专题03一元二次方程的解法：公式法（6大考点精准练+2大易错点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题03一元二次方程的解法：公式法 （6大考点精准练+2大易错点+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 公式法解一元二次方程 1.求根公式的推导： 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2.一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 3用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 知识点2 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 3.根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 【题型1】一元二次方程的求根公式 1．以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 故选：． 2．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】判断出，，，可得结论． 【详解】解：由题意，，． 故选：． 3．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可解答． 【详解】解：可以表示一元二次方程的根， ，，， 这个一元二次方程可以是， 故选：． 【题型2】公式法解一元二次方程 4．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【分析】先把方程化成标准形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可 ． 【详解】解： （1）， ， ，，， ， ， ，； （2）， ； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 5．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：，然后把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】解：（1）去括号，移项方程化为一般式为：， ，，， ， ，； （2），，， ， ， ，； （3），，， ， ， ，． 6．用公式法解下列各方程： （1） （2） （3）． 【分析】（1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式、整理得：，再把，，代入求根公式计算即可； 【详解】解：（1），，， △ ． （2），，， △ ，． （3）整理，得： ，， △ ，． 【题型3】不解方程判断一元二次方程的根的情况 7．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】根据△，即可判断根的情况． 【详解】解：由条件可得△， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 8．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】先计算求出根的判别式△的值，再根据△的值来判断根的情况即可． 【详解】解：由条件可知△， 该方程没有实数根， 故选：． 9．关于的方程的根的情况是　　． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论． 【详解】解：由条件可得， 这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【题型4】已知解的情况求字母的值 10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故选：． 11．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为　　 ． 【答案】． 【分析】对于一元二次方程，判别式△，当△时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【详解】解：有实数根， △， 解得． 故答案为：． 12．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为 　且　 ． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且， 即的取值范围为且． 故答案为：且． 【题型5】根的判别式的综合应用 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）且；（2），． 【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且△，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，解方程即可解答． 【详解】解：（1）由题意得△且， 所以且； （2），且，为正整数， ， 方程为， △ ，． 14．已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1）的取值范围是； （2）方程的两个根都是1． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）结合（1）中的取值范围，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， 因为关于的一元二次方程有实根， 所以△， 解得， 所以的取值范围是． （2）由（1）知，的最大整数值为0， 则该方程为， 解得， 所以方程的两个根都是1． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 【答案】（1）； （2）的值为2或5． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）由于△，为正整数，△为完全平方数，则或5，然后用公式法解方程验证． 【详解】解：（1）根据题意得△， 解得， 所以的取值范围为； （2）△， 而为正整数，且方程的两个根均为整数， 或5， 当时，△， ， 解得，， 当时，△， ， 解得，， 的值为2或5． 【题型6】根的判别式与三角形问题 16．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 【答案】（1），； （2）直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：（1）当△是等边三角形时，， 原方程可化为：，即， ， ， ，； （2）是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， △， ， ，即， △是直角三角形． 17．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】（1）见解答； （2）10． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得到△，根据非负数的性质易得△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，则△，解得，然后解方程得到，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当或时，把代入方程可解得的值，则代入方程可解答． 【解答】（1）证明：△ ， ， ，即△， 无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：①当时，△， 解得， 方程化为，解得， ， 此种情况不成立； ②当或时，把代入方程得， 解得：， 方程化为，解得，， 即三边为4，4，2，能够成三角形， 则周长， 所以这个等腰三角形的周长是10． 18．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边，的长恰好是这个方程的两个根，求△的周长． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△，然后根据非负数的性质得△，则根据判别式的意义得到结论； （2）把代入方程得出关于的方程，求得的数值即可．