期末复习讲义：专题03 倍数与因数（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年五年级下册数学苏教版

期末复习讲义：专题03 倍数与因数 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 2 一、基础概念 2 二、公因数与最大公因数 3 三、公倍数与最小公倍数 4 四、易错点与复习建议 5 例题讲解 5 一、因数与倍数的关系 5 二、因数的特点及求法 5 三、倍数的特点及求法 5 四、3的倍数的特征 5 五、2、5的倍数的特征 5 六、合数与质数的特征 6 七、奇数和偶数 6 八、分解质因数 7 九、公因数与最大公因数 7 十、最大公因数的应用 7 十一、公倍数与最小公倍数 7 十二、最小公倍数的应用 8 考点练习 8 一、因数与倍数的关系 8 二、因数的特点及求法 8 三、倍数的特点及求法 9 四、3的倍数的特征 9 五、2、5的倍数的特征 10 六、合数与质数的特征 10 七、奇数和偶数 11 八、分解质因数 12 九、公因数与最大公因数 12 十、最大公因数的应用 12 十一、公倍数与最小公倍数 13 十二、最小公倍数的应用 13 考点梳理 一、基础概念 1.因数与倍数： （1）定义：若整数 能被整数 整除（ 余数为 ），则： ① 是 的因数（) ② 是 的倍数 （2）关系：因数和倍数是相互依存的（例： → 是 的因数， 是 的倍数）。 （3）性质： ①一个数的最小因数是 ，最大因数是它本身。 ②一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 2. 2、3、5的倍数特征： 数的倍数 判断方法（特征） 例子 2的倍数 个位是 5的倍数 个位是 或 3的倍数 各数位数字之和是3的倍数 （） 特殊结论： （1）个位是 的数，同时是 2 和 5 的倍数（如 ）。 （2）个位是 且各数位和是 3的倍数，则是 2、3、5的公倍数（如 ）。 3.奇数和偶数： （1）偶数：是2的倍数的数叫作偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫作奇数。 （3）最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。 4.质数与合数： （1）质数：只有 和它本身两个因数（如 ）。 （2）合数：除了 和它本身，还有其他因数（如 ）。 （3）特殊规定： ① 既不是质数也不是合数。 ② 是最小的质数，也是唯一的偶质数。 ③必背质数：20 以内质数（8个）： 5.分解质因数： （1）质因数：一个数的因数是质数（如 的质因数是 ）。 （2）方法：用乘法算式表示。 例： 二、公因数与最大公因数 1.公因数：几个数公有的因数。 例： 的因数： 的因数： 公因数： 2.最大公因数：公因数中最大的数。 例： 和 的最大公因数是 。 3.求最大公因数的方法： （1）列举法： ①分别列出所有因数； ②圈出公有因数； ③找最大的一个。 （2）分解质因数法：先分解两个数的质因数；公有质因数的乘积就是最大公因数。 例：求 和 的最大公因数： 4.应用场景：平均分配问题 例：把长 24 cm 和宽 18 cm 的长方形纸剪成相同的正方形（无剩余），边长最大是 cm。 三、公倍数与最小公倍数 1.公倍数：几个数公有的倍数。 例： 的倍数： 的倍数： 公倍数： 2.最小公倍数：公倍数中最小的数（非 ）。 例： 和 的最小公倍数是 。 3.求最小公倍数的方法： （1）列举法： ①分别列出若干倍数； ②找出最小公倍数。 （2）分解质因数法：所有质因数的乘积（含公有和独有的质因数）。 例：求 和 的最小公倍数： 4.应用场景：周期相遇问题 例：甲每 4 天值日一次，乙每 6 天值日一次，两人每 天共同值日。 四、易错点与复习建议 易错点 正确理解 “1”的性质 1 是所有数的因数，既非质数非合数 “0”的范围 不讨论0的因数或倍数 质数的判断 2 是唯一的偶质数 最大公因数与最小公倍数的区别 分配问题→最大公因数；周期问题→最小公倍数 例题讲解 一、因数与倍数的关系 【例题1】关于算式12×5=60，下面的说法中正确的是(　　)。 A．60是倍数 B．5是因数 C．12是因数 D．12和5是60的因数 【例题2】一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。（　　） 二、因数的特点及求法 【例题1】下面各数中，(　　)不是30的因数。 A．3 B．4 C．5 D．6 【例题2】一个数的最大因数是36，这个数是　 　，它的因数有　 　。 三、倍数的特点及求法 【例题1】下面各数中，(　　)是7 的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 【例题2】一个数的倍数一定比因数大。（　　） 【例题3】一个数是15的倍数，又是60的因数，这个数最大是　 　。 四、3的倍数的特征 【例题1】用3、4、5任意组成一个三位数，这个三位数一定是（　　）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．4的倍数 D．5的倍数 【例题2】要使三位数10 是3的倍数，里最大可以填(　　)。 A．2 B．5 C．8 D．9 【例题3】 3的倍数中，最大的两位数是90。(　　) 五、2、5的倍数的特征 【例题1】下面的数中，同时是2、3、5的倍数的数是（　　）。 A．30 B．45 C．24 D．70 【例题2】下列选项都表示自然数，▲代表一个不等于0且比10小的自然数，那么一定能同时被2、3、5整除的数是(　　)。 A．▲▲▲▲ B．▲▲▲0 C．▲▲00 D．▲000 【例题3】从0，1，3，5，7中选出不同的数字组成三位数，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 【例题4】五(1)班同学分组做游戏，按3人一组或5人一组分，都正好分完。已知五(1)班同学的人数在40人至 50 人之间，五(1)班有多少名同学？ 六、合数与质数的特征 【例题1】 一个合数至少有(　　)个因数。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例题2】在1~20中，是偶数但不是质数的数有(　　)个。 A．2 B．8 C．9 D．10 【例题3】在1、2、6、8、9、17和24这几个数中，质数有　 　，合数有　 　。 【例题4】两个质数的和是15，积是26，这两个质数分别是 　 　和　 　。 七、奇数和偶数 【例题1】a是奇数，b是偶数，a与b的和一定是(　　)。 A．奇数 B．偶数 C．合数 D．质数 【例题2】偶数一定是2的倍数。(　　) 【例题3】3个连续的偶数的和是36，这3个偶数分别是　 　、　 　、　 　。 【例题4】小妍在一家花店买了9枝玫瑰，8枝康乃馨，付给店长叔叔100元，找回了13元。小妍发现玫瑰的价格是4元1枝，就说：“叔叔，您把账算错了。”小妍是如何判断出店长叔叔算错的？请说明理由。 八、分解质因数 【例题1】将 40 分解质因数，下面选项正确的是(　　)。 A．40=5×8 B．40=5×4×2 C．40=1×2×2×2×5 D．40=2×2×2×5 【例题2】100以内，17的最大倍数是　 　，把24分解质因数是　 　。 【例题3】把下列写成质数相乘的形式。 24 45 70 100 九、公因数与最大公因数 【例题1】a和b都是非0自然数，且a÷7=b，a和b的最大公因数是(　　)。 A．a B．7 C．b D．1 【例题2】14和7的最大公因数是14。（ ） 【例题3】求下面各组数的最大公因数。 6和18 36和54 十、最大公因数的应用 【例题1】某医疗队有医生24人，护士18人。现要把医生和护士分别平均分配到若干个小组中，每个小组中的医生和护士最少一共有　 　人。 【例题2】老师把 38 本笔记本和 49 支圆珠笔平均发给优秀学生，结果笔记本剩2本，圆珠笔剩1支，优秀学生最多有几人？每人分到几本笔记本，几支圆珠笔？ 十一、公倍数与最小公倍数 【例题1】甲=2×3×2×3， 乙=2×3×3×5， 最小公倍数是(　　)。 A．180 B．120 C．90 D．60 【例题2】两个自然数的最小公倍数一定比这两个数都大。（　　） 【例题3】写出下列每组数的最小公倍数。 ①8 和 24 ②10 和 35 十二、最小公倍数的应用 【例题1】一堆苹果平均分给2、3、4、5、6个小朋友，都可以使每人分到的个数一样多，这堆苹果最少有（　　）个。 A．30 B．60 C．126 D．240 【例题2】学校进行班级队列展示，五(3)班学生可以6人一排，也可以8人一排，都正好分完，这班学生的总人数在40—50之间，可能是多少人？ 考点练习 一、因数与倍数的关系 1．下面四组数中，存在因数和倍数关系的是(　　)。 A．25和0.5 B．44和11 C．3.5和5 D．6和8 2．它是24的因数，又是24的倍数。这个数是 (　　)。 A．8 B．12 C．24 D．48 3．因为24÷3=8， 所以24是倍数， 3和8是因数。(　　) 4．在10÷2=5中，2是10的　 　，10是2的　 　。(填“因数”或“倍数”) 二、因数的特点及求法 1．下面各数中，因数的个数最多的是(　　)。 A．18 B．36 C．62 D．89 2．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是： 1+2+3=6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，(　　)是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 3．