专题03 乘法公式期末复习(八大题型+过关检测)-2024-2025学年七年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版2024）

专题03 乘法公式期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 运用平方差公式进行运算 1 题型二 平方差公式与几何图形 1 题型三 运用完全平方公式进行运算 2 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 3 题型五 整式乘法混合运算 4 题型六 多项式乘多项式--化简求值 5 题型七 通过对完全平方公式变形求值 5 题型八 求完全平方式中的字母系数 5 过关检测 6 题型一 运用平方差公式进行运算 例1：下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 变式训练一 1．等式______成立，横线内应填入下式中的（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为 ． 题型二 平方差公式与几何图形 例2：从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 变式训练二 1．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 2．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形． (1)请表示图1中阴影部分的面积． (2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？ (3)比较（1）（2）的结果，你能得到怎样的等式？ (4)对于图1阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ 题型三 运用完全平方公式进行运算 例3：若，则的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 变式训练三 1．运用完全平方公式计算的最佳选择是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列关于自然数的等式： … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 例4：已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 变式训练四 1．将正方形，长方形按如图所示方式拼在一起，，连结，，．记正方形的面积为，长方形的面积为，若要求出的面积，则需要知道（    ） A． B． C． D． 2．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 题型五 整式乘法混合运算 例5：数学课堂上，老师让同学们计算：．小红同学的解答过程如下： 解： 第一步 第二步 (1)小红同学的解答过程中第___________步错了； (2)请你写出正确的解答过程． 变式训练五 1．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： (1) (2) (3)（运用乘法公式计算） (4) 题型六 多项式乘多项式--化简求值 例6：先化简，再求值，其中． 变式训练六 1．先化简，再求值：，其中． 2．求下列代数式的值： (1)，其中； (2)，其中． 题型七 通过对完全平方公式变形求值 例7：已知，，则 ． 变式训练七 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型八 求完全平方式中的字母系数 例8：如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 变式训练八 1．如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 2．若是一个完全平方式，那么正数a的值是 ． 一、单选题 1．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（   ） A． B． C． D． 3．运用完全平方公式计算的最佳选择是（      ） A． B． C． D． 4．已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 5．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 6．在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为，宽为，）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4．下列结论中，正确的有（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 8．已知，则的值是（   ） A．9 B．3 C．-3 D．±3 二、填空题 9．计算： ． 10．如果关于的二次三项式是一个多项式的平方，则等于 ． 11．已知若，且，则： ． 12．已知，则代数式的值为 ． 13．边长为的正方形纸片，现分别在其右面、下面截去宽为（）的长方形纸片，得到一个小正方形纸片（如图）． 用两种不同方法计算阴影部分面积，可得到乘法公式为 ． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．先化简，再求值：，其中． 16．已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 17．已知下列等式：①；②；③；…… (1)请仔细观察这三个式子，写出第④个式子：______： (2)请你找出规律，写出第个式子______，并证明该式成立； (3)利用（2）中发现的规律求的值． 18．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 运用平方差公式进行运算 1 题型二 平方差公式与几何图形 2 题型三 运用完全平方公式进行运算 5 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 7 题型五 整式乘法混合运算 10 题型六 多项式乘多项式--化简求值 12 题型七 通过对完全平方公式变形求值 14 题型八 求完全平方式中的字母系数 15 过关检测 16 题型一 运用平方差公式进行运算 例1：下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意； C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 变式训练一 1．等式______成立，横线内应填入下式中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的应用．利用平方差公式将原式分解为两个因式的积再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 故答案为：． 题型二 平方差公式与几何图形 例2：从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为， 由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为， 则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：D． 变式训练二 1．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，图1中阴影部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去一个边长为的正方形面积，图2中阴影部分面积等于一个长为，宽为的长方形面积，据此分别求出两幅图中阴影部分的面积，再令二者相等即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∵图1中阴影部分的面积和图2中阴影部分的面积相等， ∴， 故选： C． 2．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形． (1)请表示图1中阴影部分的面积． (2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？ (3)比较（1）（2）的结果，你能得到怎样的等式？ (4)对于图1阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ 【答案】(1) (2) (3) (4)方法见解析 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键． （1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积； （2）图乙所示的长方形的长和宽分别为、，由此可计算出面积； （3）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式． （4）方法一：将图1阴影部分按特定方式裁剪后拼成图4梯形，利用梯形面积公式，确定上底为、下底为、高为 ，计算出面积，以此表示图1阴影部分面积．方法二：移动图1中小正方形位置后裁剪，拼成图6平行四边形，依据平行四边形面积公式 ，确定底为、高为 ，算出面积 ，来表示图1阴影部分面积． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 故图中..， （2）长方形的长和宽分别为、， 故重拼的长方形的面积为， （3）比较（1）和（2）的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等， 即； （4）方法一：将图1按图3的方式裁剪，阴影部分可拼成图4．图4中梯形的面积是，等于图1阴影部分的面积． 方法二：将图1中的小正方形移动位置到大正方形正中间，按对应点裁剪(如图5)，并拼成图6．图6中平行四边形的面积是，等于图1阴影部分的面积． 题型三 运用完全平方公式进行运算 例3：若，则的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将代数式变形为，代入求值即可．本题主要考查了完全平方公式和求代数式的值，观察已知条件和要求的结果之间的联系，熟练运用完全平方公式进行变形计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 故选：C 变式训练三 1．运用完全平方公式计算的最佳选择是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式简便运算，按简便运算的原则得，即可求解；能熟练利用完全平方公式进行简便运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 2．观察下列关于自然数的等式： … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第四个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 例4：已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：B． 变式训练四 1．将正方形，长方形按如图所示方式拼在一起，，连结，，．记正方形的面积为，长方形的面积为，若要求出的面积，则需要知道（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，设，，分割法表示出阴影部分的面积，进行判断即可． 【详解】解：由题意，设，， 则：，， ∴的面积 ； 故只需要知道即可求出的面积； 故选A． 2．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 题型五 整式乘法混合运算 例5：数学课堂上，老师让同学们计算：．小红同学的解答过程如下： 解： 第一步 第二步 (1)小红同学的解答过程中第___________步错了； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)过程见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则判断即可，注意当括号前面是负号，去括号时，括号里面各项都要变号； （2）根据平方差公式和单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：小红同学的解答过程中，对原式进行变形，第一项运用平方差公式的计算不对，第二项去括号时，有一项没变号，故从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2） ． 变式训练五 1．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 2．计算： (1) (2) (3)（运用乘法公式计算） (4) 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】本题主要考查了平方差公式，幂的混合运算，整式乘法混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关的公式和运算法则． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据多项式乘多项式，完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 多项式乘多项式--化简求值 例6：先化简，再求值，其中． 【答案】；26 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 变式训练六 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 2．求下列代数式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可； 【详解】（1）解： ； 当时，原式； （2）解： ； 当时， 原式； 题型七 通过对完全平方公式变形求值 例7：已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：52． 变式训练七 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得：， ∴， 故选：． 2．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法以及等式的性质，解题的关键是通过多项式乘法法则将等式左边展开，然后对比等式两边同类项的系数． 先利用多项式乘法法则将展开，再根据等式两边同类项系数相等求出的值． 【详解】解：． 等式两边与的系数都分别相等，那么常数项也应相等， 所以． 故选：A． 题型八 求完全平方式中的字母系数 例8：如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了完全平方式．根据所给式子可知两平方项分别为，，那么一次项为，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或5． 变式训练八 1．如果（是常数）是个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式． 【详解】解：∵（是常数）是个完全平方式， ∴ 故答案是：9． 2．若是一个完全平方式，那么正数a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，完全平方式有两个：和．根据完全平方公式得出，即可求解． 【详解】解∶ ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴正数a的值是， 故答案为∶ ． 一、单选题 1．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算， 根据平方差公式解答A，再根据完全平方公式解答B，C，最后根据多项式乘以多项式解答D即可． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． 2．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键．根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案． 【详解】解：正方形中阴影部分的面积为， 平行四边形的面积为， 由此得到一个x，a的恒等式是， 故选：C． 3．运用完全平方公式计算的最佳选择是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：．根据完全平方公式展开，再看看每一部分是否好算即可． 【详解】解：A．， B．， C． D．， 选项A、C、D都不如选项B好算， 故选：B． 4．已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 故选：A． 5．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A ． 6．在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为，宽为，）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4．下列结论中，正确的有（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，根据拼图得出，，，，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为，中间空缺的小正方形的边长为， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， 由于，，而， ∴，， ∴， 因此①②③正确，④不正确， 故选：A． 7．已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴或， 故答案为：A． 8．已知，则的值是（   ） A．9 B．3 C．-3 D．±3 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式的变形与求解，涉及完全平方公式、变量替换以及方程求解能力，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察到两个平方项的结构对称，通过变量替换简化表达式，转化为关于新变量的二次方程，求解后，对进行变形，即可求解． 【详解】解：设，则原式可变形为： ， 解得：， 即， ， 故选：D． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10．如果关于的二次三项式是一个多项式的平方，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的定义，根据完全平方公式的定义滶解即可，掌握完全平方公式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二次三项式是一个多项式的平方， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．已知若，且，则： ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式，首先利用完全平方公式求出，利用完全平方公式把展开，可得：原式，再把已知代数式的值代入计算即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．已知，则代数式的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，根据恒等式得到对应项相同，求出的值，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ； 故答案为：17． 13．边长为的正方形纸片，现分别在其右面、下面截去宽为（）的长方形纸片，得到一个小正方形纸片（如图）． 用两种不同方法计算阴影部分面积，可得到乘法公式为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上一个边长为小正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：阴影部分面积； 故答案为：． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，幂的混合运算，整式乘法混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据整式乘法和平方差公式进行计算即可； （4）根据完全平方公式，多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 . ；. 当时 ． 16．已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则． （1）利用整式的乘法求出多项式，再计算即可； （2）先进行整式的乘方和乘法运算，再进行整式的减法即可． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：由（1）得, 17．已知下列等式：①；②；③；…… (1)请仔细观察这三个式子，写出第④个式子：______： (2)请你找出规律，写出第个式子______，并证明该式成立； (3)利用（2）中发现的规律求的值． 【答案】(1)9 (2)；证明见解析 (3)2500 【分析】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． （1）由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此求解； （2）等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第个式子； （3）由，，，..，将算式逐一变形，再寻找抵消规律求解． 【详解】（1）解：观察下列等式：①；②；③；…… 可得第个式子：． 故答案为：． （2）解：由①；②；③；…… 可得第个式子：得 第个式子为：． 证明：左边：， 左边=右边， 等式成立． 故答案为：． （3）解：由（2）中发现的规律可得 ． 18．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，即可求解； （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解； （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； 故答案为：； （2）解：由题意得 拼接后的长方形长为、宽为， ； 故答案为：； （3）解：阴影部分图形拼接前后，面积不变， ； 故答案为：； （4）解：①， ， ， 故答案为：； ② ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$