专题14 立体几何初步全章综合16种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题14 立体几何初步全章综合16种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02空间几何体的展开图 题型03立体几何中的截面问题 题型04空间几何体的直观图 题型05空间几何体的表面积 题型06空间几何体的体积 题型07与球有关的切、接问题 题型08直线与平面平行 题型09平面与平面平行 题型10直线与平面垂直 题型11平面与平面垂直 题型12线线垂直 题型13点到平面的距离 题型14异面直线所成角 题型15直线与平面所成角 题型16二面角 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•庐江县期末）下列说法正确的是　　 A．三个点可以确定一个平面 B．若直线在平面外，则与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形 2．（2020秋•蚌埠期末）下列命题正确的是　　 A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面 C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形 （多选）3．（2021春•庐阳区校级期末）下面关于空间几何体叙述不正确的是　　 A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．棱柱的侧面都是平行四边形 C．直平行六面体是长方体 D．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 ( 题型02 ) 空间几何体的展开图 4．（2023秋•裕安区校级期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为　　 A．1 B． C．2 D． 5．（2023春•马鞍山期末）已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 　　． 6．（2021秋•安徽期末）已知一个圆锥形饮料杯的侧面展开图为半圆，销售商在杯内装入部分饮料后，放入一个实心冰球使其恰好淹没在饮料中，则该冰球与饮料的体积比为　　 A． B． C． D． 7．（2021秋•合肥期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为　　 A．15 B． C． D．12 ( 题型03 ) 立体几何中的截面问题 8．（2024秋•裕安区校级期末）如图，正方体的棱长为2，是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 　　． 9．（2024春•宣城期末）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•铜陵校级期末）在棱长为6的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•临泉县校级期末）已知正方体的棱长为2，、分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 空间几何体的直观图 12．（2024春•安徽期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为　　 A． B．2 C． D． 13．（2024春•蒙城县校级期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为　　 A．2 B． C．3 D． 14．（2024春•霍山县校级期末）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•蚌埠期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过斜边的中点，则中边上的高为　　 A． B． C．2 D．4 16．（2023秋•裕安区校级期末）如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 　　． 17．（2023春•安庆期末）如图，是水平放置的用斜二测画法得到的直观图△（其中，若轴，，则的面积为　　 A． B．4 C．8 D． ( 题型0 5 ) 空间几何体的表面积 18．（2022春•蚌埠期末）已知圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥侧面积为　　 A． B． C． D． 19．（2022春•宣城期末）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为　　 A． B． C． D． 20．（2022春•安徽期末）如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为1，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为　　 A． B． C． D． 21．（2022秋•庐江县期末）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为　　 A． B． C． D． 22．（2024秋•黟县校级期末）我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）　　（附 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 空间几何体的体积 23．（2023秋•包河区校级期末）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•宣城期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为，则该几何体的体积为　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•亳州期末）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，，分别在棱，上，，，记四棱锥三棱锥与三棱锥的体积分别为，，，则　　 A． B． C． D． 26．（2024秋•太和县校级期末）现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时 　　分钟． 27．（2024秋•裕安区校级期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 28．（2024春•颍州区校级期末）在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间的距离均为1．若，，，则该五面体的体积为　　 A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 与球有关的切、接问题 29．（2024秋•宿州期末）若圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 30．（2024秋•宣城期末）已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，侧棱长均相等，侧面与底面夹角为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 　　 ． 31．（2024春•金安区校级期末）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，，，则此球的表面积等于　　 A． B． C． D． 32．（2024春•安徽期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 33．（2024春•怀宁县校级期末）在边长为2的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是　　 A． B． C． D． ( 题型0 8 ) 直线与平面平行 34．（2024春•庐阳区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 35．