专题01 幂的乘除期末复习(十大题型+过关检测)-2024-2025学年七年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版2024）

专题01 幂的乘除期末复习（十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 同底数幂相乘 1 题型二 幂的乘方运算 2 题型三 积的乘方运算 3 题型四 同底数幂的除法运算 4 题型五 零指数幂与负整数指数幂 5 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 6 题型七 同底数幂乘法的逆用 7 题型八 积的乘方的逆用 8 题型九 同底数幂的除法的逆用 9 题型十 幂的混合运算 10 过关检测 12 题型一 同底数幂相乘 例1：下列各式的计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的乘法运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 变式训练一 1．已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 2．我们规定：，例如，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法，正确理解新定义是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型二 幂的乘方运算 例2：某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算的应用，理解题意，掌握幂的乘方法则是关键；由题意知，经5个小时，1个细菌分裂成5个个细菌，即可得解． 【详解】解：由题意得：（个）； 故选：C． 变式训练二 1．一个正方体的棱长是，则体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方运算，正方体的体积公式，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键； 明确正方体的体积公式为，然后将正方体的棱长代入体积公式，根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解:∵正方体棱长， ∴正方体体积是． 故选：D． 2．已知，则 ． 【答案】9 【分析】此题考查了幂的乘方运算，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：9． 题型三 积的乘方运算 例3： 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 变式训练三 1．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握整式的乘方运算是关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 2．计算，其中第①步运算的依据是（   ） A．幂的乘方法则 B．乘法对加法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据积的乘方等于把各因式分别乘方，再求其积的运算法则计算即可． 【详解】解：， 其中第①步运算依据是积的乘方法则， 故选：C． 题型四 同底数幂的除法运算 例4：计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：A． 变式训练四 1．已知，则 ． 【答案】16 【分析】此题考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵ ∴． 故答案为：16． 2．若，，则的值是（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用，逆用同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 题型五 零指数幂与负整数指数幂 例5：已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小关系，负整数指数幂，先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再比较底数的大小即可得出结果． 【详解】解：∵，，，且， ∴； 故答案为：． 变式训练五 1．如果，那么a、b、c三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则． 先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 2．计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，先计算负整数指数幂，零次幂，再合并即可． 【详解】解：， 故答案为： 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 例6：自然界的可见光中红光波长最长，其穿透力较强，可深入皮肤的真皮层，经常被用于皮肤的康复治疗，它的平均波长为米左右，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选B． 变式训练六 1．直径约为米的单壁碳纳米管的强度是钢的100倍，却仅有原子级厚度，这一特性使其在纳米电子学和复合材料中具有革命性应用，把数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 2．研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（   ） A． B．8 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于或等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数，据此即可解答． 【详解】解：， 为． 故选：C． 题型七 同底数幂乘法的逆用 例7：若，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，根据同底数幂的乘法法则的逆用进行求解即可 【详解】解：， 故答案为：30 变式训练七 1．若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，可得，即可解答，熟知同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， 故选：B． 2．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型八 积的乘方的逆用 例8：的值等于（    ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．根据积的乘方的逆运算解答即可． 【详解】解：． 故选：B 变式训练八 1．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．逆用积的乘方运算法则即可计算． 【详解】解： ． 故选：C． 2． ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据积的乘方逆运算法则求解即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 题型九 同底数幂的除法的逆用 例9：若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式训练九 1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数除法的逆运用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 2．如果，，则（　　） A．10 B．3 C．20 D．75 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 题型十 幂的混合运算 例10：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式； ． 变式训练十 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 2．计算 (1) (2)； 【答案】(1) (2)8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用，有理数的乘方，零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确；     D．，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方及同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 利用积的乘方的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．在①；②；③；④中，计算结果是的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则．根据同底数幂的运算法则求解①；利用负整数指数幂的运算法则、同底数幂的运算法则求解②；利用幂的乘方的运算法则、同底数幂的运算法则求解③；利用幂的乘方的运算法则求解④． 【详解】解：①，此项不符合题意； ②，此项符合题意； ③，此项不符合题意； ④，此项符合题意， 综上所述，符合题意的有②④共2个． 故选：B． 4．已知，，，则（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方逆运算法则将化为，再代入求值． 【详解】解：， 故选：D． 5．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 6．幂的运算中：运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方法则、幂的运算法则等知识点，掌握积的乘方法则是给积的每一个因式分别乘方成为解题的关键． 根据积的乘方的运算法则即可解答． 【详解】解：幂的运算中：运算的依据是积的乘方法则． 故选D． 7．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 8．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．若无意义，则m的取值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了零指数幂，掌握中是解题关键．根据零指数幂的意义可得时，无意义，即可求解． 【详解】解：式子无意义， ， ， 故答案为：． 10．清代诗人袁枚在《苔》中用“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”歌颂微小生命的坚韧与诗意．若苔花的花粉直径约为米，将其用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 11．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂运算，熟练掌握负整数指数幂运算法则，是解题的关键．根据负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，按照相关计算法则计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据幂的乘方，同底数幂的除法，将变形得到，再将变形为求解，即可解题． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 14．已知，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方计算，根据零指数幂，负整数指数幂和乘方的计算法则求出四个数，再比较出四个数的大小，最后用最大数减去最小数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为9， 故答案为：9． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答； （3）变形后逆用积的乘方进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 16．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用，能熟练利用幂的运算公式的逆用进行求解是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式逆用得，即可求解； （2）由幂的乘方及同底数幂的除法公式逆用得，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 17．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，这个过程共用了，已知电磁波的传播速度为，求该时刻飞机与雷达间的距离． 【答案】飞机与雷达间的距离为． 【分析】本题考查科学记数法在实际问题中的应用，有理数乘除法的实际应用． 由题意可知，雷达发生电磁波到接收电磁波两个过程共用了0.0000524秒，并将结果用科学记数法表示，则一个过程所用的时间就是秒；接下来根据“路程速度时间”即可求出该时刻飞机与雷达之间的距离． 【详解】解：， ． 故该时刻飞机与雷达间的距离为． 18．计算： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法逆用，熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． （）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再转换为一元一次方程即可； （）利用幂的乘方和同底数幂的除法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 19．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． （1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可； （3）①根据，，进行计算即可； ②由，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的乘除期末复习（十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 同底数幂相乘 1 题型二 幂的乘方运算 1 题型三 积的乘方运算 2 题型四 同底数幂的除法运算 2 题型五 零指数幂与负整数指数幂 2 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 3 题型七 同底数幂乘法的逆用 3 题型八 积的乘方的逆用 3 题型九 同底数幂的除法的逆用 4 题型十 幂的混合运算 4 过关检测 5 题型一 同底数幂相乘 例1：下列各式的计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 变式训练一 1．已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 2．我们规定：，例如，那么等于 ． 题型二 幂的乘方运算 例2：某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 变式训练二 1．一个正方体的棱长是，则体积是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 题型三 积的乘方运算 例3： 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式训练三 1．计算的结果是 ． 2．计算，其中第①步运算的依据是（   ） A．幂的乘方法则 B．乘法对加法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 题型四 同底数幂的除法运算 例4：计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式训练四 1．已知，则 ． 2．若，，则的值是（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 题型五 零指数幂与负整数指数幂 例5：已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接） 变式训练五 1．如果，那么a、b、c三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为 ． 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 例6：自然界的可见光中红光波长最长，其穿透力较强，可深入皮肤的真皮层，经常被用于皮肤的康复治疗，它的平均波长为米左右，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式训练六 1．直径约为米的单壁碳纳米管的强度是钢的100倍，却仅有原子级厚度，这一特性使其在纳米电子学和复合材料中具有革命性应用，把数据用科学记数法表示为 ． 2．研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（   ） A． B．8 C． D．7 题型七 同底数幂乘法的逆用 例7：若，，则 ． 变式训练七 1．若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 2．已知，，则的值为 ． 题型八 积的乘方的逆用 例8：的值等于（    ） A． B．8 C． D． 变式训练八 1．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 2． ． 题型九 同底数幂的除法的逆用 例9：若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 变式训练九 1．若，则 ． 2．如果，，则（　　） A．10 B．3 C．20 D．75 题型十 幂的混合运算 例10：计算： (1) (2) 变式训练十 1．计算： (1)； (2) 2．计算 (1) (2)； 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D．     2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．在①；②；③；④中，计算结果是的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知，，，则（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 5．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．幂的运算中：运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 7．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D．1 8．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若无意义，则m的取值为 ． 10．清代诗人袁枚在《苔》中用“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”歌颂微小生命的坚韧与诗意．若苔花的花粉直径约为米，将其用科学记数法表示为 ． 11．计算的结果为 ． 12．计算的结果等于 ． 13．已知，则的值为 ． 14．已知，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 16．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 17．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，这个过程共用了，已知电磁波的传播速度为，求该时刻飞机与雷达间的距离． 18．计算： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 19．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$