两个数相比， 因数多的数比较大。（　　） 4．一个数的最小因数、最大因数都是它本身，这个数是　 　。 5．东风小学体育节开展多项特色体育活动，其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方形的队形，要求每行和每列的人数不少于4人，可能是几行几列？ 三、倍数的特点及求法 1．在1~100中，18的倍数有(　　)个。 A．3 B．4 C．5 D．无数 2．下列各数中，既是6的倍数，又是30的因数的是(　　)。 A．6 B．5 C．12 D．18 3．一个数的最大因数与最小倍数的和是12，这个数是(　　)。 A．1 B．6 C．12 D．24 4．一个非零自然数的倍数有无数个。(　　) 5．一个数的最大因数是24，这个数是　 　，这个数的最小倍数是　 　。 6．五(1)班学生的总人数在30~40之间，在进行队列表演时，无论是4人站一排，还是6人站一排，都刚好站完。五(1)班有多少人? 四、3的倍数的特征 1．一个数既是42的因数，又是3的倍数，这样的数有(　　)个。 A．2 B．4 C．6 D．8 2．从419中至少减去（　　）才是3的倍数。 A．3 B．5 C．2 D．1 3．个位上是3、6、9的数一定是3的倍数。（　　） 4．五位数7245是3的倍数，里最大能填　 　，最小能填　 　。 5．王老师到文具店买足球。他买了3个足球，足球的单价已看不清楚，售货员说应付134元，王老师认为不对，你知道为什么呢?写出你的判断理由。 五、2、5的倍数的特征 1．用0，2，5，8组成的所有四位数，都是(　　)的倍数。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．从0、2、5、7里面选出三个不同的数字组成既是2的倍数，又是3的倍数的三位数，有（　　）种不同的组法。 A．4 B．5 C．6 D．7 3．一个三位数27，既是2的倍数，又是3的倍数，里最多有（　　）种填法。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．一个数，如果它是5的倍数，那么它不可能是2的倍数。(　　) 5．一个数是2和5倍数，这个数一定是10的倍数。(　　) 6．74□□□是一个五位数，这个五位数同时是3，4，5的倍数，则这个五位数最小是　 　，最大是　 　。 7．941 至少增加　 　是3的倍数，至少减少　 　是5的倍数，至少增加　 　同时是3和5的倍数。 8．为打造书香校园，涵养师生文化自信，贵州花园小学的图书馆新增了一个四层书架，方便师生随时阅读。 小贵：“每层能放下不超过50本的图书。” 小黔：“每层放的图书同样多，正好是3和5的倍数。” 根据上面的对话计算，这个书架最多放了多少本图书？ 六、合数与质数的特征 1．在24的所有因数中，有(　　)个数是质数。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。下列式子中能反映这个猜想的是(　　)。 A．5=2+3 B．8=2+6 C．20=7+13 D．20=1 +19 3．20以内所有质数的和是(　　)。 A．77 B．129 C．160 D．79 4．所有的质数都不是2的倍数。(　　) 5．两个质数的和都是合数。(　　) 6．28的因数有　 　，其中　 　是合数，　 　是质数。 7．在20以内自然数中，最小的质数是　 　，最小的合数是　 　。 8．一个长方形的长和宽都是质数，已知周长为36厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米? 9．小贵家的电话号码是七位数(没有0)，从高位到低位排列依次是：最小的质数、最小的合数、既不是质数也不是合数的数、3的最小倍数、最大的一位数、最小的奇数、8的最大因数。小贵家的电话号码是多少？ 七、奇数和偶数 1．两个相邻的非零自然数的积一定是 ( )。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．下列各数中，(　　)既是奇数又是质数。 A．9 B．13 C．15 D．27 3．在质数中，奇数的个数比偶数多。（　　） 4．10以内不是偶数的合数有　 　，不是奇数的质数有　 　。 5．3的倍数中，最小的偶数是　 　，最小的奇数是　 　。 6．老师让同学们计算3个连续奇数的和，四名同学的答案如下。聪聪：“130。”明明：“132。”可可：“135。”乐乐：“150。”算对的同学是　 　。 这3个连续奇数中间的数是　 　。 7．在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？ 八、分解质因数 1．将28分解质因数的正确形式是（　　）。 A．28＝1×28 B．2×2×7＝28 C．2×14＝28 D．28＝2×2×7 2．一个数的最大的因数是 30，这个数是　 　，把它写成质数相乘的形式是　 　。 3．先圈出下面数中的合数，再把它们分解质因数。 17 24 30 31 51 九、公因数与最大公因数 1． 24，36和60的最大公因数是(　　)。 A．2 B．12 C．24 D．60 2．有两个数，它们的最大公因数是8，那么这两个数的公因数有(　　)。 A．1，8 B．2，4，8 C．1，2，8 D．1，2，4，8 3．两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（　　） 4．一个数最小的倍数是18，它的因数有　 　个，这个数与27的最大公因数是　 　。 5．已知两个因数的和是224，它们的最大公因数是28，这两个数是　 　和　 　。 6．求下列各组数的最大公因数。 （1）45和60 （2）25和40 十、最大公因数的应用 1．把一张长12cm、宽8cm的长方形纸裁成同样大小的正方形。如果要求纸没有剩余。裁出的正方形的边长最大是　 　cm，可以裁　 　个这样大小的正方形。 2．有三根木料，长度分别为是160dm、240dm和32m。现在要把他们截成相等的小段，且每根都不能有剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 3．王老师准备了22颗糖果和19支铅笔奖励给班里获奖的学生，结果糖果少了2颗，铅笔多了1支。王老师最多奖励了几名学生? 十一、公倍数与最小公倍数 1．下面四组数中，公因数只有1，又都是合数，且最小公倍数是120的是(　　)。 A．6和20 B．10和12 C．8和15 D．5和24 2．两个数的乘积一定是这两个数的公倍数。(　　) 3．42和36的最大公因数是　 　，最小公倍数是　 　。 4．两个质数的最小公倍数是209，这两个质数是　 　和　 　。 5．求出下列每组数的最小公倍数。 20和30 9和15 7和11 15和35 10和12 4和24 十二、最小公倍数的应用 1．学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完，如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（　　）人。 A．24 B．36 C．48 D．50 2．有一箱桃子，6个6个地数， 刚好数完； 8个8个地数， 也刚好数完。 这箱桃子最少有　 　个。 3．明明和华华喜欢去图书馆看书，明明每4天去一次，华华每6天去一次，6月26日他们在图书馆相遇，下一次他们在图书馆相遇的时间是　 　月　 　日。 4．两只青蛙进行跳跃比赛。A青蛙每次跳10cm，B青蛙每次跳15cm，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始跳。在比赛途中，每隔12cm有一个陷阱，当它们中的一只掉进陷阱时，另一只距离陷阱最少有多少厘米？ 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习讲义：专题03 倍数与因数 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 2 一、基础概念 2 二、公因数与最大公因数 3 三、公倍数与最小公倍数 4 四、易错点与复习建议 5 例题讲解 5 一、因数与倍数的关系 5 二、因数的特点及求法 5 三、倍数的特点及求法 6 四、3的倍数的特征 7 五、2、5的倍数的特征 8 六、合数与质数的特征 9 七、奇数和偶数 10 八、分解质因数 11 九、公因数与最大公因数 12 十、最大公因数的应用 13 十一、公倍数与最小公倍数 14 十二、最小公倍数的应用 15 考点练习 15 一、因数与倍数的关系 15 二、因数的特点及求法 16 三、倍数的特点及求法 18 四、3的倍数的特征 19 五、2、5的倍数的特征 20 六、合数与质数的特征 23 七、奇数和偶数 26 八、分解质因数 28 九、公因数与最大公因数 29 十、最大公因数的应用 30 十一、公倍数与最小公倍数 31 十二、最小公倍数的应用 33 考点梳理 一、基础概念 1.因数与倍数： （1）定义：若整数 能被整数 整除（ 余数为 ），则： ① 是 的因数（) ② 是 的倍数 （2）关系：因数和倍数是相互依存的（例： → 是 的因数， 是 的倍数）。 （3）性质： ①一个数的最小因数是 ，最大因数是它本身。 ②一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 2. 2、3、5的倍数特征： 数的倍数 判断方法（特征） 例子 2的倍数 个位是 5的倍数 个位是 或 3的倍数 各数位数字之和是3的倍数 （） 特殊结论： （1）个位是 的数，同时是 2 和 5 的倍数（如 ）。 （2）个位是 且各数位和是 3的倍数，则是 2、3、5的公倍数（如 ）。 3.奇数和偶数： （1）偶数：是2的倍数的数叫作偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫作奇数。 （3）最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。 4.质数与合数： （1）质数：只有 和它本身两个因数（如 ）。 （2）合数：除了 和它本身，还有其他因数（如 ）。 （3）特殊规定： ① 既不是质数也不是合数。 ② 是最小的质数，也是唯一的偶质数。 ③必背质数：20 以内质数（8个）： 5.分解质因数： （1）质因数：一个数的因数是质数（如 的质因数是 ）。 （2）方法：用乘法算式表示。 例： 二、公因数与最大公因数 1.公因数：几个数公有的因数。 例： 的因数： 的因数： 公因数： 2.最大公因数：公因数中最大的数。 例： 和 的最大公因数是 。 3.求最大公因数的方法： （1）列举法： ①分别列出所有因数； ②圈出公有因数； ③找最大的一个。 （2）分解质因数法：先分解两个数的质因数；公有质因数的乘积就是最大公因数。 例：求 和 的最大公因数： 4.应用场景：平均分配问题 例：把长 24 cm 和宽 18 cm 的长方形纸剪成相同的正方形（无剩余），边长最大是 cm。 三、公倍数与最小公倍数 1.公倍数：几个数公有的倍数。 例： 的倍数： 的倍数： 公倍数： 2.最小公倍数：公倍数中最小的数（非 ）。 例： 和 的最小公倍数是 。 3.求最小公倍数的方法： （1）列举法： ①分别列出若干倍数； ②找出最小公倍数。 （2）分解质因数法：所有质因数的乘积（含公有和独有的质因数）。 例：求 和 的最小公倍数： 4.应用场景：周期相遇问题 例：甲每 4 天值日一次，乙每 6 天值日一次，两人每 天共同值日。 四、易错点与复习建议 易错点 正确理解 “1”的性质 1 是所有数的因数，既非质数非合数 “0”的范围 不讨论0的因数或倍数 质数的判断 2 是唯一的偶质数 最大公因数与最小公倍数的区别 分配问题→最大公因数；周期问题→最小公倍数 例题讲解 一、因数与倍数的关系 【例题1】关于算式12×5=60，下面的说法中正确的是(　　)。 A．60是倍数 B．5是因数 C．12是因数 D．12和5是60的因数 【答案】D 【详解】【解答】解：因为12×5=60，所以60是12和5的倍数，12和5是60的因数。 故答案为：D。 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）；倍数和因数是两个数之间的关系，它们是相互依存的，因此描述时不单独说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，据此可以判断。 【例题2】一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，所以一个数因数的个数是有限的。一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数，所以一个数的倍数的个数是无限的。 故答案为：正确。 【分析】一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的，没有最大倍数。 二、因数的特点及求法 【例题1】下面各数中，(　　)不是30的因数。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】【解答】解：选项A：30÷3=10，所以3是30的因数，不符合题意； 选项B：30÷4=7……2，所以4不是30的因数，符合题意； 选项C：30÷5=6，所以6是30的因数，不符合题意； 选项D：30÷6=5，所以5是30的因数，不符合题意； 故答案为：B。 【分析】要想判断哪个数不是30的因数，只需要用30分别除以每个数，得到的结果有余数，那么这个数就不是30的因数，据此解答。 【例题2】一个数的最大因数是36，这个数是　 　，它的因数有　 　。 【答案】36；1，2，3，4，6，9，12，18，36 【详解】【解答】解：一个数最大的因数是它本身，所以这个数是36，它的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 故答案为：36；1，2，3，4，6，9，12，18，36。 【分析】一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。从1开始一对一对找出这个数的因数即可。 三、倍数的特点及求法 【例题1】下面各数中，(　　)是7 的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 【答案】C 【详解】【解答】解：A：20÷7=2……6，有余数，所以20不是7的倍数，不符合题意； B：32÷7=4……4，有余数，所以32不是7的倍数，不符合题意； C：49÷7=7，没有余数，所以49是7的倍数，符合题意； D：65÷7=9……2，有余数，所以65不是7的倍数，不符合题意。 故答案为：C。 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。 【例题2】一个数的倍数一定比因数大。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：一个数的倍数不一定比因数大，所以原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】一个数的最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身，所以一个数的倍数等于或大于它的因数，据此可以判断。 【例题3】一个数是15的倍数，又是60的因数，这个数最大是　 　。 【答案】60 【详解】【解答】解：60的最大因数是60， 15的倍数有15、30、45、60、......， 这个数最大是60。 故答案为：60。 【分析】一个数最大的因数是它本身，据此解答。 四、3的倍数的特征 【例题1】用3、4、5任意组成一个三位数，这个三位数一定是（　　）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．4的倍数 D．5的倍数 【答案】B 【详解】【解答】解：3＋4＋5 =7＋5 =12 12÷3=4，这个三位数一定是3的倍数。 故答案为：B。 【分析】用3、4、5任意组成一个三位数，这个三位数各个数位上的数的和是3的倍数，则这个三位数一定是3的倍数。 【例题2】要使三位数10 是3的倍数，里最大可以填(　　)。 A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【详解】【解答】解：1＋8=9，要使10□是3的倍数，□里面最大填8。 故答案为：C。 【分析】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【例题3】 3的倍数中，最大的两位数是90。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】：解：5 倍数个位是 0 或 5 个位为 0，要最大两位数，十位选9，90 是3倍数。 个位为 5，从大到小试十位，9+5、8+5都不是3倍数，7+5是3倍数，此时是 75 。 90>75， 所以既是3 又是5倍数的最大两位数是 90。 故答案为：正确。 【分析】先看5倍数特点，个位是0或 5，若个位是 0，想最大两位数，就把十位设最大9，9加0得9，9能被3整除，这个数是 90。若个位是 5，从大到小试十位，9 加 5、8 加5不行，7 加5得 12 能被3 整除，是 75 。90 比 75 大，所以既是3 又是 5 倍数的最大两位数是 90 。 五、2、5的倍数的特征 【例题1】下面的数中，同时是2、3、5的倍数的数是（　　）。 A．30 B．45 C．24 D．70 【答案】A 【详解】【解答】解：A.30个位是0，是2和5的倍数，3+0=3，3是3的倍数，则30是3的倍数，符合题意； B.45个位是5，不是2的倍数，不符题意； C.24个位是4，不是5的倍数，不符题意； D.70个位是0，是2和5的倍数，7+0=7，7不是3的倍数，则70不是3的倍数，不符题意。 故答案为：A。 【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；据此分析即可。 【例题2】下列选项都表示自然数，▲代表一个不等于0且比10小的自然数，那么一定能同时被2、3、5整除的数是(　　)。 A．▲▲▲▲ B．▲▲▲0 C．▲▲00 D．▲000 【答案】B 【详解】【解答】解：这个数个位一定是0，3个▲的和一定是3的倍数，所以这个数是▲▲▲0。 故答案为：B。 【分析】能同时被2、3、5整除的数的个位数字一定是0，且各个数位上数字之和是3的倍数。 【例题3】从0，1，3，5，7中选出不同的数字组成三位数，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 【答案】150；750 【详解】【解答】解：同时是2和5的倍数则这个三位数的个位数字是0，最小则每一位都要最小，因此，0+1+3=4，4不是3的倍数，所以4舍去，0+1+5=6，6是3的倍数，所以最小的三位数是150；最大则每一位都要最大，因此，0+7+5=12，12是3的倍数，所以最大的三位数是750。 故答案为：150；750。 