（2022春•谯城区校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面； （2）求证：为的中点； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 36．（2022春•谯城区校级期末）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． ( 题型0 9 ) 平面与平面平行 37．（2024春•蒙城县校级期末）如图：在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由． 38．（2021春•定远县校级期末）如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证： （1），，，四点共面； （2）平面平面． 39．（2021春•裕安区校级期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明． ( 题型 10 ) 直线与平面垂直 40．（2024春•太和县校级期末）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 41．（2020春•宣城期末）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且． （1）求证：平面； （2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由． 42．（2020春•宣城期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，．求证： （1）平面； （2）平面． ( 题型 11 ) 平面与平面垂直 43．（2023春•谯城区校级期末）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 44．（2024春•宣城期末）如图，四边形是边长为2的正方形，为边的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积和表面积． 45．（2024春•安徽期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 46．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面平面． ( 题型 12 ) 线线垂直 47．（2024春•铜陵期末）如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点． （1）证明：； （2）当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； （3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值． 48．（2023春•包河区校级期末）在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． ( 题型 13 ) 点到平面的距离 49．（2020春•宣城期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是矩形，点是中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 50．（2020春•安徽期末）如图，在四面体中，，，，且． （1）证明：平面平面． （2）求点到平面的距离． 51．（2020春•宣城期末）如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点，，为中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值． ( 题型 14 ) 异面直线所成角 52．（2024春•芜湖期末）在三棱锥中，，，，分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 53．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 54．（2022春•定远县校级期末）如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，，则异面直线与所成的角是 　　． ( 题型 15 ) 直线与平面所成角 55．（2024春•庐江县期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． ( 题型 16 ) 二面角 56．（2024春•阜阳期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点． （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：平面平面． （3）若，，求二面角的正切值． 1．（2024春•金安区校级期末），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•宣城期末）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•安徽期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•安徽期末）已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•黄山期末）中，，．为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 6．（2024春•庐阳区校级期末）在中，，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•安徽期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，，，．若，则直线与平面所成角的正弦值为 　　． 8．（2024春•霍山县校级期末）如图，正方体，棱长为2，是的中点，则二面角的正弦值为 　　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 立体几何初步全章综合16种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02空间几何体的展开图 题型03立体几何中的截面问题 题型04空间几何体的直观图 题型05空间几何体的表面积 题型06空间几何体的体积 题型07与球有关的切、接问题 题型08直线与平面平行 题型09平面与平面平行 题型10直线与平面垂直 题型11平面与平面垂直 题型12线线垂直 题型13点到平面的距离 题型14异面直线所成角 题型15直线与平面所成角 题型16二面角 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•庐江县期末）下列说法正确的是　　 A．三个点可以确定一个平面 B．若直线在平面外，则与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形 【解析】三个共线的点不可以确定一个平面，错误； 若直线在平面外，则或与相交，当与相交有一个公共点，错误； 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台，正确； 斜棱柱的侧面可以是矩形，错误． 故选：． 2．（2020秋•蚌埠期末）下列命题正确的是　　 A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面 C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形 【解析】对于：棱柱的每个侧面都是平行四边形，故错误； 对于：棱柱的侧面最少由三个侧面，故一个棱柱最少有五个面，故正确； 对于：正方体是正四棱柱，每个对面都互相平行，故错误； 对于：平行六面体的侧面为平行四边形，故错误； 故选：． （多选）3．（2021春•庐阳区校级期末）下面关于空间几何体叙述不正确的是　　 A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．