2025年中考数学二轮复习分类专项训练

中考二轮复习专项训练 专项一：数与式 1． 的值为 （ ） A．4 B．－4 C．±4 D．8 2．百年大计，教育为本．2024年，我国全年一般公共预算教育支出约为4 207 600 000 000元．用科学记数法表示4 207 600 000 000是 （ ） A．42.076×1012 B．42.076×1011 C．4.2076×1012 D．4.2076×1011 3．计算结果为23a的式子是 （ ） A．2a＋2a＋2a B．2a×2a×2a C．2a×2a＋2a D．2a×(2a＋2a) 4．下列四个数中，是负数的是 （ ） A. －2 B．|－2| C．－(－2) D．(－2)2 5．人眼可见的蓝光波长约为0.000 000 45 m．用科学记数法表示0.000 000 45是 （ ） A. 0.45×10－7 B．0.45×10－8 C．4.5×10－7 D．4.5×10－8 6．下列计算中，结果是a6的是 （ ） A. a3＋a3 B．a3·a3 C．(a3)3 D．a12÷a2 7．下列四个数中，最小的是 （ ） A．－3 B．0 C．－4 D． 8．2025年春节期间，南京夫子庙—秦淮风光带累计迎客约3429 000人次．用科学记数法表示3429 000是 （ ） A．3.429×106 B．3.429×103 C．3429×103 D．3429×106 9．计算(－2xy2)3的结果是 （ ） A．－6x3y6 B．－6xy6 C．－8xy6 D．－8x3y6 10．蛇年新春，五湖四海的游客竞相奔赴南京过大年．春节期间，秦淮区接待游客量超过500万人次，约占全市三分之一，旅游总收入突破50亿元，超全市四分之一，均创历史新高．将500万和50亿用科学记数法分别表示为 （ ） A．5×105，5×108 B．5×106，5×108 C．5×106，5×109 D．5×107，5×1010 11．若式子＋在实数范围内有意义，则a，b的取值范围分别是 （ ） A．a≥0，b＞0 B．a≥0，b≠0 C．a＞0，b＞0 D．a＞0，b≠0 12．－3的相反数是 （ ） A．3 B．－3 C． D．－ 13．下列计算结果为a6的是 （ ） A．a3＋a3 B．a3·a2 C．(－a2)3 D．a3·a3 14．计算的结果是 （ ） A．3 B．±3 C．3 D．±3 15．计算：|－3|＝　 ；3－1＝　 ． 16．若式子有意义，则x的取值范围是　 ． 17．计算＋的结果是　 ． 18．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 19．计算×÷的结果是 ． 20．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 21．分解因式m3－2m2＋m的结果是 ． 22．计算－的结果是 ． 23．5的算术平方根是 ． 24．计算83÷45÷20的结果是 ． 25．化简－的结果是 ． 26．比较大小：－________－．（填“＞”“＜”或“＝”号） 27．2025南京半程马拉松约有131000人报名，用科学记数法表示131000是 ． 28．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 29．分解因式2a3b－8ab3的结果是 ． 30．计算：÷． 31． 计算 ÷． 32． 先化简，再求值(1＋)÷，其中a＝－2 33． 计算·． 34．先化简，再求值：(a＋1－)÷，其中a＝＋2． 专项二：方程与不等式 1． 已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，0＜x－y＋3＜2，则下列判断正确的是 （ ） A．－1＜x＜0 B．－1＜y＜0 C．－2＜xy＜0 D．－2＜＜0 2．若代数式M＝－2a2＋4a＋1，N＝－3a2＋4a，则M和N的大小关系是 （ ） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 3．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个不相等的实数根分别是p，q，那么p＋q的值是 （ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．方程 ＝的解是 ． 5．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元． 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 6． 已知2是方程x2－5x＋m＝0的一个根，则另一个根为 ，m＝ ． 7． 方程 ＝ 的解是 ． 8．不等式－x＋1＜的最小整数解是 ． 9．设x1，x2是关于x的方程x2－3kx－k－1＝0的根，且x1＝x2(2x1－1)，则k的值为 ． 10．方程 ＝ 的解是 ． 11．解不等式组并写出该不等式组的最大整数解． 12． （1）解方程：x2－8x－9＝0． （2）方程 y－8－9＝0的解是 ． 13．解不等式组 14．解方程(2x＋1)2－1＝0． 15. 解不等式组 16．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 17．因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 专项三：函数 1．已知一个函数的图象经过点（2，4），则该函数的表达式不可能是 （ ） A．y＝－x＋6 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝ 2．如图，在平面直角坐标系中，经过（－1，0）、（3，0）的二次函数y1的图像交y轴于点A，经过（－1，0）的一次函数y2的图像交y轴于点B．若OA＝OB，则函数y＝的图像是 （ ）x y O －1 3 A B －1 1 y1 y2 3．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度v(m/s)与运动时间t(s)的函数图像如图②所示，则该小球运动的路程s(m)与运动时间t(s)之间的函数图像大致是 （ ）t(s) v(m/s) t1 t2 O ② t3 ① t(s) s(m) O t1 t2 D． t3 t(s) s(m) O t1 t2 A． t3 t(s) s(m) O t1 t2 B． t3 t(s) s(m) O t1 t2 C． t3 4． 一次函数y＝－2x＋4的图象上有一个动点（m，n）,则m2＋n2的最小值是　 ．y O A D C B x （第5题） 5．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（0，－1），点B的坐标是（2，0），点C在y轴上．若反比例函数y＝的图象经过点D，则k＝ ． 6．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．若该机器狗载重后总质量m＝20 kg时，它的最快移动速度v＝4 m/s；当其载重后总质量m＝16 kg时，它的最快移动速度v＝ m/s． 7．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m n（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）． x －3 －2 1 2 3 y －7 －2 m n －2 （第7题） 8．在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：m2）是反比例函数关系，其函数图像如图所示．当S＝0.2 m2时，P＝ Pa． （第8题） S／m2 P／Pa O 0.1 100 x O y A B C D E （第9题） 9．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴上，E是CD的中点，反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点A，E，若AB＝4，则k的值为 ． 10．已知二次函数y1＝a1x2＋b1x＋c1和y2＝a2x2＋b2x＋c2中，函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1 x 1 2 3 y1 m＋1 m m＋1 表2 x 1 2 3 y2 n n＋2 n＋6 则a1 a2．（填“＞”“＝”或“＜”） 11． 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1的图象为C． （1）用m表示图象C的顶点坐标； （2）证明：当m＜－1时，图象C与x轴有两个交点； （3）记一次函数y＝mx＋m（m是常数，m≠0，－1≤x≤4）的图象为线段AB，若图象C与线段AB恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 12． 