【分析】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数； 5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【例题4】五(1)班同学分组做游戏，按3人一组或5人一组分，都正好分完。已知五(1)班同学的人数在40人至 50 人之间，五(1)班有多少名同学？ 【答案】解：40~50 之间是5的倍数的数有 40、45、50，其中只有 45是3的倍数，所以五(1)班有45 名同学。 【详解】【分析】先写出40~50 之间是5的倍数的数，并且这个数还得是3的倍数，只有45符合，则五(1)班有45 名同学。 六、合数与质数的特征 【例题1】 一个合数至少有(　　)个因数。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】【解答】解：对于一个合数，其因数必然包含1和它本身，此外至少还有一个其他因数， 所以 一个合数至少有3个因数； 故答案为：B。 【分析】根据合数的定义，合数是指除了1和它本身之外还有其他因数的自然数，即除了1和自身外必须存在第三个因数，据此求解。 【例题2】在1~20中，是偶数但不是质数的数有(　　)个。 A．2 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】【解答】解：1~20中偶数有2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 其中除了2是质数，其余9个都不是质数 故答案为：C。 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；据此解答即可。 【例题3】在1、2、6、8、9、17和24这几个数中，质数有　 　，合数有　 　。 【答案】2、17；6、8、9、24 【详解】【解答】解：在1、2、6、8、9、17和24这几个数中，质数有：2、17； 合数有：6、8、9、24。 故答案为：2、17；6、8、9、24。 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。 【例题4】两个质数的和是15，积是26，这两个质数分别是 　 　和　 　。 【答案】2；13 【详解】【解答】解：26=2×13，2+13=15，所以，这两个质数分别是2和13。 故答案为：2；13。 【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）； 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；可以用短除法去分解质因数：用这个合数除以因数中的质数，直到商也是质数为止，最后写成合数=短除号外所有质数的乘积形式； 先将积分解质因数找到两个质数，再求两个质数的和看是否符合要求，即可解答。 七、奇数和偶数 【例题1】a是奇数，b是偶数，a与b的和一定是(　　)。 A．奇数 B．偶数 C．合数 D．质数 【答案】A 【详解】【解答】解：a是奇数，b是偶数，a与b的和一定是奇数。 故答案为：A。 【分析】奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数； 奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 【例题2】偶数一定是2的倍数。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：偶数一定是2的倍数，原题说法正确； 故答案为：正确。 【分析】偶数的定义是能被2整除的数，所以偶数都是2的倍数，据此判断。 【例题3】3个连续的偶数的和是36，这3个偶数分别是　 　、　 　、　 　。 【答案】10；12；14 【详解】【解答】解：36÷3=12 12-2=10 12+2=14 故答案为：10；12；14。 【分析】相邻的两个偶数相差2，已知3个连续的偶数的和是36，最中间的偶数是它们的平均数，据此列式计算。 【例题4】小妍在一家花店买了9枝玫瑰，8枝康乃馨，付给店长叔叔100元，找回了13元。小妍发现玫瑰的价格是4元1枝，就说：“叔叔，您把账算错了。”小妍是如何判断出店长叔叔算错的？请说明理由。 【答案】解：因为玫瑰单价是4元一枝，9枝玫瑰共36元，100-36-64（元）。又因为买了8枝康乃馨，价格也应是偶数，而64-13=51（元），51是奇数，所以店长叔叔一定算错了。 【详解】【分析】首先，我们需要计算小妍实际支付给店长的金额，用100元减去找回的13元得到。然后分析小妍购买的花的数量和价格的性质。由于她购买的玫瑰和康乃馨的数量都是偶数，而玫瑰的单价是4元（偶数），康乃馨的单价虽然未知，但无论是偶数还是奇数，偶数乘偶数或偶数乘奇数的结果都是偶数。因此，小妍购买的所有花的总价应该是偶数。据此与小妍实际支付的金额进行比较，如果两者不一致，那么我们可以判断店长叔叔的计算出错了。 八、分解质因数 【例题1】将 40 分解质因数，下面选项正确的是(　　)。 A．40=5×8 B．40=5×4×2 C．40=1×2×2×2×5 D．40=2×2×2×5 【答案】D 【详解】【解答】解： 40=2×2×2×5 故答案为：D。 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘的形式，一般先从简单的质数试着分解，然后把所有的质数相乘。 【例题2】100以内，17的最大倍数是　 　，把24分解质因数是　 　。 【答案】85；24＝2×2×2×3 【详解】【解答】解：100以内17的所有倍数：17、34、51、68、85， 最大倍数是：85， 24=2×2×2×3； 故答案为：85；24＝2×2×2×3。 【分析】先列出100以内17的所有倍数，然后从中找出最大的一个；分解质因数是将一个合数写成若干质数相乘的形式，据此求解。 【例题3】把下列写成质数相乘的形式。 24 45 70 100 【答案】解：24=2×2×2×3 45＝3×3×5 70＝2×5×7 100＝2×2×5×5 【详解】【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 分解质因数：任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数分解质因数。 九、公因数与最大公因数 【例题1】a和b都是非0自然数，且a÷7=b，a和b的最大公因数是(　　)。 A．a B．7 C．b D．1 【答案】C 【详解】【解答】解：因为a÷7=b，即a÷b=7，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 故答案为：C。 【分析】两个非0自然数，当一个数是另一个数的倍数时，则这个数是这两个数的最小公倍数，另一个数是这两个数的最大公因数。 【例题2】14和7的最大公因数是14。（ ） 【答案】错误 【详解】【解答】解：14和7的最大公因数是7。 故答案为：错误。 【分析】一个数是另一个数的倍数，那么这两个数的最大公因数是较小的数。 【例题3】求下面各组数的最大公因数。 6和18 36和54 【答案】解：6和18 6和18时倍数关系， 所以较小的数6就是它们的最大公因数； 36和54 36=2×2×3×3； 54=2×3×3×3； 36和54的最大公因数为：2×3×3=18。 【详解】【分析】求几个数最大公因数的方法是：这几个数的公有的质因数的乘积就是这几个数的最大公因数。其中，如果较小的数是较大的数的因数，那么较小的数就是较大数的最大公因数。 十、最大公因数的应用 【例题1】某医疗队有医生24人，护士18人。现要把医生和护士分别平均分配到若干个小组中，每个小组中的医生和护士最少一共有　 　人。 【答案】7 【详解】【解答】解：24=2×2×2×3，18=2×3×3，因此，24和18的最大公因数是2×3=6，即最多平均分配成6个小组； （24+18）÷6 =42÷6 =7（人） 故答案为：7。 【分析】根据题意可知要每个小组中的医生和护士最少则平均分的小组就要最多，且没有剩余，即求24和18的最大公因数：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再找到相同个数的质因乘积即为最大公因数，注意找相同质因数的乘积时相同质因数的个数也要相同；最大公因数即为平均分配最多的组数，（医生人数+护士人数）÷最大公因数=每个小组中的医生和护士最少一共有的人数。 【例题2】老师把 38 本笔记本和 49 支圆珠笔平均发给优秀学生，结果笔记本剩2本，圆珠笔剩1支，优秀学生最多有几人？每人分到几本笔记本，几支圆珠笔？ 【答案】解：38-2=36（本） 49-1=48（支） 36=2×2×3×3 48=2×2×3×2×2 36和48的最大公因数是12，最多有12人 笔记本：36÷12=3（本） 圆珠笔：48÷12=4（支） 答：获奖的同学最多有12人，每人可分到3本笔记本和4支圆珠笔。 【详解】【分析】获奖的同学最多的人数=（38-2）与（49-1）8的最大公因数，可以用分解质因数的方法求出；每人分到的数量=总数量÷平均分的人数。 十一、公倍数与最小公倍数 【例题1】甲=2×3×2×3， 乙=2×3×3×5， 最小公倍数是(　　)。 A．180 B．120 C．90 D．60 【答案】A 【详解】【解答】解：2×3×3×2×5=180。 故答案为：A。 【分析】甲和乙的最小公倍数=甲和乙公有的质因数×各自独有的质因数。 【例题2】两个自然数的最小公倍数一定比这两个数都大。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：两个自然数的最小公倍数不一定比这两个数都大，原题说法错误； 故答案为：错误。 