棱柱的侧面都是平行四边形 C．直平行六面体是长方体 D．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 【解析】对于，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故错误； 对于，由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，故正确； 对于，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是平行四边形，它不是长方体，故错误； 对于，直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故错误． 故选：． ( 题型02 ) 空间几何体的展开图 4．（2023秋•裕安区校级期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为　　 A．1 B． C．2 D． 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为； 则圆锥的表面积为，① 又圆锥的侧面展开图是一个半圆， 即，② 由①②解得． 所以圆锥的底面半径为． 故选：． 5．（2023春•马鞍山期末）已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 　　． 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则 侧面积为， 又因为圆锥的侧面展开图是半圆，所以， 所以，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 6．（2021秋•安徽期末）已知一个圆锥形饮料杯的侧面展开图为半圆，销售商在杯内装入部分饮料后，放入一个实心冰球使其恰好淹没在饮料中，则该冰球与饮料的体积比为　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的侧面展开图为半圆， ，， 设圆锥的轴截面为，如图所示， 则，， 为等边三角形，冰球的球心为的重心， 设冰球的半径为，则， 圆锥的体积，冰球的体积， 饮料的体积， 冰球与饮料的体积比为， 故选：． 7．（2021秋•合肥期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为　　 A．15 B． C． D．12 【解析】设一个圆锥的侧面展开图是半径为27，圆心角为的扇形， 设该圆锥的底面半径为， ，解得， 该圆锥的高为， 侧面展开图是半径为12，圆心角为的扇形的圆锥的高为， 若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致， 则该几何体的高为． 故选：． ( 题型03 ) 立体几何中的截面问题 8．（2024秋•裕安区校级期末）如图，正方体的棱长为2，是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 　　． 【解析】根据题意，连接，与的延长线交于点，连接与交于点， 如图：，且， 为的中点，则为的中点， 故截面为梯形， 其中，，， 则梯形的周长为，即所得的截面图形的周长是． 故答案为：． 9．（2024春•宣城期末）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为　　 A． B． C． D． 【解析】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则， 所以，，，四点共面，，， ， 在中，边上的高， 记边上的高为， 则， 所以， 所以． 故选：． 10．（2024秋•铜陵校级期末）在棱长为6的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点，，的截面，取的中点，靠近的三等分点， 连接、、， 则，又，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以，，，四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接，、， 同理可证，，，所以， 所以，，，四点共面； 所以，，，、五点共面； 又，，， 所以截面周长为． 故选：． 11．（2022秋•临泉县校级期末）已知正方体的棱长为2，、分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，如图：过、的平面所得截面为四边形， 当截面为时，其面积最大，此时，，高， 其面积； 故选：． ( 题型04 ) 空间几何体的直观图 12．（2024春•安徽期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为　　 A． B．2 C． D． 【解析】在直角梯形中，，，， 显然，于是， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ，，，， 所以该平面图形的高为． 故选：． 13．（2024春•蒙城县校级期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为　　 A．2 B． C．3 D． 【解析】如图， 作平面直角坐标系，使与重合，在轴上，且，在轴上，且， 过作，且，则四边形为原平面图形，其面积为． 故选：． 14．（2024春•霍山县校级期末）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，由直观图可得原图形， 所以，，， 所以，原图形的周长为． 故选：． 15．（2024春•蚌埠期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过斜边的中点，则中边上的高为　　 A． B． C．2 D．4 【解析】根据题意，设原图中，中边上的高为， 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，其面积， 则原图的面积， 则有，变形可得． 故选：． 16．（2023秋•裕安区校级期末）如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 　　． 【解析】根据题意，由斜二测画法，将直观图还原后，分析可得△为直角三角形， 且两条直角边，， 故△的面积为． 故答案为：8． 17．（2023春•安庆期末）如图，是水平放置的用斜二测画法得到的直观图△（其中，若轴，，则的面积为　　 A． B．4 C．8 D． 【解析】由题， 所以， 解得． 故选：． ( 题型0 5 ) 空间几何体的表面积 18．（2022春•蚌埠期末）已知圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】因为圆锥底面半径为1，高为2， 所以圆锥的母线长为， 所以该圆锥侧面积为． 故选：． 19．（2022春•宣城期末）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】细沙在上部容器时的体积， 流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8， 设高为，则，解得， 下部圆锥形沙堆的母线长， 此沙堆的侧面积为． 故选：． 20．（2022春•安徽期末）如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为1，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为　　 A． B． C． D． 【解析】将棱台的截面拿出来分析，如图， 根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上， 注意到梯形的底角是，，解得， 设球心为，，则△是等边三角形， ， 可确定球心在梯形下底下方， ，， ，， ，是上下底面正方形的对角线， 上下底面积之比为： ． 故选：． 21．（2022秋•庐江县期末）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为　　 A． B． C． D． 