已知二次函数y＝ax2－a2x（a为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）该函数图象的对称轴是直线x＝ （用含a的代数式表示）． （3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上．对于2≤x1≤3，2a≤x2≤2a＋1，都有y1＜y2，直接写出a的取值范围． 13．如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（cm）与水流时间t（min）的函数图象如图所示． 21 AS D h（cm） 27 9 t（min） 3 O （第23题） C B 净水区 蓄水区 （1）点B坐标的实际意义是 ； （2）求线段AB的函数表达式； （3）经过 min后，净水区水面与蓄水区水面重合． 14．圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据： 游泳次数x 1 2 3 4 5 … 总花费y／元 230 260 290 320 350 … （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？ 15.已知二次函数y＝(x－1)(x－m)的图像经过点（6，5）． （1）求m的值； （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围； （3）将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当2≤x≤6时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 16．一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②． （1） 飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为 升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为 升/分钟； （2） 求线段AB的函数表达式，并写出点A的实际意义； （3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为 ．① A B x/分钟 y/升 24000 60 O 18000 120 ② 17．A，B是二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a＞0）图像上的点， 且AB∥x轴，C是该函数图像的顶点．顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h． （1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为 ； （2）当2≤h≤4时，求证：≤a≤； （3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为－1，则a的值是 ． 18．如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为50 m/s．小明在B处通过窗口看到远处两棵树（记为C和D），此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向．7 s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD．D C A B 53.1° 45° 北 （参考数据：tan63.4°≈2，tan53.1°≈.） 19．如图，大坝的横截面是Rt△ABC，坝高AC为16 m．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面AB改造成长为36 m的折线形坝面AD—DE，坝面AD的倾斜角α为36.87°，坝面DE的倾斜角β为22.62°． （参考数据：sin 36.87°≈，sin 22.62°≈．） （1）求坝面DE的长度； （2）求坡脚向前推进的距离BE的长度． E B D α β 16m A C 20．如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的C处，此时在将绳子拉直的A处测得定滑轮点P的仰角为45°．继续向后水平移动1 m到B处测得定滑轮点P的仰角为37°，此时物体上升到D处．已知AM，BN均垂直于地面，AM＝BN＝1.6m，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离PD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：tan37°≈，cos37°≈，sin37°≈，≈1.41） ② P A B M N D C 37° 45° ① 21．如图，港口A在港口B的南偏西53°方向20 km处，一艘渔船从港口A出发，以10 km／h的速度沿着北偏东23.5°的方向前进，15 min后，一艘快艇从B出发，以40 km／h的速度沿着北偏西53°的方向前进．设快艇出发x h． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92） 北 东 A B 53° 23.5° 53° 22．如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面AE的垂线AC，垂足为A，过点B作AC的垂线，垂足为C，斜塔AB与AC的夹角∠CAB＝5.7°，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为33.7°，塔底A的俯角为4.2°，DE＝1.6 m，求塔顶B到地面AE的距离． （参考数据：tan5.7°≈，tan33.7°≈，tan4.2°≈） A B C E D 33.7° 4.2° 5.7° 专项四：图形的性质 1．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圆，D为上一动点，过A作直线OD的垂线，垂足为E．在D从A沿运动到C的过程中，点E经过的路径长为 （ ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠BAD＝56°，则∠C等于 （ ） A. 28° B．29° C．30° D．31° 3．如图，“十字形”几何体由5个相同的正方体搭建而成．若再添加一些相同的正方体，使得新几何体的三视图全等，则至少需要添加正方体的个数是 （ ）（第3题） （第2题） A B C D A B C E D O （第1题） A．8 B．7 C．6 D．5 4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F．若AB＝6，AC＝8，AD＝10，则图中的阴影部分面积为 （ ） A．6 B．8 C．（第5题） A B C D O E D．12 5．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，＝，且的度数为的度数的一半．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为 （ ） A．120° B．96° C．108° D．100° 6．已知圆锥底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的面积是 （ ） A．3 B．5 C．6 D．12 7．正八边形的一个外角的度数为　 °． 8．如图，在□ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为　 ． 9．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝6．若∠C为钝角，则AC的取值范围是 ． 10．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为　 cm3． A B C D O (第11题) A B C D E F (第8题) (第10题) 12 cm 8 cm 4 cm 11．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，△BCD内接于扇形，∠C＝90°，位置如图所示．若BC＝4，CD＝2，则扇形OAB的面积为　 ． 12．一个角比它的余角大10°，则这个角的补角等于 °． 13．已知等边三角形的边长为6 cm，则它的外接圆半径长为 cm． 14. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝ °． A B E C 10 m 8 m （第15题） F D A B C D E奶茶 F G H P （第14题） 15．如图，两条道路的宽分别为10 m，8 m，夹角∠A＝∠B＝120°．现修建圆弧形道路， 其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线CE上．