【分析】最小公倍数是能同时被两个自然数整除的最小正整数，取自然数2和4，最小公倍数为4，与较大数4相等，不比4大，所以原题说法错误。 【例题3】写出下列每组数的最小公倍数。 ①8 和 24 ②10 和 35 【答案】解：①因为8是24的因数，所以8和24的最小公倍数是24。 ②因为10=2×5，35=5×7，所以10和35的最小公倍数是2×5×7=70。 【详解】【分析】①当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数，较大的数是两个数的最小公倍数； ②用分解质因数的方法求出10和35的最小公倍数是2×5×7=70。 十二、最小公倍数的应用 【例题1】一堆苹果平均分给2、3、4、5、6个小朋友，都可以使每人分到的个数一样多，这堆苹果最少有（　　）个。 A．30 B．60 C．126 D．240 【答案】B 【详解】【解答】 2、3、4、5、6的最小公倍数是60。 故答案为：B。 【分析】 这堆苹果最少数量是2、3、4、5、6的最小公倍数时，就可以保证每人分到的个数一样多。 【例题2】学校进行班级队列展示，五(3)班学生可以6人一排，也可以8人一排，都正好分完，这班学生的总人数在40—50之间，可能是多少人？ 【答案】解：6=2×3，8=2×2×2，因此6和8的最小公倍数是：2×3×2×2=24，24×2=48，40<48<50。 答：可能是48人。 【详解】【分析】根据题意可知这个班的学生人数是6和8的公倍数，因此，先找到6和8的最小公倍数：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再把相同的质因数与不同质因数相乘，积即为最小公倍数；再用最小公倍数去乘1，2，3，……，找到最小公倍数在40-50之间的倍数即为这个班的学生总人数。 考点练习 一、因数与倍数的关系 1．下面四组数中，存在因数和倍数关系的是(　　)。 A．25和0.5 B．44和11 C．3.5和5 D．6和8 【答案】B 【详解】【解答】解：A ：25是整数，0.5是小数，不符合因数和倍数关系的条件，错误。 B ：44 ÷11 = 4，44能被11整除，所以44是11的倍数，11是44的因数，正确。 C ：3.5是小数，5是整数，不符合因数和倍数关系的条件，错误。 D ：8÷6=，8不能被6整除，所以6不是8的因数，8也不是6的倍数，错误。 故答案为：B 【分析】 判断两个数是否有因数和倍数关系，需要这两个数都是整数，且大数能被小数整除。 2．它是24的因数，又是24的倍数。这个数是 (　　)。 A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【详解】【解答】解：24÷24=1，24是自身的1倍， 这个数是24； 故答案为：24。 【分析】一个数的最小倍数是24，最大因数也是24，这个数是24它本身，据此求解。 3．因为24÷3=8， 所以24是倍数， 3和8是因数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：因为24÷3=8， 所以24是3和8的倍数， 3和8是因数，原题说法错误； 故答案为：错误。 【分析】根据因数和倍数的定义，如果一个数a能被另一个数b整除（且b不等于0），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。需要注意的是，因数和倍数是相互依存的概念，不能单独存在，据此判断。 4．在10÷2=5中，2是10的　 　，10是2的　 　。(填“因数”或“倍数”) 【答案】因数；倍数 【详解】【解答】解：在10÷2=5中，2是10的因数，10是2的倍数。 故答案为：因数；倍数。 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。 二、因数的特点及求法 1．下面各数中，因数的个数最多的是(　　)。 A．18 B．36 C．62 D．89 【答案】B 【详解】【解答】解：A：18的因数：1、18、2、9、3、6； B：36的因数：1、36、2、18、3、12、4、9、6； C：62的因数：1、62、2、31； D：89的因数：1、89。 故答案为：B。 【分析】一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，这样一对一对找出每个数的因数，并选择因数个数最多的数。 2．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是： 1+2+3=6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，(　　)是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 【详解】【解答】解：A：8的因数有1，2，4，8，1+2+4=7，78，所以8不是完全数，不符合题意； B：28的因数有1，2，4，7，14，28，1+2+4+7+14=28，所以28是完全数，符合题意； C：36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，1+2+3+4+6+9+12+18=55，5536，所以36不是完全数，不符合题意； D：49的因数有1，7，49，1+7=8，849，所以49不是完全数，不符合题意。 故答案为：B。 【分析】求一个数的因数可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数。1和它本身也是这个数的因数。 3．两个数相比， 因数多的数比较大。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：举例：6的因数有1、2、3、6；11的因数有1、11； 所以因数的多少和这个数的大小没有关系。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】求一个数因数的方法：利用乘法算式，两个整数相乘得出积。这时，两个整数都是积的因数。找时按从小到大的顺序一组一组地找。 4．一个数的最小因数、最大因数都是它本身，这个数是　 　。 【答案】1 【详解】【解答】解：一个数的最小因数、最大因数都是它本身，这个数是1 故答案为：1。 【分析】一个数的因数是指能整除该数的正整数。对于大多数自然数，最小因数为1，最大因数是它本身。若题目中要求最小因数和最大因数均为该数本身，则该数必须仅有自身一个因数。根据因数定义，只有1满足此条件（1的因数仅有1）。 5．东风小学体育节开展多项特色体育活动，其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方形的队形，要求每行和每列的人数不少于4人，可能是几行几列？ 【答案】解：48的因数有1、48、2、24、3、16、4、12、6、8，排除小于4的数，则 4×12=6×8=48，可能是4行12列、12行4列、6行8列、8行6列。 【详解】【分析】先写出48的所有因数，因为要求每行和每列的人数不少于4人，那么排除小于4的数，则可能是4行12列、12行4列、6行8列、8行6列。 三、倍数的特点及求法 1．在1~100中，18的倍数有(　　)个。 A．3 B．4 C．5 D．无数 【答案】C 【详解】【解答】解：1~100中，18的倍数有18、36、54、72、90，共5个。 故答案为：C。 【分析】18的最小倍数是18，用18依次乘1、2、3等自然数就能依次找出18的倍数。 2．下列各数中，既是6的倍数，又是30的因数的是(　　)。 A．6 B．5 C．12 D．18 【答案】A 【详解】【解答】解：6的倍数有6，12，18，……，30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，因此，既是6的倍数，又是30的因数的是6。 故答案为：A。 【分析】先通过6依次乘1，2，3，……找6的倍数，再找30的因数：求一个数的因数可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数，1和它本身也是这个数的因数；最后找它们公有的那个数即是所求的数。 3．一个数的最大因数与最小倍数的和是12，这个数是(　　)。 A．1 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【详解】【解答】解：12÷2=6，这个数是6。 故答案为：B。 【分析】一个非0自然数的最大因数与它的最小倍数相等，都是它本身。那么这个数=12÷2=6。 4．一个非零自然数的倍数有无数个。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：一个非零自然数的倍数有无数个，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 5．一个数的最大因数是24，这个数是　 　，这个数的最小倍数是　 　。 【答案】24；24 【详解】【解答】解： 一个数的最大因数是24，这个数是24，这个数的最小倍数是24。 故答案为：24；24。 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；据此解答。 6．五(1)班学生的总人数在30~40之间，在进行队列表演时，无论是4人站一排，还是6人站一排，都刚好站完。五(1)班有多少人? 【答案】解：30~40之间的4的倍数：32、36、40； 30~40之间的6的倍数：30、36 所以36同时是4和6的倍数，且在30~40之间。 答： 五(1) 班有36人。 