【解析】右图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知：，， 设圆台的上底面半径为，下底面半径，母线长为，球的半径为， 则有，，，过点作的垂线，垂直是，则有， ， 在△中，， ， 圆台的侧面积与球的表面积之比为； 故选：． 22．（2024秋•黟县校级期末）我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）　　（附 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，， 由题意可知：，，则圆台的母线长， 所以其侧面积为． 故选：． ( 题型0 6 ) 空间几何体的体积 23．（2023秋•包河区校级期末）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，惊鸟铃的体积约为， 又由铜的密度为， 则该惊鸟铃的质量约为． 故选：． 24．（2024秋•宣城期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为，则该几何体的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，被截正方体的棱长为，则截正方体的体积， 截去四面体的体积之和， 故该几何体的体积． 故选：． 25．（2023秋•亳州期末）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，，分别在棱，上，，，记四棱锥三棱锥与三棱锥的体积分别为，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意易知， 又易知到底面的距离等于到底面的距离， 而到底面的距离等于到平面的距离， ， 即， 又，，， ， ， 故只有选项正确． 故选：． 26．（2024秋•太和县校级期末）现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时 　　分钟． 【解析】设正四棱台的高为，所以， 即， 解得， 因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 甲容器内水的体积为， 设注水的速度为，则， 解得， 当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 水的体积为， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟． 故答案为：37． 27．（2024秋•裕安区校级期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面， 因为，所以， 半圆的弧长为， 圆锥的底面半径由，得， 所以圆锥的体积为：． 故选：． 28．（2024春•颍州区校级期末）在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间的距离均为1．若，，，则该五面体的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】延长到，使，延长到，使，连接、， 可得，结合，可知为三棱柱， 因为四边形与四边形全等，所以， 由，且它们两两之间的距离为1．可知： 当为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时． 根据棱柱的性质，若为斜三棱柱，体积也是， 因此，，可得该五面体的体积． 故选：． ( 题型0 7 ) 与球有关的切、接问题 29．（2024秋•宿州期末）若圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形， 所以该圆锥的底面圆半径为，高为， 设该圆锥外接球的半径， 则该圆锥外接球的球心在高线上， 所以， 解得， 所以该圆锥外接球的表面积为． 故选：． 30．（2024秋•宣城期末）已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，侧棱长均相等，侧面与底面夹角为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 　　 ． 【解析】根据题意可所求球的球心在正三棱锥的高线上， 易知底面正三角形外接圆的半径为， 且正三角形中心到正三角形棱中点的距离为， 又侧面与底面夹角为， 所以三棱锥的高为，设所求球的半径为， 则，解得， 所以该球的表面积是． 故答案为：． 31．（2024春•金安区校级期末）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，，，则此球的表面积等于　　 A． B． C． D． 【解析】如图底面三角形的外心是，， 在中，，， 可得， 由正弦定理可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，在中， 易得球半径， 故此球的表面积为． 故选：． 32．（2024春•安徽期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意如图所示：设为的中点，连接，，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得， 所以， 因为，分别为，的外接圆的圆心， 所以，， 可得，可得，而， 所以， 在中：， 所以外接球的表面积． 故选：． 33．（2024春•怀宁县校级期末）在边长为2的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 【解析】在菱形中，，所以和均是边长为2的等边三角形， 如图在三棱锥中，设的中点为，连接，， 设、分别为、外接圆的圆心， 过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点， 则点为该三棱锥外接球的球心， 连接、，则为外接球的半径， 依题意，且、， 由余弦定理， 所以， 由、分别为、外接圆的圆心， 所以，， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即外接圆的半径， 所以外接球的体积． 故选：． ( 题型0 8 ) 直线与平面平行 34．（2024春•庐阳区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接，交于，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点，而为的中点， 所以， 又因平面，平面， 所以； （2）解：设点到平面的距离为，平面， 平面， 所以， ，点是的中点， 所以，， 正方形，可得， 因为， ，所以平面平面，平面平面， 平面， 所以， 所以， 所以， 所以， ， 到平面的距离为， 所以，即， 即，可得， ， 设直线与平面所成角为， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 35．（2022春•谯城区校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面； （2）求证：为的中点； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】证明：（1）连接交于，连接，如下图： 由为平行四边形，则为中点，又为棱的中点， 所以为中位线，则， 又面，面，故平面； 证明：（2）由题设知：，面，面， 所以面， 又面，面面， 所以，又为棱的中点，即是的中位线， 故为的中点； 解：（3）存在使得平面且，理由如下： 为中点，连接， 由题设且， 由（2）知且， 所以且，即为平行四边形， 所以，而面，面， 所以面，故所求点即为点， 则上存在点使得平面，且． 36．（2022春•谯城区校级期末）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）在三棱柱中，平面，平面， ， 又，，平面，平面， 平面， 又平面， ； （2）设与的交点为，连结，则为中点， 又是中点， 是的中位线， ， 又平面，平面， 平面． ( 题型0 9 ) 平面与平面平行 37．（2024春•蒙城县校级期末）如图：在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由． 