期末压轴题考点必刷练02（28个考点压轴练 共56题 第10-11章）-2024-2025学年人教版数学七年级下学期高频常考题型考点分类训练

2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】 压轴题考点必刷练（二） （28个考点压轴练 共56题 范围：平面直角坐标系、二元一次方程组，不等式与不等式组） 同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 考点讲练02：二元一次方程组的特殊解法 2 考点讲练03：二元一次方程组的错解复原问题 4 考点讲练04：构造二元一次方程组求解 5 考点讲练05：已知二元一次方程组的解的情况求参数 6 考点讲练06：方程组相同解问题 7 考点讲练07：方案问题（二元一次方程组的应用） 7 考点讲练08：行程问题（二元一次方程组的应用） 8 考点讲练09：工程问题（二元一次方程组的应用） 10 考点讲练10：分配问题（二元一次方程组的应用） 10 考点讲练11：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 12 考点讲练12：几何问题（二元一次方程组的应用） 14 考点讲练13：三元一次方程组的应用 16 考点讲练14：求一元一次不等式的整数解 17 考点讲练15：在数轴上表示不等式的解集 17 考点讲练16：求一元一次不等式解的最值 18 考点讲练17：用一元一次不等式解决实际问题 19 考点讲练18：用一元一次不等式解决几何问题 20 考点讲练19：解型的不等式 21 考点讲练20：解特殊不等式组 23 考点讲练21：求一元一次不等式组的整数解 25 考点讲练22：由一元一次不等式的解集求参数 26 考点讲练23：由不等式解集的情况求参数 26 考点讲练24：不等式组与方程组的结合问题 27 考点讲练25：不等式组的经济问题 28 考点讲练26：不等式组的分配问题 29 考点讲练27：不等式组的方案选择问题 30 考点讲练28：不等式组的阶梯收费问题 31 考点讲练01：已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是 ．（填写符合题意方程的序号） 2．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练02：二元一次方程组的特殊解法 3．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 4．（21-22七年级下·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 考点讲练03：二元一次方程组的错解复原问题 5．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知关于的二元一次方程组． (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解满足等式，求的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值． 6．（24-25八年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 考点讲练04：构造二元一次方程组求解 7．（2025·湖北武汉·三模）在平面直角坐标系中，已知直线与x，y轴分别交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)如图1，若D是的中点，连接交轴于点F，求的长； (3)如图2，点在轴的负半轴上，射线交线段的延长线于点P，直接写出点P的坐标． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接． (1)若，求三角形的面积； (2)如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标； (3)在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标． 考点讲练05：已知二元一次方程组的解的情况求参数 9．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1） （用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为 ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 考点讲练06：方程组相同解问题 11．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 12．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知方程组和有相同的解，求的值． 考点讲练07：方案问题（二元一次方程组的应用） 13．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 14．（20-21七年级下·辽宁抚顺·期末）中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元． （1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？ （2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？ 考点讲练08：行程问题（二元一次方程组的应用） 15． （24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？ 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 考点讲练09：工程问题（二元一次方程组的应用） 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 18．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 考点讲练10：分配问题（二元一次方程组的应用） 19．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 20．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 考点讲练11：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 21．（2025七年级下·河南·专题练习）神舟十九号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动，宋令东成为我国首名进行出舱活动的“90后”航天员．某纪念品专营店准备销售两款神舟飞船模型，如表是相关销售信息． 销售时段 销售数量 销售收入 A款神舟飞船模型 B款神舟飞船模型 第一天 8 7 950元 第二天 9 6 975元 (1)求两款神舟飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小梦计划用500元购进以上两款神舟飞船模型（两款神舟飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 22．（2025·湖北武汉·三模）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 考点讲练12：几何问题（二元一次方程组的应用） 23．（24-25七年级下·山西长治·期中）综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 24．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3) 小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 考点讲练13：三元一次方程组的应用 25．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖．原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？ 问题解答： (1)由题意可设调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分），则原定一、二、三等奖的平均分分别为：______，______，______（分）． (2)根据：“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为______． (3)根据调整前后60名学生的总分是相等的，可以得出一个最简的关系式为______． (4)请你解决本题中的所问问题． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 考点讲练14：求一元一次不等式的整数解 27．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 考点讲练15：在数轴上表示不等式的解集 29．