已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出△的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 【详解】解：（1）证明：△， 无论取何实数，该方程总有实数根； （2）①若为底边，则，为腰长，则，则△． ，解得：． 此时原方程化为 ，即． 此时△三边为1，2，2能构成三角形， 故周长为； ②若为腰，则，中一边为腰，不妨设 代入方程： 解得， 则原方程化为， 解得，， 即，， 此时△三边为1，1，2不能构成三角形，则舍去； △的周长为5． 【易错点1】 忽视应用根的判别式的前提 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　　 A． B．且 C．且 D． 【答案】 【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得△，从而可以列出关于的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：由题意可得：△，且， 解得，且， 故选：． 【方法点睛】 可以银据一元二次方程根的情况利用方程或不等式从而解出字母的值或取值范围：若待定的字母 出现在二次项系数中，则二只项系数不为Q 【易错点2】 没有认清方程有实数根和一元二次方程有实数根的区别 已知方程有实数根，求的取值范围． 【答案】（1）5； （2）． 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可； （2）方程有实数根，可以分为一元一次方程和一元二次方程．一元一次方程始终是有实数根，一元二次方程可以用△判断． 【详解】解：（1） ； （2）当，即时，方程变为，有实数根； 当，即时，原方程要有实数根，则△，即△，解得， 则的范围是且． 综上所述，的取值范围为． 【方法点睛】 方程有实数根此方程不一定是一元二次方程也可能是一元一次方程：方程有两个 实散根该方程一定是一元二次方程 一．选择题（共6小题） 1．（2025春•瑶海区校级期中）用求根公式解一元二次方程时，，，的值是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】把原方程化为形如（其中、、是常数，的形式即可得到答案． 【详解】解：原方程整理得， 则，，， 故选：． 2．（2024秋•阜平县期末）用公式法解一元二次方程时，若，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 【答案】 【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论． 【详解】解：一元二次方程可化为， ． 故选：． 3．（2025•西华县二模）若方程没有实数根，则的值可以是　　 A． B．0 C．1 D． 【答案】 【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出的取值范围即可． 【详解】解：由根的判别式可得， 的值可以是， 故选：． 4．（2025•三门峡二模）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】先利用根的判别式的意义得到△，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 【详解】解：由根的判别式可得△， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：． 5．（2025•兰考县一模）已知关于的一元二次方程，其中是实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是　　 A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的△， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 6．（2025•宛城区二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是　　 A． B．0 C． D． 【答案】 【分析】由题意易得△，然后求解即可 【详解】解：由题意可知： △且， 解得：且， 的值可以是； 故选：． 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•横州市校级期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， 　　． 【答案】． 【分析】根据求根公式中、、的意义求解． 【详解】解：，，． 故答案为：． 8．（2024秋•嘉定区校级期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　（本题答案不唯一）　． 【答案】（本题答案不唯一）． 【分析】对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可写出一个一元二次方程，如果各项系数同时扩大或者缩小相同的倍数也是符合题意的． 【详解】解：一元二次方程的根为， ，，， 当时，该一元二次方程可以为， 故答案为：（本题答案不唯一）． 9．（2025春•合肥校级月考）若的值与的值相等，则　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意得到方程，求出方程的解即可． 【详解】解：有条件可知，整理得：， ， ， 故答案为：． 10．（2024秋•宁远县期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，★，则方程2☆★8的解为　　． 【答案】． 【分析】根据新定义运算，可得出2☆，★，由2☆★8得到，利用配方法解方程即可． 【详解】解：☆，★， ☆，★， ☆★8， ，即， ， ， ． 故答案为：． 11．（2025•淮滨县一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是　1（答案不唯一，满足即可）　 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可）． 【分析】对于一元二次方程，若△，则方程有两个不相等的实数根，若△，则方程有两个相等的实数根，若△，则方程没有实数根，据此利用判别式求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由条件可得△， ， 的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一，满足即可）． 12．（2025•即墨区校级二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为　且　． 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且． 故答案为：且． 三．解答题（共5小题） 13．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），． （2），． （3），． 【分析】（1）首先得出的符号，进而利用求根公式得出答案； （2）方程整理后，首先得出的符号，进而利用求根公式得出答案； （3）方程整理后，首先得出的符号，进而利用求根公式得出答案． 【解答】（1）； 解：，，， △． ， ，． （2）； 解：将原方程化为一般形式，得， △， ． ，． （3）． 解：将方程整理为一般形式，得， ，，， △． ． ，． 14．用公式法解关于的方程： （1） （2） 【分析】（1）根据公式法即可求出答案； （2）根据公式法即可求出答案． 【详解】解：（1）， ， ，，， △ ， ； 或； （2）， ，，， △ ， 或； 15．（2024秋•金沙县期末）已知关于的一元二次方程． （Ⅰ）当时，求方程的实数根． （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）令，用公式法求出一元二次方程的根即可； （Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于的不等式，求解不等式即可． 【详解】解：（Ⅰ）当时，方程为． △． ， ，． （Ⅱ）方程有两个不相等的实数根， △ 即 ． 16．（2025•黄岛区自主招生）已知，是关于的方程的两个不等实数根． （1）求实数的取值范围： （2）已知等腰△的一边长为3，若、恰好是△另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】（1）； （2）1，3． 