【解析】（1）证明：连结交于，连结． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为， 所以平面平面． 38．（2021春•定远县校级期末）如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证： （1），，，四点共面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）、分别为，中点，， 三棱柱中，， 、、、四点共面； （2）、分别为、中点， 又、分别为三棱柱侧面平行四边形对边、中点， 四边形为平行四边形， 平面中有两条直线、分别与平面中的两条直线、平行 平面平面． 39．（2021春•裕安区校级期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明． 【解析】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以； （2）存在，且当点是的中点时，平面平面．下面给出证明： 因为、分别是、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知，，又是的中点，，所以， 所以四边形是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 又因为，所以，平面平面． ( 题型 10 ) 直线与平面垂直 40．（2024春•太和县校级期末）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 【解析】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 在矩形中，，，点是棱的中点， 所以，所以是等边三角形， 又点是线段的中点，所以， 又，，平面， 所以平面． （2）在平面内，过点作的垂线，垂足为， 由（1）知平面，又平面， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 在中，，， 所以， 又点为棱的中点，所以， 因为平面，又平面， 所以， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）在平面内，过点作的垂线，垂足为，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 又，平面，所以，， 又，，，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 在中，， 因为平面，平面，所以， 又易得，， 所以， 由等面积法可知， 在中，，，， 所以， 所以， 即二面角的余弦值为． 41．（2020春•宣城期末）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且． （1）求证：平面； （2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：取的中点，，， ，为的中点， 为的中点，为的中点， 为的中点，，则， 是正三角形，， 平面，， ，平面，， ，平面． （2）存在这样的点，当时，平面． 连结，设，连结， 由条件知为的重心，， 当时，， ． 42．（2020春•宣城期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，．求证： （1）平面； （2）平面． 【解析】证明：（1）因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）在三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面． ( 题型 11 ) 平面与平面垂直 43．（2023春•谯城区校级期末）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 【解析】证明：（1）连接与，两线交于点，连接， 在△中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为底面，平面，所以， 又为棱的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以，又， 在和△中，， 所以，即， 所以，又，，平面， 所以平面； 解：（3）当点为的中点，即时，平面平面， 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 44．（2024春•宣城期末）如图，四边形是边长为2的正方形，为边的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积和表面积． 【解析】证明：（1）由题可知，，， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，所以， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 解：（2）由（1）得平面，所以， 由三角形面积公式得， 故， 由（1）得，，， 所以，， 故三棱锥的表面积为． 45．（2024春•安徽期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 【解析】证明：（1）由题意可知：，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 又因为，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 且，，平面， 所以平面平面． （2）因为为正方形，则， 因为，，，则△△， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，，平面， 可得平面， 由平面， 所以平面平面． 46．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）连接交于， 底面四边形是菱形，为的中点， 又为的中点，连接，则． 平面，平面， 平面； （2）由，得， 由四边形是菱形，得， 又，平面， 而平面平面， 平面平面． ( 题型 12 ) 线线垂直 47．（2024春•铜陵期末）如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点． （1）证明：； （2）当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； （3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值． 【解析】（1）证明：设的边长为，连接、，则， 因为，所以，又， 所以， 所以； （2）因为，所以，又，，平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成角， 又平面，所以， 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以， 所以， 即与平面所成角的余弦值为； （3）由于，将底面补成矩形，连接、， 则且， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 因为点为的中点，则点为的中点，所以， 又，， 所以，所以， 所以，所以， 若，此时（舍去）， 所以， 又，所以， 所以． 48．（2023春•包河区校级期末）在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，，如下图： ，，又，是等边三角形，即， ，平面，，平面，平面， ； （2）解：，，，，， 平面平面， 平面平面，，平面，平面，， 在中，， 过点作平面的垂线，得垂足，连接， ，与平面的夹角即为与平面的夹角，设其为，则， 下面用等体积法求出的长度， ， 在中， ，，，， 在中，； 综上，直线与平面所成角的余弦值为． ( 题型 13 ) 点到平面的距离 49．（2020春•宣城期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是矩形，点是中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：底面，平面，， 四边形是矩形，是中点，且， ，， ，，， ，，平面，平面， 平面，平面平面． （2）解：由（1）知， ，，且的面积为2， 平面，平面，， ，， 平面，， 的面积为， 设点到平面的距离为， 由，得， 解得． 