专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结 题型概览 题型 01 求异面直线所成角 题型 02 求直线与平面所成角 题型 03 求二面角 题型 04 求点到平面的距离 ( 题型01 ) 求异面直线所成角 1．（2024春•芜湖期末）在三棱锥中，，，，分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，，故或其补角为直线与所成的角， ， 又， 故， 故直线与所成的角的余弦值为． 故选：． 2．（2024春•金安区校级期末）在正方体中，直线与所成角的大小为 　　．（用角度表示） 【解析】如图： 连接，，易知，所以或其补角即为所成的角， 易知△为等边三角形，所以． 故答案为： 3．（2024春•金安区校级期末），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是　　 A． B． C． D． 【解析】如图，设直线在平面的射影为，作于点，于点，连接，则即为直线与平面所成角， 由射影的性质知，平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以，， 所以， 而，， 所以， 所以． 故选：． ( 题型02 ) 求直线与平面所成角 4．（2024春•宣城期末）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】已知四面体为正四面体， 过作面， 则为三角形的重心， 设， 则，， 过作面， 则为的中点， 则为与平面所成角， 又，， 则， 则， 即与平面所成角的正弦值为． 故选：． 5．（2024春•安徽期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，，，．若，则直线与平面所成角的正弦值为 　　． 【解析】在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接，，， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，， 所以，， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 故为直线与平面所成角， 由，，得二面角 的平面角即为，所以， 又， 所以是等边三角形， 可得，， 因为， 所以平面， 又平面， 所以， 在 中，由勾股定理得， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． （多选）6．（2024春•黄山期末）如图，正方体的棱长为3，动点在△内，满足，则下列说法正确的是　　 A． B．与平面所成的角的正弦值为 C．始终为钝角三角形 D．点的轨迹长度为 【解析】选项，由正方体的性质知， 若，则， 因为平面，所以平面， 而平面， 所以假设不成立，即与不可能垂直，故选项错误； 选项，设在平面内的投影点为， 由三垂线定理知，，， 因为，所以平面，即点在线段上， 所以即为与平面所成的角， 由正方体的对称性知，点是线段的靠近点的三等分点，也是边长为的等边的重心， 所以，，且点到三边的距离为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为，即选项正确； 选项，由勾股定理知，，， 在中，由余弦定理知，，即为钝角， 所以始终为钝角三角形，即选项正确； 选项，由上可知，， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆刨去三段等长的圆弧，如图所示， 设圆与的两个交点分别为，，过点作于点，则，， 所以，即， 所以， 所以， 所以点的轨迹长度为，即选项正确． 故选：． 7．（2024春•铜陵期末）如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点． （1）证明：； （2）当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； （3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值． 【解析】（1）证明：设的边长为，连接、，则， 因为，所以，又， 所以， 所以； （2）因为，所以，又，，平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成角， 又平面，所以， 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以， 所以， 即与平面所成角的余弦值为； （3）由于，将底面补成矩形，连接、， 则且， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 因为点为的中点，则点为的中点，所以， 又，， 所以，所以， 所以，所以， 若，此时（舍去）， 所以， 又，所以， 所以． ( 题型03 ) 求二面角 8．（2024春•大观区校级期末）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值 　　． 【解析】设，连接， 因为平面，，平面， 所以，， 因为四边形为正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由， 可得． 故答案为：． 9．（2024春•霍山县校级期末）如图，正方体，棱长为2，是的中点，则二面角的正弦值为 　　． 【解析】如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， 又，，， 所以， 所以二面角的正弦值为． 故答案为：． （多选）10．（2024春•金安区校级期末）如图，在棱长为1的正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则　　 A．的面积为定值 B． C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为 【解析】对于，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故正确； 对于，因为在上，，，所以，即，故正确； 对于，到直线的距离等于到的距离，由于△为边长为的等边三角形， 故到的距离为，因此到直线的距离为定值，故正确； 对于，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面， 故二面角的大小为，故错误． 故选：． 11．（2024春•宣城期末）如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若，求：向量在向量上的投影向量的模； （2）当，且时，四棱锥是否有外接球？若有，请求出四棱锥的外接球的表面积． （3）若，且，求二面角的正切值． 【解析】（1）因为平面，而平面， 所以，又，，，平面， 所以平面，而平面， 所以， 因为，所以， 根据平面知识可知，再由前面推导可知平面， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的模即为向量的模长1； （2）“当，且时”，则四边形是长方形， 可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、1、2的长方体， 则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为， 所以表面积； （3）如图所示，过点作于，再过点作于点，连接， 因为平面，所以平面平面， 而平面平面， 所以平面， 所以，又， 所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 因为，，，则， 在中由等面积法可得，， 所以在中，， 而为等腰直角三角形， 所以， 故． 12．（2024春•阜阳期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点． （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：平面平面． （3）若，，求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：由题设，平面，平面， 平面，又平面平面，面， ； （2）证明：连接，，交于点，连结， 四棱锥的底面是菱形， ，是中点， 是中点， ， 平面， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面， 平面， 平面平面； （3）过作，连接， 由（2）知平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，故， 故为二面角的平面角， ，平面，， ，，， 故， 故， ， 故，则， 故， 故， 二面角的正切值为． ( 题型04 ) 求点到平面的距离 13．（2020春•宣城期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是矩形，点是中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【解答】解：（1）证明：底面，平面，， 四边形是矩形，是中点，且， ，， ，，， ，，平面，平面， 平面，平面平面． （2）解：由（1）知， ，，且的面积为2， 平面，平面，， ，， 平面，， 的面积为， 设点到平面的距离为， 由，得， 解得． 点到平面的距离为． 14．（2020春•安徽期末）如图，在四面体中，，，，且． （1）证明：平面平面． （2）求点到平面的距离． 【解答】（1）证明：取的中点，连接，， ，， 又，，、平面，平面， 平面，． ，，，， ，，即， ，，、平面，平面， 平面， 平面平面． （2）解：在中，，，且，． 由（1）知，平面，且， 三棱锥的体积， 在中，，，． 设点到平面的距离为， ，，即，解得． 故点到平面的距离为． 15．（2020春•宣城期末）如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点，，为中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【解答】解：（1）证明：取的中点，连接，， 为的中点，，且， 又，，且， ，且，则且， 四边形为平行四边形，则． 又平面，平面， 平面； （2）取的中点，连接， ，，且，则四边形为矩形，得． ，，平面，， 平面，且． 过点作平面于，则即为点到平面的距离． 由，得， ，， 点到平面的距离； （3）连接，，由（2）知即为直线与平面所成角， 在中，，，， 又是的中点，，． 直线与平面所成角的正切值为． 1．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 分别取，，的中点，，，连接，，，，，． 由且可得是等边三角形， 则且，且，故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 因为平面，，平面，，， 故和均为直角三角形， 所以，， ， 由余弦定理得． 则异面直线与所成的角的余弦值为． 故选：． 2．（2023春•合肥期末）如图，在长方体中，，，且为的中点，则直线与所成角的大小为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取的中点，连接，，， 在长方体中，，， 因为，分别为，的中点， 所以，，即四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为直线与所成角， 因为，， 所以，， 所以， ， ， 在等腰三角形中，， 所以， 故直线与所成角的大小是． 故选：． 3．（2023春•金安区校级期末）如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】因为面，且，平面， 所以，， 因为，，， 所以，，，， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以， 由面，知点到平面的距离为， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得， 设与平面的夹角为，则， 因为，所以． 故选：． 4．（2023春•庐江县期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，侧棱底面，平面， 则平面平面， 底面为矩形，， 而平面平面，平面． 连接，则为在平面上的射影， 则为与底面所成角， 设，则，， ． ． 即直线与平面所成角的正弦值为． 故选：． 5．（2021春•裕安区校级期末）如图，是圆的直径，，，是圆上一点（不同于，，且，则二面角的平面角为　　 A． B． C． D． 【解析】点在以为直径的圆上，， 又，，、平面， 平面， ， ，为二面角的平面角． 故选：． 6．（2021春•庐阳区校级期末）已知正方体中，以下结论不正确的有　　 A．点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 B．点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C．点在直线上运动时，二面角的大小不变 D．是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线 【解析】因为，且平面，平面， 所以平面，所以 上的点到平面 的距离相等， 所以三棱锥 的体积不变，故说法正确； 由图可知，当点 在直线 上运动时，直线 与平面 所成角和直线与平面所成角不相等，故说法错误； 因为平面，所以二面角 的大小等于平面 与平面 所成角的大小， 所以二面角 的大小不变，故说法正确； 因为是平面 上到点 和 距离相等的点， 所以点的轨迹是平面 与线段 的垂直平分线 所在平面的交线， 即点的轨迹是平面 与平面 的交线， 所以点的轨迹是过点 的直线，故说法正确． 