专题11 空间直线与平面的垂直问题5种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题11 空间直线与平面的垂直问题5种常考题型总结 题型概览 题型 01 垂直关系的判定 题型 02 线线垂直的证明 题型 03 线面垂直的证明 题型 04 面面垂直的证明 题型 05 垂直关系的探索性问题 ( 题型01 ) 垂直关系的判定 1．（2024春•庐阳区校级期末）已知为平面内的一条直线，，表示两个不同的平面，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由平面与平面垂直的判定定理知， 如果为平面内的一条直线且，则， 反过来则不一定， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：． 2．（2016春•滁州期末）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是　　 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【解析】，且，或，或与相交，故不成立； ，且，故成立； ，且，或，或与相交，故不成立； 由，且，知不成立，故不正确． 故选：． 3．（2021春•庐阳区校级期末）在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在　　 A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部 【解析】在斜三棱柱中，，， ，又， 平面，平面， 平面平面， 在底面上的射影必在两平面的交线上． 故选：． 4．（2021春•庐阳区校级期末）设是一平面，是一直线，直线，则“”是“”的　　条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【解析】由，可得，而，； 由，，可得或． “”是“”的充分非必要条件． 故选：． ( 题型02 ) 线线垂直的证明 5．（2018春•安庆期末）如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，，为的中点，． （1）求证：； （2）边上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 【解析】证明：（1）平面，， 又是正方形 平面 又面 解：（2）连结，取中点，连结，， 延长交于点，则平面 下面证明之 为的中点，是的中点， ， 又平面，平面 平面 在正方形中， 是的中点，， ，所求的长为． 6．（2024春•金安区校级期末）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点． （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：． 【解析】（1）解：是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点； （2）证明：取的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 因为，所以平面， 因为平面， 所以． 7．（2022春•谯城区校级期末）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）在三棱柱中，平面，平面， ， 又，，平面，平面， 平面， 又平面， ； （2）设与的交点为，连结，则为中点， 又是中点， 是的中位线， ， 又平面，平面， 平面． ( 题型03 ) 线面垂直的证明 8．（2020春•宣城期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，．求证： （1）平面； （2）平面． 【解析】证明：（1）因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）在三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面． 9．（2020春•安徽期末）如图，在正方体中，，分别是，的中点．证明： （1）平面； （2）平面． 【解析】证明：（1），分别是，的中点，， 平面，平面， 平面． （2）连结，， 由正方体的性质知是正方形，则． 由正方体的性质可知平面， ， ，平面， 平面，， 同理可证， ，平面． ( 题型04 ) 面面垂直的证明 10．（2024春•宣城期末）如图，四边形是边长为2的正方形，为边的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积和表面积． 【解析】证明：（1）由题可知，，， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，所以， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 解：（2）由（1）得平面，所以， 由三角形面积公式得， 故， 由（1）得，，， 所以，， 故三棱锥的表面积为． 11．（2024春•安徽期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 【解析】证明：（1）由题意可知：，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 又因为，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 且，，平面， 所以平面平面． （2）因为为正方形，则， 因为，，，则△△， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，，平面， 可得平面， 由平面， 所以平面平面． 12．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）连接交于， 底面四边形是菱形，为的中点， 又为的中点，连接，则． 平面，平面， 平面； （2）由，得， 由四边形是菱形，得， 又，平面， 而平面平面， 平面平面． 13．（2023春•定远县校级期末）如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点． （1）证明：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：因为是直角三角形，且，所以． 因为平面，且平面，所以． 因为平面，平面，且，所以平面． 因为，分别是棱，的中点，所以，， 因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为，所以． 因为平面，且， 所以三棱锥的体积． 连接，因为是棱的中点， 所以三棱锥的体积． 