（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组或不等式． (1) (2)，并把解集在数轴上表示出来． 30．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：    第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； 任务二： 请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．    考点讲练16：求一元一次不等式解的最值 31．（20-21八年级下·山东潍坊·期末）某城市的一个区域原来每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求一个型点位每天处理生活垃圾的吨数; （2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 32． （24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 考点讲练17：用一元一次不等式解决实际问题 33．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数最少是多少． 34．（24-25八年级下·四川成都·期中）有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天． (1)用含的代数式表示甲队单独工作天数； (2)如果甲队每天需工程费7000元，乙队每天需工程费5000元，且支付工程队总费用不超过79000元，请列不等式求出的最大值． 考点讲练18：用一元一次不等式解决几何问题 35．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 36．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 考点讲练19：解型的不等式 37．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2） 请求出绝对值不等式的解集． 38．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 考点讲练20：解特殊不等式组 39．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 40．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 考点讲练21：求一元一次不等式组的整数解 41．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？ (4)如果方程组有整数解，求整数的值． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 考点讲练22：由一元一次不等式的解集求参数 43．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）已知不等式组 (1)分别求出当，时不等式组的解集； (2)当满足什么条件时，不等式组的解集是？ 44．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练23：由不等式解集的情况求参数 45．（24-25七年级下·吉林长春·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 46．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 考点讲练24：不等式组与方程组的结合问题 47．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，．求的取值范围． 考点讲练25：不等式组的经济问题 49．（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 50．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 考点讲练26：不等式组的分配问题 51．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 52．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 考点讲练27：不等式组的方案选择问题 53．（2025·湖南娄底·三模）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 54．（24-25九年级下·广东茂名·期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． (1)甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 考点讲练28：不等式组的阶梯收费问题 55．（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 56．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】 压轴题考点必刷练（二） （28个考点压轴练 共56题 范围：平面直角坐标系、二元一次方程组，不等式与不等式组） 同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 考点讲练01：已知二元一次方程组的解的情况求参数 2 考点讲练02：二元一次方程组的特殊解法 4 考点讲练03：二元一次方程组的错解复原问题 7 考点讲练04：构造二元一次方程组求解 11 考点讲练05：已知二元一次方程组的解的情况求参数 16 考点讲练06：方程组相同解问题 18 考点讲练07：方案问题（二元一次方程组的应用） 19 考点讲练08：行程问题（二元一次方程组的应用） 22 考点讲练09：工程问题（二元一次方程组的应用） 24 考点讲练10：分配问题（二元一次方程组的应用） 25 考点讲练11：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 28 考点讲练12：几何问题（二元一次方程组的应用） 31 考点讲练13：三元一次方程组的应用 36 考点讲练14：求一元一次不等式的整数解 38 考点讲练15：在数轴上表示不等式的解集 40 考点讲练16：求一元一次不等式解的最值 42 考点讲练17：用一元一次不等式解决实际问题 43 考点讲练18：用一元一次不等式解决几何问题 45 考点讲练19：解型的不等式 48 考点讲练20：解特殊不等式组 51 考点讲练21：求一元一次不等式组的整数解 54 考点讲练22：由一元一次不等式的解集求参数 57 考点讲练23：由不等式解集的情况求参数 58 考点讲练24：不等式组与方程组的结合问题 61 考点讲练25：不等式组的经济问题 64 考点讲练26：不等式组的分配问题 66 考点讲练27：不等式组的方案选择问题 69 考点讲练28：不等式组的阶梯收费问题 71 考点讲练01：已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是 ．（填写符合题意方程的序号） 【答案】③④/④③ 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【完整解答】解：由题意，将代入方程得：，解得， 所以这个方程组的解为． ①将代入得：，故①不符合题意 ②将代入得：，故②不符合题意； ③将代入得：，故③符合题意； ④将代入得：，故④符合题意； 故答案为：③④． 2．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法及二元一次方程组的解，理解新定义并且利用分类讨论的思想方法是解题的关键．根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【完整解答】解：①若， 当时，得， 解得，不符合题意，舍去； 当时，得， 解得，符合题意， 综上，若，则， 故说法①错误，不符合题意； ②，且， ， ， 解得或， 故说法②正确，符合题意； ③ 可表示为在数轴上表示x的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，可得其最小值为6， 故说法③正确，符合题意； ④的解为 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， a的值为0或4． 故说法④正确，符合题意． 正确的结论有：②③④，一共3个． 故选：C 考点讲练02：二元一次方程组的特殊解法 3．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【完整解答】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 4．