【详解】【分析】 “ 无论是4人站一排，还是6人站一排，都刚好站完 ”说明五（1）班的总人数既是4的倍数，又是6的倍数。因此，分别写出30~40之间的4和6的倍数，即可解答。 四、3的倍数的特征 1．一个数既是42的因数，又是3的倍数，这样的数有(　　)个。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】【解答】解：42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42，其中是3的倍数的是3，6，21，42共4个。 故答案为：B。 【分析】求一个数的因数可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数。1和它本身也是这个数的因数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2．从419中至少减去（　　）才是3的倍数。 A．3 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【详解】【解答】解：4+1+9=14，14-2=12，至少减去2才是3的倍数。 故答案为：C。 【分析】3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数。 3．个位上是3、6、9的数一定是3的倍数。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：例如16，个位上是6，但它不是3的倍数。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；由此举例子判断即可. 4．五位数7245是3的倍数，里最大能填　 　，最小能填　 　。 【答案】9；0 【详解】【解答】解：7+2+4+5=18，里最大能填9，最小能填0。 故答案为：9；0。 【分析】3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数。 5．王老师到文具店买足球。他买了3个足球，足球的单价已看不清楚，售货员说应付134元，王老师认为不对，你知道为什么呢?写出你的判断理由。 【答案】解：1＋3＋4=8，8不是3的倍数，因为是买了3个同样的足球，所以应付的钱数不对。 【详解】【分析】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；因为是买了3个同样的足球，应付的钱数应该是3的倍数，则134不是3的倍数，所以应付的钱数不对。 五、2、5的倍数的特征 1．用0，2，5，8组成的所有四位数，都是(　　)的倍数。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】【解答】解：0+2+5+8=15，15是3的倍数； 故答案为：B。 【分析】当2或8位于个位时，组成的数就不是5的倍数；当5位于个位时，组成的数就不是2的倍数，也不是4的倍数；根据3的倍数的特征，如果一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，因此，用0、2、5、8组成的所有四位数都是3的倍数。 2．从0、2、5、7里面选出三个不同的数字组成既是2的倍数，又是3的倍数的三位数，有（　　）种不同的组法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】【解答】解：可以组成的三位数有270、720、570、750、702，共5种不同组法。 故答案为：B。 【分析】个位上是0、2、4、6、8，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2和3的倍数。 3．一个三位数27，既是2的倍数，又是3的倍数，里最多有（　　）种填法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】【解答】解：□里为0时，2+7+0=9，9是3的倍数，符合题意； □里为2时，2+7+2=11，11不是3的倍数，不符合题意； □里为4时，2+7+4=13，13不是3的倍数，不符合题意； □里为6时，2+7+6=15，15是3的倍数，符合题意； □里为8时，2+7+8=17，17不是3的倍数，不符合题意。 综上所述，□里可以填0、6，一共2种填法。 故答案为：B。 【分析】同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 4．一个数，如果它是5的倍数，那么它不可能是2的倍数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：一个数，如果它是5的倍数，那么它可能也是2的倍数，比如10，所以原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数，据此解答。 5．一个数是2和5倍数，这个数一定是10的倍数。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解： 一个数是2和5倍数，这个数一定是10的倍数。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】一个数能同时被2和5整除的特征是它的个位数必须是0。因此，这样的数一定是10的倍数。 6．74□□□是一个五位数，这个五位数同时是3，4，5的倍数，则这个五位数最小是　 　，最大是　 　。 【答案】74040；74940 【详解】【解答】解：因为这个五位数是4，5的倍数 所以末位只能是0，十位可能是2，4，6，8 要使这个数最小，百位是0，7+4=11，十位只能是4，所以这个五位数最小是74040 要使这个数最大，百位是9，7+4+9=20，十位只能是4，所以这个数最大是74940 故答案为：74040，74940。 【分析】3的倍数的特征：所有数位上的数加起来是3的倍数；4的倍数的特征：末两位上的数是4的倍数；5的倍数的特征：个位是0或5；要想使这个数最小，那百位上就是0，要想使这个数最大，那百位上就是9，据此解答即可。 7．941 至少增加　 　是3的倍数，至少减少　 　是5的倍数，至少增加　 　同时是3和5的倍数。 【答案】1；1；4 【详解】【解答】解：9+4+1=14，14+1=15，15是3的倍数，因此至少增加1是3的倍数；941－1=940，940是5的倍数，因此至少减少1是5的倍数；941+4=945，945是5的倍数，且9+4+1+4=18，18是3的倍数，因此945也是3的倍数，所以至少增加4同时是3和5的倍数。 故答案为：1；1；4。 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 8．为打造书香校园，涵养师生文化自信，贵州花园小学的图书馆新增了一个四层书架，方便师生随时阅读。 小贵：“每层能放下不超过50本的图书。” 小黔：“每层放的图书同样多，正好是3和5的倍数。” 根据上面的对话计算，这个书架最多放了多少本图书？ 【答案】解：50以内3的倍数：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48； 50以内5的倍数：5，10，15，20，25，30，35，40，45； 50以内既是3的倍数又是5的倍数的数：15，30，45， 45×4=180(本)； 答：这个书架最多放了180本图书。 【详解】【分析】先找出50以内3的倍数，再找出50以内5的倍数，从两者中选出相同的数就是既是3的倍数又是5的倍数的数，要求最多放了多少本图书，就是50以内既是3的倍数又是5的倍数的数的最大数，再乘4即可。 六、合数与质数的特征 1．在24的所有因数中，有(　　)个数是质数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】【解答】解：24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6，其中质数有：2和3这2个。 故答案为：B。 【分析】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。则24的因数中，质数有2个。 2．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。下列式子中能反映这个猜想的是(　　)。 A．5=2+3 B．8=2+6 C．20=7+13 D．20=1 +19 【答案】C 【详解】【解答】解：A项：5不是偶数； B项：6不是质数； C项：20=7＋13，这个数符合； D项：1不是质数。 故答案为：C。 【分析】依据100以内的质数表算一算。 3．20以内所有质数的和是(　　)。 A．77 B．129 C．160 D．79 【答案】A 【详解】【解答】解：2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19=77。 故答案为：A。 【分析】依据100以内的质数表，写出20以内的所有质数，再相加。 4．所有的质数都不是2的倍数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：2是质数，同时2也是2的倍数，所以原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数；根据质数与倍数的含义即可判断。 5．两个质数的和都是合数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：2和3都是质数，2+3=5，5也是质数，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此判断。 