，的长度m，n满足的数量关系为 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点M，N分别在边CD，BC上，且BN＝2DM．连接AM，过点N作NP⊥AM，垂足为P，连接DP，则DP的长的最小值为 ． 17．如图，△ABC内接于半圆O，∠CBA＝2∠CAB，连接AO并延长，交CB的延长线于点D．若∠D＝35°，则∠C＝ °．C B A D E F （第18题） 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝AC，连接AD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，若AB＝3，BC＝2，则EF的长为 ． 19．在△ABC中，＝2，BC边上的高是10，则BC的最小值为 ． 20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接EO，过点E，O作BC的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形OEFG是矩形；A B C D O E F G (第20题) （2）若AC＝6，BD＝8，求四边形OEFG的面积． 21．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）当 ＝ 时，四边形AECF是正方形．（第21题） A B C E D F 22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝CD，连接CA，CA平分∠BCD．A B D C E G F （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CG⊥AD，分别交AD，AE于点F，G． 若DF＝4，DG＝5，则菱形ABCD的边长为 . 23．证明定理“矩形的对角线相等”． 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O． 求证AC＝BD．A B C D （第23题） O 24．如图，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AC，AE，AB＝AC，AC平分∠BCD，∠BAC＝∠EAD．求证：△ABE≌△ACD．A B C D E （第24题） 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，在CA的延长线上取点F，使BA平分∠FBC．A B C D O E F （第25题） （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝5，求AB的长． 26．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点F． （第26题） A B C E D F （1）求证BD＝DE； （2）若AB＝9，AC＝5，BD＝6，求EF的长． 27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的切线，且AD∥BC，作射线DB交⊙O于点E，连接EA交BC于点G，连接EC．A B C O D E F G （1）求证AB＝AC； （2）作CF平分∠BCE，交AE于点F，＝． ①判断AF与AC的数量关系，并求的值； ②若CF∥AB，CF＝3，则⊙O的半径为 ． 28．已知在菱形ABCD中，AB＝3，过点A，B，D作⊙O． （1）如图（1），当∠A＝60°时，求证：CD，CB都与⊙O相切； （2）如图（2），当60°＜∠DAB＜90°时，BC与⊙O交于点E，连接AE． ①随着∠DAB度数的增大，下列说法正确的是（ ） A．⊙O的半径与AE的长都增大 B．⊙O的半径增大，AE的长先增大后减小 C．⊙O的半径先增大后减小，AE的长增大 D．⊙O的半径与AE的长都先增大后减小 ②当AE＝4时，求⊙O的半径． （1） A B C D O A B C D O E （2） （第28题） 29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC，且与BO的延长线交于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）连接AO并延长与交于点M，连接BM并延长与AC的延长线交于点N．B C A O D （第29题） ①求证：∠D＝∠N； ②若⊙O的半径为5，AD＝，则CN的长为 ． 专项五：图形的变化 1．图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 （ ） A．① B．①② C．②③ D．①③ （第1题） （第2题） 2．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是 （ ） A．2∶1 B．5∶2 C．∶1 D．∶ 3．如图①，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF；如图②，展开纸片，连接BD，EC交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH，则＝ （ ） A．2 B． C． D．A B C D E F A D B C F E G A B D C G H ① ② ③ 4．如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，AB长为半径画弧，得到，则的长为 （结果保留π）． （第4题） A B C A B C′ C O B′ （第5题） 5．如图，在△ABC中，∠B＝38°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C的对应点C′落在边BC上．若B′C′⊥AB，则∠C＝ °． 6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠BAC＝120°，将△ABC沿AD折叠，使点B落在边AC上的B′处，则折痕AD的长为 ． B （第7题） A 7．如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ． 8．如图，在菱形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，若∠A′＝45°，则∠1的度数为 °． A B E F D C O （第9题） A′ A C B D D′ C′ B′ 1 O （第8题） 9．如图，在△ABC中，O是AC边上一点，△EFD和△ABC关于点O成中心对称，连接BD，BE，AF，CF． （1）求证：四边形ABEF是平行四边形． （2）若AB＝AC，∠BAC＝∠DBC，求证：□ABEF是菱形． 10. 如图，已知∠和线段m，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为m．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） m 11．尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求： （1）底边长为a，底边上的高长为b；b a （2）腰上的高长为a，底边上的高长为b． 要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 12．如图，⊙O的半径为r，点P在⊙O外．按下列要求分别求作一条直线l，使l过点P，并交⊙O于点A，B． （1）PB－PA＝r； （2）PB＋PA＝2r． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． O P （2） O P （1） 专项六：抽样与数据分析 1．已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是 （ ） A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8 2．学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占10%，动作技巧占40%，感染力占50%．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分x应超过　 ． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 x 3．在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为s；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为s，则s s（填“＞”“＜”或“＝”号）． 4．周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图． 4 得分 8 13 12 20 24 16 4 1 0 2 1 3 2 人数 某题得分情况条形统计图 （第8题） 4 20 0 这道题该班学生得分的众数和中位数分别是 分， 分． 