（21-22七年级下·福建泉州·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【完整解答】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【考点评析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 考点讲练03：二元一次方程组的错解复原问题 5．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知关于的二元一次方程组． (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解满足等式，求的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，读懂题意，掌握二元一次方程组解法是解决问题的关键． （1）将代入原方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）由加减消元法解二元一次方程组得到、，由方程组的解满足等式，将、代入，得到关于的一元一次方程求解即可得到答案； （3）在（2）的条件下，，根据题意，将代入关于的方程组求解得到，再将代入关于的方程组求解得到，即可得到答案． 【完整解答】（1）解：当时，， 整理得， 由①②得， ； 将代入①得， ； 当时，这个方程组的解为； （2）解：， 整理得， 由①②得， ； 将代入①得， ； ，解得； （3）解：在（2）的条件下，， 是关于的方程组的解， ； 是关于的方程组的解， ， 解得， 综上所述，， ． 6．（24-25八年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)，； (2)，． 【思路引导】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组、求代数式的值． 根据甲、乙二人求出的方程组的解，把甲求出的解代入方程中求出，把乙求出的方程组的解代入方程中，求出的值即可； 由（1）可得原方程组为，解方程组求出正确的、的值，再把求出的正确的解代入代数式中求值即可． 【完整解答】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得原方程组为， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 解得原方程组的正确解为， ． 考点讲练04：构造二元一次方程组求解 7．（2025·湖北武汉·三模）在平面直角坐标系中，已知直线与x，y轴分别交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)如图1，若D是的中点，连接交轴于点F，求的长； (3)如图2，点在轴的负半轴上，射线交线段的延长线于点P，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了坐标与平面，涉及算术平方根，绝对值的非负性，构建二元一次方程组解决问题，与三角形高有关的计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据算术平方根，绝对值和平方的非负性求解即可； （2）连接，可求，则，设，则，，由为中点，得到，，那么，解得：，再由即可求解． （3）连接，设，由和，结合面积公式建立二元一次方程组求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：连接， 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接． (1)若，求三角形的面积； (2)如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标； (3)在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标． 【答案】(1)12 (2)， (3)，点的坐标是或 【思路引导】（1）由非负数的性质得，再求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）根据可求出，结合，可求出，再根据求出点的坐标； （3）连接．由求出，由求出，然后分当时（即点在线段上时）和当时（即点在线段的延长线上时）两种情况求解即可． 【完整解答】（1）由题意可得：解得 又，在第一象限， 所以， 于是：，， ∴． （2）∵点的纵坐标是， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 又， 联立解得： ∴， ， ∴． （3）如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴， 当时（即点在线段上时）， ∵， ∴， 解得：， 所以：的坐标是． 当时（即点在线段的延长线上时）， 同理可求得：的坐标是， 综上所述：点的坐标是或． 【考点评析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，解二元一次方程组，两平行线间的距离，分类讨论是解（3）的关键． 考点讲练05：已知二元一次方程组的解的情况求参数 9．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1） （用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为 ． 【答案】 / 10 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键． （1）两式相加化简即可得出结果； （2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答． 【完整解答】解：（1）， 两式相加得：， ， 故答案为：； （2）， ①②得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 方程组的解也是方程的解， ， ， q为整数，且q不等于0或， 或， p是整数， 时，有最大整数值，则有最大整数值， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)具有友好关系．理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【完整解答】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 考点讲练06：方程组相同解问题 11．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，代入即可求解． 【完整解答】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知方程组和有相同的解，求的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的求解和求代数式的值，准确计算是解题的关键．首先把和组成方程组，解方程组可得、的值，再把、的值分别代入和，求得a和b，然后代入代数式可求出答案． 【完整解答】解：由题意得：， 解得． 将，代入方程得， 将，代入方程得， 那么，，解得， 则． 考点讲练07：方案问题（二元一次方程组的应用） 13．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆 (3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元 【思路引导】（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【完整解答】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5． 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 14．（20-21七年级下·辽宁抚顺·期末）中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元． （1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？ （2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？ 【答案】（1）打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）最多可购买15盒乙品牌粽子． 【思路引导】（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需要520元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设敬老院可购买盒乙品牌粽子．即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设打折前，每盒甲品牌粽子元，每盒乙品牌粽子元， 根据题意，得：， 解得， 答：打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元． （2）设敬老院可购买盒乙品牌粽子． 