数学(二)-【步步为赢】2024-2025学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（二） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.设a∈o,)9e(0,）,且ana=1tsin,则 cos B A.3a-8=号 B.2a-- 柏 C.3a+B- D.2a+月- 2.角α的终边与单位圆交于点 525 55 ,则cos2a= 1 A. B.- C. D.- 3-5 长 3.已知i为虚数单位，复数一i+a的虚部为2，则实数a 1+i ( 2 的 Λ.1 B.2 C.3 D.4 别 4.设=+2i,则 1+i A.0 B号 C.1 D.2 名 5.设a,b是两个不共线的向量，已知AB=2a+b,BC=a十b,CD=a-2b.若A,B,D三点 共线，则p的值为 ( 的 A.1 B.2 C.-2 D.-1 6.在△ABC中，AB=c,AC=b,点D满足BD=2DC,若将b与c作为基底，则AD=() B.5 -号 c 1 D.b+ 2 2-1 7.函数f(x)=sinx·cos(x+)的图象的一条对称轴方程是 A.=8 B.x=晋 C.x= Dx=晋 8.在正三棱台ABC-A,BC中，AB=3.AB=23,AA=5 号，则正三棱台ABC- AB,C,的外接球体积为 ( A.125x B.25π C.125x 3 6 D.100x 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知复数=4，b+4(b∈R)的实部为-1，i为虚数单位，则复数一b在复平面内对 2 2 应的点不可能位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.设a,b,c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 A.0·a=0 B.(a·b)c=a(b·c) C.a·b=0→a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a2-|b12 11.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD=CD=2,四棱锥P-ABCD 的外接球为球O,则 A.AB⊥BC B.VP-ABCD>2VP-ACD C.VP-ABCD =2V0-ABCD D.点O不可能在平面PBC内 12.下面各式中，正确的是 ( +cos开 5π-2 Cos(一)=+ D.cos 12 =c0s 3 2-2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.若tana=3,a∈(0,5)则cos(a-牙) 14.若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a一c)·(b-c)≤0，则a十b-c的值可能为 ①W2-1 ②1 ③√2 ④2 15.设非零向量a与b的夹角是爱，且a=a+b,则a力(u∈R)的最小值是 16,若三a+i(a,b为实数，i为虚数单位)，则a十b月 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(10分)若角0的终边过点P(一4a,3a)(a≠0)， (1)求sin0+cos0的值； (2)试判断cos(sin0)·sin(cosg)的符号. 2-3 18.(12分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.若PQ过△ABO的重心G,且 0i=a,0店=b.0i=mm00=,求证：品十日=3. 2-4 19.(12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x十g)(a>0,p<乏)在某一个周期内 的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： wx十9 0 π2 3π 2元 5π 3 6 Asin (wxo) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式： (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象. 