专项8 四边形的计算与证明-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级下册数学期末试卷精选（人教版）河北专版

期末复习第2步·攻专项 专项8 四边形的计算与证明 根据河北省最新中考考情编写 满分:40分得分: 编者按:本专项聚焦于期末考试中四边形的常考类型,包括尺规作图、折叠、旋转、动点等内容,涉及平 行四边形、矩形、菱形和正方形的相关知识,通过专项练习助力同学们突破期末高频重难点, 1.(8分)如图,在口ABCD中,AB<BC (1)实践与操作:利用尺规完成下面作图.(不写作法,保留作图痕迹) ①在BC边上截取BE三AB,连接AE: ②作/ABC的平分线,交AE于点0.交AD于点F (2)试猜想线段0B与0F的数量关系,并加以证明 2. 教材P64数学活动1改编(10分)某数学兴趣小组在学完平行四边形之后,研究了教材中 的数学活动.其内容如下: 如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作60{},30{},15^{①}等大小的角,可以采用下面的方法 把长只慨N·写 (如图1): (1)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平. (2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B.得到折痕 BM.同时,得到了线段BN 图1 请根据上述过程完成下列问题 (1)连接AN,如图2.请直接写出:/ABM=_*,乙MBN和乙NBC的数量关系是 (2)乐乐在数学活动的第(2)步基础上再次动手操作(如图3).将MN延长交BC于点G 将△BMG沿MG折叠,点B刚好落在AD边上点H处,连接GH,把纸片再次展平.请判断 四边形BGHM的形状,并说明理由. D 用2 图3 河北专版 数学 八年级 下册 人教 27 3.(10分)(1)如图1.已知正方形ABCD和正方形CEFG,点G在BC边的延长线上,点E在CD 边上,则BE与DG的数量关系为 ,BE与DG的位置关系为 (2)将(1)中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时,(1)中的结论是否成立?若成立,请给 出证明:若不成立,请说明理由 (3)若AB=5V2,CE=V2,在正方形CEFG绕点C旋转一周的过程中,当A,F,G三点在一 条直线上时,请直接写出AG的长 图2 4.(12分)如图,已知菱形ABCD的边长为43,乙BAD=60{*},E,F为对角线AC上的两个动 点,分别从点A,C同时出发,相向而行,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为s.点E F分别运动到点C,A后停止 把长回册N步·也r (1)①对角线AC的长为 ②用含t的代数式直接表示线段EF的长 (2)在点E,F运动过程中,G.HI分别为AD.BC的中点. ①当:<6时,求证:四边形EGFHI为平行四边形; ②若以E,G.F,HI为顶点的四边形是矩形,请直接写出此时;的值 28 河北专版 数学 八年级 下册 人教AB=8 dm,AE=ZAB=4 dm. 由折叠的性质，得MB=MH.∴.BG=MH. ,MH∥BG .在Rt△ABE中，BE=√AB2-AE2=4√3dm ∴.四边形BGHM为平行四边形 (4分) .MB=BG .CA 10 dm,.CE=CA-AE 6 dm. .四边形BGHM为菱形 (10分) .在Rt△CBE中，BC=√BE+CE2=2√/21dm. 3.解：(1)BE=DGBE⊥DG (2分) (7分) (2)(1)中的结论成立. (3分) 设点A到BC的距离为hdm. 证明：如图①，延长BE交DG于点M,设BM交 Sac=2CMBE=BC-h,即5×10× CD于点O 4W3=号x22I×h,h=20,7 7 答：点A到BC的距离为20,7dnm 7 (10分) 4.解：(1)证明：根据题意，得正方形ABCD的面 积为c2,正方形EFGH的面积为(a-b)2,四个 图① 直角三角形面积的和为4×26， :四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， .BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°. c=(a-bP+4×2b=a-2ab+8+ .∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD,即∠BCE= LDCG. 2ab a2+b2. (4分) .△BCE≌△DCG. (5分) (2)根据题意，得Sc= SEua-SEne）= ∴.BE=DG,∠CBE=∠CDG 4×(60-20)=10 ,∠BOD=∠CDG+∠DMB=∠CBE+∠BCD, (7分) .∠DMB=∠BCD=90°. (3)a=2√3，b=√5，∠AGB=90°， .BE⊥DG. (7分) .在Rt△AGB中，c=√a2+b=√17. (3)AG的长为7√2 (10分) ∴.4c=4√17，即正方形ABCD的周长为4√17. 【解析】连接AC.,AB=BC=5√2，LABC= (10分) 90°，.AC=√AB2+BC2=10,CG=CE= √2.当A,F,G三点在一条直线上时，分两种 专项8四边形的计算与证明 情况： 1.解：(1)①②所作图形如图所示 (3分) ①如图②，当点F在线段AG上时，∠AGC= 90°..AG=WAC2-CG=7N2 (2)0B=OF. (4分) 证明：连接EF.,四边形ABCD是平行四边 形，，AD∥BC.∠AFB=∠CBF. ,BF平分∠ABC,,∠ABF=∠CBF. ,∠AFB=∠ABF..AF=AB. 