打折后，甲品牌粽子每盒：（元， 乙品牌粽子每盒：（元， 根据题意，得：， 解得． 的最大整数解为． 答：最多可购买15盒乙品牌粽子． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 考点讲练08：行程问题（二元一次方程组的应用） 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？ 【答案】9千米 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设平路为千米，坡路为千米，根据上山用了时，下山用了55分钟建立方程组求解即可． 【完整解答】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得 解这个方程组，得 则（千米）． 答：从小宇家到西安植物园的路程是9千米． 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 【答案】问题1：r为米，m为米；问题2：为米；问题3： 【思路引导】本题主要考查列代数式的实际应用，解题的关键是根据题干中的素材，理解题意，列出正确的代数式．问题1，根据素材中“设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）”即可解答；问题2，根据图示，列出第2圈周长为，第1圈周长为，即可解答；问题3：根据前面分析，得出第圈周长为， ，当米，即可求出的值． 【完整解答】解：问题1： 根据题意得，，其中取3， 解得：， 答：该校跑道第1圈半径r为米，直道长度m为米． 问题2： 第2圈周长为，第1圈周长为， （米）， 答：第2圈起跑线前移距离为米． 问题3： 第圈周长为，第1圈周长为， ， 若米，， 解得， 则此时的值为． 考点讲练09：工程问题（二元一次方程组的应用） 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【答案】 44.5 42.5 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 18．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【完整解答】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 考点讲练10：分配问题（二元一次方程组的应用） 19．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 20．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【答案】(1)， (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑 (3)方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）根据题意，直接列出代数式即可； （2）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可； （3）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【完整解答】（1）解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩，3台小型采摘设备每小时采摘沃柑亩； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑． （3）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 考点讲练11：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 21．（2025七年级下·河南·专题练习）神舟十九号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动，宋令东成为我国首名进行出舱活动的“90后”航天员．某纪念品专营店准备销售两款神舟飞船模型，如表是相关销售信息． 销售时段 销售数量 销售收入 A款神舟飞船模型 B款神舟飞船模型 第一天 8 7 950元 第二天 9 6 975元 (1)求两款神舟飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小梦计划用500元购进以上两款神舟飞船模型（两款神舟飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】(1)两款神舟飞船模型每件的售价分别为75元，50元 (2)共有3种购买方案，购买款神舟飞船模型2个，款神舟飞船模型7个或购买款神舟飞船模型4个，款神舟飞船模型4个或购买款神舟飞船模型6个，款神舟飞船模型1个 【思路引导】本题考查二元一次方程组、二元一次方程解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程及方程组求解是解决问题的关键． （1）设两款神舟飞船模型每件的售价分别为元，元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设小梦购进款神舟飞船模型个，购进款神舟飞船模型个，由题意列二元一次方程求解即可得到答案． 【完整解答】（1）解：设两款神舟飞船模型每件的售价分别为元，元， 根据题意得， 解得． 答：两款神舟飞船模型每件的售价分别为75元，50元； （2）解：设小梦购进款神舟飞船模型个，购进款神舟飞船模型个， 由题意得， 即， 解得或或， ∴共有3种购买方案，购买款神舟飞船模型2个，款神舟飞船模型7个或购买款神舟飞船模型4个，款神舟飞船模型4个或购买款神舟飞船模型6个，款神舟飞船模型1个． 22．（2025·湖北武汉·三模）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【答案】(1)； (2)500吨 (3)790500元 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值． 【完整解答】（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨•），铁路的运价为1.0元/（吨•），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）． 故答案为：；． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 考点讲练12：几何问题（二元一次方程组的应用） 23．（24-25七年级下·山西长治·期中）综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】任务一：3，5；任务二：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． （1）根据原材料纸板纸板的尺寸和A、B两种型号纸板的尺寸进行解答即可； （2）设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，根据有52张原材料纸板，有盖长方体纸盒有4个侧面，2个底面，列出方程，解方程即可． 【完整解答】解：任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板3张或裁得B型纸板5张； 故答案为：3，5； 任务二：设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板， 根据题意，得：， 解得， 能做纸盒的数量为：， 答：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒． 24．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①②③ (2)①；②立方厘米 (3)厘米或厘米或厘米 【思路引导】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解； （3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可． 【完整解答】（1）解：根据展开图的折叠， ④不能折成一个无盖长方体纸盒， ①②③才能折成一个无盖长方体纸盒， 故答案为：①②③； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【考点评析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． 考点讲练13：三元一次方程组的应用 25．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖．原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人．