若y=g(x)图象的一个对称中心为（受0小，求0的最小值. 2-5 20.(12分)如图，直线EA和直线DC均垂直于平面ABC,且AB⊥AC,AB=AC=AE=2, F为线段BE上一动点. (1)求证DC∥平面ABE: D B (2)求△ACF面积的最小值. 2-6 21.12分已知m=一言+：为虚数单位)，求。 2 (1)(w十2w2)2+(2w+w2)2: 2w+ (3)类比i(=一1)，探讨w(w3=1,w为虚数)的性质，求w"(n∈R)的值. 2-7 22.(12分)在平面直角坐标系内，已知A(0,5),B(一1,3)，C(3,t). (1)若t=1,求证：△ABC为直角三角形： (2)求实数t的值，使AB+AC最小： (3)若存在实数入，使AB=入AC,求实数A,1的值. 2-822.解：(1)：向量BA对应的复数为1+2i. 8.C分别取△ABC、△A,B1C的中心E,F,连结EF,过A作 向量B对应的复数为3-i, “向量AC对应的复数为(3-i)-(1十2i)=2-3,设0为坐标 AMAF,周为AB=学，由正发定理释2AE=·得 原点， AE=三，可理可得AF=2,所以AM=,AM :O元=OA+AC .点C对应的复数为(2+iD十(2-3i)=4-21. √AA-AT-子，所以EF-AM-子，设正三棱台的外接球 在平行四边形ABCD中，AD-BC 球心O.O在EF上，设外接球O的半径为R,所以OA=OA,= “向量AD对应的复数为3-i,∴AD=(3,-1). R,0M=AE+0E,0A=A,F+0F,即R=(）+ 设D(xy),则AD=(x-2,y-1)=(3,-1), 之行年号成D时鱼的复其为 0E,k=2+0F,又周为0F+0E-子，解得0E=2.R=号 (2).BA.BC=BAIBCI cos B. 所以正三技台AC-A,BC的外提球休积V-号成-1要 故选C. .cos B- BA.BC3-212 B1BCV5×√而52-16 AD复数=号生学6∈R的宾年为-1，时号=- 0<BK血B-7语。 脚b=6,.x=-1十5i,.x=-1-5i 复数x一b=一1一5i一6=一7一5i,在复平而内对应的点的坐标 8m=武.成血B=5x而×0- 为（一7，一5），位于第三象限.故送ABD. 10.AB 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（二） 11,AC四棱维P-ABCD的外接球为P,A,C,D为顶点的球，而 1.B由tana=1中sim里，得ine=1十sin2, A,B,C,D四点共面，故这四点必共圆，又AD⊥CD,故AC为直 cos 3 cos a cos B 径，AB⊥BC,A正确： 即sin acos月-cosa十cos asin月， '.sin (a-8)-cos a=sin (-a). ae(o,受)）e(0.受） a-c(-受，受）小受-ae(0.受)） 由sin(e-)=sin(受-a）得a受-a 六2a月-受，故选B D------- 2.D根据题意可得：sing- 2√ 5 ,c0sa=- 5.cos 2a-cos'a- n。=(-)广-()=-子，故选n 由A可如，A,B,C,D四点共国，又AD=CD=2,AC为直径，若 acg1+@-0+0-at91-D-号2+1生. 四边形ABCD为正方形，此时S△MD=S△Ar,Vr-AD= 1+i(1+i)(1-) 2 2VrA,B错误：周为PD⊥平面ABCD.所以球心O到P,D两 1安=2，解得a=3 点的距离相等，即球心O在PD的垂直平分线上，故O到平面 ABCD距离为P到平面ABCD距离的一半，故VpD c-昂省-a+省-14- (1-i)2 2VABD,C正确：当四边形ABCD为正方形时，连接AC,BD, 2 相交于点M,剿OML平面ABCD,结合球心O在PD的垂直平 .x=i=1.故选C. 分线上，此时O为PB中点， 5.DBd-BC+CD=2a-b≠0，AB=2a+b,由A.B.D三点共 线，知存在实数x,使2a十b=20-b,即(2-2以)a= (-1-p)b. ab不共线，2以=2 p=-A' p=一1.