期末复习专题3——中心对称图形 巩固练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末 复习专题3——中心对称图形 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.角 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等边三角形 【例2】如图，在平行四边形中，，则边的长可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【例3】如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 【例4】如图，平行四边形中，是边上的高，，点P、Q分别是、的中点，，则的长为_______． 【例5】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）作出与与关于原点成中心对称的； （3）通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 【例6】在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求菱形的面积和的长． 【举一反三】 【变式1】下列地铁logo标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【变式2】如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A，B坐标分别为，，则C点的坐标为__________． 【变式4】如图，中，，点是平面内一动点，且，连接，则的最小值为______． 【变式5】如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为12； （2）在图②中画一个矩形，要求一条边长为且面积为10． 【变式6】在菱形中，点E为线段延长线上的一点，连接，交对角线于点F，交边于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【巩固练习】 1.我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 3.小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 对角线夹角为 B. 对角线垂直 C. 对角线与一边夹角 D. 对角线相等 4.如图，正方形边长为1，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则________． 6.如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为_____． 7.已知有两张全等的矩形纸片，长是，宽是．如图将这两张纸片叠合得到菱形．设菱形的面积为，则s的取值范围是__________． 8.如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为______． 9. 如图，在矩形中，，，、交于点O，分别过点C、D分别作、的平行线相交于点F， （1）求证：四边形是菱形； （2）若点G是的中点，点P是四边形边上的动点，连接，则的最小值是 ． 10.如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． （1）若点E为的中点，连接，判断与的位置关系，并说明理由； （2）若点落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； （3）连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长． 11.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 12.如图，四边形是矩形，点P为边上一动点（与点C，D不重合），连接，过点A作交的延长线于点Q，连接，交于点E．设，． （1）当，时． ①若点P是中点时，求的长； ②若是等腰三角形，求的长； （2）取的中点M，连接，若在点P运动过程中存在某一位置，使得四边形是平行四边形，则m，n之间的数量关系为______． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.角 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等边三角形 【答案】C 【例2】如图，在平行四边形中，，则边的长可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【例3】如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 【答案】 【例4】如图，平行四边形中，是边上的高，，点P、Q分别是、的中点，，则的长为_______． 【答案】 【例5】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）作出与与关于原点成中心对称的； （3）通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 【答案】（1）解：由题意可得，平移后的图像如图所示， （2）解：由题意可得，图像如图所示， ； （3）解：如图连接，交于一点即为点P， 即可得到点P的坐标为：； 【例6】在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，求菱形的面积和的长． 【答案】（1）证明：在和中， ∴， ∴， ∴. ∵ ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：连接交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，，. 在中，. 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， ， ∴， ∴菱形的面积为， ∴． 【举一反三】 【变式1】下列地铁logo标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式2】如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A，B坐标分别为，，则C点的坐标为__________． 【答案】 【变式4】如图，中，，点是平面内一动点，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【变式5】如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为12； （2）在图②中画一个矩形，要求一条边长为且面积为10． 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【变式6】在菱形中，点E为线段延长线上的一点，连接，交对角线于点F，交边于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，． ， ， ； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 解得． 【巩固练习】 1.我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 3.小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 对角线夹角为 B. 对角线垂直 C. 对角线与一边夹角 D. 对角线相等 【答案】A 4.如图，正方形边长为1，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5. 在中，若，则________． 【答案】 6.如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为_____． 【答案】1 7.已知有两张全等的矩形纸片，长是，宽是．如图将这两张纸片叠合得到菱形．设菱形的面积为，则s的取值范围是__________． 【答案】 8.如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为______． 【答案】 9. 如图，在矩形中，，，、交于点O，分别过点C、D分别作、的平行线相交于点F， （1）求证：四边形是菱形； （2）若点G是的中点，点P是四边形边上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】（1）证明：四边形矩形， ，， ， 点是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接， 四边形是菱形， 点到各边的距离相等， 点是四边形边上的动点， 当时，有最小值， ， ， ∵ ∴ ， ， ， 故答案为：． 10.如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． （1）若点E为的中点，连接，判断与的位置关系，并说明理由； （2）若点落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； （3）连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长． 【答案】（1），理由如下： 如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点E为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点在矩形的对称轴上时，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在矩形的对称轴上时，过点作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 同理得：四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上分析可知：或． 【小问3详解】 解：当点在矩形的内部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当点在矩形的外部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， 此时点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上分析可知：或． 11.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】（1）D （2）①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 12.如图，四边形是矩形，点P为边上一动点（与点C，D不重合），连接，过点A作交的延长线于点Q，连接，交于点E．设，． （1）当，时． ①若点P是中点时，求的长； ②若是等腰三角形，求的长； （2）取的中点M，连接，若在点P运动过程中存在某一位置，使得四边形是平行四边形，则m，n之间的数量关系为______． 【答案】（1）①如图， ∵点P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图: 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即，解得：； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴． 综上DP长为：或或1． 【小问2详解】 解：如图，设与交于N， 若四边形为平行四边形，则， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴ ∴， ∴, ∵， ∴，即, ∴，即． 故答案为：． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$