5．南京市3月份每天的最高温度、最低温度的变化情况统计如下． （1）以下说法正确的是　 ．（填写所有正确说法的序号） ①最高温度的方差比最低温度的方差更大； ②日温差最大的一天是3月26日； ③日温差最小的一天是3月4日和3月15日； ④在3月2日到3月11日之间，最高温度呈上升趋势． （2）完成3月1日~3月10日的日温差的条形统计图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 日期 25 20 15 10 5 0 日温差（℃） 14 10 12 9 40 35 30 25 20 15 10 5 数据 0 40 35 30 25 20 15 10 5 数据 0 40 35 30 25 20 15 10 5 数据 0 40 35 30 25 20 15 10 5 数据 0 （3）在3月，哪天的最高温度相比于前一天降幅最大？借助数据进行说明． 6．我国2015~2023年博士生招生增长率折线统计图如下． 年份 增长率 4% 8% 12% 16%% 0 （1）下列说法中，所有正确结论的序号是 ． ①博士生招生增长率的中位数是10.16%； ②博士生招生增长率的平均数不超过10%； ③2018年博士生招生增长的人数最多； ④2023年博士生招生人数最多． （2）根据折线统计图，从两个不同的角度描述我国2015—2023年博士生招生变化情况． 7．小李开车到公司上班有A，B两条路线可选择，路线A经城市高架，路线B经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线A，接着连续10个工作日选择路线B，记录用时（单位：min）数据如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线A用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 （1）路线A连续10天用时的中位数是 min，路线B连续10天用时的众数 是 min； （2）求路线A连续10天用时的平均数和方差； （3）经计算，路线B连续10天用时的平均数是15.6 min，方差是18.04 min2．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 8．今年的3月21日是首个“世界冰川日”，中国科学院在当天发布了我国第三次冰川编目数据集（前两次分别于2002年和2014年发布）．图（1）（2）分别是我国三次冰川编目数据集中冰川条数和面积的折线统计图． （第20题） 2002年 2014年 2025年 冰川条数折线统计图 4 5 6 7 4.8 4.6 6.9 条数／万 年份 0 2002年 2014年 2025年 冰川面积折线统计图 3 4 5 6 5.9 4.6 5.2 面积／万平方千米 年份 0 （1） （2） （1）根据第三次冰川编目数据，我国每条冰川的平均面积是多少平方千米？（结果保留1位小数） （2）从图（2）中可以看出，我国冰川进入 （填“扩张”或“退缩”）阶段． （3）冰川对地球的生态系统非常重要，请尝试提出保护冰川的一条建议． 9．《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题．7.32 6.50 1.29 1.30 1.31 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 4.88 4.80 6.19 8.67 8.13 8.44 5.86 5.42 26.9% 35.4% 46.8% 57.3% 63.6% 68.3% 70.9% 74.6% 77.1% 79.3% 《哪吒2》单日票房（亿元） 单日票房占单日总票房的比重（%） 1月29日至2月7日《哪吒2》单日票房及单日票房占比统计图 （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为 亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是 ．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 专项七：事件的概率 1．甲口袋中有2个红球、1个白球，乙口袋中有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球，设摸出的2个球都是红球的概率为P． （1）求P的值； （2）在乙口袋中再放入a个红球，若P的值为，则a的值为　 ． 2．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． （1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； （2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 3． 某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． （1）若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是 ； （2）若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 4．做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． （1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率．A B C M 甲 乙 丙 丁 · （2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 5．A、B、C三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务．A、B、C分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同． （1）A随机选择搬运的概率是 ； （2）求A选择搬运，B选择组装，C选择测试的概率． 专项八：代数推理 1. 证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数． 2．代数式A＝mx＋2，代数式B＝2m＋1． （1）当m＝3时，若A＜B，则x的取值范围是 ； （2）若m＜0，x＜2，判断代数式A与B的大小，并说明理由； （3）将“A与B的差”记为C，即C＝A－B．当－3≤x≤3时，要使C的值满足－3≤C≤3，直接写出m的取值范围． 专项九：压轴题 1．立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿OA，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． ① A O 12:20 东 北 14:00 直竿 竿影顶端 11:00 北 O 冬至日（约12月21日） 秋分日（约9月22日） 春分日（约3月21日） 夏至日（约6月22日）日） ② a b c d e （1）某一天甲同学在操场上观测到3处影端标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在　▲ 季节．（填“春夏”或“秋冬”） （2）4月20日，乙同学从10:00到14:00每隔10 min标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． （3）如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿OA的影端轨迹为正东西向的直线l”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿BC紧挨着竿底O且OB指向北偏西45°方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知O到直线l的距离为15 cm，斜坡坡角为30°，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为58°，此时影端落在斜坡上的N处，求N到地平面的距离（精确到0.1 cm）． （参考数据：tan58°≈1.60，≈2.45.）东 北 B C l O(A) ④ A O 东 北 B C ③ l 2．乘风破浪，最近遥望 （1）在两条平行的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图①所示．当两船所在直线与航线的夹角α为30°时，两船之间的距离AB＝10 km，求航行过程中两船的最近距离． A B 1 α （2）在两条笔直的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图②所示．当两船的距离最近时，求作两船的位置．（尺规作图，保留痕迹，并说明理由） A B ② 3．如何设置挡板？ 