第04讲 绝对值（思维导图+新课指引+1知识点+10考点+过关检测）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

第04讲 绝对值 1.从数形两方面理解绝对值的意义(代数意义和几何意义)； 2.会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数;体会分类讨论思想； 3.运用绝对值的非负性解决问题； 4.能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想. 【新课指引】 【思考1】在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点到原点的距离是多少？你发现了什么？ ①5与-5 ②2.5和-2.5 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 知识点一 绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 绝对值的性质：1）绝对值具有非负性，即|a|≥0. 2）互为相反数的两个数的绝对值相等.如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b. 3）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 【补充】： 代数式 几何意义 |a|=|a-0| 数轴上点a的到原点的距离 |a+b|=|a-(-b）| 数轴上点a到点（-b）的距离 【易错点】 1）若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 2）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 1．（2025年河南省安阳中考二模数学试题）在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D．6 2．（2025·江苏连云港·二模）实数的绝对值等于（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·二模）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 5．（2025·河南周口·二模）下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 考点一： 绝对值的概念辨析 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（　　） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列结论一定成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（20-21七年级上·宁夏吴忠·期中）任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（    ） A．原点右边 B．原点两旁 C．原点及其右边 D．整个数轴 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 2．（24-25七年级下·四川乐山·期中）下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数；②0是最小的有理数；③存在绝对值最小的数；④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 考点二： 求一个数的绝对值 1．（2025·江苏宿迁·二模）下列说法正确的是（   ） A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是 C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是 2．（2025·江西宜春·模拟预测）下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 3．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： ． 求一个数a的绝对值，要先判断这个数a是正数，负数或0.再由绝对值的代数意义求出这个数的绝对值.若遇到复杂的情形，可以先化简，也可以由绝对值的几何意义求绝对值. 1．（2025·四川成都·三模）下列四个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．0 D．1 2．（2025·福建福州·二模）下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 考点三： 已知一个数的绝对值求该数 1．（2025·陕西西安·一模）已知实数的绝对值为，且在数轴上对应点的位置位于原点左侧，则表示的数为 ． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）若一个数的绝对值是2，则这个数是（   ） A．2 B． C． D．0 2．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若一个数的绝对值是，则这个数是(　　) A． B． C． D．以上都不对 3．（21-22七年级上·山东济南·阶段练习）如果a 是相反数等于本身的数，b的倒数的绝对值等于本身，那么a＋b＝ ． 考点四： 已知一个数的绝对值求参数范围 1．（20-21七年级下·四川遂宁·期末）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广西南宁·期中）若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 1．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 2．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（　　） A． B．1 C．2 D．取任何数 考点五： 化简绝对值1 1．（2025·广东广州·二模）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 3．（23-24七年级上·广西河池·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变(即本身)； 若负数，绝对值前的正负号改变(即相反数)； ③去括号:括号前是“+”，去括号，括号内不变； 括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号； ④化简. 注意:注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性. 1．（24-25七年级下·天津西青·期中）化简： ． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 考点六： 化简绝对值2 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）化简： ．（其中） 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 当a＞0则=1，当a＜0则=-1 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么化简的结果是（    ） A．0 B． C．2 D．3 2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）a、b、c是有理数且，则的值是（   ）． A． B．3或 C．或1 D．或 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b是有理数，且，请求出的值为（      ） A． B．2 C． D．1 4．（24-25七年级上·广东中山·期中）分类讨论式子的不同结果． 考点七： 由绝对值的非负性求值 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 1．