故选：． 7．（2021春•东至县校级期末）在正三棱柱中，，点是线段的中点，点是线段的中点，记直线与所成角为，二面角的平面角为，则　　 A． B． C． D． 【解析】过点作且，连接， 则为直线与直线所成角，即． 如图所示： 过点作，垂足为点，则由题意知为的中点，连接，， 因为，所以，， 又，所以， 又正三棱柱中，， 所以，， 所以， 所以． 取的中点，连接，，因为三棱柱是正三棱柱，且， 所以易知即为二面角的平面角，即． 在正中，，则． 因为，且正切函数在上单调递增， 所以，且，所以选项正确． 故选：． 8．（2019春•安徽期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上 （1）证明：平面 （2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离 【解答】证明：（1），，，即， 平面，，且 平面 解（2）三棱锥的体积为， ，． ． 为中点，即点到平面的距离等于点到平面的距离． 在中，由余弦定理可得． 由． 点到平面的距离为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结 题型概览 题型 01 求异面直线所成角 题型 02 求直线与平面所成角 题型 03 求二面角 题型 04 求点到平面的距离 ( 题型01 ) 求异面直线所成角 1．（2024春•芜湖期末）在三棱锥中，，，，分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•金安区校级期末）在正方体中，直线与所成角的大小为 　　．（用角度表示） 3．（2024春•金安区校级期末），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是　　 A． B． C． D． ( 题型02 ) 求直线与平面所成角 4．（2024春•宣城期末）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•安徽期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，，，．若，则直线与平面所成角的正弦值为 　　． （多选）6．（2024春•黄山期末）如图，正方体的棱长为3，动点在△内，满足，则下列说法正确的是　　 A． B．与平面所成的角的正弦值为 C．始终为钝角三角形 D．点的轨迹长度为 7．（2024春•铜陵期末）如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点． （1）证明：； （2）当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； （3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值． ( 题型03 ) 求二面角 8．（2024春•大观区校级期末）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值 　　． 9．（2024春•霍山县校级期末）如图，正方体，棱长为2，是的中点，则二面角的正弦值为 　　． （多选）10．（2024春•金安区校级期末）如图，在棱长为1的正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则　　 A．的面积为定值 B． C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为 11．（2024春•宣城期末）如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若，求：向量在向量上的投影向量的模； （2）当，且时，四棱锥是否有外接球？若有，请求出四棱锥的外接球的表面积． （3）若，且，求二面角的正切值． 12．（2024春•阜阳期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点． （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：平面平面． （3）若，，求二面角的正切值． ( 题型04 ) 求点到平面的距离 13．（2020春•宣城期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是矩形，点是中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 14．（2020春•安徽期末）如图，在四面体中，，，，且． （1）证明：平面平面． （2）求点到平面的距离． 15．（2020春•宣城期末）如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点，，为中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值． 1．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•合肥期末）如图，在长方体中，，，且为的中点，则直线与所成角的大小为　　 A． B． C． D． 3．（2023春•金安区校级期末）如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为　　 A． B． C． D． 4．（2023春•庐江县期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 5．（2021春•裕安区校级期末）如图，是圆的直径，，，是圆上一点（不同于，，且，则二面角的平面角为　　 A． B． C． D． 6．（2021春•庐阳区校级期末）已知正方体中，以下结论不正确的有　　 A．点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 B．点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C．点在直线上运动时，二面角的大小不变 D．是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线 7．（2021春•东至县校级期末）在正三棱柱中，，点是线段的中点，点是线段的中点，记直线与所成角为，二面角的平面角为，则　　 A． B． C． D． 8．（2019春•安徽期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上 （1）证明：平面 （2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$