如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与y＝－x2相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计） A O P l ① P A O l ② 【初步体验】 （1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ ． 【数学思考】 （2）如图③，若OP＝2，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值． A O P l ③ 【问题解决】 （3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中： (Ⅰ) 直接写出α最小时的tanα的值； (Ⅱ) 直接写出挡板OP的长的最小值． A O l B ④ 4． 身高1.6 m的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯MN，其光源N到地面的距离为4.8 m． （1）如图（1），步道为直线型（记为直线PQ）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线NB与地面的夹角（∠MBN）以及影子和步道的夹角（∠BAP）均为30°，则影子顶端（点B）到步道的距离（BC）为 ▲ m； （1） A B Q C M N P ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． （2）如图（2），步道为圆型（记为⊙O），其半径为4 m．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长．（2） M N O D 5． 光的折射．物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射. 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即n＝． α β 法线 入射光线 折射光线 真空 介质 ① 【概念理解】 （1）如图①，若入射角α的度数为60°，折射率n＝，求折射角β的度数． （2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率n＝2，PA是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线AQ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）A P 真空 介质 ② 法线 l 【深入思考】 （3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率n＝，直线l上有一个位置固定的遮光板AB，且M是AB的中点；在直线l下方有一个圆形区域⊙O，且⊙O与AB相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板AB的遮挡，使得折射光线不能进入⊙O的内部．已知⊙O的半径为，AB＝2．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射） ①点光源P到直线l的距离的最大值是； ②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而．（填“变大”或“变小”）真空 B A l O 介质 ③ M 中考二轮复习专项训练 参考答案 专项一：数与式 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C B A C B C 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 A D C B A D C 15． 3 ， ；16． x≠5 ；17．4 ；18．x≥3；19．4；20．x≥2；21．m(m－1)2；22．； 23．；24． ；25．2；26．＜ ；27．1.31×105 ；28．x≥ ；29．2ab(a＋2b)(a－2b)； 30.解：÷ ＝· ＝·． ＝· ＝x－4． 31.解： ÷ ＝· ＝． 32. 解：原式＝× ＝× ＝ 将a＝－2代入得，＝＝ 33. 解：原式＝· ＝· ＝· ＝． 34. 解：原式＝(－)· ＝· ＝a－2 当a＝＋2时，原式＝＋2－2＝． 专项二：方程与不等式 题号 1 2 3 答案 C C A 4．x＝2 ；5．41 ；6．3，6；7．x＝－4 ；8．x＝－1 ；9．－ ；10．x＝ ； 11.解： 解不等式①得，x＜－1， 解不等式②得，x≤3， ∴ 该不等式组的解集为x＜－1， ∴ 该不等式组的最大整数解为－2． 12.解：（1）x2－8x－9＝0 (x－9)(x＋1)＝0 即x－9＝0或x＋1＝0 ∴ x1＝9，x2＝－1． （2）y＝81． 13．解：解不等式①，得x＜2． 解不等式②，得x≥－2． ∴原不等式组的解集为－2≤x＜2． 14．解法一：原方程可变形为(2x＋1)2＝1． 因为(2x＋1)是1的平方根， 所以2x＋1＝±1． 即x1＝0，x2＝－1． 解法二：原方程可变形为4x2＋4x＋1－1＝0． x2＋x＝0． x(x＋1)＝0． x＝0或x＋1＝0． 所以x1＝0，x2＝－1． 15．解：由①得：x≥1， 由②得：x＜2， ∴该不等式组的解集为1≤x＜2． 16.解：设原计划每天种树x棵． 根据题意，得＝＋4． 解这个方程，得x＝80． 经检验，x＝80是原分式方程的解． 答：原计划每天种树80棵． 17．解：设每辆小型冷链车的运货量为x吨，则每辆大型冷链车1.5x吨． 根据题意，列方程得－＝4． 解得x＝10 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意． 1.5x＝1.5×10＝15． 答：每辆小型冷链车的运货量为10吨，每辆大型冷链车15吨． 专项三：函数 题号 1 2 3 答案 D A D 4． ；5．－6 ；6．5 ；7．＞ ；8．50 ；9．16 ；10．＝； 11. （1）方法1： ∵ y＝x2－2mx＋m2＋m＋1， ∴ y＝(x－m)2＋m＋1． ∴ 顶点坐标为（m，m＋1）． 方法2： ∵ －＝－＝m，＝m＋1， ∴ 顶点坐标为（m，m＋1）． （2）方法1：当y＝0时，x2－2mx＋m2＋m＋1＝0． b2－4ac＝(－2m)2－4(m2＋m＋1)＝－4m－4． ∵ m＜－1， ∴ －4m－4＞0． ∴ 该方程有两个不相等的实数根． ∴ 图象C与x轴有两个交点． 方法2： ∵ m＜－1，即m＋1＜0， ∴ 顶点C在x轴下方． ∵ a＝1＞0， ∴ 图象开口向上． 结合图象得：图象C与x轴有两个交点． （3）－2≤m≤－1或m＝或6－＜m≤6＋． 12. 解：（1）方法一：令y＝0，ax2－a2x＝ax(x－a)＝0． ∴ x1＝0，x2＝a． ∵ a≠0，∴x1≠x2． ∴ 方程有两个不同的实数根． ∴ 该函数的图象与x轴总有两个公共点． 方法二：令y＝0，ax2－a2x＝0． ∵ a≠0，∴ ∆＝a4＞0． ∴ 方程有两个不同的实数根． ∴ 该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）． （3）－2＜a＜0或a＞． 13.解：（1）水流时间3 min时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9 cm． （2）设线段AB的函数表达式为h＝kx＋b(0≤x≤3)． 由图象可知A（0，27），B（3，9），代入h＝kx＋b中得： ． 解得：． ∴ h＝－6x＋27(0≤x≤3)． （3）6.5 min 14．解：（1）根据题意，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b． 由x＝1，y＝230，得230＝k＋b． 由x＝2，y＝260，得260＝2k＋b． 解方程组得 所以y＝30x＋200． （2）当y＝800时，30x＋200＝800． 解这个方程，得x＝20． 所以当总花费为800元时，圆圆游泳的次数是20． 15．解：（1）将（6，5）代入y＝(x－1)(x－m)，得5＝(6－1)(6－m)． 解得m＝5． （2）y＝(x－1)(x－m)＝(x－1)(x－5)＝(x－3)2－4． 因为a＝1＞0， 所以当x＝3时，y取最小值，最小值等于－4． 当x＝6时，y＝5． 所以当2≤x≤6时，y的取值范围是－4≤y≤5． （3）3． 16．（1）100；1500． 1. 解：第62分钟时，油量为：18000＋1500×2＝21000，则点A的坐标为（62，21000）． 第120分钟时，油量为21000－58×100＝15200，则点B的坐标为（120，15200）． 设直线AB的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0）. 将A（62，21000），B（120，15200）代入，得： 解得： ∴线段AB的函数表达式为：y＝－100x＋27200（62≤x≤120）； 点A的实际意义是：当巡逻机飞行时间为62分钟时，完成第一次空中加油，此时巡逻机油箱中油量为21000L． （另解：由（1）得，v耗油＝100L/min，∴k＝－100，设直线AB的函数表达式为： y＝－100x＋b， 将A（62，21000）代入，得：－100×62＋b＝21000，解得b＝27200．） （3）144． 