6．28的因数有　 　，其中　 　是合数，　 　是质数。 【答案】1、2、4、7、14、28；4、14、28；2、7 【详解】【解答】解：28=1×28=2×14=4×7 合数：4，14，28 质数：2，7 故答案为：1、2、4、7、14、28，4、14、28，2、7。 【分析】如果两个正整数相乘就会得到一个积，那么这两个正整数都可以叫做积的因数；质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身以外还有其他因数的数；据此解答即可。 7．在20以内自然数中，最小的质数是　 　，最小的合数是　 　。 【答案】2；4 【详解】【解答】解：在20以内自然数中，最小的质数是2，最小的合数是4。 故答案为：2；4。 【分析】只有1和本身两个因数的数是质数；除了1和本身外还有其它因数的数是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 8．一个长方形的长和宽都是质数，已知周长为36厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米? 【答案】解：36÷2=18（厘米） 11＋7=18（厘米） 13＋5=18（厘米） 11×7=77（平方厘米） 13×5=65（平方厘米） 77＞65 答：这个长方形的面积最大是77平方厘米。 【详解】【分析】这个长方形的长＋宽=周长÷2=18厘米，然后想：哪两个质数相加的和等于18，18=11＋7=13＋5，然后用长×宽，计算出长方形的面积，再比较大小。 9．小贵家的电话号码是七位数(没有0)，从高位到低位排列依次是：最小的质数、最小的合数、既不是质数也不是合数的数、3的最小倍数、最大的一位数、最小的奇数、8的最大因数。小贵家的电话号码是多少？ 【答案】解：最小的质数是2， 最小的合数是4， 既不是质数也不是合数的数是1， 3的最小倍数是3本身， 最大的一位数是9， 最小的奇数是1， 8的最大因数是8本身， 电话号码是：2413918； 答：小贵家的电话号码是2413918。 【详解】【分析】根据题意，最小的质数是2，因此电话号码的第一位是2；最小的合数是4，因此电话号码的第二位是4；既不是质数也不是合数的数是1，因此电话号码的第三位是1；3的最小倍数是3本身，因此电话号码的第四位是3；最大的一位数是9，因此电话号码的第五位是9；最小的奇数是1，因此电话号码的第六位是1；8的最大因数是8本身，因此电话号码的第七位是8；据此写出即可。 七、奇数和偶数 1．两个相邻的非零自然数的积一定是 ( )。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】B 【详解】【解答】解：两个相邻的非零自然数一定是一个奇数和一个偶数，奇数×偶数=偶数，所以它们的积一定是偶数；因为1和2是两个相邻的自然数，且1×2=2，2是一个质数，所以它们的积不一定都是合数；因为2和3是两个相邻的自然数，且2×3=6，6是一个合数，所以它们的积也不一定都是质数。 故答案为：B。 【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）； 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数； 1既不是质数，也不是合数； 奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数； 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数。 2．下列各数中，(　　)既是奇数又是质数。 A．9 B．13 C．15 D．27 【答案】B 【详解】【解答】解：A项：9是奇数又是合数； B项：13是质数又是奇数； C项：15是奇数又是合数； D项：27是奇数又是合数。 故答案为：B。 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。据此选择。 3．在质数中，奇数的个数比偶数多。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：在质数中，只有2是偶数，其余都是奇数，所以质数中奇数的个数比偶数多，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数是质数，最小的质数是2，2是偶数，其余的质数都是奇数，所以质数中奇数的个数比偶数多。 4．10以内不是偶数的合数有　 　，不是奇数的质数有　 　。 【答案】9；2 【详解】【解答】解：10以内的合数有4、6、8、9，其中偶数是4、6、8，不是偶数的合数只有9， 10以内的质数有2、3、5、7，其中奇数是3、5、7，不是奇数的质数只有2； 故答案为：9；2。 【分析】偶数是能被2整除的数，奇数是不能被2整除的数；合数是除了1和本身外还有其他因数的数，质数是只有1和本身两个因数的数，据此求解。 5．3的倍数中，最小的偶数是　 　，最小的奇数是　 　。 【答案】6；3 【详解】【解答】解：3的倍数有3、6、9、12……，最小的偶数是6，最小的奇数是3。 故答案为：6；3。 【分析】求一个数的倍数，用这个数分别乘1、2、3……； 能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。 6．老师让同学们计算3个连续奇数的和，四名同学的答案如下。聪聪：“130。”明明：“132。”可可：“135。”乐乐：“150。”算对的同学是　 　。 这3个连续奇数中间的数是　 　。 【答案】可可；45 【详解】【解答】解：设中间奇数为n，则前一个奇数是n-2，后一个奇数是n+2，n-2+n+n+2=3n，3和n都是奇数，则3n一定是奇数，因此3个连续奇数的和是一个奇数，所以算对的同学是可可； 135÷3=45。 故答案为：可可；45。 【分析】奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数； 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数； 前一个奇数=中间奇数－2，后一个奇数=中间奇数+2，所以3个连续奇数的和=中间奇数－2+中间奇数+中间奇数+2=中间奇数×3，据此可以解答。 7．在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？ 【答案】解：⑴握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人。总次数=偶数次×人数=偶数 ⑵ 握奇数次手的总次数=握手总次数-偶数次握手总次数，即偶-偶=偶，而偶=奇数次×人数人数为偶数，由此证明。 【详解】【分析】由于每一次握手都是在两个人中进行的，所以每一次握手都被两个人所算了一次，这样，一次握手在所有握手者统计握手次数的总和中计数为2，由此可知，不管握手多少次，所有握手者统计握手次数的和必是偶数，由于总数是偶数，故加数是奇数的必出现偶数次，即握了奇数次手的人数一定是偶数。 八、分解质因数 1．将28分解质因数的正确形式是（　　）。 A．28＝1×28 B．2×2×7＝28 C．2×14＝28 D．28＝2×2×7 【答案】D 【详解】【解答】 将28分解质因数的正确形式是：28＝2×2×7 。 故答案为：D。 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘的形式，一般先从简单的质数试着分解，然后把所有的质数相乘。 2．一个数的最大的因数是 30，这个数是　 　，把它写成质数相乘的形式是　 　。 【答案】30；30=2×3×5 【详解】【解答】解：一个数的最大的因数是 30，这个数30，30=2×3×5。 故答案为：30；30=2×3×5。 【分析】一个数的最大的因数是它本身，30的最大因数是30；然后把30写成几个质数相乘的形式。 3．先圈出下面数中的合数，再把它们分解质因数。 17 24 30 31 51 【答案】解：如图所示： 24=2×2×2×3； 30=2×3×5； 51=3×17。 【详解】【分析】合数是指大于1的自然数中，除以1和它本身之外还有其他因数的数。 分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数。 九、公因数与最大公因数 1． 24，36和60的最大公因数是(　　)。 A．2 B．12 C．24 D．60 【答案】B 【详解】【解答】解：24=2×2×2×3 36=2×2×3×3 60=2×2×3×5 24，36和60的最大公因数是 2×2×3=12。 故答案为：B。 【分析】先把 24，36和60 分解质因数，再把它们共有的质因数相乘即可。 2．有两个数，它们的最大公因数是8，那么这两个数的公因数有(　　)。 A．1，8 B．2，4，8 C．1，2，8 D．1，2，4，8 【答案】D 【详解】【解答】解：这两个数的公因数有： 1，2，4，8 。 故答案为：D。 【分析】这两个数的公因数就是8的所有因数，即： 1，2，4，8 。 3．两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：两个数的最大公因数可能与其中一个数相等。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】如果一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是两个数的最大公因数。 4．