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若，则 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 考点八： 绝对值的实际应用 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）【教材变式】小蚂蚁在数轴上爬行，它从点出发向右移动个单位长度后到达点，如果点表示的数的绝对值为，则点表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）一只蚂蚁从某点P出发，在一条直线上来回爬行，记向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的路程依次为（单位：厘米）：． (1)通过计算说明蚂蚁最后所在位置． (2)若蚂蚁爬行的速度为1厘米/秒，则蚂蚁共爬行了多少时间？ 【解题技巧】常见三种应用: 1)质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2)小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3)数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离;点向右移动时，原数加上移动的距离. 1．（2025·河北邯郸·二模）为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）出租车司机小王在东西走向的公路上接送乘客，如果规定向东为正，向西为负．某天上午从A地出发到回家，当天出租车的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)当小王到家时距离A地多少千米？ (2)这天上午出租车共行驶了多少千米？ (3)若出租车的耗油量为0.3升/千米，这天上午出租车共耗油多少升？ 3．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 考点九： 解绝对值方程 1．（2025·河北·模拟预测）若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果，那么 ． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 遇到含绝对值的不等式问题，可结合数轴，用绝对值的几何意义来解答或转化为绝对值的值再用其代数意义求解。 1．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）方程的解是 ． 3．（23-24七年级上·广西河池·期中）【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 考点十： 由绝对值的几何意义求最值 1．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）如果为有理数式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 1．（23-24九年级上·湖北·周测）式子的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级上·北京·期中）我们知道，是在数轴上表示数的点到原点的距离．进一步地，若点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值．解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言：                                                   ③答案：x的值为或 -3 ． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：___________． (2)若，则x的值为_________． (3)代数式的最小值为______，此时x的取值范围是_________． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果， 下列成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知，，三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（  ） A． B．1 C．或1 D．5或1 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 9．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）当 时，有最小值为 ． 10．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）如果，则 ． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 ． 12．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”） 13．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 ． 14．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 15．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 绝对值 1.从数形两方面理解绝对值的意义(代数意义和几何意义)； 2.会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数;体会分类讨论思想； 3.运用绝对值的非负性解决问题； 4.能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想. 【新课指引】 【思考1】在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点到原点的距离是多少？你发现了什么？ ①5与-5 ②2.5和-2.5 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 知识点一 绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 绝对值的性质：1）绝对值具有非负性，即|a|≥0. 2）互为相反数的两个数的绝对值相等.如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b. 3）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 【补充】： 代数式 几何意义 |a|=|a-0| 数轴上点a的到原点的距离 |a+b|=|a-(-b）| 数轴上点a到点（-b）的距离 【易错点】 1）若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 2）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 1．（2025年河南省安阳中考二模数学试题）在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，掌握实数的大小比较方法成为解题的关键． 先求出每个数的绝对值的大小，然后根据实数大小比较的法则比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：A． 2．（2025·江苏连云港·二模）实数的绝对值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，掌握是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3．（2025·河南周口·二模）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论． 【详解】解：由图可知：点到原点的距离最短， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是． 故选：C． 4．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 5．（2025·河南周口·二模）下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近，从而可得答案． 【详解】解：，，且． 离标准最近． 故选：B． 