2024-2025学年人教A版高一数学必修二第二学期10.3.1 频率的稳定性

人教A版高一数学必修二第二学期10.3.1 频率的稳定性 第十章 概率 10.3.1 频率的稳定性 核心素养目标 1.数学抽象：理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系； 2.直观想象：能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题； 3.逻辑推理： 4.数学运算：了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率。 理解用随机模拟方法估计概率的实质 教学目标 教学重点：了解随机数的意义，会用随机模拟方法估计概率， 理解用随机模拟方法估计概率的实质 教学难点：会用随机模拟方法估计概率，理解用随机模拟方法估计概率的实质 知识讲解 问题引入 对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率，但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断，例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法. 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率，那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 5 知识讲解 回顾： 什么是频率? 在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数，称事件A出现的比例   为事件A出现的频率. 显然，0≤     ≤1. 思考：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，我们研究一下有什么规律？ 知识讲解 知识讲解 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20, 100,500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)(如下表) 序号 n＝20频数 频率 n＝100频数 频率 n＝500频数 频率 1 12 0.60 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.500 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.60 52 0.52 253 0.506 思考：(1)同一组的试验结果一样吗?为什么会出现这种情况？ (2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？ 8 知识讲解 用折线图表示频率的波动情况,你有什么发现? 结论: (1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性 (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 9 知识讲解 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A) 估计概率P(A). 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记着P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。 知识讲解 频率与概率的区别和联系的剖析： （1）在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性； （2）频率是随机的，在实验之前不能确定；概率是一个确定的数，与每 次实验无关，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小； （3）一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)． 频率的应用： 大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时可以使用频率fn(A)估计概率P(A)． 知识讲解 随机数的产生： 1．用随机试验生成随机数 准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中；从袋中有放回摸取，每次摸取一个球，这样就生成了一个随机数． 2．用电子表格（Excel）软件生成随机数 在Excel表格的任一单元格中，输入"=RANDBETWEEN(a，b)"，即可生成一个a～b范围内的整数随机数．再利用电子表格软件的自动填充功能，可以快速生成大量的随机数．这样产生的随机数可能会有重复． 知识讲解 随机模拟 用频率估计概率，需要做大量的重复试验．有没有其他方法可以替代试验呢? 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． 随机数：例如我们要产生0～9之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数． 伪随机数：计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 知识讲解 例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0,1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上．这样不断产生 0，1 两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验． 又如，一个袋中装有 2 个红球和3 个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别．对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5 表示白球．这样不断产生 1～5 之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验． 14 知识讲解 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率． n 10 20 50 100 150 200 250 300 nA 6 7 20 45 66 77 104 116 fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 画出频率折线图（图 10.3-2），从图中可以看出∶随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4． 知识讲解 利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果． 其基本思想是用产生整数随机数的频率估计事件发生的概率． 16 知识讲解 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为的比率，精确到0.001); (1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001); (2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率。 解：(1)2014年男婴出生的频率为 2015年男婴出生的频率为 由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537, 2015年男婴出生率约为0.532. 知识讲解 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为的比率，精确到0.001); (2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 解：(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度，因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论. 知识讲解 1.确定随机事件A的频数nA； 2.由fn(A)＝ 计算频率fn(A) (n为试验的总次数); 3.由频率fn(A)估计概率P(A). 概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率. 由统计定义求概率的一般步骤： 知识讲解 一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜，判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等。 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才300次，而乙却胜了700次，据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的，你更支持谁的结论？为什么？ 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5;当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近，而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断。 知识讲解 气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确，那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？ 提示：降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨． 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确。 知识讲解 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表: 投篮次数 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 6 8 12 17 25 32 39 进球频率 计算表中进球的频率; 这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗? 解：概率约是0.8 不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结果都是随机的,所以投10次篮的结果也是随机的. 知识讲解 如果某种彩票的中奖概率为1/1000，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？（假设该彩票有足够多的张数.） 不一定。买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次的结果也是随机的。 虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试验次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖。 买1000张彩票中奖的概率为: 知识讲解 做整数随机模拟试验时应注意的相关事项： （1）首先要确定随机数的范围，明确哪个数字代表哪个试验结果； （2）当试验的基本结果的可能性相等时，基本事件总数即为产生随机数 的范围，每个随机数代表一个基本事件； （3）当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结 果的数字个数及范围； （4）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来 处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复． 知识讲解 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 <m></m> 5544 9607 13520 17190 男婴数 <m></m> 2883 4970 6994 8892 （1）计算男婴出生的频率（保留4位小数）. （2）这一地区男婴出生的概率约是多少？ 知识讲解 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取1个球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？ 知识讲解 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区.经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量. 知识讲解 频率与概率的联系与区别 区别： (1)频率本身是随机变化的，具有随机性， 试验前不能确定。 (2)概率是一个确定的数，客观存在的，与试验次数无关。 联系: 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 (由频率估算出概率) Lavf58.20.100 $$