一个数最小的倍数是18，它的因数有　 　个，这个数与27的最大公因数是　 　。 【答案】6；9 【详解】【解答】解：一个数最小的倍数是18，它的因数有6个，这个数与27的最大公因数是9。 故答案为：6；9。 【分析】一个数的最小的倍数是它本身； 求两个数的最大公因数，就是先写出这两个数的因数，然后找出它们公因数中的最大的即可。 5．已知两个因数的和是224，它们的最大公因数是28，这两个数是　 　和　 　。 【答案】28；196 【详解】【解答】解：224=28×8，8必须分成两个互质的数，才能使最大公因数为28，因此只有1和7，3和5满足；即：28×1=28，28×7=196；或28×3=84，28×5=140； 所以这两个数是28，196或是84，140。 故答案为：28；196或84；140。（答案不唯一） 【分析】把224写成28与8的乘积，28是公有质因数的积，8是独有质因数的积，把8分成两个质数的和，然后判断这两个数分别是几即可。 6．求下列各组数的最大公因数。 （1）45和60 （2）25和40 【答案】（1）解：45=3×3×5 60=2×2×3×5 45和60的最大公因数是：3×5=15。 （2）解：25=5×5 40=2×2×2×5 所以25和40的最大公因数是5。 【详解】【分析】把两个数分解质因数，然后把两个数公有的质因数相乘即可求出它们的最大公因数。 十、最大公因数的应用 1．把一张长12cm、宽8cm的长方形纸裁成同样大小的正方形。如果要求纸没有剩余。裁出的正方形的边长最大是　 　cm，可以裁　 　个这样大小的正方形。 【答案】4；6 【详解】【解答】解：12=3×4，8=2×4， 12和8的最大公约数是4，所以裁出的正方形的边长最大是4厘米， （12÷4）×（8÷4）=3×2=6（个） 可以裁6个这样大小的正方形。 故答案为：4；6。 【分析】12和8的最大公因数是正方形最长的边长，长方形的长÷正方形最长的边长=长能剪成的张数，长方形的宽÷正方形最长的边长=宽能剪成的张数，长能剪成的张数×宽能剪成的张数=一共能剪成的张数。 2．有三根木料，长度分别为是160dm、240dm和32m。现在要把他们截成相等的小段，且每根都不能有剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】解：160分米=16米，240分米=24米 16=2×2×2×2 24=2×2×2×3 32=2×2×2×2×2 所以，16、24、32的最大公因数是：2×2×2=8，即每小段最长是8米； 16÷8=2（段） 24÷8=3（段） 32÷8=4（段） 2+3+4=9（段） 答：每小段最长是8米，一共可以截成9段。 【详解】【分析】根据题意可知要求每小段最长是多少米即求三根木料长度的最大公因数：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再找到相同个数的质因乘积即为最大公因数，注意找相同质因数的乘积时相同质因数的个数也要相同，这个最大公因数即为每小段的最长长度，再根据：每根木料的长度÷这个最大公因数=每根木料可以截成的段数，分别计算出每根木料可以截成的段数，最后求和即可解答。 3．王老师准备了22颗糖果和19支铅笔奖励给班里获奖的学生，结果糖果少了2颗，铅笔多了1支。王老师最多奖励了几名学生? 【答案】22+2=24(颗) 19-1=18(支) 24和18的最大公因数是6 王老师最多奖励了6名学生 【详解】【分析】根据题意可知求最多奖励了几名学生就是求（原有糖果+少的糖果=实际需要的糖果数）和（原有铅笔-多的铅笔=实际发的铅笔数）的最大公因数：利用分解质因数的方法，先将两个数分别写成质因数相乘的算式，再找到相同个数的质因乘积即为最大公因数，注意找相同质因数的乘积时相同质因数的个数也要相同。 十一、公倍数与最小公倍数 1．下面四组数中，公因数只有1，又都是合数，且最小公倍数是120的是(　　)。 A．6和20 B．10和12 C．8和15 D．5和24 【答案】C 【详解】【解答】解：A：公因数包括1和2（不互质），6和20均为合数，最小公倍数为60，A错误； B：公因数包括1和2（不互质），10和12均为合数，最小公倍数为60，B错误； C：公因数只有1（互质），8和15均为合数，最小公倍数为8×15=120，C正确； D：公因数只有1（互质），5是质数，24是合数，最小公倍数为120，D错误。 故答案为：C。 【分析】根据题目给出的三个要求，逐一检验ABCD选项是否满足这三个条件，找出符合要求的选项； 质数是只有1和它本身两个因数， 合数是除了1和它本身还有别的因数， 两个数都有的因数叫做这两个数的公因数（其中最大的那个叫做最大公因数）， 两个数都有的倍数叫做它们的倍数（其中最小的那个叫做最小公倍数）。 2．两个数的乘积一定是这两个数的公倍数。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：两个数的乘积一定既是一个数的倍数，又是另一个数的倍数，所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数（0除外）。 故答案为：错误。 【分析】在研究因数和倍数时，指的数是非0自然数。所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数（0除外）。 3．42和36的最大公因数是　 　，最小公倍数是　 　。 【答案】6；252 【详解】【解答】解： 42和36的最大公因数是2×3=6； 最小公倍数是2×3×7×6=252。 故答案为：6；252。 【分析】用短除法求出42和36的最大公因数是6，最小公倍数是252。 4．两个质数的最小公倍数是209，这两个质数是　 　和　 　。 【答案】11；19 【详解】【解答】解：11×19=209，这两个质数是11和19。 故答案为：11；19。 【分析】依据100以内的质数表，两个质数相乘的积是209，则这两个质数是11和19。 5．求出下列每组数的最小公倍数。 20和30 9和15 7和11 15和35 10和12 4和24 【答案】解：20和30 20=2×2×5 30=2×3×5 20和30的最小公倍数是2×2×3×5=60 9和15 9=3×3 15=3×5 9和15的最小公倍数是3×3×5=45 7和11是互质数，7和11的最小公倍数是7×11=77 15和35 15=3×5 35=5×7 15和35的最小公倍数是3×5×7=105 10和12 10=2×5 12=2×2×3 10和12的最小公倍数是2×2×3×5=60 4和24 24是4的倍数，最小公倍数是24。 【详解】【分析】把两个数分解质因数，把公有的质因数和独有的质因数相乘就是它们的最小公倍数。公因数只有1的两个数的最小公倍数是两个数的乘积。较大数是较小数的倍数，最小公倍数是较大的数。 十二、最小公倍数的应用 1．学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完，如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（　　）人。 A．24 B．36 C．48 D．50 【答案】C 【详解】【解答】解：8=2×2×2，12=2×2×3， 8和12的最小公倍数是2×2×2×3=24， 8和12在50以内的倍数有24，48， 那么英语小组最多有48人。 故答案为：C。 【分析】在50以内8和12的最大的公倍数就是英语小组最多的人数。 2．有一箱桃子，6个6个地数， 刚好数完； 8个8个地数， 也刚好数完。 这箱桃子最少有　 　个。 【答案】24 【详解】【解答】解：6和8的最小公倍数为24，所以这箱桃子最少有24个。 故答案为：24。 【分析】已知这箱桃子6个6个地数、8个8个地数都刚好数完，表明桃子总数是6和8的公倍数；要求这箱桃子最少的个数，即求6和8的最小公倍数24。 3．明明和华华喜欢去图书馆看书，明明每4天去一次，华华每6天去一次，6月26日他们在图书馆相遇，下一次他们在图书馆相遇的时间是　 　月　 　日。 【答案】7；8 【详解】【解答】解：4=2×2 6=2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3=12，6月26日他们在图书馆相遇，下一次他们在图书馆相遇的时间是6月26日+12天=7月8日。 故答案为：7；8。 【分析】此题主要考查了最小公倍数的应用，先分别将4、6分解质因数，然后找出它们的最小公倍数，也就是间隔的时间，然后用现在相遇的时间+间隔的时间=下一次需要的时间，据此列式解答。 4．两只青蛙进行跳跃比赛。A青蛙每次跳10cm，B青蛙每次跳15cm，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始跳。在比赛途中，每隔12cm有一个陷阱，当它们中的一只掉进陷阱时，另一只距离陷阱最少有多少厘米？ 【答案】解：已知每隔12cm有一个陷阱，所以在12cm处、24cm处、36cm处、48cm 处、60cm处、72cm处……均设有陷阱。10和12的最小公倍数是60，15和12的最小公倍数是60。 60÷10=6(次) 60÷15=4(次) 4<6，所以B青蛙先掉进陷阱。 4×10=40(cm) 40-36=4(cm) 48-40=8(cm) 4<8 答：另一只距离陷阱最少有4cm。 【详解】【分析】陷阱的位置一定在12的倍数的位置。判断出10和12，15和12的最小公倍数，根据公倍数和每只青蛙跳的长度判断哪只青蛙先掉进陷阱，然后判断出掉进陷阱的距离，再判断另一只距离陷阱的长度。 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $$