第03讲 一元函数的导数及其应用【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019）》

第03讲 一元函数的导数及其应用 【复习目录】 · 一、瞬时变化率与导数的概念 · 二、求函数的导数 · 三、导数几何意义的应用 · 四、函数与导函数图像之间的关系 · 五、由函数的单调性求参数 · 六、求已知函数的极值/最值 · 七、已知极值（极值点）/最值求参数 · 八：函数的最值求参数问题 · 九、导数中恒（能）成立问题 · 十、导数中零点问题 · 十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 【知识梳理】 1．导数的概念 (1)一般地，函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ， 我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . 2．导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则：若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 6：函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 7．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 8.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值； 若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． 【题型归纳】 题型一、瞬时变化率与导数的概念 1．（24-25高二下·河南洛阳·期中）设是定义域为R的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 题型二、求函数的导数 4．（24-25高二上·全国）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 5．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 6．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)； (3)． 题型三、导数几何意义的应用 7．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四、函数与导函数图像之间的关系 10．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 11．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 题型五、由函数的单调性求参数 13．（23-24高二下·天津北辰·期中）若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六、求已知函数的极值/最值 16．（24-25高二上·湖南怀化·期末）函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 17．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 18．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数，则在（    ） A．上单调递增 B．处有最小值 C．上有三个零点 D．上单调递增 题型七、已知极值（极值点）/最值求参数 19．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·青海海南·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．1或 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数有2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：函数的最值求参数问题 22．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 23．（2023·陕西宝鸡·二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九、导数中恒（能）成立问题 25．（22-23高二下·新疆喀什·期末）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高三上·河南驻马店·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 27．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十、导数中零点问题 28．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·海南·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 30．（20-21高二下·甘肃平凉·期末）已知函数，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是 . 题型十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 32．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 33．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北石家庄·期中）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，记则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 10．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数，则（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上的最大值为4 C．函数在点处的切线方程为 D．若关于x的方程在区间上有两解，则 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设函数的定义域为，导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（   ） A．方程有唯一实数根 B．在区间上单调递增 C． D．若，则 三、填空题 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 13．（24-25高二上·安徽·期末）若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 14．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 15．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为 ． 四、解答题 16．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 17．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 18．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 19．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知函数. (1)若有正零点，求实数的取值范围； (2)若，求曲线在点处的切线方程，并证明：当时，恒成立. 20．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元函数的导数及其应用 【复习目录】 · 一、瞬时变化率与导数的概念 · 二、求函数的导数 · 三、导数几何意义的应用 · 四、函数与导函数图像之间的关系 · 五、由函数的单调性求参数 · 六、求已知函数的极值/最值 · 七、已知极值（极值点）/最值求参数 · 八：函数的最值求参数问题 · 九、导数中恒（能）成立问题 · 十、导数中零点问题 · 十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 【知识梳理】 1．导数的概念 (1)一般地，函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ， 我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . 2．导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则：若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 6：函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 7．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 8.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值； 若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． 【题型归纳】 题型一、瞬时变化率与导数的概念 1．（24-25高二下·河南洛阳·期中）设是定义域为R的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据导数的极限定义计算即得. 【详解】因， 故. 故选：A. 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以， 故选：B 题型二、求函数的导数 4．（24-25高二上·全国）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复合函数求导法则及商的求导法则计算可得； （2）根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； （3）首先利用诱导公式及二倍角公式化简，再根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； 【详解】（1）∵， ∴． （2）． （3）∵， ∴． 5．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用分式函数的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2） （3） （4） 6．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算. 【详解】（1） ； （2）； （3）． 题型三、导数几何意义的应用 7．