1)处的切线方程是 故a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方. 2x-y-1=0. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） (2)当a≥1时，f(x)+e≥(x2+x-1+e+1)e. 1.C[.a=4,d=-2,∴am=4+(n-1)X(-2)=6 令g(x)=x2+x-1十e1,则g(x)=2x+1+ -2n.] 2.C[,{am}是等差数列，Sm-1=-2,Sm=0, 当x<-1时，g(x)<0,g(x)单调递减： ∴.am=Sm-Sm-1=2. 当x>一1时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 又Sm+1=3.∴.am+1=Sm+1一Sm=3, 所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0. ,d=am+1一am=1. 20.[解](1)依题意，Sm+1-Sm=am+1=Sm十3”， 即S+1=2Sn+3”,由此得Sw+1-3"+1=2(Sw-3”). 又sm=aam）_ma,+2=0. 2 2 又S1-31=a-3(a≠3)，故数列{Sm-3m}是首项为 a一3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为 a1=-2,.am=-2+(m-1)·1=2,∴.m=5.故 bn=S,-3"=(a-3)2"-1,n∈N* 选C.] (2)由(1)知Sm=3"+(a-3)2"-1,n∈N°， 3.B[设等比数列{am}的公比为q,因为aa,a15是方程r2十 于是，当n≥2时，am=Sw-Sn-1=3"+(a-3)2m- 6.x+2=0的根，所以a3·a1s一a=2,a3十a15=-6,所 -3m-1-(a-3)2"-2=2×3"-1+(a-3)2"-2, a1-a,=4x+a-32[12.(号)）+a-3], 以43<0a16<0,则ag=-2,所以20“-3=ag 一2.故选B.] 当n≥2时，am+1≥an台12· 十a一3≥0→ 4.D[由题图可知，当1<x<2时，f(x)>0, a≥-9. 当2<x<4时，f(x)<0, 又a=41+3>a1. 当4<x<5时，f(x)>0, 综上，所求的a的取值范图是[一9,3)U(3,十∞). ,x=2是函数f(x)的极大值，点，x=4是函数f(x) 21.[解](1)由题意，设等差数列{4m}的公差为d,则 an=a+(n-1)d. 的极小值点，故A,B,C正确，D错误.故选D.] 因为a1=1,ag=-5,可得1十2d=-5, 5.A[对于A,函数一f(一x)与函数f(x)的图象关于 解得d=-3, 原点对称，因此一x0是一f(一x)的极小值点：对于B, 所以数列{am}的通项公式为am=1十(n一1)× 极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域 (-3)=4-31. 上f(x0)是否最大：对于C,函数f(一x)与函数f(x) (2)由1)可知am=4-3m,所以5，="1+(4-3m)] 2 的图象关于y轴对称，因此一x0是f(一x)的极大值 点：对于D,函数f(x)与函数一f(x)的图象关于x轴 对称，因此xo是一∫(x)的极小值，点.故选A.] 又由5=-25，可得-22+号=-25，即38- 6.Ag=1)=①_021=2.1，J △x1.1-10.1 5k-50=0,解得=5或k=-号，又周为k∈N, 7.D[由题意知，a1+a2十a3十…十a1o0=-1+3-5十7 所以k=5. +…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7) +…+(-197+199)=2×50=100.故选D.] 22.[解](1)(x)=4+x(.x>0), 8.D[设直线l在曲线y=√：上的切，点为(x0,√xo), 若a≥0，则f了(x)>0,f(x)在(0，十o∞)上单调递增： 则x0>0, 若a<0,令f(x)=0,解得x=士-a, 由f)=-@+@0,得x>-a, 函数y=匠的导数为y=1,则直线1的鲜率= 2T x 1 由f(x)<0.得0<x<√一a. =,设直线I的方程为y一√x0=。 2√ -(x-x0): 从而f(x)的单调递增区间为（一a,十心），单调递 减区间为(0，√一a). 即t-2√x0y+x0=0, 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 当a<0时，f(x)在（一√a,十∞）上单调递增， 由于直线1与国x2+y2=号相切，则” √/I+4xo√5 在(0，一a)上单调递减. 两边平方并整理得5.x号-4x0一1=0， (2)证明：令p(x)=f(x)-g(x), 当a1时prn+-号 +日>0. 解得0=1)=一号（含， 则g(x)=+x-2x2=1+2-2x 则直线1的方程为x一2y十1=0，即y=2x十2 (1-x)(2.x2+x+1) 故选D.] 9.ABD[由{am》是等差数列，Sm是其前n项的和，且 令g(x)=0,解得x=1. Ss<S6,S6=S1>S8, 当0<x<1时，9(x)>0,(x)单调递增： 则a6=S6-S5>0,a?=S,-S6=0,ag=Sg-S:<0, 2