最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？ 问题解答： (1)由题意可设调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分），则原定一、二、三等奖的平均分分别为：______，______，______（分）． (2)根据：“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为______． (3)根据调整前后60名学生的总分是相等的，可以得出一个最简的关系式为______． (4)请你解决本题中的所问问题． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)调整后一等奖的平均分比二等奖平均分高5分 【思路引导】本题考查代数式表示式，二元一次方程的实际应用，三元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出其等量关系． （1）根据“调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．”分别表示出原定一、二、三等奖的平均分，即可解题； （2）根据“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”列式整理，即可解题； （3）根据调整前后60名学生的总分是相等的，得到进行整理，即可解题； （4）结合（2）、（3）中的方程，建立方程组，整理得到的值，即可解题． 【完整解答】（1）解：调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分．且调整后一、二、三等奖的平均分分别为，，（分）， 原定一等奖平均分为分，二等奖平均分降低分，三等奖平均分， 故答案为：，，． （2）解：根据“已知原定二等奖的平均分比三等奖的平均分高7分”可得出一个关系式为， 整理得， 故答案为：； （3）解：根据调整前后60名学生的总分是相等的， 最后整理得， 故答案为：； （4）解：， 由②①得：， 调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高5分． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 【答案】中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚，根据题意列出方程组求解即可． 【完整解答】解 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚， 根据题意，得 解得 所以中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚． 考点讲练14：求一元一次不等式的整数解 27．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键． 求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围． 【完整解答】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 28．（23-24七年级下·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【思路引导】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【完整解答】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 考点讲练15：在数轴上表示不等式的解集 29．（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组或不等式． (1) (2)，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，在数轴上表示见解析 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集； （1）原方程组化简为：，进而根据加减消元法解方程组，即可求解； （2）按照去分母，取括号，移项合并同类项的步骤解一元一次不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【完整解答】（1）解： 原方程组化简为： 得，，即 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 在数轴上表示为： 30．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：    第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； 任务二： 请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】任务一：①乘法分配律；②五，系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有变；任务二：，数轴见解析 【思路引导】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： 任务一：①根据乘法分配律变形；②第五步，系数化1时，不等式号的方向没有变； 任务二：求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【完整解答】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，原因是系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有变； 任务二： 解： ； 数轴表示解集如图：    考点讲练16：求一元一次不等式解的最值 31．（20-21八年级下·山东潍坊·期末）某城市的一个区域原来每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求一个型点位每天处理生活垃圾的吨数; （2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 【答案】（1）每个型点位每天处理生活垃圾吨;（2）1个 【思路引导】（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨,则每个型点位每天处理垃圾吨．根据每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理,可列出方程,即可得出答案．　 （2）设需要增设个型点位,则增设个型点位．根据每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,可列出不等式,即可求解． 【完整解答】解:（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨,则每个型点位每天处理垃圾吨． 根据题意,得, 解得:． 答:每个型点位每天处理生活垃圾吨． （2）设需要增设个型点位,则增设个型点位． 现在型点位每天处理（吨）,型点位每天处理（吨） 根据题意,得, 解得:． 答:至少需要增设个型点位． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用,解题的关键是弄清题意找出等量关系或不等关系,然后列出方程或不等式． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【思路引导】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【完整解答】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 考点讲练17：用一元一次不等式解决实际问题 33．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数最少是多少． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)他平均每天的送件数最少是160件 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系列出相应的方程组或不等式组． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，列方程组求解即可； （2）设他平均每天的送件数是m件，则他平均每天的揽件数是件，列不等式组，求解即可． 【完整解答】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得． 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是m件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得：， 解得：． 