故选D. 6.AB市-2D元.AD-A成-2（花-A市）. 市-e=2(b-)i-号+号6，选N D B=snro(+若)=r…。 之m=n2r-12=4n2r+os2r- 4 点O在平而PBC上，D错误.故选AC 合m(x+晋） 2.ABC“sn号=gA正： ∴x)=im(2x+吾)）- ”co语=-cos登=-os(停+子）B正确： 令2十看-受+m∈D.解得x一吾+受∈0，=0时， :cos（-音）=cos(年-吾）小C正确： x=,故选B “cos是=c0s(受-晋）≠cos吾-os子D不正确 3 13.解析：sina十cos2a-l∴iana+1-】 又因为a,b不共线， cos'a cos'a= amat又ae(o,受）小ana=3. 1 所以 asa写有0解得o。= 号-x(-) 消去入，整理行3mn=m十n, 于是n6=oa-(）=3. 故+日-8 10 iom(-吾)-号(easa+no)-2 19,解：(1)根据表中已知数据，解得A=5,0=2,g= 数据补全 如下表： 答案： r十g 0 个 2x 14.①② 15.解析：1a=a+b,∴a2=(a+b)2,.b=-2a·b, 7举 13x 61=a“(*）'-+ab 晋 12 6 12 b 0 -5 专b产+产b1-b Asin(ar+p】 0 1b3 --号最小值为立 且函载解桥式为f(r)=5sin(2-吾） 古的最小值为怎 b (2)南1物f()=5n(2:-吾）小 答案：号 得(r)=5sim(2r+20-吾)月 16解桥：-8+m》0+D- 因为画数y=sinx图象的对称中心为(k,0), 2 k∈Z [3-6)+(3+6)门-3+3 2 令2r+29-吾=：解释=经+音-0,6C乙 将得化a+6=8 由于画量y=(x)的图象关于点（登，0）成中心对称， 所以◆号+音一0=登解得0=管-音keZ 答案：3 17.解：(1)图为角0的终边过点 由>0可知，当k=1时，0取得最小值若 P(-4a,3a)(a≠0)， 20.解：(1)证明：，DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC,.DC∥EA 所以x=-4ay-3ar-5a, 又EAC平面ABE,DC过平面ABE,∴.DC∥平面ABE. 当a>0时，r=5a,sin0+cos0=一5 (2)解：：EA⊥平面ABC.AB,ACC平面ABC,,EA⊥AC EA⊥AB,,AC⊥AB,EAC平面ABE,ABC平面ABE,EA∩ 当a<0时r=-i0,sin0十cas0=行 AB=A,AC⊥平面ABE,AFC平面ABE,AC⊥AF, 2)当a>0时，in0=是∈(0，受) :AC-2.SAr-号AC·AF-AF,即AF最小时，Sa os0=-子∈（←受0） 最小，F为线段BE上一点，当AF⊥BE时，AF最小， AE=AB=2,∴△EAB为等腰直角三角形，∠ABF=45°， 到cos(sin0)·sin(cos0) ∴.AF=ABsin45°=2. =cos号·a(青)）0： △ACF面和的最小值为V② 当a<0时m0=-号∈（受0） =0,w·云=1， os0=专∈(o,) (m+2aw2)2+(2w十w2)2=w2+4w2+4w+4w2+4w3+m'= 则cos(nm·sin(cos0=eos(←是）小i如言>0， 5m2+5w+8=3. （2m2+1=0+10+1=二0=-1 综上，当a>0时，cos(sin0)·sin(cos)的持号为负： 当a<0时，cos(sin0)·sin(cos0)的符号为正. 18.证明：因为M是AB边的中点， 南了为广=-子-=w= 所以o成-合0i+0成-号(a+b). 1,n=3k, ∴.m■0，=3k一2，k∈Z 固为G是△AB)的重心， m,n=3k一1. 所以0元-号0i-号a+b). 22,解：证明：当1=1时，C(3,1), 剩AB=(-1,-2),BC=(4,-2), 由P,G,Q三点共线，得PG∥Cd 所以有且只有一个实数入，使PG=GQ AB.BC-(-1)×4+(-2)×(-2)=0. 