考点一： 绝对值的概念辨析 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（　　） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的大小比较，掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义，对题目选项中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个负数绝对值较大的数反而小，故此选项错误； B、两个正数绝对值较大的数较大，故此选项错误； C、互为相反数的两个数绝对值相等，故此选项正确； D、绝对值相等的两个数相等或者互为相反数，故此选项错误． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列结论一定成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质等知识点，利用绝对值的性质分别化简即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】A．若，则a为正数或0，该选项不一定成立，不符合题意； B．若，则a与b互为相反数或相等，该选项一定成立，符合题意； C．若，则a为负数，该选项一定不成立，不符合题意； D．若，a、b均为负数，则，该选项不一定成立，不符合题意； 故选：B． 3．（20-21七年级上·宁夏吴忠·期中）任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（    ） A．原点右边 B．原点两旁 C．原点及其右边 D．整个数轴 【答案】C 【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵任何非0数的绝对值都大于0， ∴任何非0数的绝对值所表示的数总在原点的右侧， ∵0的绝对值是0， ∴0的绝对值表示的数在原点． 故选：C． 【点睛】本题考查的是绝对值及数轴的定义，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边表示的数都大于0，原点左边表示的数都小于0；（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【答案】C 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，根据倒数，相反数，绝对值的定义逐项判断即可,熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意； 当时，没有倒数，则B不符合题意； 一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意； 的相反数是2，而，则D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川乐山·期中）下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数；②0是最小的有理数；③存在绝对值最小的数；④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本此题考查有理数，由相反数的定义、绝对值的定义和性质逐一分析，即可得出正确答案．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：①相反数：数值相同，符号相反的两个数，从而可知任何数都有相反数，故①正确； ②没有最小的有理数，故②错误； ③绝对值最小的数是0，故存在绝对值最小的数，故③正确； ④负数的绝对值是正数，正数的绝对值是它本身，所以绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，故④正确； ⑤绝对值等于它相反数的数是0或负数，故⑤错误； 所以正确说法有①③④，共3个． 故选：B． 考点二： 求一个数的绝对值 1．（2025·江苏宿迁·二模）下列说法正确的是（   ） A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是 C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可． 【详解】解：A． 2025的绝对值是2025，故该选项错误； B． 2025的相反数是，故该选项正确； C． 2025的倒数是，故该选项错误； D． 2025的相反数的绝对值是2025，故该选项错误． 故选B． 2．（2025·江西宜春·模拟预测）下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的绝对值、相反数和有理数的大小比较，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键； 先化简，再进行大小比较即可. 【详解】解：， 因为， 所以最小的数是，即； 故选：A. 3．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的大小比较的应用，解题关键在于掌握正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．先根据绝对值意义和相反数定义将两个数进行化简，然后再根据正数都大于负数比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 求一个数a的绝对值，要先判断这个数a是正数，负数或0.再由绝对值的代数意义求出这个数的绝对值.若遇到复杂的情形，可以先化简，也可以由绝对值的几何意义求绝对值. 1．（2025·四川成都·三模）下列四个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先比较每个数的绝对值，即可得出选项．本题考查了绝对值和有理数的大小比较，能正确求出绝对值是解此题的关键． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的是， 故选：A． 2．（2025·福建福州·二模）下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 3．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 考点三： 已知一个数的绝对值求该数 1．（2025·陕西西安·一模）已知实数的绝对值为，且在数轴上对应点的位置位于原点左侧，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，根据绝对值的意义和数轴的特点即可求解，掌握以上知识点的解题的关键． 【详解】解：∵实数的绝对值为， ∴， 又∵在数轴上对应点的位置位于原点左侧， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，直接根据绝对值的意义求解即可，解题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，的绝对值是． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的相反数， ∴这个数为零或负数， 故选：． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）若一个数的绝对值是2，则这个数是（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值．绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．绝对值的性质：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0． 根据绝对值的性质解答即可． 【详解】设这个数为x， 则， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若一个数的绝对值是，则这个数是(　　) A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值性质的逆向运用，根据绝对值的意义可得的绝对值是． 【详解】解：，， 绝对值等于的数有个，即和， 故选：C． 3．（21-22七年级上·山东济南·阶段练习）如果a 是相反数等于本身的数，b的倒数的绝对值等于本身，那么a＋b＝ ． 【答案】1 【分析】根据相反数得出a的值，代入求解可得． 【详解】解：根据题意得a=0，b=1, 则a+b=0+1=1， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握相反数，绝对值和倒数的性质． 