是正整数， 的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数最少是160件。 34．（24-25八年级下·四川成都·期中）有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天． (1)用含的代数式表示甲队单独工作天数； (2)如果甲队每天需工程费7000元，乙队每天需工程费5000元，且支付工程队总费用不超过79000元，请列不等式求出的最大值． 【答案】(1)甲队单独工作天数为天 (2)6 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出关系式是解答本题的关键． （1）设甲队单独工作t天，根据“甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天，共修6000米长”列出二元一次方程求解即可； （2）根据支付工程队总费用不超过79000元列不等式求解即可． 【完整解答】（1）解：设甲队单独工作t天，根据题意得， ， 解得，， 所以，甲队单独工作天数为天； （2）解：根据题意得，， 化简得， 解得，， 所以，的最大值为6． 考点讲练18：用一元一次不等式解决几何问题 35．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【思路引导】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【完整解答】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【考点评析】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 36．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【思路引导】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【完整解答】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 考点讲练19：解型的不等式 37．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【思路引导】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【完整解答】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 38．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【完整解答】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 考点讲练20：解特殊不等式组 39．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【完整解答】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 40．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【思路引导】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【完整解答】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 考点讲练21：求一元一次不等式组的整数解 41．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？ (4)如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)2或 【思路引导】（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求，，根据以上两个条件可夹出合适的x值，从而代入方程得到相应的y值； （2）由方程组求得x，y的值，代入方程即可求得m的值； （3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可． （4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可． 【完整解答】（1）解：由方程， 移项得， ∵，，x，y都是正整数， ∴ 解得， ∴， 又∵y为正整数， ∴或， ∴或， ∴方程的正整数解为或． （2）解：根据题意，得， 解得， 将代入得． （3）解：∵由题意得二元一次方程总有一个公共解， ∴方程变为， ∵这个解和m无关， ∴关于m的一元一次方程有无数解， ∴， 解得 ． 故公共解为． （4）解：将方程组两个方程相加得， ∴ ， ∵方程组有整数解且m为整数， ∴， ①，解得：（不符合题意） ②，解得：（不符合题意）， ③，解得：（不符合题意） ， ④，解得：（不符合题意） ， ⑤，解得：（符合题意）， ∴； ⑥，解得：（符合题意）， ∴， 故m的为2或． 【考点评析】考查了二元一次方程的解，整数解，正整数解，一元一次方程有无数解的条件应用，解方程组，分类思想，熟练掌握解方程组，分类思想是解答此题的关键． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)1，2，3； 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （2）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围； 【完整解答】（1）解：，若，则的核心范围是 故答案为：，． （2）解：因为，所以． 因为有且只有三个正整数解， 所以整数解应为1，2，3． 所以 考点讲练22：由一元一次不等式的解集求参数 43．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）已知不等式组 (1)分别求出当，时不等式组的解集； (2)当满足什么条件时，不等式组的解集是？ 【答案】(1)；； (2) 【思路引导】题目主要考查求不等式组的解集，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）分别将和代入不等式组，确定不等式组的解集即可； （2）根据题意得出，求解即可． 【完整解答】（1）解：当时，原不等式组为， 此时解集为； 当时，原不等式组为， 此时解集为； （2）若不等式组的解集是， 则； 解之得． 44．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键． 根据不等式组的解集对各小题的结论分析即可． 【完整解答】解：∵关于的不等式组， ∴当时，， ∴是该不等式组的一个解，故①正确； ∵不等式组无解， ∴，故②错误； ∵关于的不等式组的解集为， ∴，故③正确； ∵不等式组只有三个整数解， ∴，故④错误； ∴正确的序号为①③， 故选B． 考点讲练23：由不等式解集的情况求参数 45．（24-25七年级下·吉林长春·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______． 【答案】(1)是； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查了解不等式组，一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义即可求解； （）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义得出，然后求解集即可； （）由解不等式得，解不等式得，由得，根据“关联方程”定义得出，然后解不等式组即可． 【完整解答】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由， ， ∴在范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程”， 故答案为：是； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 由得， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：； （3）解： 解不等式得：， 解不等式得：， 由得， ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， 故答案为：． 46．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【完整解答】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，且4个整数解为：2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 考点讲练24：不等式组与方程组的结合问题 47．