2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末复习专题讲义——反比例函数

2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末 复习专题5——反比例函数 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】下列各点中与点在同一个反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【例2】 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象分布在一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【例3】在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________. 【例4】如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是_______． 【例5】如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积 【例6】如图，直线y＝x+m与双曲线y相交于A（2，1）、B两点． （1）求m及k的值． （2）求出S△AOB的面积． （3）直接写出x+m0时x的取值范围． 【举一反三】 【变式1】下列关于反比例函数的说法正确的是（ ） A. 它的图象在第二、四象限 B. 它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C. 当时， D. y随x的增大而减小 【变式2】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点两点，点的横坐标为，当时，的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【变式3】若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是______（用“”连接）． 【变式4】如图，面积等于12的的顶点A在y轴上，顶点B、D分别在反比例函数的图像上，若轴，点C、D横坐标分别为5、1，则k的值是_______． 【变式5】如图，一次函数yx+1的图象与反比例函数y的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标． 【变式6】码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度成反比例．已知当时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）要在内装完货物，装载速度至少应为多少（精确到）？ 【巩固练习】 1. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当x<0时，y随x的增大而增大 C. 图象经过点（1，﹣2） D. 若x＞1，则y>-2 2.反比例函数的图像如图所示，点A是其图像上的一点，轴，已知的面积为6，则k的值为（　　） A. B. 6 C. D. 12 3.已知和是反比例函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4.如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　 ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 6 5.若点、都在反比例函数的图像上，则_______（填 “”或“”或“”）． 6.如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为_____． 7.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 8.如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点B，D是反比例函数（，）的图象上两点，若点D的坐标是，则的值为___________． 9.如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出使成立的自变量的取值范围______． 10.如图，在平面直角坐标系中，中，，，，顶点在轴的正半轴上，轴，若双曲线交边于中点，交边于点． （1）若，求值； （2）若，求值以及点的坐标． 11.平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． （1）设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； （2）设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 12. 如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， （1）①若，则______；②若，则______； （2）小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； （3）如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列各点中与点在同一个反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【例2】 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象分布在一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【例3】在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围__________. 【答案】m<1 【例4】如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是_______． 【答案】或 【例5】如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点，． 又∵正比例函数的图象经过点， ，解得 ， ，． （2）解：如解图，过点B作于点H． 由（1）可知，正比例函数的表达式为 x， 反比例函数的表达式为． ∵点C在正比例函数的图象上，且轴，， ∴点C的纵坐标为6． 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ，点A的横坐标为4． ∵点A在反比例函数 的图象上， ∴点A的坐标为， ， ，， ． 【例6】如图，直线y＝x+m与双曲线y相交于A（2，1）、B两点． （1）求m及k的值． （2）求出S△AOB的面积． （3）直接写出x+m0时x的取值范围． 【答案】（1）∵把A（2，1）代入y＝x+m得：1＝2+m， ∴m＝﹣1， ∵把A（2，1）代入y得：1， ∴k＝2； （2）解得：， ∴B的坐标是（﹣1，﹣2）， 把x＝0代入y＝x﹣1得y＝﹣1， ∴直线与y轴的交点C为（0，﹣1）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC； （3）由图象可知，x+m0时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2． 【举一反三】 【变式1】下列关于反比例函数的说法正确的是（ ） B. 它的图象在第二、四象限 B. 它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C. 当时， D. y随x的增大而减小 【答案】B 【变式2】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点两点，点的横坐标为，当时，的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【变式3】若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【变式4】如图，面积等于12的的顶点A在y轴上，顶点B、D分别在反比例函数的图像上，若轴，点C、D横坐标分别为5、1，则k的值是_______． 【答案】4 【变式5】如图，一次函数yx+1的图象与反比例函数y的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标． 【答案】（1）∵一次函数yx+1的图象与反比例函数y的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为4， 把x＝﹣2代入yx+1得，y（﹣2）+1＝2， ∴A（﹣2，2）， 把x＝4代入yx+1得，y1＝﹣1， ∴B（4，﹣1）， ∴k＝﹣2×2＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为y； （2）yx+1中，令x＝0，则y＝1， ∴C（0，1）， ∵S△ABP＝S△ACP+S△BCPCP（4+2）＝6， ∴CP＝2， ∵P（0，3）或（0，﹣1）． 【变式6】码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度成反比例．已知当时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）要在内装完货物，装载速度至少应为多少（精确到）？ 【答案】（1）解：根据题意可设与之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为． （2）当时，将代入中， 解得， 根据反比例函数的性质，随的增大而减小， ∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为． 【巩固练习】 1. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当x<0时，y随x的增大而增大 C. 图象经过点（1，﹣2） D. 若x＞1，则y>-2 【答案】D 2.反比例函数的图像如图所示，点A是其图像上的一点，轴，已知的面积为6，则k的值为（　　） A. B. 6 C. D. 12 【答案】C 3.已知和是反比例函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4.如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　 ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 6 【答案】A 5.若点、都在反比例函数的图像上，则_______（填 “”或“”或“”）． 【答案】 6.如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为_____． 【答案】 7.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 【答案】400 8.如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点B，D是反比例函数（，）的图象上两点，若点D的坐标是，则的值为___________． 【答案】 9.如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出使成立的自变量的取值范围______． 【答案】（1）将代入，得． 解得 ． 将代入，得． 解得 ． 将代入， 得． 解得． ． （2）观察图象，当或时，； 故答案为：或． 10.如图，在平面直角坐标系中，中，，，，顶点在轴的正半轴上，轴，若双曲线交边于中点，交边于点． （1）若，求值； （2）若，求值以及点的坐标． 【答案】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴，， ∵D为的中点， ∴， 即， 把代入得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点，则，， ∵D为中点， ∴， 则， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 即， 把代入得：． 11.平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． （1）设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； （2）设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【答案】（1）①，；② （2）∵， ∴， 由题意知，，则，， 将代入得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 将代入可得，， ∴， 将代入得，， ∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 12. 如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， （1）①若，则______；②若，则______； （2）小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； （3）如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【答案】（1）； （2）如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 【小问3详解】 解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$