【分析】（1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为3，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： △， 解得：； （2）由题意可知：， 只能取或，即3是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或5， 当时，方程的另一个根为1，此时三角形三边分别为1，3，3，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为9，此时三角形三边分别为9，3，3，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为1，3． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一元二次方程的解法：公式法 （6大考点精准练+2大易错点+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：X大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 公式法解一元二次方程 1.求根公式的推导： 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2.一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 3用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 知识点2 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程 根的情况 3.根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 【题型1】一元二次方程的求根公式 1．以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 2．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 3．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为　　 A． B． C． D． 【题型2】公式法解一元二次方程 4．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3） ． 5．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 6．用公式法解下列各方程： （1） （2） （3）． 【方法点睛】公式法解一元二次方程的步骤 1.化：先把方程化为一般形式：ax²十bx+c=0(a≠0). 2.定：确定a,b,c的值. 3.算：算出b²一4ac的值. 4.求：当b²-4ac≥0时，把a,b及b²一4ac的值代入一元二次方程 的求根公式，求得方程的根；当b²一4ac<0时，方程没有实数根 【题型3】不解方程判断一元二次方程的根的情况 7．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 9．关于的方程的根的情况是　　． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【题型4】已知解的情况求字母的值 10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A． B． C． D． 11．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为　　 ． 12．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为 　　 ． 【方法点睛】 应用判别式的两点注意 (1)判别式只适合一元二次方程，不适合其他方程 (2)注意隐含条件，即二次项系数a≠0. 【题型5】根的判别式的综合应用 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 14．已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 【方法点睛】 应用判别式求字母的取值范围的思路： 在利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b2一4ac与0的大小 关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式（组），最后求解， 【题型6】根的判别式与三角形问题 16．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 17．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 18．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边，的长恰好是这个方程的两个根，求△的周长． 【易错点1】 忽视应用根的判别式的前提 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　　 A． B．且 C．且 D． 【方法点睛】 可以银据一元二次方程根的情况利用方程或不等式从而解出字母的值或取值范围：若待定的字母 出现在二次项系数中，则二只项系数不为Q 【易错点2】 没有认清方程有实数根和一元二次方程有实数根的区别 已知方程有实数根，求的取值范围． 【方法点睛】 方程有实数根此方程不一定是一元二次方程也可能是一元一次方程：方程有两个 实散根该方程一定是一元二次方程 一．选择题（共6小题） 1．（2025春•瑶海区校级期中）用求根公式解一元二次方程时，，，的值是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2024秋•阜平县期末）用公式法解一元二次方程时，若，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 3．（2025•西华县二模）若方程没有实数根，则的值可以是　　 A． B．0 C．1 D． 4．（2025•三门峡二模）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025•兰考县一模）已知关于的一元二次方程，其中是实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是　　 A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．（2025•宛城区二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是　　 A． B．0 C． D． 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•横州市校级期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， 　　． 8．（2024秋•嘉定区校级期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　　． 9．（2025春•合肥校级月考）若的值与的值相等，则　　 ． 10．（2024秋•宁远县期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，★，则方程2☆★8的解为　　． 11．（2025•淮滨县一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是　　 （写出一个即可）． 12．（2025•即墨区校级二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为　　． 三．解答题（共5小题） 13．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 14．用公式法解关于的方程： （1） （2） 15．（2024秋•金沙县期末）已知关于的一元二次方程． （Ⅰ）当时，求方程的实数根． （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 16．（2025•黄岛区自主招生）已知，是关于的方程的两个不等实数根． （1）求实数的取值范围： （2）已知等腰△的一边长为3，若、恰好是△另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$