点到平面的距离为． 50．（2020春•安徽期末）如图，在四面体中，，，，且． （1）证明：平面平面． （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， ，， 又，，、平面，平面， 平面，． ，，，， ，，即， ，，、平面，平面， 平面， 平面平面． （2）解：在中，，，且，． 由（1）知，平面，且， 三棱锥的体积， 在中，，，． 设点到平面的距离为， ，，即，解得． 故点到平面的距离为． 51．（2020春•宣城期末）如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点，，为中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 为的中点，，且， 又，，且， ，且，则且， 四边形为平行四边形，则． 又平面，平面， 平面； （2）取的中点，连接， ，，且，则四边形为矩形，得． ，，平面，， 平面，且． 过点作平面于，则即为点到平面的距离． 由，得， ，， 点到平面的距离； （3）连接，，由（2）知即为直线与平面所成角， 在中，，，， 又是的中点，，． 直线与平面所成角的正切值为． ( 题型 14 ) 异面直线所成角 52．（2024春•芜湖期末）在三棱锥中，，，，分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，，故或其补角为直线与所成的角， ， 又， 故， 故直线与所成的角的余弦值为． 故选：． 53．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 分别取，，的中点，，，连接，，，，，． 由且可得是等边三角形， 则且，且，故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 因为平面，，平面，，， 故和均为直角三角形， 所以，， ， 由余弦定理得． 则异面直线与所成的角的余弦值为． 故选：． 54．（2022春•定远县校级期末）如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，，则异面直线与所成的角是 　　． 【解析】取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以且，且， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 又， 所以，所以，所以， 所以为等腰直角三角形，所以； 故答案为：． ( 题型 15 ) 直线与平面所成角 55．（2024春•庐江县期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：设交于，连接． 为正方形，为中点， 又为的中点，， 又平面，平面， 平面． （2）证明：四棱锥的底面为正方形，， 平面，平面， ， 又，确定平面， 平面． 又平面， 平面平面． （3）连接， 平面， 是在平面上的射影， 即为直线与平面所成的角， ， ， ． ( 题型 16 ) 二面角 56．（2024春•阜阳期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点． （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：平面平面． （3）若，，求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：由题设，平面，平面， 平面，又平面平面，面， ； （2）证明：连接，，交于点，连结， 四棱锥的底面是菱形， ，是中点， 是中点， ， 平面， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面， 平面， 平面平面； （3）过作，连接， 由（2）知平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，故， 故为二面角的平面角， ，平面，， ，，， 故， 故， ， 故，则， 故， 故， 二面角的正切值为． 1．（2024春•金安区校级期末），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是　　 A． B． C． D． 【解析】如图，设直线在平面的射影为，作于点，于点，连接，则即为直线与平面所成角， 由射影的性质知，平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以，， 所以， 而，， 所以， 所以． 故选：． 2．（2024春•宣城期末）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】已知四面体为正四面体， 过作面， 则为三角形的重心， 设， 则，， 过作面， 则为的中点， 则为与平面所成角， 又，， 则， 则， 即与平面所成角的正弦值为． 故选：． 3．（2024春•安徽期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意如图所示：设为的中点，连接，，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得， 所以， 因为，分别为，的外接圆的圆心， 所以，， 可得，可得，而， 所以， 在中：， 所以外接球的表面积． 故选：． 4．（2024春•安徽期末）已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】设正四棱台外接球的球心为， 因为外接球表面积为， 所以， 解得， 由于在底面上，底面为正方形， 所以正方形的边长为，面积为16， 设底面的外接圆半径为， 则， 所以正方形的边长为，面积为4， 所以正四棱台的体积为． 故选：． 5．（2024春•黄山期末）中，，．为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】过点作交于点， 所以， 因为为线段上靠近点的四等分点，，所以，， 而， 所以，而为中点，所以， 在三角形中，，，， 由余弦定理有， 由于，点是中点，所以，由折叠关系可知，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以，， 因为，，， 所以，， 在三角形中，，，，由余弦定理有， 因为，所以异面直线与所成角的大小等于， 故所求为， 故选：． 6．（2024春•庐阳区校级期末）在中，，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，，，过点作，垂足为点， ，，又翻折后与点间的距离为3， ，， 的外接圆的半径为， 设四面体的外接球的半径为， 则， 即， 四面体的外接球的表面积为． 故选：． 7．（2024春•安徽期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，，，．若，则直线与平面所成角的正弦值为 　　． 【解析】在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接，，， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，， 所以，， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 故为直线与平面所成角， 由，，得二面角 的平面角即为，所以， 又， 所以是等边三角形， 可得，， 因为， 所以平面， 又平面， 所以， 在 中，由勾股定理得， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． 8．（2024春•霍山县校级期末）如图，正方体，棱长为2，是的中点，则二面角的正弦值为 　　． 【解析】如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， 又，，， 所以， 所以二面角的正弦值为． 故答案为：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$