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 8．（24-25高二上·重庆·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：A 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，求出原函数的导函数，依题得到，由二次函数的性质和正切函数的图象性质即得的取值范围. 【详解】设点，由求导得， 依题意，， 因，故得，又，故得. 故选：B. 题型四、函数与导函数图像之间的关系 10．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得，且； 对于AB，易知时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，可得，因此，即D错误. 故选：A 11．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合导函数的图象分析的单调性，再结合偶函数的导函数为奇函数判断即可. 【详解】由导函数的图象可知当或时， 当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 且的图象关于原点对称，即为奇函数， 设为偶函数，即，所以，所以为奇函数， 即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数， A、B、D三个图象均关于轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意； C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C 12．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【答案】C 【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值. 【详解】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 题型五、由函数的单调性求参数 13．（23-24高二下·天津北辰·期中）若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 14．（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，在内恒成立，利用参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围； 【详解】函数求导得由题意可知， 在内恒成立，即在内恒成立， 故，令， 令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 则函数在有最大值为， 故， 故选：B. 15．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数的导数，转化为方程在区间上无实数解或有重根，参变分离为，转化为利用导数分析函数的性质和图象，结合函数的图象的交点个数求的取值范围. 【详解】依题意，，则在上无实数解，或有重根， 由，得，即， 令，则， 故当时，，当时，， 且，作出函数在上的图象如图所示，观察可知，或. 故选：D 题型六、求已知函数的极值/最值 16．（24-25高二上·湖南怀化·期末）函数的极值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据函数极值的定义求解即可. 【详解】由题知的定义域为，且. 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值， 故选：A 17．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以． 故选：C 18．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数，则在（    ） A．上单调递增 B．处有最小值 C．上有三个零点 D．上单调递增 【答案】D 【分析】根据题意，直接利用导数研究其单调性，最值和零点即可. 【详解】， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增；； 对A：在不单调，故A错误； 对B：在处取得极大值，故B错误； 对C：，又在单调递增， 故在有一个零点；又，故在没有零点； 综上所述，在上只有一个零点，故C错误； 对D：在单调递增，故D正确. 故选：D. 题型七、已知极值（极值点）/最值求参数 19．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，由已知可转化为有两个不同的正实数解，根据二次函数零点的分布列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】 因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的正实数解， 所以有有两个不同的正实数解， 即二次函数有两个不同的正零点， 所以有，解得. 故选：D. 20．（23-24高二下·青海海南·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．1或 【答案】B 【分析】先由在处取得极大值求得值，再分别分析与时的在处的极值情况，从而得解. 【详解】因为， 所以， 因为在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意； 综上，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求得值后，要进行检验满足题意与否，从而得解. 21．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数有2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域及导数，函数有2个极值点，则方程在上有2个不同的实数根，列不等式组即可得答案. 【详解】的定义域为，， 因为有2个极值点，所以方程在上有2个不等的实数根， 所以， 解得. 故选：B. 题型八：函数的最值求参数问题 22．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得最值，则有， 解得. 故选：C. 23．（2023·陕西宝鸡·二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，设，得出有一正根一负根，因此题意说明正根在区间内，从而由得参数范围． 【详解】， 设，因为，因此有两个不同实根， 又，因此两根一正一负， 由题意正根在内， 所以，解得， 故选：A． 24．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】，其中 当时，，故在上单调递减， 此时在内无最值. 当时，若，则，若，则， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在处取最大值， 故选：A. 题型九、导数中恒（能）成立问题 25．（22-23高二下·新疆喀什·期末）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得在上恒成立，令，求出的最大值即可求解. 【详解】的定义域为， 由在定义域上恒成立，得在上恒成立， 令，， 令得， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以，所以. 故选：A 26．（22-23高三上·河南驻马店·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的几何意义，得函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，即函数的导数大于1在内恒成立，可得在内恒成立，利用二次函数的性质可求. 【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率， ∵实数，在区间内，不等式恒成立， ∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立， 由函数的定义域知，，所以在内恒成立， 由于二次函数在上是单调递减函数， 故，∴， ∴． 故选：A. 27．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，转化为对任意时，求出可得答案. 【详解】设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，， 不等式对任意恒成立可转化为对任意时，所以，解得. 故选：C. 题型十、导数中零点问题 28．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线与直线有3个不同的交点，等价于有3个零点，根据的极大值大于0极小值小于0列不等式组求解即可. 【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解， 令，则有3个零点，可得， 若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点， 时，由得，则， 当时，，当，， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0 即，解得. 即实数的取值范围是 故选：C. 29．（23-24高二下·海南·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据零点将问题转化为有两个交点，构造函数，由导数求解函数的单调性，即可结合图象求解. 【详解】由有两个零点，故有两个实数根， 记，则， 当和时， ， 当时，， 故在单调递减，在单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点， 故实数的取值范围 故答案为： 30．（20-21高二下·甘肃平凉·期末）已知函数，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到函数为奇函数，转化为时，有两个根，即在上有两个根，设，利用导数求得函数的单调性与极值，结合图象，即可求解. 【详解】由题意知，函数，可得， 所以函数为奇函数， 由题意知时，有两个根， 即在上有两个根， 设，则， 当时，；时，， 所以在区间上是增函数，在上是减函数， 且当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，时，， 所以函数的图象如图所示， 由函数图象，可得，即. 故答案为：. 题型十一、函数单调性、极值与最值的综合应用 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 32．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 33．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）求导，根据垂直关系可得求解. （2）求导，讨论时，，得，当时，，当时， ，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性， （3）构造，判断是奇函数，进而得的对称中心为，根据对称性可得，进而根据函数的单调性得解. 