专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何的外接球问题 题型02空间几何的内切球问题 题型03空间几何体中球的放置问题 ( 题型01 ) 空间几何的外接球问题 1．（2024春•安徽期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•怀宁县校级期末）在边长为2的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•庐阳区校级期末）在中，，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•叶集区校级期末）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•金安区校级期末）在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，，，则该三棱锥的外接球的体积为 　　． （多选）6．（2024春•怀宁县校级期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色，无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则　　 A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 （多选）7．（2024春•安徽期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则　　 A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 8．（2024春•怀宁县校级期末）三棱锥中，平面平面．为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为 　　． 9．（2024春•怀宁县校级期末）已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•合肥期末）如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成△，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则　　． ( 题型02 ) 空间几何的内切球问题 11．（2023春•亳州期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是　　 A． B． C． D． 12．（2022春•金安区校级期末）如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 　　． 13．（2021春•合肥期末）体积为1的正方体的内切球的体积是　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 空间几何体中球的放置问题 14．（2024秋•安徽校级期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为　　 A． B． C． D． （多选）15．（2023秋•合肥期末）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是　　 A．直线与所成的角为 B．的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 （多选）16．（2024秋•淮南校级期末）祖暅原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积的著名数学命题，公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用一个原理，“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等，更详细点说就是，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理，国外同一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线与它的渐近线以及直线，围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体Ⅰ，将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体Ⅱ，则关于这两个旋转体叙述正确的是　　 A．由垂直于轴的平面截旋转体Ⅱ，得到的截面为圆面 B．旋转体Ⅱ的体积为 C．将旋转体Ⅰ放入球中，则球的表面积的最小值为 D．旋转体的体积为 17．（2023秋•杜集区校级期末）如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为　　 A． B． C． D． 18．（2021秋•安徽期末）已知一个圆锥形饮料杯的侧面展开图为半圆，销售商在杯内装入部分饮料后，放入一个实心冰球使其恰好淹没在饮料中，则该冰球与饮料的体积比为　　 A． B． C． D． 19．（2021秋•合肥期末）某半球形容器如图①所示，底面圆的半径为2，往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图②所示． （1）小球的半径等于 　　； （2）若球与这四个小球、半球面都相切，则球的半径等于 　　． 1．（2024春•阜阳期末）图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若△为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•金安区校级期末）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，，，则此球的表面积等于　　 A． B． C． D． 3．（2023春•金安区校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•庐阳区校级期末）如图，在三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何的外接球问题 题型02空间几何的内切球问题 题型03空间几何体中球的放置问题 ( 题型01 ) 空间几何的外接球问题 1．（2024春•安徽期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意如图所示：设为的中点，连接，，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得， 所以， 因为，分别为，的外接圆的圆心， 所以，， 可得，可得，而， 所以， 在中：， 所以外接球的表面积． 故选：． 2．（2024春•怀宁县校级期末）在边长为2的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 【解析】在菱形中，，所以和均是边长为2的等边三角形， 如图在三棱锥中，设的中点为，连接，， 设、分别为、外接圆的圆心， 过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点， 则点为该三棱锥外接球的球心， 连接、，则为外接球的半径， 依题意，且、， 由余弦定理， 所以， 由、分别为、外接圆的圆心， 所以，， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即外接圆的半径， 所以外接球的体积． 故选：． 