6元-6元-o成-景(a+b)-m-(号-m)a+号b: :AB⊥BC,即△ABC为直角三角形. (2)AB-(-1,-2),AC-(3.1-5) Gà-0à-元-0-子(a+b)=-寻a+(m-子b AB+AC=(-1,-2)+(3.1-5)=(2,1-7) 所以（信-m)加+号b-[-言+(。-言）] ·AB+AC=V√A+(t-7)已.当1=7时，AB十AC有最小 值，最小值为2. (3)由AB=AAC得(-1，-2)=(3,1-5)， 点为M,连接MA1,MF,则四边形A,BFM即为養面，由于 *。- BA,/MF,A1M=BF=√2+下=√5，故四边形A,BFM为等 腰梯形，A:B=2区，FM=之A:B=区，过F作FQ⊥A1B,则 =11. F0√F-(AB)-￥，所4SAm= 将以=一言4=山 MF+ABF03×3-号，故B正项，南于AP/B, 2 2 2 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（三） 所以∠PAC即为直线BF与AC所成角或其补角，AP■PC 1,B:角a的终边过点（一1,2）， icosa-15 √2+T=5.AC=2E,所以e0∠PAC=PA+AC-PC 2PA·AC 5 5 s2%=2m。-1=2X(-9）-1=-亭.故选R 成后，C运：南千CL卡由AD所以 ∠FEC即为EF与平面ABCD所成角，故EF=√FC+EF 2.B cos+os(r-号）=osr+cos于+sin rsin于 =√6，sin∠FEC E示店一合，故D正确，故选BCD FC⊥= msr+9如r=(安r+）一5m(晋) 3 D M V3×尽-1，就选B 3 3.C周为M-PN+Pi-M+Np+PM-M币+Pi-, MN+NP+P-0对任意精况都成立，所以M,N,P是平面内 的任意三个点，故选C 4.D国为函数fx)=2sin(ar十云）m>0)的图象与画数g（) - =c0s(2x十p)(e<受)的国象的对称中心完企相同，所以m 1-i -2.4-若-是+2kxk∈D,即e--3+2张x∈D. lg<受g-子，故选D 易释1=V(）+(2)-号 5.CA,B.D三点共线，AB-aBD-A(CD-CB). ,.a-kh=1(3a-b-2a-b)=a(a-2b), 答案号 0-加+a8b-公安年降 14,解析：由sna十cosa 号将ma+a+2如am1+如2 B根据复教的分奏知，需满足-10,0·解得a=2,故 -号所以m2a-},从而sa-1-2in2a-1-2× 选B. ()广- Bao-号+号 3 3(1+2i) 答案：日 :的实部为，故选B 15,解析：如图，AE⊥CD,垂足为点E,则ED=AB= 8.C因为m/1a,m⊥n,所以nC&或n//a或n与a相交，故A错 24m, 误：因为m⊥a,m⊥n,所以nCa或n/a,故B错误：两个平面平 行，一个平面中的任意一条直线平行于另外一个平面，故C正 AE--若8m 确：因为m⊥3，B⊥Y,所以m/y或mCy,故D错误：故选C, 在R△ACE中，CE-AE·tnn30 9.AB'0·a=0,.A中结论错误：向量的数量积不满足站合律， B中结论错误：当a·b=0时，a与b的央角为90°，即a⊥b, =85×号=8(m, D C中结论正确：D中结论正确.故选AB 所以CD=CE+ED=8十24=32(m). 10.BD对于A,i(1+i)2=i·2i=-2,1-21=2, 答案：32 B.(1-i)=-1·(1-i)(-1+i),-1+i=2, C,(1+iD2-2i,2i-2, 1解折：用为m会-=号所以6mA=2o令-1=2×吉 D,i(1+i)=-1+i,-1+i=√2，故选BD. 、1 ，由余孩定理知 11,AC“a是第二象限角受十2kx<a<m+2k BC=√AB+AC-2AB·AC·cOs5A- ∈Z,车+m<号<登+，k∈Z V9+1-2x3x1×(-)-26. 当飞为偶数时，号是第一象限角：当贞为奇数时，号是第三象 答案：23 17.解：(1)与角a终边相同的角的集合为 限角， 综上，可知A、C正确. {00=2kx+号，k∈z 12.BCD取DD,的中点为P,连接PA,PC,故AP/BF,由于AP, （2)令-4<2kx+号<2，得-吕<名 DE相交，所以BF,D1E不可能平行，故A错误，取CD的中 又k∈Z,∴k=-2.-1,0, 5