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2)10 【思路引导】本题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质： （1）用解二元一次方程组的知识把当做已知，表示出、的值，根据x是负数，y是正数建立关于a的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围即可； （2）根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可． 【完整解答】（1）解：， 得：，解得：， 将代入得：，解得：， ∵x是负数，y是正数． ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，．求的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【思路引导】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键． （1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于m的一元一次方程，即可求解； （2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解； （3）根据（2）的结论，计算，同时得出不等式，解不等式，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵关于x，y的方程组（m是常数）的解也是方程的解， ∴x，y满足方程组 解得 把代入，得 ， 解得． （2）关于x，y的方程组的解为 ∵， ∴， 解得． ∴ ． （3）由于关于x，y的方程组的解为 ∴． 又∵，， ∴， 解得 ∴-， ∴， 即， ∴． 考点讲练25：不等式组的经济问题 49．（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元 (2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【思路引导】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 【完整解答】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 50．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【完整解答】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 考点讲练26：不等式组的分配问题 51．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【完整解答】解：根据题意可得： ， 故选：B． 52．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析 【思路引导】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用； 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可． 【完整解答】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． ， 解这个方程组，得 答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意得： ， 由①得． 将代入②． 得， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∵m，n，为正整数， ∴或或或； ∴，或，或，或，． 分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个； 考点讲练27：不等式组的方案选择问题 53．（2025·湖南娄底·三模）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元 (2)方案一：购进甲种农机件，购进乙种农机件；方案二：购进甲种农机件，购进乙种农机件；方案三：购进甲种农机件，购进乙种农机件． 【思路引导】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元，根据购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种农机件，根据投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，列出不等式组进行求解即可． 【完整解答】（1）解：设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元，由题意，得： ，解得：， 答：购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元； （2）解：设购进甲种农机件，则购进乙种农机件，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； ∴共有3种购买方案：方案一：购进甲种农机件，购进乙种农机件； 方案二：购进甲种农机件，购进乙种农机件； 方案三：购进甲种农机件，购进乙种农机件． 54．（24-25九年级下·广东茂名·期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． (1)甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 【答案】(1)甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元； (2)该网店共有种进货方案 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次不等式组的应用． 设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，根据该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元，可列一元一次方程：，解方程即可求出两种文化衫的单价； 设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，根据该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，可列关于的一元一次不等式组，解不等式组可得：，又因为为正整数，从而可得：，，，所以共有种进货方案． 【完整解答】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 元， 答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元； （2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件， 由题意得：， 解得：， 为整数， 的值为：，，， 该网店共有3种进货方案． 考点讲练28：不等式组的阶梯收费问题 55．（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 【答案】(1) (2)甲队有40人，乙队有35人 (3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【完整解答】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； （2）解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； （3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 56．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 【答案】(1)第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元 (2)购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；找到等量关系与不等关系列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意列出方程组，解方程组，然后作答即可． （2）设第三次采购个篮球，则采购了个足球，依题意得，，解不等式，进而实际问题，篮球与足球数量均为正整数，求得的值，即可求解． 【完整解答】（1）解：设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意得，， 解得，， ∴第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元． （2）解：设第三次采购个篮球，则采购了个足球， 依题意得：， 解得：； ∵为正整数，为正整数， ∴或15； ∴购买方案为：购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$