考点四： 已知一个数的绝对值求参数范围 1．（20-21七年级下·四川遂宁·期末）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得出答案． 【详解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x， ∴5x﹣2≤0， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及解一元一次不等式，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决问题的关键． 2．（22-23七年级上·广西南宁·期中）若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义,表示数轴上点到原点的距离,即任意实数的绝对值都是一个非负数. 【详解】解:因为,, 所以, 解得: , 故选D. 【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义,解决本题的关键是要理解绝对值的几何意义. 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 1．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，求不等式的解集，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值化简方法为．移项得，根据绝对值的化简方法，即可得到答案． 【详解】 ． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（　　） A． B．1 C．2 D．取任何数 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，选项中只有符合， 故选：A． 【点睛】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 考点五： 化简绝对值1 1．（2025·广东广州·二模）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符合，首先根据实数在数轴上的对应点位置确定两者的大小，易得，然后根据绝对值的性质即可获得答案． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，由已知可得，，进而根据绝对值的性质化简运算即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广西河池·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1； (2)或． 【分析】此题考查了代数式求值，化简绝对值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先化简绝对值得到，，然后由，，求出，，然后代入求解即可； （2）根据分两种情况讨论：，或，，然后分别代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵若，， ∴， ∴； （2）∵若， ∴，或， ∴当，时，； 当，时，． 绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变(即本身)； 若负数，绝对值前的正负号改变(即相反数)； ③去括号:括号前是“+”，去括号，括号内不变； 括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号； ④化简. 注意:注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性. 1．（24-25七年级下·天津西青·期中）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简绝对值，实数的大小比较，判断与3.14的大小是解题的关键． 判断，则即可得到，即可化简绝对值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，整式的加减运算；由数轴上，，对应的点可得，，，即可得出，，再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， 则，， ． 故选：C． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 考点六： 化简绝对值2 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）化简： ．（其中） 【答案】2或0 【分析】本题考查了化简绝对值，除法法则等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴； 当时， ∵ ∴； 综上，的值为2或0， 故答案为：2或0． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算等知识．熟练掌握化简绝对值，有理数的混合运算是解题的关键． 由题意知，异号，分当，当时，两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴异号， 当时，， 当时，同理， 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及代数式的化简，需掌握互为相反数的两数(除外) 的商是，相等两数的商为． （1）由给出条件和绝对值的性质，易得结论； （2）由条件先确定的正负, 再化简绝对值，计算代数式的值． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为： ； （2） , ∴两正一负， ∴ ； 故答案为：． 当a＞0则=1，当a＜0则=-1 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么化简的结果是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查绝对值的化简和分式的运算，先根据绝对值的性质去掉绝对值，再约分化简即可． 【详解】解：∵， ， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）a、b、c是有理数且，则的值是（   ）． A． B．3或 C．或1 D．或 【答案】C 【分析】首先根据题意可知、、均不为0，再分两种情况即可分别求得、、的值，再分两种情况即可求得其值．本题考查了去绝对值符号法则，代数式求值问题，分类讨论是解决本题的关键． 【详解】解：、、是有理数且， 、、均不为0， 当时，，当时，，、同理， ， 、、中，一负两正或都是负数， 当、、三个数中一负两正时，原式， 当、、三个数都是负数时，原式， 故选：C． 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b是有理数，且，请求出的值为（      ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘除、代数式的求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得，，，根据a，b的正负性讨论和的值，再结合得出a，b的正负性，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ， ，， ，， ， ． 故选：D． 4．（24-25七年级上·广东中山·期中）分类讨论式子的不同结果． 【答案】见解析 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的加减运算，利用分类讨论的思想是解题关键．分，②，③，④，⑤时，⑥，⑦和⑧，8种情况，分别化简绝对值，计算即可． 【详解】解：分类讨论：①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； ⑥当时，原式； ⑦当时，原式； ⑧当时，原式． 考点七： 由绝对值的非负性求值 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，； ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当2为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为2， ，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为12． 故答案为：12． 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 1．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，求解代数式的值．当非负数和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出x和y的值，再根据加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了绝对值的非负性，积的乘方的逆运用．根据绝对值的非负性，可得，然后代入根据积的乘方的逆运用计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数，任何数的绝对值都是非负数，互为相反数的两数之和为． 根据两数的绝对值互为相反数，可知这两数均为，从而求出、的值； 把，代入，可得，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 或． 考点八： 绝对值的实际应用 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数是最接近标准质量的，故先化简各个数值的绝对值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：C 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）【教材变式】小蚂蚁在数轴上爬行，它从点出发向右移动个单位长度后到达点，如果点表示的数的绝对值为，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了绝对值的定义，正确理解绝对值的定义是解题的关键． 根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解析：因为点表示的数的绝对值为，所以点表示的数为或， 因为从点出发向右移动个单位长度后到达点， 所以点表示的数为或， 故答案为：或 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）一只蚂蚁从某点P出发，在一条直线上来回爬行，记向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的路程依次为（单位：厘米）：． (1)通过计算说明蚂蚁最后所在位置． (2)若蚂蚁爬行的速度为1厘米/秒，则蚂蚁共爬行了多少时间？ 【答案】(1)见解析； (2)40秒． 【分析】（1）根据相反意义的量，利用有理数的加法运算法则即可； （2）先求出蚂蚁所走的总路程，再根据速度、时间和路程之间的数量关系列式计算即可； 本题考查了正负数的实际应用、绝对值的应用以及有理数加法的应用，掌握相反意义的量及有理数加法的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 所以，蚂蚁回到P点； （2）解：， （秒）， 答：蚂蚁共爬行了40秒． 【解题技巧】常见三种应用: 1)质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2)小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3)数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离;点向右移动时，原数加上移动的距离. 1．（2025·河北邯郸·二模）为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，求出所有检验结果的绝对值，绝对值最小的就是最接近标准质量的，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）出租车司机小王在东西走向的公路上接送乘客，如果规定向东为正，向西为负．某天上午从A地出发到回家，当天出租车的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)当小王到家时距离A地多少千米？ (2)这天上午出租车共行驶了多少千米？ (3)若出租车的耗油量为0.3升/千米，这天上午出租车共耗油多少升？ 【答案】(1)26千米 (2)84千米 (3)25.2升 【分析】本题主要考查用相反意义的量表示实际问题，有理数的加减乘法，掌握有理数的加减乘法，距离的表示方法是解题的关键． （1）根据题意，向东为正，向西为负，用正负数表示相反意义的量可知，利用有理数的加减即可求出小王到家时距离A地的距离； （2）将题干中数据的绝对值相加即可求解； （3）总路程乘以油耗即是总耗油量． 【详解】（1）， （千米） 答：当小王到家时距离A地是26千米； （2） （千米） 答：出租车共行驶了84千米； （3）（升） 答：共耗油25.2升． 3．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 考点九： 解绝对值方程 1．（2025·河北·模拟预测）若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 遇到含绝对值的不等式问题，可结合数轴，用绝对值的几何意义来解答或转化为绝对值的值再用其代数意义求解。 1．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据绝对值的定义得到或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是绝对值方程的解法，一元一次方程的解法，由可得或，再分情况讨论即可. 【详解】解：∵， ∴或， 当时， ∴， ∴或， 解得：（不符合题意舍去）或（不符合题意舍去）； 当时， ∴， ∴或， 解得：或， 经检验或是原方程的解， 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·广西河池·期中）【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 【答案】(1)5； (2)5； (3)4或； (4)4． 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点间距离公式求解即可； （3）把求的x，转化为x对应的点到1所对应的点的距离是3，再求出x值即可； （4）把求的x，转化为求x对应的点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为7，再分别求出满足条件的整数x，再求和即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：有理数2与所对应的两点之间的距离为， 故答案为：5； （3）解：由题意得表示x对应的点到所对应的点的距离是3， 当x对应的点在1所对应的点的左侧时，， 当x对应的点在所对应的点的右侧时，， 综上所述，或4， 故答案为：4或； （4）解：表示在数轴上，x对应的点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为7， ∵， ∴所对应的点到4所对应的点的距离为7， ∴观察数轴可知，所有符合条件的整数是， ∴满足条件的所有x的值的和为：． 考点十： 由绝对值的几何意义求最值 1．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由，可得式子取最小值时，则，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴式子取最小值时，， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性的应用，掌握的最小值是0是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义，用分类讨论方法是解本题的关键．根据绝对值的几何意义，分类讨论求值即可． 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时， 当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10． 故答案为：或6． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）如果为有理数式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性，可知，再根据存在最大值，即可选出答案. 