3．（2024春•庐阳区校级期末）在中，，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，，，过点作，垂足为点， ，，又翻折后与点间的距离为3， ，， 的外接圆的半径为， 设四面体的外接球的半径为， 则， 即， 四面体的外接球的表面积为． 故选：． 4．（2024春•叶集区校级期末）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，正四棱锥的体积， ， 在直角三角形中，， 球的体积为． 故选：． 5．（2024春•金安区校级期末）在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，，，则该三棱锥的外接球的体积为 　　． 【解析】平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形， 可得该三棱锥的外接球的球心在平面上， 即该三棱锥的外接球的半径即为的外接圆半径，设其为， 根据题意易知，，，， 由余弦定理可得 ， 根据正弦定理可得：，， 该三棱锥的外接球的体积为． 故答案为：． （多选）6．（2024春•怀宁县校级期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色，无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则　　 A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 【解析】对：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故正确； 对：连接，，则底面， 故该正八面体结构的体积，故错误； 对：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故正确； 对：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故正确． 故选：． （多选）7．（2024春•安徽期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则　　 A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 【解析】对于，因为圆台的上、下底面半径分别为和，母线为， 所以圆台的高为， 设母线与底面所成角为，则， 因为，所以， 所以母线与底面所成角为，即正确； 对于，圆台的侧面积，即正确； 对于，圆台的体积，即错误； 对于，由题意知，球心在圆台下底面的下方，设球心到下底面的距离为，球的半径为， 由勾股定理得，解得，， 所以该球的表面积为，即正确． 故选：． 8．（2024春•怀宁县校级期末）三棱锥中，平面平面．为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为 　　． 【解析】中，，，， 由余弦定理得 所以， 解得或， 因为， 所以， 取中点，易得， 因为平面平面， 所以平面， 因为，，， 所以，即，为斜边的中点， 由平面可知球心在上，且， 设， 则， 所以， 解得，， 故三棱锥的外接球体积． 故答案为：． 9．（2024春•怀宁县校级期末）已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】延长交于，连接， 是的垂心，， 平面，平面， ， 又平面，平面，， 平面，又平面， ， 连接并延长交于，连接， 由平面可得， 又，， 平面，． 设在平面上的射影为，延长交于，连接． ，， 平面． ，． 是的中心，是的中点， ， 当，，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时， 将，，作为正方体的相邻的三条棱补成正方体，则外接球的直径即为正方体的对角线长， 所以三棱锥的外接球的半径满足：， 解得， 所以球的表面积为， 故选：． 10．（2024春•合肥期末）如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成△，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则　　． 【解析】在矩形中，已知，是的中点， 所以：△为等腰直角三角形； 斜边上的高为：； 要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当△面时体积最大， 此时三棱锥的高等于：； 取的中点，过作下底面的垂线； 此时三棱锥的外接球球心在上； 三棱锥外接球的体积为； 所以球半径； 如图：； ① ；② 即：； ③ ；④ 联立③④可得； 故答案为：． ( 题型02 ) 空间几何的内切球问题 11．（2023春•亳州期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的底面半径是，母线为，圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆， 则，，．圆锥的高．如图：，为内切球的球心， 设圆锥内切球的半径是，则，即，解得． 因此圆锥内切球的体积是． 故选：． 12．（2022春•金安区校级期末）如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 　　． 【解析】过作于，交于，连，，如图， 在中，由余弦定理得：， ， ， 因为，则三棱锥的4个表面三角形全等， 在△中，，， 在中，， 因为，，，，平面，则平面， 而平面，于是得平面平面， 在平面内过作于，又平面平面， 因此，平面， 设三棱锥的内切球半径为， 则，解得， 因是锐角三角形，则三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心在内，设半径， 则，解得， 令三棱锥的外接球球心为， 显然，球截三棱锥的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内， 因球心与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为， 因此，球心到各个三角形所在平面距离都相等，且球心在三棱锥内，必为三棱锥内切球球心， 令三棱锥的外接球半径为，则， 所以三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为． 故答案为：． 13．（2021春•合肥期末）体积为1的正方体的内切球的体积是　　 A． B． C． D． 【解析】设正方体的棱长为，则，可得， 其内切球的半径为，则正方体内切球的体积为． 故选：． ( 题型03 ) 空间几何体中球的放置问题 14．（2024秋•安徽校级期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】由边长为的正三角形的内切圆半径为， 即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为2， 所以放入一个半径为2的小球后，再放一个球，如下图： 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大， 所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图， 此时， 所以球的表面积为， 圆锥表面积为， 所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为． 故选：． （多选）15．（2023秋•合肥期末）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是　　 A．直线与所成的角为 B．的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 【解析】选项，连接，由于为的中点， 所以，，又，，平面， 所以直线平面，又平面，所以，故正确； 选项，把沿着展开与平面同一个平面内，连接交于点， 则的最小值即为的长，由于，， ， ， 所以， 故， 的周长最小值为，错误； 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球， 设球心为，取的中点，连接，，过点作垂直于于点， 则为的中心，点在上，过点作 于点， 因为，，所以，同理， 则， 故， 设，故， 因为，所以，即， 解得，正确； 选项，4个小球分两层个，3个）放进去，要使小球半径最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切， 设小球半径为，四个小球球心连线是棱长为的正四面体， 由选项可知，其高为， 由选项可知，是正四面体的高，过点且与平面交于，与平面交于， 则，， 由选项可知，正四面体内切球的半径是高的，如图正四面体中，，， 正四面体高为，解得，正确． 故选：． （多选）16．（2024秋•淮南校级期末）祖暅原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积的著名数学命题，公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用一个原理，“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等，更详细点说就是，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理，国外同一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线与它的渐近线以及直线，围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体Ⅰ，将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体Ⅱ，则关于这两个旋转体叙述正确的是　　 A．由垂直于轴的平面截旋转体Ⅱ，得到的截面为圆面 B．旋转体Ⅱ的体积为 C．将旋转体Ⅰ放入球中，则球的表面积的最小值为 D．旋转体的体积为 【解析】因为将双曲线与它的渐近线以及直线，围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体Ⅰ， 将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体Ⅱ， 所以逐项分析如下： 选项，设直线与双曲线的交点为， 则线段绕轴旋转一周所得的图形为圆面， 所以用垂直于轴的平面截旋转体的截面为圆面，故选项正确； 由选项知，截面圆的半径为， 所以截面的面积为， 选项，因为直线与双曲线渐近线的交点为， 所以用垂直于轴的平面截两条渐近线绕轴旋转得到的旋转体的截面面积是， 所以直线绕轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为， 所以与双曲线及渐近线形成的截面圆环面积为定值， 且底面半径为的圆柱的截面面积为，高为4的圆柱的体积为， 所以旋转体的体积为，故选项错误； 选项，双曲线的右顶点为，渐近线的方程为， 当时，，由对称性可知若将旋转体放入球中时， 要使得球的表面积最小，则球心一定在轴上， 因为旋转体在球内，点在球内或球面上，又点到轴的距离为2， 所以球的半径至少为2，所以球的表面积大于等于， 取点，则， 所以旋转体在以为球心，半径为2的球内，此时球的表面积是， 所以球的表面积的最小值为，故选项正确； 选项，与渐近线交于点， 与双曲线交于点， 则用垂直于轴的平面截旋转体的截面应为圆环，其内径为， 外径为，截面面积为， 根据祖暅原理，旋转体的体积为，故选项正确． 故选：． 17．（2023秋•杜集区校级期末）如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】设球的半径为，球的截面圆的半径为，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径， 则， 解得， 由球的截面性质得：， 解得， 所以球的体积为， 故选：． 18．（2021秋•安徽期末）已知一个圆锥形饮料杯的侧面展开图为半圆，销售商在杯内装入部分饮料后，放入一个实心冰球使其恰好淹没在饮料中，则该冰球与饮料的体积比为　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的侧面展开图为半圆， ，， 设圆锥的轴截面为，如图所示， 则，， 为等边三角形，冰球的球心为的重心， 设冰球的半径为，则， 圆锥的体积，冰球的体积， 饮料的体积， 冰球与饮料的体积比为， 故选：． 19．（2021秋•合肥期末）某半球形容器如图①所示，底面圆的半径为2，往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图②所示． （1）小球的半径等于 　　； （2）若球与这四个小球、半球面都相切，则球的半径等于 　　． 【解析】（1）设四个小球的球心分别为、、、，半径为， 其在底面上的射影为，，，，半球形容器的球心为， 如图所示： 在长方体中，，， 连接和，则：，， 在直角三角形中，， 即， 解得； （2）设球的半径为，将五个球的球心相连接得到一个正四棱锥体； 如图所示： 则，， 设球心在平面内的射影为，则，所以， 在直角三角形中，， 即，所以． 故答案为：（1）；（2）． 1．（2024春•阜阳期末）图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若△为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意可得图②所示几何体外接球即为正八棱柱的外接球， 又易知底面正八边形中心到八边形顶点的距离为原正方形的对角线的一半，即为， 又正八棱柱的高为：上底为2，下底为，腰为边长为2的正三角形的高，即为的等腰梯形的高， 正八棱柱的高为， 设正八棱柱的外接球的半径为，则， 所求几何体的外接球的表面积为． 故选：． 2．（2024春•金安区校级期末）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，，，则此球的表面积等于　　 A． B． C． D． 【解析】如图底面三角形的外心是，， 在中，，， 可得， 由正弦定理可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，在中， 易得球半径， 故此球的表面积为． 故选：． 3．（2023春•金安区校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 平面，、平面， ，， ，，， 又，，即， 取中点，则为的外心，设球的半径为，三角形的外接圆半径为， 则，， 球的表面积为． 故选：． 4．（2023秋•庐阳区校级期末）如图，在三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】由于，故是等腰直角三角形，取的中点， 在上取点，使得，为的外心，， 由于平面平面，则平面， 由于是的外心，故球心必然在上， 由于，故点为三棱锥外接球的球心， 由，可得， 且， 故球的半径， 球的表面积． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$