第03讲 认识有理数 （知识清单+20 大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025－2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03讲 认识有理数 （知识清单+20大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 相反数的定义 题型十三 化简多重符号 题型十四 相反数的应用 题型十五 绝对值的几何意义 题型十六 求一个数的绝对值 题型十七 绝对值非负性 题型十八 绝对值的其他应用 题型十九 有理数大小比较 题型二十 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1：正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 特别解读 1. 正数的实质是大于 0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略 “+”号. 2. 负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3. 正数与负数的特征： (1)不为0； (2)含“+”“－”号. 知识点2：有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点4：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点分析： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点5：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点6：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 知识点7：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点8：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点归纳： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点9：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 题型方法 【题型一】正负数的定义 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 【举一反三】 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【题型二】相反意义的量 【例2】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）中国最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【题型三】正负数的实际应用 【例3】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）神舟上天，嫦娥奔月，天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航．某飞行器控制设备中精密机械零件的参数要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（   ） A．6499.02微米 B．6499.20微米 C．6500.02微米 D．6500.20微米 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）当前手机微信支付已经成为一种新型的支付方式，倍受广大消费者的青睐．如果微信零钱收入22元记为元，那么微信零钱支出18元记为 元． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司． (1)以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置： (2)C店离A店有多远？ 【题型四】有理数的定义 【例4】（24-25七年级上·广西柳州·期中）在,2024,,四个数中有理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级上·山西长治·开学考试）2023年年末长治市生产总值为二千八百零四亿八千万元，该数写作： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： ，75，，0，23%，． 整数集合：{                        …} 正数集合：{                        …} 负数集合：{                        …} 分数集合：{                        …} 【题型五】0的意义 【例5】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【举一反三】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 2．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是 ． 3．（22-23七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【题型六】有理数的分类 【例6】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）下列四个数中，是负数的是（   ） A．0 B． C．2 D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有 个． 3．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【题型七】带“非”字的有理数 【例7】（24-25七年级上·山东济南·期中）在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在，2025，，0，，，中，非负数有 个． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）把下面的有理数填入它们属于的集合内： ． 正有理数集合：{    …}； 负有理数集合：{    …}； 非负整数集合：{    …}． 【题型八】数轴的三要素及其画法 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是规定了（　　） A．原点和正方向的一条直线 B．单位长度的一条直线 C．原点和单位长度的一条直线 D．原点、正方向和单位长度的一条直线 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【题型九】用数轴上的点表示有理数 【例9】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）如图，在数轴上，点表示的数可能是（   ） A．2.6 B． C．1.8 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）将数轴上表示数2的点，沿数轴移动3个单位，得到的点表示的数为（   ） A． B．5 C．或5 D．或1 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知x是整数，并且，数轴上表示x能取的所有数为 ． 3．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【题型十】利用数轴比较有理数的大小 【例10】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．是正数，那么a是负数 C．如果x是大于1的正数，那么是小于的负数 D．一个数的相反数的相反数是正数 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 3．（23-24七年级上·青海西宁·期中）先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【题型十一】数轴上两点之间的距离 【例11】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）一个点在数轴的正半轴上，且距离原点3个单位长度，这个点表示的数是（  ） A．3 B． C．3或 D．2 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【题型十二】相反数的定义 【例12】（24-25七年级上·福建厦门·期中）2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）有理数的相反数是 ． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）已知一组数据： (1)在数轴上表示出这组数据： (2)将这些数填入相应的大括号内： 正整数集：{ …}； 负分数集：{ …}； 【题型十三】化简多重符号 【例13】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）下列各数中的值与相等的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2024，，，， (1)正数集合：{                }； (2)分数集合{           }； (3)非负整数集合{       }； 【题型十四】相反数的应用 【例14】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    3．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： ， ， ； (2)若数轴上有一点表示的数为，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，求点表示的数及两点间的距离； (3)化简：． 【题型十五】绝对值的几何意义 【例15】（24-25七年级上·江苏南通·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【题型十六】求一个数的绝对值 【例16】（2025·河南驻马店·二模）的绝对值是（   ） A． B． C． D．5 【举一反三】 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）四个有理数，，，0中，最小的数是（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）比较大小： ． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 【题型十七】绝对值非负性 【例17】（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材练习3变式] (1)绝对值是6的数有几个，各是什么？ (2)绝对值是0的数有几个，各是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 【题型十八】绝对值的其他应用 【例18】（2024七年级上·全国·专题练习）晓慧在实验室检测，，，四个物理电学元件的质量（单位：g），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）某中学为召开运动会计划采购一批足球，在对市场进行调研中发现4个品牌足球的质量如图所示，超过国家规定标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，你建议学校采购的足球品牌是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25七年级上·北京延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 3．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【题型十九】有理数大小比较 【例19】（22-23七年级上·广西河池·期中）下列有理数中最小的是（  ） A．0 B．3 C． D． 【举一反三】 1．（2025·广东阳江·一模）四个有理数，，，，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）比较大小： （填“”或“”） 3．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【题型二十】有理数大小比较的实际应用 【例20】（24-25七年级上·广东广州·期末）某车间检测乒乓球，其中超过标准质量的克数记为正数．以下哪个质量最接近标准质量（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在标准大气压下，固态氧、固态汞、海波、锡四种固体的熔点如表： 固体 固态氧 固态汞 海波 锡 熔点 -218 -39 48 232 其中熔点最低的固体为（    ） A．固态氧 B．固态汞 C．海波 D．锡 2．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是 ．（直接填序号即可） ①铝②酒精③水银④水 3．（七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 好题必刷 一、单选题 1．下列四个数中，最小的数是（    ） A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣ 2．下列选项中，可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ） A．1和2 B．和 C．和2 D．和0 3．下列说法正确的是（    ） A．整数包括正整数和负整数 B．0是整数但不是正数 C．互为相反数的两个数乘积为1 D．非负有理数是指正有理数 4．如果某商场盈利万元，记作万元，那么亏损万元，应记作（  ） A． B．万元 C．万元 D． 5．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   6．（    ） A．2022 B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．是正数 C．正数又可称为非负数 D．有理数中有绝对值最小的数 8．下列四个有理数中，其中最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 9．已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 10．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．数轴上与原点的距离是2的点表示的数是 ． 12．数轴上A，B两点表示的数分别为2和﹣2，则A，B两点之间的距离为 ． 13．某日我市的最高气温为10℃，记作℃，那么最低气温为℃，应记作 ． 14．看图填空（规定向东为正方向）： （1）如图 佳佳文具店在校门口的 边，距离校门口500米，小明家在佳佳文具店 边，相距300米，小明家在校门口的 边，相距 米． （2）如图 佳佳文具店在校门口的西边，距离校门口500米，小明家在佳佳文具店西边，相距300米，则小明家在校门口的 边，相距 米． 如果规定起点为原点，向东为正，向西为负，将小明行走的结果写成算式，则 问题（1）写成算式：．① 问题（2）写成算式： ．② 算式①用数轴表示为 算式②可用数轴表示为图 ． 观察： （1）算式①中，两个加数的符号同为 ，和的符号也是 ；算式②中两个加数的符号同为 ，和的符号也是 ； （2）算式①②中，两个加数的和的绝对值正好等于两个加数的 的和． 小结：同号两数相加，取符号 ，并把 相加． 15．如图，数轴上点，，对应的有理数分别是，，，，且，则 ． 16．如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，c且都不为0，BC=2AC．若|2a+b|＝|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|，则|a+2b+3c|＝ （用含a，b的式子表示）． 17．在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号） 18．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有 个，负整数点有 个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是 ． 三、解答题 19．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 20．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合．请把下列各数填入相应的集合中：． 正数集合：_____________ 负数集合： ____________ 整数集合： ____________ 分数集合： ____________ 21．已知，，并且，求，的值． 22．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． (3)用“＞”“=”或“＜”填空：_________a，_________b，_______． 23．用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”号把下列各数连接起来． ． 24．定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 25．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 26．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 认识有理数 （知识清单+20大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 相反数的定义 题型十三 化简多重符号 题型十四 相反数的应用 题型十五 绝对值的几何意义 题型十六 求一个数的绝对值 题型十七 绝对值非负性 题型十八 绝对值的其他应用 题型十九 有理数大小比较 题型二十 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1：正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 特别解读 1. 正数的实质是大于 0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略 “+”号. 2. 负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3. 正数与负数的特征： (1)不为0； (2)含“+”“－”号. 知识点2：有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点4：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点分析： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点5：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点6：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 知识点7：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点8：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点归纳： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点9：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 题型方法 【题型一】正负数的定义 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数． 明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系． 【详解】A、1.2是正数，A项错误； B、1是正数，B项错误； C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确； D、0既不是正数也不是负数，D项错误． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负数， ∴负数有个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】(1)101， (2)正数有个，负数有个 (3)在这一列数中，是第个数．不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了数的排列规律，能发现符号是正负相间且绝对值依次增加是解题的关键． （1）根据这一列数的绝对值依次增加1，且正负相间，可解决问题； （2）由这列数为正负相间排排列，可解决问题； （3）根据题中负数都是奇数，整数都是偶数便可解决问题． 【详解】（1）解：观察数列可知， 这一列数为正负相间，从左往右绝对值依次增加，且第一个数为， 所以第101个数是101，第2024个数是． （2）解：根据数的排列特征可知， 前奇数数个数中，正数比负数多一个． 所以前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：因为在这列数中奇数是正数，偶数是负数； ∴在这列数中，是第个数．不在这列数中． 【题型二】相反意义的量 【例2】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若体重增加用“”表示，那么体重下降就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示来判断． 【详解】解：张明前面的第2个同学李利记作， 表示张明后面的第一个同学丙， 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）中国最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：零上记作，则零下可记作． 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧ 【知识点】相反意义的量 【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义． 【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧． 【题型三】正负数的实际应用 【例3】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：水位为时，记作，故A选项说法正确； 水位为时，记作，故B选项说法正确； 表示达到警戒水位，故C选项说法正确； 表示水位为，故D选项说法不正确； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）神舟上天，嫦娥奔月，天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航．某飞行器控制设备中精密机械零件的参数要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（   ） A．6499.02微米 B．6499.20微米 C．6500.02微米 D．6500.20微米 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得符合尺寸的范围是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义求得符合尺寸的范围后进行判断即可． 【详解】解：由题意可得符合尺寸的范围是6499.9微米微米， 则符合要求的是6500.02微米， 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）当前手机微信支付已经成为一种新型的支付方式，倍受广大消费者的青睐．如果微信零钱收入22元记为元，那么微信零钱支出18元记为 元． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若微信零钱收入用“”表示，那么微信零钱支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果微信零钱收入22元记为元，那么微信零钱支出18元记为元， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司． (1)以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置： (2)C店离A店有多远？ 【答案】(1)见解析 (2)C店离A店3千米 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、正负数的实际应用、数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查正负数，数轴，有理数的加减运算的综合，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据骑行的路程，在数轴表示即可； （2）根据数轴上点的特点进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：根据图示可得，C店离A店3千米． 【题型四】有理数的定义 【例4】（24-25七年级上·广西柳州·期中）在,2024,,四个数中有理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题看考查了有理数的定义，根据整数和分式统称为有理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，,2024,这三个数都是有理数， 故选：C 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此判断即可． 【详解】解：是有理数，有6个． 故选B． 2．（24-25七年级上·山西长治·开学考试）2023年年末长治市生产总值为二千八百零四亿八千万元，该数写作： ． 【答案】280480000000 【知识点】有理数的定义 【分析】此题考查了高位数的写作能力，关键是能准确理解并运用以上知识．根据数位的表示方法进行求解． 【详解】解： 二千八百零四亿八千万元可以写作为280480000000， 故答案为： 280480000000． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： ，75，，0，23%，． 整数集合：{                        …} 正数集合：{                        …} 负数集合：{                        …} 分数集合：{                        …} 【答案】；；； 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的分类与概念，根据整数，正数，负数，分数的含义把各数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合： 正数集合： 负数集合： 分数集合：． 【题型五】0的意义 【例5】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【知识点】有理数的分类、0的意义 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【知识点】正负数的定义、0的意义 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是 ． 【答案】数轴上的原点（答案不唯一） 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是表示数轴上的原点； 故答案为数轴上的原点（答案不唯一）． 3．（22-23七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【答案】(1)收入元 (2)收入元 (3)支出元 (4)没有收入也没有支出 【知识点】正负数的实际应用、0的意义 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果把收入为正，则支出就是负． 【详解】（1）解：元是正数，所以表示收入元； （2）解：元是正数，所以表示收入元； （3）解：元是负数，所以表示支出元； （4）解：元既不是正数也不是负数，所以表示没有收入也没有支出． 【点睛】本题考查正负数的实际意义，理解“正”和“负”的相对性，把握题中具有相反意义的量是解决问题的关键． 【题型六】有理数的分类 【例6】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）下列四个数中，是负数的是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；因此此题可根据“负数是小于0的数”进行求解即可． 【详解】解：下列选项中是负数的是； 故选B． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，根据负有理数包括负整数和负分数，进行判断即可． 【详解】解：，0，，，5中，负有理数有，，，共3个； 故选B． 2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有 个． 【答案】5 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了分数的定义，分数是有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有，，，，，共5个， 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 【详解】解： 正有理数数集合：｛，……｝ 负分数集合：｛，，……｝ 非负整数集合：｛，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，……｝ 【题型七】带“非”字的有理数 【例7】（24-25七年级上·山东济南·期中）在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查非负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．非负数即和正数，据此进行判断即可． 【详解】解：在，，，，中，非负数是，，，共有个， 故选：A． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在，2025，，0，，，中，非负数有 个． 【答案】4 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】此题考查了有理数的分类，根据非负数包括正数和0进行解答即可． 【详解】解：在，2025，，0，，，中，非负数有2025，0，，，共4个， 故答案为：4 3．（2024七年级上·全国·专题练习）把下面的有理数填入它们属于的集合内： ． 正有理数集合：{    …}； 负有理数集合：{    …}； 非负整数集合：{    …}． 【答案】；；3，0，2025 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）根据正有理数的定义即可解答； （2）根据负有理数的定义即可解答； （3）根据非负整数集合即可解答． 【详解】解：正有理数集合：{}； 负有理数集合：{}； 非负整数集合：{3，0，2025}． 【题型八】数轴的三要素及其画法 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是规定了（　　） A．原点和正方向的一条直线 B．单位长度的一条直线 C．原点和单位长度的一条直线 D．原点、正方向和单位长度的一条直线 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴的定义，掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线成为解题的关键． 根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线， ∴D选项符合题意． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 【答案】 原点 正方向 单位长度 负 正 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的定义即可求解． 【详解】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数． 故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正． 【点睛】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 【题型九】用数轴上的点表示有理数 【例9】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）如图，在数轴上，点表示的数可能是（   ） A．2.6 B． C．1.8 D． 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查本题考查的是数轴，判断点所在的大概位置，关键是熟悉数轴上的点从左往右增大的知识点． 【详解】解：点表示的数在与之间， 选项中只有符合题意， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）将数轴上表示数2的点，沿数轴移动3个单位，得到的点表示的数为（   ） A． B．5 C．或5 D．或1 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的表示数，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示数的意义和方法．由于是在2的基础上移动，但是没有说向左还是右，所以分情况讨论即可． 【详解】解：把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为5或． 故选C． 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知x是整数，并且，数轴上表示x能取的所有数为 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，结合x是整数，进行求解即可． 【详解】解：∵x是整数，并且， ∴数轴上表示x能取的所有数为； 故答案为： 3．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)在数轴上标出见解析； (2)． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的应用，解题的关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （）先化简，再在数轴上确定表示各数的点的位置，然后在数轴上表示即可； （）右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：，， 在数轴上标出这些数如图， （2）解：由右边的数总比左边的数大， ∴． 【题型十】利用数轴比较有理数的大小 【例10】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系． 先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小． 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数， 所以， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．是正数，那么a是负数 C．如果x是大于1的正数，那么是小于的负数 D．一个数的相反数的相反数是正数 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义 【分析】本题考查的是相反数的含义，数轴的含义，根据，结合数轴与相反数的含义可得，可判断A，结合，互为相反数与数轴上的位置可判断B，同理利用相反数的含义结合数轴可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：A． 如果，那么，说法正确，本选项不符合题意； B． 如果是正数，那么是负数，说法正确，本选项不符合题意； C． 如果是大于1的数，那么是小于的数，说法正确，本选项不符合题意； D． 0的相反数的相反数是0，故D错误，本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，． 正确，错误， 错误， 错误， ．正确的是 故答案为∶ 3．（23-24七年级上·青海西宁·期中）先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、数轴等知识点，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案，熟练掌握利用了数轴比较有理数的大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解∶如图， 按照小到大排列，并用“<”连接如下： ． 【题型十一】数轴上两点之间的距离 【例11】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）一个点在数轴的正半轴上，且距离原点3个单位长度，这个点表示的数是（  ） A．3 B． C．3或 D．2 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，由于该点在数轴的正半轴上，故该点表示的数即为原点表示的数加上二者之间的距离，据此求解即可． 【详解】解：∵一个点在数轴的正半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴这个点表示的数是， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的知识点，解题的关键是掌握数轴上两点间距离的计算方法． 利用数轴上两点间距离公式计算表示\[-1\]的点与表示8的点之间的距离，再与选项对比． 【详解】在数轴上，两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 的点与表示8的点之间的距离， 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 【题型十二】相反数的定义 【例12】（24-25七年级上·福建厦门·期中）2025的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，直接根据相反数的定义作答即可. 【详解】2025的相反数是， 故选：A. 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．和只有符号不同，是互为相反数，故该选项符合题意； B．和不是相反数，故该选项不符合题意； C．和，不是相反数，故该选项不符合题意； D．和不是相反数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）有理数的相反数是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题关键．根据相反数的定义(只有符号不同的两个数互为相反数)即可得． 【详解】解:有理数的相反数是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）已知一组数据： (1)在数轴上表示出这组数据： (2)将这些数填入相应的大括号内： 正整数集：{ …}； 负分数集：{ …}； 【答案】(1)见解析 (2)； 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的分类，求一个数的绝对值，相反数，熟练掌握基础知识点是解本题的关键． （1）先根据相反数的定义和绝对值的意义求出，再在数轴表示即可； （2）根据有理数的分类进行填空即可． 【详解】（1）解：， ∴数轴表示为： （2）解：正整数有：， 负分数有：， ∴正整数集：； 负分数集：． 【题型十三】化简多重符号 【例13】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）下列各数中的值与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 先计算出的值，结合选项即可求解； 【详解】解：，； 故选：B 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】化简多重符号、正负数的定义 【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2024，，，， (1)正数集合：{                }； (2)分数集合{           }； (3)非负整数集合{       }； 【答案】(1)，2024，，， (2)，，，， (3)0，2024 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数的分类，化简绝对值和多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先化简绝对值和多重符号，再根据正数是大于0的数进行求解即可； （2）根据分数的定义即可得到答案； （3）根据非负整数是大于等于0的整数即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴正数集合：{，2024，，，}； （2）解：由（1）得分数集合{，，，，}； （3）解；由（1）得非负整数集合{0，2024}； 【题型十四】相反数的应用 【例14】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的应用、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的应用、数轴上找原点 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的应用、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，绝对值的意义，相反数的意义计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，绝对值，相反数的意义，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： ， ， ； (2)若数轴上有一点表示的数为，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，求点表示的数及两点间的距离； (3)化简：． 【答案】(1)，， (2)点表示的数为，两点间的距离为 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、相反数的应用、根据点在数轴的位置判断式子的正负、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据数轴上点的位置及，可得与互为相反数，利用相反数性质计算即可求解； （）根据两点间的距离列出算式，计算即可得到结果； （）根据数轴上点的位置判断出的正负，然后利用绝对值的代数意义化简即可得到结果； 本题考查了数轴与有理数，两点间距离，化简绝对值，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∵， ∴数与互为相反数， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，， ∴点表示的数为， ∴两点间的距离为； （3）解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式 ， ， ． 【题型十五】绝对值的几何意义 【例15】（24-25七年级上·江苏南通·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 【题型十六】求一个数的绝对值 【例16】（2025·河南驻马店·二模）的绝对值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可． 【详解】的绝对值是5． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·广西河池·期中）四个有理数，，，0中，最小的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 根据有理数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】解：，，，， ， 最小的数是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小，进行比较即可求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 【答案】④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧ 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、带“非”字的有理数、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正分数、整数、负数、非负有理数的定义进行分类解答即可． 【详解】解：，， 正分数集合：{④，⑦，⑧…}； 整数集合：{①，②，⑤，…}；； 负数集合：{①，⑨，⑩，…}；； 非负有理数集合：{②，④，⑤，⑦，⑧，…}；． 故答案为：④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧． 【题型十七】绝对值非负性 【例17】（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材练习3变式] (1)绝对值是6的数有几个，各是什么？ (2)绝对值是0的数有几个，各是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 【答案】(1)2个，和6 (2)1个，0 (3)没有．因为任何数的绝对值都大于或等于0，所以没有绝对值是的数 【知识点】绝对值非负性、求一个数的绝对值、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及性质是解题的关键． （1）根据绝对值的定义以及性质得出答案即可； （2）根据绝对值的定义以及性质得出答案即可； （3）根据绝对值的非负性得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴绝对值是6的数有2个，分别是和6． （2）解：∵只有0的绝对值是0， ∴绝对值是0的数有1个，是0． （3）解：没有．因为任何数的绝对值都大于或等于0，所以没有绝对值是的数． 【题型十八】绝对值的其他应用 【例18】（2024七年级上·全国·专题练习）晓慧在实验室检测，，，四个物理电学元件的质量（单位：g），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值、正负数的应用，掌握绝对值，正负数的意义是解题的关键．根据题意，求出选项中有理数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：由题意得，其中最接近标准质量的元件是其中绝对值最小的数所代表的元件， ，，，， ， 的绝对值最小， 其中最接近标准质量的元件是所代表的元件． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）某中学为召开运动会计划采购一批足球，在对市场进行调研中发现4个品牌足球的质量如图所示，超过国家规定标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，你建议学校采购的足球品牌是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数所对应的足球是越接近标准，且是四个选项的足球中是最接近标准，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴A选项的足球最接近标准， 故选：A． 2．（24-25七年级上·北京延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，即可得出，故写出一组即可满足该条件的数即可，答案不唯一． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴满足该条件的数有，（答案不唯一）， 故答案为：；；． 3．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【题型十九】有理数大小比较 【例19】（22-23七年级上·广西河池·期中）下列有理数中最小的是（  ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查的是数的比较大小，按照比较有理数比较方法比较即可，注意两个负数比较大小，先求绝对值，绝对值大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 下列有理数中最小的是， 故选：D． 【举一反三】 1．（2025·广东阳江·一模）四个有理数，，，，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的大小比较，解题的关键在于正确掌握有理数的大小比较方法． （1）根据正数大于负数进行判断，即可解题； （2）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （3）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （4）先利用绝对值求出，再根据正数大于负数进行判断，即可解题． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以； （2）解：因为，，且， 所以； （3）解：因为，，且， 所以； （4）解：因为，， 所以． 【题型二十】有理数大小比较的实际应用 【例20】（24-25七年级上·广东广州·期末）某车间检测乒乓球，其中超过标准质量的克数记为正数．以下哪个质量最接近标准质量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，利用绝对值解决实际问题的能力，先比较每个数的绝对值，然后根据绝对值小的数最接近标准即可得出答案． 【详解】解：超过标准质量的克数记为正数，则不足标准质量的克数记为负数． ∵，，，， 又∵， ∴最接近标准的是， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在标准大气压下，固态氧、固态汞、海波、锡四种固体的熔点如表： 固体 固态氧 固态汞 海波 锡 熔点 -218 -39 48 232 其中熔点最低的固体为（    ） A．固态氧 B．固态汞 C．海波 D．锡 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键． 根据有理数的大小比较方法即可得到答案． 【详解】解：， ∴熔点最低的固体是固态氧， 故选： A． 2．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是 ．（直接填序号即可） ①铝②酒精③水银④水 【答案】② 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．比较四个晶体物质的凝固点，即可得到答案，解题关键是掌握有理数大小比较法则． 【详解】解：， 凝固点最低的是酒精， 故答案为：②． 3．（七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 【答案】为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算，理由见解析 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出三家商店需要花费的情况，然后比较大小即可． 【详解】解：为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 理由：由题意可得， 在甲店购买需要花费为：30×60×0.8＝1440（元）， 在乙店购买需要花费为：30×20+30×（60﹣20）×0.6＝1320（元）， 在丙店购买需要花费为：30×50＝1500（元）， ∵1320＜1440＜1500， ∴为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，解答本题的关键是明确题意，求出三个商店的花费情况． 好题必刷 一、单选题 1．下列四个数中，最小的数是（    ） A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣ 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【详解】解：∵2＞0，－2＜0，－＜0， ∴可排除A、C， ∵|－2|＝2，|－|＝，2＞， ∴－2＜－ 故选：B． 2．下列选项中，可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ） A．1和2 B．和 C．和2 D．和0 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了正负数的意义，主要是对相反意义的量的考查，比较简单．解题关键是掌握正负数的意义，根据具有相反意义的量的定义判定即可． 【详解】解：A、1和2都是正数，不具有相反意义的量，不符合题意； B、和都是负数，不具有相反意义的量，不符合题意； C、和2，具有相反意义的量，不符合题意； D、和0，0是整数和负数的分界，不具有相反意义的量，不符合题意； 故选：C． 3．下列说法正确的是（    ） A．整数包括正整数和负整数 B．0是整数但不是正数 C．互为相反数的两个数乘积为1 D．非负有理数是指正有理数 【答案】B 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】此题主要考查有理数的性质，有理数的分类．根据有理数的分类依据即可判断． 【详解】解：A、整数包括正整数、负整数和零，故本选项不符合题意； B、0是整数，但不是正数，也不是负数，故本选项符合题意； C、互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，故本选项不符合题意； D、非负有理数是指正有理数，还有零，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．如果某商场盈利万元，记作万元，那么亏损万元，应记作（  ） A． B．万元 C．万元 D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】盈利、亏损表示两个具有相反意义量，把盈利记作“”，则亏损记作“”，进而得出答案． 【详解】解：盈利、亏损表示两个具有相反意义量， 亏损万元，应记作万． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 5．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的三要素：原点，正方向，单位长度．熟记数轴的三要素是解题的关键．数轴利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误． 【详解】解：A、单位长度不均匀，故错误； B、正确； C、数据顺序不对，故错误； D、没有正方向，故错误． 故选：B． 6．（    ） A．2022 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案． 【详解】解：2022． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 7．下列说法正确的是（    ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．是正数 C．正数又可称为非负数 D．有理数中有绝对值最小的数 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】根据有理数的性质判断求解． 【详解】解：A选项：有理数包括正有理数、负有理数和0，故A错误，不符合题意； B选项：是非负数，故B错误，不符合题意； C选项：正数和0可称为非负数，故C错误，不符合题意； D选项：有理数中有绝对值最小的数， 故D正确,符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的性质，熟练掌握有理数的性质是解题的关键． 8．下列四个有理数中，其中最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】根据有理数大小的比较法则比较即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， ∴最小的数是． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小的比较，解答此题的关键是熟练掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小． 9．已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可． 【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2， ∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t， 解得t=或， 故选C． 【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键． 10．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查有绝对值的化简，数轴上两点间的距离，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例. 【详解】若，则， 故①错误， 不合题意； 若， 则或或或， 当时， 则有是是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是是正数， 由上可得， 是正数， 故②正确，符合题意； 三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则或或，故③错误，不合题意； 若代数式的值与无关，则，故④错误，不合题意； ， ∴中一定是一负两正，，， 不妨设 ，故⑤错误，不合题意； 故选： A． 二、填空题 11．数轴上与原点的距离是2的点表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】设数轴上与原点的距离等于2的点所表示的数是，利用两点间的距离公式得，进而可得出结论． 【详解】解：设数轴上与原点的距离等于2的点所表示的数是，则， 解得． 故答案为：． 12．数轴上A，B两点表示的数分别为2和﹣2，则A，B两点之间的距离为 ． 【答案】4 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为2和﹣2， ∴A，B两点之间的距离为2﹣（﹣2）＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键． 13．某日我市的最高气温为10℃，记作℃，那么最低气温为℃，应记作 ． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：最高气温为10℃，记作℃，那么最低气温为℃，应记作． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 14．看图填空（规定向东为正方向）： （1）如图 佳佳文具店在校门口的 边，距离校门口500米，小明家在佳佳文具店 边，相距300米，小明家在校门口的 边，相距 米． （2）如图 佳佳文具店在校门口的西边，距离校门口500米，小明家在佳佳文具店西边，相距300米，则小明家在校门口的 边，相距 米． 如果规定起点为原点，向东为正，向西为负，将小明行走的结果写成算式，则 问题（1）写成算式：．① 问题（2）写成算式： ．② 算式①用数轴表示为 算式②可用数轴表示为图 ． 观察： （1）算式①中，两个加数的符号同为 ，和的符号也是 ；算式②中两个加数的符号同为 ，和的符号也是 ； （2）算式①②中，两个加数的和的绝对值正好等于两个加数的 的和． 小结：同号两数相加，取符号 ，并把 相加． 【答案】 东 东 东 800 西 800 正 正 负 负 绝对值 不变 绝对值 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【解析】略 15．如图，数轴上点，，对应的有理数分别是，，，，且，则 ． 【答案】8 【知识点】用数轴上的点表示有理数、带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据得，代入即可求出a和c的值，再根据绝对值的性质化简，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案是：8． 【点睛】本题考查数轴的性质和绝对值的性质，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的性质和化简绝对值的方法． 16．如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，c且都不为0，BC=2AC．若|2a+b|＝|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|，则|a+2b+3c|＝ （用含a，b的式子表示）． 【答案】3a+3b/3b+3a 【知识点】数轴上两点之间的距离、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据BC=2AC，可得2a+b=3c，|2a+b|＝|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|可得b>0，2a<0或b<0，2a>0，根据a<c<b可知b>0，2a<0，然后根据绝对值的意义化简|a+2b+3c|即可． 【详解】解：由数轴可知，a<c<b， ∵BC=2AC， ∴b-c=2(c-a)， ∴2a+b=3c， ∴ |2a+b|＝|2a﹣3c|﹣|b﹣3c| =|2a﹣(2a+b)|﹣|b﹣(2a+b)| =|b|﹣|2a|． ∵|2a+b|去绝对值符号后a，b前系数的符号相同，等号右边与左边应一致， ∴ b>0，2a<0或b<0，2a>0． ∵a<c<b， ∴b>0，2a<0， ∴|2a+b|＝2a+b， ∴2a+b>0． ∵b>0，a<0， ∴a+b>0, ∴|a+2b+3c| =|a+2b+ 2a+b | ＝3|a+b | =3a+3b， 故答案为：3a+3b． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，以及数轴上两点间的距离等知识，数形结合是解答本题的关键． 17．在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号） 【答案】①③④ 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义 【分析】根据相反数的定义和性质逐个分析即可. 【详解】①有理数a的相反数不一定是负数；错误； ②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为反数；正确； ③符号不同的两个数，不一定互为相反数；错误； ④0的相反数等于它本身；错误 故答案为①③④ 【点睛】考核知识点：相反数.理解相反数定义是关键. 18．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有 个，负整数点有 个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是 ． 【答案】 69 52 ﹣72 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】根据数轴的构成可知，﹣72和﹣41之间的整数点有：﹣72，﹣71，…，﹣42，共31个；﹣21和16之间的整数点有：﹣21，﹣20，…，16，共38个；依此即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ﹣72和﹣41之间的整数点有：﹣72，﹣71，…，﹣42，共31个；﹣21和16之间的整数点有：﹣21，﹣20，…，16，共38个； 故被淹没的整数点有31+38＝69个，负整数点有31+21＝52个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是﹣72． 故答案为：69，52，﹣72． 【点睛】本题考查了数轴，熟悉数轴的结构是解题的关键． 三、解答题 19．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 【答案】(1)气温是零下 (2)向北走200米，米 (3)逆时针转动转盘5圈，圈 (4)低于海平面8米，米 【知识点】正负数的实际应用、相反意义的量 【分析】正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题．本题主要考查了正确的掌握正负数的概念，解答本题的关键就是读懂题意． 【详解】（1）解：依题意，气温是零下，即； （2）解：依题意，向北走200米，米 （3）解：依题意，逆时针转动转盘5圈，即圈 （4）解：依题意，低于海平面8米，即米 20．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合．请把下列各数填入相应的集合中：． 正数集合：_____________ 负数集合： ____________ 整数集合： ____________ 分数集合： ____________ 【答案】；；；． 【知识点】有理数的分类 【分析】大于0的数叫正数，小于0的数叫负数，整数包含正整数，负整数和0，分数不仅包括大家熟悉的分数形式，还包括有限小数和无线循环小数，据此判断即可． 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，属于基础题，熟练掌握正数、负数、整数和分数的定义是解题关键． 21．已知，，并且，求，的值． 【答案】， 【知识点】有理数大小比较、带有字母的绝对值化简问题 【分析】首先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据确定a、b的对应情况． 【详解】因为，， 所以，． 因为， 所以，． 【点睛】本题考查绝对值的性质和比较大小，熟记绝对值的性质是解题的关键． 22．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． (3)用“＞”“=”或“＜”填空：_________a，_________b，_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】有理数大小比较、绝对值的几何意义、相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小 【分析】（1）根据绝对值的意义即可解答； （2）根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可； （3）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数得出答案即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， （3）解：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数． 23．用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”号把下列各数连接起来． ． 【答案】数轴表示见解析，． 【知识点】求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴和有理数比较大小，正确在数轴上表示出各数是解题关键． 先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”连接即可解答． 【详解】解： 故在数轴表示如下：    用“<”号将各数连接：． 24．定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 25．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 【答案】(1)，； (2)或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】（）根据题意求得与的关系，然后逐一判断即可； （）设表示的数为，则由题意得，则，，然后分当时，即，当时，即，解出方程即可； 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程． 【详解】（1）解：∵，， ∴不是点，的“关联点”， ∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴ ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得， ∴，， ∵点是点，的“关联点”， ∴当时，即， 则或， 解得：或； 当时，即， 则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或， 故答案为：或或． 26．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$