【详解】（1）， 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． （2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增； 当时，令，得，， 当时，，， 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 令，， 是奇函数，则的对称中心为， 恒成立， ，即，，则． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】解：令， 所以 即 所以， 故选：D 2．（24-25高二下·河北石家庄·期中）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【分析】根据导函数图象得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图象知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，函数在上单调递减，所以，A正确； 对于B，函数在上单调递减，所以，B错误； 对于C，函数只知单调性、函数值情况不明确，不能确定零点个数，C错误； 对于D，函数有两个极值点，D错误. 故选：A． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，记则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义法可得函数为奇函数，利用导数可得在上单调递增，由此可比较函数值的大小. 【详解】∵函数定义域为，， ∴为奇函数，故. 由题意得，. ∵，当且仅当时等号成立，， ∴，即在上单调递增. ∵， ∴. 故选：B. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，并判断奇偶性，应用导数研究其单调性，结合已知确定区间对应的函数值符号，即可求的解集. 【详解】令且，则，即为偶函数， 在上，即在上单调递减， 所以在上单调递增，且， 所以上，即有， 上，即有， 由，又，则解集为. 故选：B 6．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求函数的解析式，再根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式. 【详解】，得， 所以，，， 所以函数在单调递增， 所以，即，即， 即，且，得且. 故选：C 7．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，分离参数得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合分类讨论以及极值的定义求解. 【详解】由题意可得， 令，则，记，则， 当时，此时在上单调递增， 当时，此时在上单调递减，故， 当，且， 若，则，此时存在， 当时，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增，此时只有极小值无极大值，不符合题意舍去， 当，则，存在，使， 故当，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增， 当，，此时，，故在上单调递减，此时是的极大值点，符合要求， 当，即时，此时，此时，，故单调递减，不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、多选题 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据初等函数及导数的运算法则求函数的导数判断AB，结合复合函数求导公式及导数运算法则，初等函数求导公式求导判断CD. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 9．（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 【答案】BC 【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD. 【详解】由题意可得， 因，则，故A不正确； 由得或，由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，故B正确，C正确， ，则函数在上的最小值为，故D不正确． 故选：BC. 10．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数，则（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上的最大值为4 C．函数在点处的切线方程为 D．若关于x的方程在区间上有两解，则 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，利用导数求出单调区间判断A；求出最大值判断B；利用导数的几何意义求出切线方程判断C；作出图象，数形结合求出的范围判断D. 【详解】对于A，函数，，求导得， 由，得；由，得，函数在上递减，在上递增，A错误； 对于B，，因此函数在区间上的最大值为4，B正确； 对于C，，函数在处的切线方程为，即，C正确； 对于D，，函数大致图象如图，要使方程在区间上有两解，则，D正确． 故选：BCD 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设函数的定义域为，导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（   ） A．方程有唯一实数根 B．在区间上单调递增 C． D．若，则 【答案】BC 【分析】先根据题中条件得到，利用导数得到单调性和最值可判断AB，设，利用导数证不等式，可判断C，，利用基本不等式可得可判断D. 【详解】设，则， 故（为常数），故， 又，故，得， 故，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，故A错误，B正确. 设，， 当时，，当时，， 故，故C正确， 当时，，故D错误， 故选：BC 三、填空题 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 【答案】 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13．（24-25高二上·安徽·期末）若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 14．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 【答案】 【分析】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即． 故答案为：． 15．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据得到在上单调递增，然后根据和的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 令，则在上单调递增，且． 当时，由，可得，即，所以，无解； 当时，由，可得，即，所以，则． 综上，不等式的解集为． 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 17．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 18．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增区间，单调递减区间； (3). 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，求出，利用导数求出其单调区间. （3）由函数零点的意义分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，数形结合求出范围. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）当时，，求导得， 当时，，单调递增；当时， ，单调递减， 函数函数单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，由，得，令，， 依题意，直线与函数在上的图象有两个交点， 求导得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 函数的最大值为，且，，如图： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 19．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知函数. (1)若有正零点，求实数的取值范围； (2)若，求曲线在点处的切线方程，并证明：当时，恒成立. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）令，得，依题意只需求满足的的取值范围，构造函数，利用导数说明函数的单调性，结合，即可得解； （2）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出在点处的切线，即证明恒成立，设函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）令，得，故只需求满足的的取值范围. 令，有， ，故在上单调递减，故当时， 因此，的取值范围是. （2）若，则， 所以，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为. 要证明恒成立，即证明恒成立. 设函数， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 即当时，恒成立. 20．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）①求得，由题意可知，二次方程有两个不等的正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可； ②由韦达定理得出，，由此可得出，于是所证不等式变形为，其中，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可证得结论成立. 【详解】（1）由题意知. 当时，，所以的增区间为，无减区间； 当时，令，解得，令，解得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）①由题意知， 所以， 因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根， 所以，解得，即的取值范围为； ②由①知，， 所以， 所以， 令，其中，所以， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，则， 所以，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$