【详解】∵绝对值具有非负性 ∴ ∵有最大值 ∴当时，式子有最大值，此时的值是2019 故答案为C. 【点睛】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值具有非负性是解题的关键. 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 1．（23-24九年级上·湖北·周测）式子的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据绝对值化简计算，当时，取得最小值，熟练掌握绝对值的性质和化简是解题的关键． 【详解】当时，， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， 故有最小值8， 故选D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）我们知道，是在数轴上表示数的点到原点的距离．进一步地，若点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值． 解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言：                                                   ③答案：x的值为或 -3 ． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：___________． (2)若，则x的值为_________． (3)代数式的最小值为______，此时x的取值范围是_________． 【答案】(1)②见解析；③ (2)或5 (3)5， 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）在数轴上表示出来，根据题中的例题写出答案即可； （2）分两种情况讨论：当在的左侧时，，当在3的右侧时，； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为5． 【详解】（1）解：②补全图形语言如下： ③； 故答案为：； （2）解：当在的左侧时，， 当在3的右侧时，， 或； 故答案为：或5； （3）解：由题意得： 表示轴上到表示的点和表示3的点的距离和， 当时，则，此时无最小值； 当时，， 当时，，此时无最小值； 综上所述：当时，有最小值为5， 故答案为：5，． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果， 下列成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质即可求解，掌握去绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知，，三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小和化简绝对值．数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．首先从数轴上，，的位置关系可知：，且，接着可得，，，然后即可化简可得结果． 【详解】解：解：从数轴上，，的位置关系可知：，且， 故，， ， 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值化简，解题的关键在于正确掌握绝对值性质．根据绝对值性质计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、，成立，不符合题意； D、，选项不成立，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，先根据绝对值的非负性得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（  ） A． B．1 C．或1 D．5或1 【答案】C 【分析】本题考查流程图与代数式求值，解绝对值方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 根据题意列方程，解得x的值即可． 【详解】解：若输出的结果为3， 则， 解得：， ， 解得：， ∵， ∴， 综上，输入的x值为或1， 故选：C． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，无理数的估算，化简绝对值，根据，化简绝对值合并同类项即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 9．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）当 时，有最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数加减运算，掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的非负性可知当，有最小值，即可求解． 【详解】解：， 当，有最小值， 即时，有最小值为， 故答案为：，． 10．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）如果，则 ． 【答案】或4 【分析】根据题意，得或，解方程即可． 本题考查了绝对值，解方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键． 【详解】解：由， 得或， 解得或， 故答案为：或4． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值，解决本题的关键是求出、、是否大于0．因为，正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以，，，因此，化简即可． 【详解】解：根据数轴可得： ， 所以，，， 所以 ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 ． 【答案】 【分析】把带分数化成假分数，后根据倒数，绝对值，相反数的定义解答即可． 本题考查了倒数，绝对值，相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 故的倒数是，绝对值是，相反数是． 故答案为：，，． 14．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是___________；式子的几何意义是___________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，___________； (3)若，求的值； (4)探究：的最小值是___________；此时满足的条件是___________． 【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离 (2)或 (3)或 (4)， 【分析】本题考查新定义题型，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）由题意直接求解即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （3）由绝对值的意义得到一元一次方程求解即可得到答案； （4）由绝对值的几何意义分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 则或； 故答案为：或； （3）解：， 或， 解得或； （4）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； 故答案为：，． 15．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次的方法和绝对值的意义． （1）根据绝对值的意义得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先解绝对值方程，得出或，再把或，分别代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 若，解得， 若，解得， ∴原方程的解是或． （2）解：由，得． 若，解得； 若，解得， ∴的解是或． 当时，方程化为， 解得：； 当时，化为， 解得：， ∴的值是2或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$