图② 图③ BE=AB,∴.AF=BE .四边形ABEF是平行四边形 ②如图③，当点G在线段AF上时，∠AGC= ∴0B=OF (8分) 90°..AG=√AC2-CG2=7N/2. 2.解：(1)30∠MBN=∠NBC (4分) 综上所述，AG的长为7√2 (2)四边形BGHM为菱形. (5分) 4.解：(1)①12 (2分) 理由：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD= 【解析】连接BD,交AC于点O.:四边形 ∠ABC=90°，AD∥BC.由(1)得∠ABM=30°， ABCD为菱形，∠BAD=60°，，AC⊥BD,OA= .∠AMB=∠MBG=60° 由折叠的性质，得∠MBN=∠ABM=30°， 0C,∠DA0=30.0D=2AD=2W3.0A= ∠BMN=∠AMB=60°. √AD2-0D2=6.∴.AC=20A=12 .△MBG为等边三角形. (7分) ②当0≤t≤6时，EF=12-2;当6<t≤12 ..MB BG. 时，EF=2t-12. (4分) 河北专版 数学 八年级 下册人教 (2)①证明：：四边形ABCD是菱形， 设直线AB的函数解析式为y=mx+n,则k= ∴.AD=BC,AD∥BC m.将点A(2,0),B(4,2)代人y=mx+n,得 ∴.∠GAE=∠HCF 2m+n=0, G,H分别为AD,BC的中点， 4m+n=2. 解得m1, (n=-2. .k=1 ∴AG=GD,BH=CH.,∴.AG=CH ②当点A,B在直线y=x+4(k≠0)异侧时， :点E,F分别从A,C同时出发，速度均为每 设线段AB的中点为D,连接CD.AD=BD. 秒1个单位长度， AC=BC,∴.CD⊥AB.∴.一次函数y=kx+4 ∴.AE=CF..△GAE≌△HCF. (6分) (k≠O)的图象过点D时，点A,B到一次函数 ∴，GE=FH,LAEG=∠CFH. y=kx+4(k≠0)图象的距离相等 ∴.∠FEG=∠EFH. 点A(2,0),B(4,2),∴.点D的坐标为(3,1) ∴.GE∥FH. 将点D(3,1)代入y=kx+4,得3+4=1. ,四边形EGFH为平行四边形 (8分) k=-1.综上所述，k的值为±1. ②t的值为6-2W3或6+2W3 (12分) 3.解：(1)把点B(-1,n)代入为=-2x,得n=2. 【解析】连接GH.,G,H分别为AD,BC的中 ∴点B(-1,2). (1分) 点.AG=AD,BH=BC在菱形ABCD中， 把点A(0,3),B(-1,2)代入y1=kx+b,得 b=3, AD=BC,AD∥BC,.AG=BH..四边形AGHB -k+b=2 解得k=1, 1b=3. 是平行四边形.GH=AB=4V3】 .一次函数的解析式为y,=x+3. (4分) 若以E,G,F,H为顶点的四边形是矩形时，分 (2)x>-1. (6分) 两种情况： (3)设点D的坐标为(m,m+3),∴y=m+3引. a.当0≤t≤6，EF=GH=4√3时，口EGFH是 在y1=x+3中，令y=0,则x=-3..C(-3,0). 矩形.此时12-21=4v3.解得t=6-2√3. 0c=3.5m=0c-加=3n+3引 b.当6<t≤12，EF=GH=4wW3时，口GFHE 1 SAOC=0Cya=3,SAoC=2SA0Cm 是矩形.此时2t-12=4V3.解得t=6+2√3. 综上所述，若以E,G,F,H为顶点的四边形是 3 2m+3引=2×3. 矩形时，t的值为6-2√/3或6+2√3. ∴m=-7或m=1.对应m+3的值为-4,4. 点D的坐标为(1,4)或(-7，-4).（10分) 专项9一次函数的图象与性质 4.解：(1)(14,6) (2分) 1.解：(1)直线y=2x-m过点P(m,2), 【解析】，点A(10,0),点0(0,0)，∴OA=10. ∴，2=2m-m.解得m=2. ,四边形OABC是平行四边形，∴，BC∥OA, 直线AB的函数解析式为y=2x-2.(3分) BC=0A..点C(4,6),∴点B(14,6) (2)x=1 (5分) (2):点D是线段BC上一个动点，∴.设点D (3)直线y=2x-2向上平移5个单位长度得 的坐标为(m,6). 到直线y=2x+3. 当△OAD是等腰三角形时，分三种情况： 当x=0时，y=3;当y=0时，x= 3 ①当OD=OA=10时，延长BC交y轴于点M. 2 .0M=6..DM=√0D2-0M=8,即m=8. ∴.C(0,3),D- .点D的坐标为(8,6). ②当OD=AD时，则点D在OA的垂直平分线 ∴.0C=3,0D= 2 上.∴.点D的坐标为(5,6) .SACOD=2 c-0n= ③当OA=AD=10时，过点A作AN⊥BC于点 (8分) N..AN=6,点N(10,6)..DN=√AD2-AN2= 2.解：(1)在y=kx+4中，当x=0时，y=4. 8.当点D在点N左侧时，m=10-8=2;当点 点C的坐标为(0,4). (3分) D在点N右侧时，m=10+8=18.当m=2和 (2)A(2,0),B(4,2),C(0,4) m=18时点D都不在线段BC上，与题意不 .AC=√22+42=2√5，BC=√42+(4-2P= 符，舍去 综上所述，点D的坐标为(8,6)或(5,6).(8分) 2√5. ∴.AC=BC (6分) (3让与6的关系式为：=+号 (12分) (3)k的值为±1. (10分) 【解析】连接AC,OB,交于点E.四边形OABC 【解析】连接AB.根据题意，分两种情况：①当 是平行四边形，∴AE=CE.,点A(10,0),点 点A,B在直线y=kx+4(k≠0)同侧时，直线 C(4,6),∴.点E(7,3).直线y=x+b正好 AB与一次函数y=x+4(k≠0)的图象平行， 将平行四边形OABC分成面积相等的两部分， 河北专版数学 八年级 下局 人教 8