17．（1）1． （2）证明：设顶点C的坐标为(m，n)，则函数的表达式为y＝a(x－m)2＋n（a＞0）． ∵点C到直线AB的距离为h，AB＝2h， 不妨设点A在点B的左侧，则点B的坐标为(m＋h，n＋h)． 将点B(m＋h，n＋h)代入函数表达式，得：n＋h＝a(m＋h－m)2＋n． ∴a＝． 当2≤h≤4时，a随着h的值增大而减小， ∴≤a≤． 另解 平移函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图像，使其顶点与原点O重合， 则新函数的表达式为y＝ax2（a＞0），顶点C的对应点是原点O． 设点A的对应点是A′，点B的对应点是B′， 则A′B′＝AB＝2h，点O到直线A′B′的距离为h． 不妨设点A在点B的左侧，则点B′的坐标为(h，h)． 将点B′(h，h)代入函数表达式y＝ax2，得h＝ah2．∴a＝．（以下同上） （3）． 18. 解：作CE⊥AB，DF⊥AB． 在Rt△AEC中，tanA＝，D C A B 53.1° 45° E F ∵ ∠A＝53.1°，tan53.1°≈. ∴ ＝， 设EC＝4x，AE＝3x， ∴ AC＝5x， 在Rt△BEC中，∠ABC＝45°， ∴ BE＝EC＝4x， ∵ AB＝AB＋BE＝3x＋4x＝350， ∴ x＝50， ∴ AC＝5x＝250． 在Rt△AFD中，tan∠FBD＝， ∵ ∠FBD＝53.1°，tan53.1°≈. ∴ ＝． 设DF＝4y，AF＝3y，易得AD＝5y． 在Rt△BFD中，tan∠BFD＝， ∵ ∠BFD＝63.4°，tan63.4°≈2. ∴ ＝2． ∵ DF＝4y， ∴ BF＝2y． ∴ AB＝AF＋BF＝3y＋2y＝5y， ∴ 5y＝350， ∴ y＝70． ∴ AD＝5y＝350． ∴ CD＝AD－AC＝350－250＝100 m． 19．解：（1）过点D分别作DM⊥AC交AC于M，作DN⊥BC交BC于N． ∴ ∠DNC＝∠DMC＝90°．M E B D α β 16m A C N 又∵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． ∴ 四边形DNCM为矩形． ∴ MC＝DN，DM＝NC． 在Rt△ADM中，sin 36.87°＝． ∴ AM＝AD·sin 36.87°＝AD． 在Rt△DEN中，sin 22.62°＝． ∴ DN＝DE·sin 22.62°＝DE． 又∵ AD＋DE＝36m，AC＝AM＋MC＝AM＋DN＝16 m，(36－DE)＋DE＝16 m． ∴ DE＝26 m． （2）由（1）可知DE＝26 m，AD＝36－26＝10 m． ∴ AM＝AD＝6 m，DN＝DE＝10 m． 在Rt△ADM中，DM＝＝8 m． 同理，NE＝24 m． 由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等． ∴ BC·AC＝DM·AM＋NE·DN＋DN·DM， ∴ ×16·BC＝×8×6＋×24×10＋8×10， ∴ BC＝28 m． ∴ BE＝24＋8－28＝4 m． 20．解：延长BA，交PD于点E，由题意得BE⊥PC．设PE为xm． ∵在Rt△APE中，tan45°＝， ∴AE＝＝x． ∵在Rt△BPE中，tan37°＝，sin37°＝， ∴BE＝＝x，PB＝＝x． ∵AB＝BE－AE，即x－x＝1． ∴x＝3． 在Rt△APE中，PA＝PE＝×3≈4.23 在Rt△BPE中，PB＝PE＝×3＝5 ∵绳子总长不变． ∴CD＝PB－PA＝5－4.23≈0.77 ∴PD＝PE＋DE＝PE＋(AM－CD)＝3＋(1.6－0.77)≈3.8 答：PD的长为3.8 m．② P A B M N D C 37° 45° ① E 21．解：（1）10(x＋)＝40x．3分 （2）设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D，按照如图的方式构造相应辅助线． 由题意得∠E＝∠AFD＝∠BGC＝90°，∠C＝53°， ∠ADF＝23.5°．A B 53° 23.5° 53° C D E F G 在Rt△AEB中，∠ABE＝53°， ∵ sin53°＝， ∴ AE＝AB·sin53°＝20×0.80＝16 km． 在Rt△BCG中，∠BCG＝53°， ∵ sin53°＝， ∴ BG＝40x·0.80＝32x． 在Rt△AFD中，∠ADF＝23.5°， ∵ sin23.5°＝， ∴ AF＝AD·sin23.5°＝10(x＋)×0.40＝4x＋1． ∵ EF＝BG，AF＋EF＝AE，∴ 4x＋1＋32x＝16． 解得x＝． 22．解：过B作BF⊥AE，垂足为F，A B C E D 33.7° 4.2° 5.7° F G 过D作DG⊥BF，垂足为G. 设BF＝x． ∵AC∥BF，∴∠ABF＝∠CAB＝5.7°． 在Rt△ABF中，∠ABF＝5.7°， ∴tan5.7°＝． 即AF＝xtan5.7°＝． ∵DG∥AE，∴∠DAE＝∠ADG＝4.2°． 在Rt△AED中，∠DAE＝4.2°， ∴tan4.2°＝． 即AE＝＝21.6． ∴EF＝AE－AF＝21.6－． ∵∠DGF＝∠GFE＝∠E＝90°，∴四边形GFED是矩形． ∴FG＝DE＝1.6．∴BG＝BF－FG＝x－1.6． 在Rt△BGD中，∠BDG＝33.7°， ∴tan33.7°＝． 即DG＝(x－1.6)． ∵AE＝EF＋AF，∴(x－1.6)＋＝21.6． ∴BF＝15． 答：塔顶B到地面AE的距离为15m． 专项四：图形的性质 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B D B C 7．45 ; 8．2 ；9．3＜AC＜6 ；10． 128π ；11．π ；12．130 ；13．2 ；14．67.5 ；15．n－m＝2π ；16．2 ；17．105 ；18． ；19．15 ； 20. （1）证明：∵ EF⊥BC，OG⊥BC， ∴ ∠EFG＝90°，∠OGF＝90°． ∵ 四边形ABCD为菱形， ∴ OA＝OC． 又 E为AB中点， ∴ OE为△ABC的中位线． ∴ OE∥BC． ∴ ∠FEO＝180°－∠EFG＝90°． ∵ ∠EFG＝∠OGF＝∠FEO＝90°， ∴ 四边形OEFG为矩形． （2）解：∵ 四边形ABCD为菱形， ∴ AB＝BC，AC⊥BD，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4． 在Rt△ABO中，AB＝＝5． ∴ BC＝AB＝5． ∵ AC⊥BD，E为AB中点， ∴ OE＝AB＝． 在Rt△ABO中，BO·CO＝BC·OG， ∴ OG＝． ∴ S矩形OEFG＝OE·OG＝6． 21．解：（1）四边形AECF是菱形，理由如下：（第21题） A B C E D F （第21题） A B C E D F O 连接AC交EF于点O． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC．（第21题） A B C E D F ∵ BE＝DF， ∴ BE＋OB＝DF＋OD，即OE＝OF． ∵ OA＝OC，OE＝OF， ∴ 四边形AECF是平行四边形． 又 AC⊥BD， ∴ 四边形AECF是菱形． （2） 22．（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC． ∵CA平分∠BCD． ∴∠DCA＝∠BCA． ∴∠BCA＝∠BAC． ∴BC＝AB． 又BC＝CD， ∴AB＝CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． 又BC＝CD， ∴□ABCD是菱形． （2）． 23．证法一：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°．A B C D O 又∵ AB＝BA， ∴ △DAB≌△CBA． ∴ AC＝BD． 证法二：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB＝90°，OD＝OB，OA＝AC． ∴ OA＝BD． 又∵ OA＝AC， ∴ AC＝BD． 24．（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC．A B C D E 即∠BAE＝∠CAD． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB． ∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD． ∴∠B＝∠ACD． 在△ABE和△ACD中， ∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，∠B＝∠ACD， ∴△ABE≌△ACD． 25.（1）证明：∵ AB＝AC， ∴ ∠ABC＝∠C． ∵ BA平分∠FBC， ∴ ∠ABF＝∠ABC． 又 ∠C＝∠D， ∴ ∠ABF＝∠D． ∵ BD是⊙O的直径， ∴ ∠BAD＝90°． ∴ ∠D＋∠ABD＝90°． ∴ ∠ABF＋∠ABD＝90°． ∴ ∠FBD＝90°． ∴ BD⊥BF． 又 点B在⊙O上， ∴ BF是⊙O的切线． （2）解：∵ ∠ABC＝∠D， 又 ∠BAE＝∠DAB， ∴ △ABE∽△ADB， ∴ ＝． ∵ AE＝4，ED＝5， ∴ AD＝9． ∴ AB＝6． 26．解：（1）连接BE． ∵ 点E是△ABC的内心， ∴ ∠ABE＝∠EBC，∠BAD＝∠CAD． ∵ ＝，∴∠DBC＝∠CAD． ∴ ∠DBC＝∠BAD． ∵ ∠DBE＝∠DBC＋∠EBC，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE， ∴ ∠DBE＝∠DEB． ∴ BD＝DE． （2）∵ ∠DBC＝∠BAD,∠ADB＝∠BDF，∴ △ABD∽△BFD．（第26题） A B C E D F ∴ ＝．∴ AD·DF＝BD2＝36． ∵ ∠BAD＝∠CAD，∠ACF＝∠ADB， ∴ △ACF∽△ADB． ∴ ＝．∴ ＝．∴ AD·AF＝45． ∴ AD2＝AD·(AF＋DF)＝AD·AF＋AD·DF＝81． ∴ AD＝9． ∴ AF＝5，DF＝4． 又 DE＝BD＝6， ∴ EF＝DE－DF＝2． 27．（1）证明：连接OA，交BC于点H． ∵AD是⊙O的切线，， ∴∠OAD＝90°． ∵AD∥BC， ∴∠OHB＝∠OAD＝90°，即OH⊥BC． ∵在⊙O中，OH⊥BC， ∴BH＝CH． ∴OA是BC的垂直平分线． ∴AB＝AC． （2）AF＝AC；A B C O D E F G H ∵AB＝AC， ∴＝． ∴∠BEA＝∠CEA＝∠BCA＝∠CBA． 又CF平分∠BCE， ∴ ∠BCF＝∠ECF． ∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝∠CEA＋∠ECF＝∠AFC ∴AF＝AC． ∵＝， 设GF＝a，AG＝2a，则AC＝3a． ∵∠BCA＝∠CEA，∠CAE＝∠CAE， ∴△AGC∽△ACE. ∴＝，即＝ ∴AE＝a ∴EF＝AE－AF＝a－3a＝a． ∴＝＝． （3）2 28．（1）证法一：如图（1），连接OB，OD，BD． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD＝CB＝CD，∠A＝∠C＝60°． ∴ △CDB是等边三角形． ∴ ∠CDB＝60°． ∵ ∠DAB＝60°， ∴ ∠DOB＝120°． ∵ OB＝OD， ∴ ∠ODB＝(180°－120°)÷2＝30°． ∴ ∠CDO＝∠CDB＋∠ODB＝60°＋30°＝90°，即OD⊥CD． ∵ 点D在⊙O上，∴ CD与⊙O相切． 同理CB与⊙O相切． 证法二：如图（1），连接DO并延长，交AB于点M，连接OA，OB．（1） A B C D O M ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD，DC∥AB． 又∵ ∠DAB＝60°， ∴ △ADB是等边三角形． ∴ DA＝DB． 又∵ OA＝OB， ∴ DO垂直平分AB． ∴ ∠DMA＝90°． ∵ DC∥AB， ∴ ∠ODC＝∠DMA＝90°，即OD⊥CD． ∵ 点D在⊙O上，∴ CD与⊙O相切． 同理CB与⊙O相切． （2）①A． ②解：如图（2），连接DE，OA，OE，连接DO并延长，交AE于点N．设⊙O的半径为r． ∵ 四边形ABCD是菱形，A B C D O E （2） N ∴ BC∥AD，AB＝AD． ∴ ∠AEB＝∠DAE．∴ ＝． ∴ ED＝AB．∴ AD＝ED＝3． 又∵ OA＝OE， ∴ DO垂直平分AE． ∴ ∠DNE＝90°，AN＝EN＝AE＝×4＝2． 在Rt△DNE中，∠DNE＝90°， ∴ EN2＋DN2＝DE2．∴ 22＋DN2＝32． 解得DN＝．8分 在Rt△ONE中，∠ONE＝90°， ∴ ON2＋EN2＝OE2．∴ (－r)2＋22＝r2．9分 解得r＝． 29．（1）证明：连接AO并延长交BC于点E，连接OC．B C A O D E ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AO垂直平分BC． ∴∠AEB＝90°． ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD＝90°． ∴OA⊥AD． 又AD经过半径OA外端， ∴AD是⊙O的切线． B C A O D M N （2）∵AM垂直平分BC，∴＝． ∴∠BAM＝∠CBN． ∵OA＝OB，∴∠BAM＝∠ABO． ∴∠CBN＝∠ABO． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB． 又∵∠ACB＝∠N＋∠CBN，∠ABC＝∠DBC＋∠ABO， ∴∠N＝∠DBC． ∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC． ∴∠D＝∠N． （3）． 专项五：图形的变化 题号 1 2 3 答案 D A B 4．π ；5．64° ；6．2 ；7． ；8．135； 9．（1）证明：∵△EFD和△ABC关于点O成中心对称，A B E F D C O ∴△EFD≌△ABC． ∴EF＝AB，∠FED＝∠BAC， ∴EF∥AB． ∴四边形ABEF是平行四边形． （2）解：连接BF． ∵△EFD和△ABC关于点O成中心对称， ∴B，O，F三点共线，OB＝OF，OC＝OD． ∴四边形BCFD是平行四边形． ∵∠BAC＝∠DBC， ∴∠BAC＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD 即∠BDC＝∠ABC． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∴∠BDC＝∠ACB． ∴BD＝BC． ∴四边形BCFD是菱形． ∴ BF⊥CD． 又四边形ABEF是平行四边形； ∴□ABEF是菱形． 10．（1） m A B C 解：如图（1）或图（2）中的△ABC即为所求． （2） A B C 11．（1）如图①，△ABC即为所求． 说明：作线段BC＝a，作BC的垂直平分线l，以BC的中点O为圆心，b为半径画弧交l于点A，连线得到△ABC． （2）如图②，△ABC即为所求． 说明：作线段AD＝b，以AD为直径作⊙O；作线段a的中垂线，以为半径，以D为圆心画圆,交⊙O于点E,F，过D作AD的垂线交射线AE，AF于点B, C，连线得到△ABC． 1 ② A B C l A D E B C O F O a 12．（1）方法1思路：如图①，作∠PBO＝60°，直线l即为所求． O P O′ B A l ① O P A P′ A′ B′ B l ② O P Q x A B ③ 方法2思路：如图②，由于OP、OB和∠PBO＝60°都是确定的，构出PB的长，即可得到直线l． 方法3思路：量化，设过点P的切线长PQ为m，PA＝x，则PB＝x＋r，由△QPA∽△BPQ可得：m2＝x(x＋r)，解得：x＝，构图如图③: 其他量化或构图方法给分原则同上． B O P l A Q ① O P C A B l ② C O P B A l ③ （2）方法1思路：如图①，设Q为AB中点，分析知PQ＝r，∠PQO＝90°，直线l即为所求． 方法2思路：如图②，作⊙O的切线PC，过点P作l⊥PC，得到直线l，原理同上． 方法3思路：如图③，利用同心圆的对称性构图，截BC等于直径即可得到点C，PC即为直线l． ④ O P Q x A B 方法4思路：量化，设过点P的切线长PQ为m，PA＝x，则PB＝2r－x，由△QPA∽△BPQ可得：m2＝x(2r－x)，解得：x＝r－，构图如图④: 其他量化或构图方法给分原则同上． 专项六：抽样与数据分析 1.C ；2. 90 ；3.＞ ；4. 4，3.5 ； 5．（1）①③； （2）如图所示； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 日期 25 20 15 10 5 0 日温差（℃） 14 10 12 9 25 5 3 5 8 9 （3）3月3日的最高温度的降幅最大． 理由： 3日最高温度降幅为31－9＝22℃；27日最高温度降幅为34－23＝11℃； 28日最高温度降幅为23－14＝9℃；12日最高温度降幅为21－16＝5℃； 4日、13日、15日的最高温度降幅均为3℃． 所以3月3日最高温度降幅最大． 6．解：（1）①②④ （2）本题说法不唯一，下列说法供参考．从年增长率看，2015~2018年我国博士生招生增长率逐年增加，2019年以后的招生增长率在10%附近波动，趋于稳定；从增长的人数看，我国2015~2023年博士生招生人数逐年增加． 7．解：（1）18；11； （2）A＝×(15＋16＋20＋18＋18＋19＋18＋20＋17＋19)＝18， S2A＝×[(15－18)2＋(16－18)2＋(20－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(19－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(17－18)2＋(19－18)2]＝2.4； （3）建议选路线B．理由如下： 从平均数的角度看，路线B的平均数小于路线A的平均数；从中位数的角度看，路线B的中位数为15，小于路线A的中位数；从众数的角度看，路线A的众数是18，路线B的众数小于路线A的众数．故选择路线B更节省时间．（答案不唯一，建议合理皆给分） 8．解：（1）4.6÷6.9≈0.7（平方千米／条）． （2）退缩． （3）本题答案不唯一，比如：推广清洁能源，减少碳排放，或者通过植树造林，提升生态固碳能力，缓解温室效应等． 9．（1）6.345； （2）1.31； （3）①②． 专项七：事件的概率 1．（1）记甲口袋中球分别为红1，红2，白1，乙口袋中球分别为红3，白2， 分别从每个口袋中随机摸出1个球所有等可能得结果如下：（红1，红3），（红1，白2），（红2，红3），（红2，白2），（白1，红3），（白1，白2），共有6种等可能的结果， 其中摸出的2个球都是红球包含其中2个结果，所以P＝． （2）2． 2．解：（1）． （2）从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：（3，3），（3，4），（3，5），（4，3），（4，4），（4，5），（5，3），（5，4），（5，5），（6，3），（6，4），（6，5），共有 12种，它们出现的可能性相同．所有结果中，满足两张牌数字相同（记为事件M）的结果有3种，即（3，3），（4，4），（5，5），所以P（M）＝＝． 3．解：（1）； （2）所有可能出现的结果有：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）共6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好选中甲、乙两款”（记为事件M）的结果有1种，所以P(M)＝． 4．解：（1）将第一层的两个管道分别记为P，Q，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种，即（P，A），（P，B），（Q，B），（Q，C），它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道B（记为事件N）的结果有2种，分别是（P，B），（Q，B）．所以P（N）＝． （2）③④． 5．（1）； （2）分别将搬运、组装、测试标记为“1”“2”“3”，则根据题意列出所有可能出现的结果有：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“A选择搬运，B选择组装，C选择测试”（记为事件M）的结果只有1种，即（1，2，3）． 所以P(M)＝． 专项八：代数推理 1．证明：设两个连续的奇数为2n－1和2n＋1（n是整数）， 则它们的平方的差为 (2n＋1)2－(2n－1)2 ＝(4n2＋4n＋1)－(4n2－4n＋1) ＝8n． 因为n是整数，所以8n是8的倍数，所以两个连续奇数的平方差是8的倍数． 2．（1）x＜； （2）方法1： A－B＝(mx＋2)－(2m＋1)＝mx＋2－2m－1＝m(x－2)＋1 ∵m＜0，x＜2 ∴m(x－2)＞0 ∴A－B＝m(x－2)＋1＞0，即A＞B． 方法2： A－B＝(mx＋2)－(2m＋1)＝mx＋2－2m－1＝m(x－2)＋1 令y＝m(x－2)＋1，函数图像为过定点（2，1）的一条直线 ∵m＜0， ∴函数图像y随x的增大而减小，如图． ∴结合函数图像得：当x＜2时，y＞0 即A－B＝m(x－2)＋1＞0，即A＞B．(2，1) x y 1. －≤m≤． 专项九：压轴题 1．（1）秋冬； （2）① d； ② 选择离12点时间一样长的两个时刻对应的标记点即可，如11:00和13:00． 因为双曲线是轴对称图形，所以成轴对称的两个点确定的直线是正东西方向． （3）① 如图，线段BD即为落在坡面上的影端轨迹． 东 北 B C l O(A) D ④ ② 解：在俯视图中取等腰直角三角形OEF，位置如图1所示．设E，F是位于地平面上，它们正上方位于坡顶的位置分别为E′，F′，位置如图2所示，则∠EOE′＝30°． O E F′ F 北 东 E′ α 东 北 O(A) E F 图1 图2 图3 A O N 58° P M 北 α 如图2，设EE′＝FF′＝m，则在Rt△OEE′中，OE＝＝m．在Rt△OEF中，OF＝＝m．在Rt△OFF′中，设∠FOF′为α，则tanα＝． 如图3，在OEF平面内，设正午太阳光线AP本来照射在直线l上的点P，则∠APO＝58°，过N作NM⊥OP．设MP＝5x，则在Rt△NMP中，MN＝MP·tan58°＝8x；在Rt△OMN中，OM＝＝8x．由于OP＝15，则8x＋5x＝15，解得x≈0.61．MN＝8×0.61＝4.88≈4.9 cm． 2．解：（1）过点B作BC⊥a，垂足为C． 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠α＝30°， ∴ BC＝AB＝×10＝5（km） 则航行过程中两船的最近距离为5 km． （2）如图①，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以OA，OB为半径画弧，交两 直线与点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置． A B C D M N O 2 理由如下： 如图②，设两船航行到E，F处，则AE＝BF． 由作图可知：AN＝BM， ∴ EN＝FM． 过点M作MH∥EN，MH＝EN，则MH＝MF． 连接EH，则四边形MNEH是平行四边形， ∴ EH＝MN． ∵ OM＝ON，所以∠OMN＝∠ONM． ∵ ∠OMN＝∠FMG，∠HMG＝∠ONM，所以∠FMG＝∠HMG． ∴ NM⊥FH， ∴ ∠EHG＝∠NGF＝90°． ∴ EH⊥FH．所以EF≥EH． ∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近． A B M N O E F H G ② 3． （1）2； （2）以O为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意可知点P（－2，2），A（－3，0） 设二次函数的关系式为y＝－(x＋3)(x－n)． ①当抛物线恰过挡板端点P，此时落在l上的B处，代入P（－2，2）得 2＝－(－2＋3)(－2－n)，解得n＝2； ∴B点坐标为（2，0） ②当抛物线恰好与挡板OP相切，此时落在l上的C处， 设直线OP的关系式y＝kx，代入P（－2，2）解得k＝－1， ∴直线OP的关系式y＝－x，由“相切”知两个函数只有一个公共点， 即－(x＋3)(x－n)＝－x只有一个解． 化简得：x2＋(1－n)x－3n＝0， ∴ (1－n)2＋12 n＝0，解得n 1＝2－5，n 2＝－2－5 (舍去)． ∴C点坐标为（2－5，0）A O P l x B y C 综上：BC＝2－(2－5)＝7－2，即m的值为7－2． （3）(Ⅰ) (Ⅱ)2 4．解：（1）①． ②理由如下： 方法一： 如图（1），作MD⊥PQ，垂足为D，设小明头顶为E． 由题意得AE∥MN，A B Q C M N P D E （1） ∴ △BAE∽△BMN． ∴ ＝＝＝． ∴ ＝． ∵ MD⊥PQ，BC⊥PQ， ∴ ∠BCA＝∠MDA＝90°． 又∵ ∠BAC＝∠MAD， ∴ △BAC∽△MAD． ∴ ＝＝．∴ BC＝MD． ∵ MD是定值，∴ BC是定值． 即影子顶端到步道的距离不变． 方法二： 如图（2），设小明头顶为E，当他走到PQ上任意位置（记为点D）时，他的头顶为G，影子为DF，连接BF，作FH⊥PQ，垂足为H．A B Q C M N P D E （2） F G H 由题意得AE∥MN∥GD，BC∥FH． ∴ △BAE∽△BMN． ∴ ＝． 同理，＝． 又∵ AE＝DG， ∴ ＝． ∴ ＝． 又∵ ∠AMD＝∠BMF， ∴ △AMD∽△BMF． ∴ ∠MAD＝∠MBF． ∴ AD∥BF． 又∵ BC∥FH， ∴ 四边形BCHF是平行四边形． ∴ HF＝BC． ∴ HF是定值． 即影子顶端到步道的距离不变． （2）12 m． 5．（1）解：∵α＝60°，n＝＝， ∴＝． ∴sin β＝÷＝． ∴β＝30°． （2）A P 真空 介质 法线 l Q M N 作法一 图形 1． 作PM⊥法线，垂足为M； 2．以A为圆心，AP为半径作弧，交PM的垂直平分线于点N； 3．作直线AN，则射线AQ即为所求． 作法二 图形 1．作PM⊥法线，垂足为M；A P 真空 介质 法线 l Q M N K m 2．作PM的垂直平分线，垂足为N； 3．在直线l上截AK＝PN； 4．过点K作l的垂线m； 5. 以A为圆心，AP为半径作弧，交直线m于点Q，则射线AQ即为所求 （3）①；②变小． 增长率 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 0.0248 0.039 0.0854 0.1383 0.1016 0.1027 0.0845 0.1049 0.1029 学科网（北京）股份有限公司 $$