因为是棱的中点， 所以三棱锥的体积． 因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥， 所以的体积为． 14．（2023春•金安区校级期末）如图，在正三棱柱中，为上的点，为上的点，，分别为，的中点，平面． （1）证明：，，，四点共面； （2）证明：平面平面． 【解析】证明：（1）在正三棱柱中， 由、分别为、的中点，可得为的中位线， 即有， 又即， 所以， 则，，，四点共面； （2）为正三棱柱，为等边三角形， 又为的中点，， 在正三棱柱中，有平面平面， 而平面平面， 平面， 平面平面，平面，面， ，平面， 又平面，平面平面． 15．（2022春•蒙城县校级期末）如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【解析】证明：（1），，， ， ，又为的中点． ， ，为的中点． ，又， 平面， 又平面， 平面平面； 解：（2）由（1）可知， ，，是等边三角形，边长为2， ，，，， ，， 又，， 平面， 由（1）知，，连接，则， ， 当时，最短，此时的面积最小， 过点作于点，则，平面， ， ，， 三棱锥的体积． 16．（2022春•涡阳县校级期末）如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面平面； （2）当时，求多面体的体积． 【解析】（1）证明：因为是正三角形，又是的中点， 所以，又， 所以① 因为平面，平面， 所以② 而， 由①②可知平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）因为， ，，， 则，， 所以． 17．（2022春•池州期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，设平面与平面的公共直线为． （1）写出图中与平行的直线，并证明； （2）求证：平面平面． 【解析】（1）解：图中与平行的直线为和，证明如下： 底面为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面与平面的交线，平面， ，进一步可得； （2）证明：平面，平面，， ，，平面， 平面，平面平面． ( 题型0 5 ) 垂直关系的探索性问题 18．（2023春•谯城区校级期末）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 【解析】证明：（1）连接与，两线交于点，连接， 在△中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为底面，平面，所以， 又为棱的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以，又， 在和△中，， 所以，即， 所以，又，，平面， 所以平面； 解：（3）当点为的中点，即时，平面平面， 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 19．（2015春•安庆期末）某家居装饰设计的形状是如图所示的直三棱柱，其中，，是边长为2（单位：米）的正方形，，点为棱上的动点． （Ⅰ）现需要对该装饰品的表面进行涂漆处理，假设每平方米的油漆费是40元，则需油漆费多少元？（提示：，结果保留到整数位） （Ⅱ）当点为何位置时，平面？ 【解析】（本题满分12分） 解：（Ⅰ）因为是边长为2的正方形，所以． 因为，所以． 又易知平面，所以． 又，所以平面． 又，所以直三棱柱的表面积为（平方米）． 则需油漆费（元． （Ⅱ）当点为的中点时，平面．证明如下： 由（Ⅰ）得平面． 又，所以平面． 所以． 故当时，有平面，且此时有△． 设，则，即，解得． 此时，即当点为的中点时，平面． 1．（2024春•阜阳期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点． （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：平面平面． （3）若，，求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：由题设，平面，平面， 平面，又平面平面，面， ； （2）证明：连接，，交于点，连结， 四棱锥的底面是菱形， ，是中点， 是中点， ， 平面， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面， 平面， 平面平面； （3）过作，连接， 由（2）知平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，故， 故为二面角的平面角， ，平面，， ，，， 故， 故， ， 故，则， 故， 故， 二面角的正切值为． 2．（2024春•庐江县期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：设交于，连接． 为正方形，为中点， 又为的中点，， 又平面，平面， 平面． （2）证明：四棱锥的底面为正方形，， 平面，平面， ， 又，确定平面， 平面． 又平面， 平面平面． （3）连接， 平面， 是在平面上的射影， 即为直线与平面所成的角， ， ， ． 3．（2023春•庐江县期末）如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点． （1）求证：平面； （2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：是圆的直径，点是圆周上一点， ，即． 又在圆柱中，母线底面圆，底面圆， ，又， 平面； （2）设圆柱底面半径为，母线长为，则，解得． 在中，过作交于， 由（1）知，平面， 平面，， 又，平面． 若不与重合，即为直线与平面所成角． 若与重合，直线与平面所成角为， 若直线与平面所成角为，则， 在中，由，可得． 因此． 此时为直角三角形，点为两个半圆弧中点． 因此，当点为两个半圆弧中点时，直线与平面所成角最大为，正弦值最大为1． 4．（2023春•包河区校级期末）在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，，如下图： ，，又，是等边三角形，即， ，平面，，平面，平面， ； （2）解：，，，，， 平面平面， 平面平面，，平面，平面，， 在中，， 过点作平面的垂线，得垂足，连接， ，与平面的夹角即为与平面的夹角，设其为，则， 下面用等体积法求出的长度， ， 在中， ，，，， 在中，； 综上，直线与平面所成角的余弦值为． 5．（2023春•安庆期末）如图，在斜三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，为正三角形，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角． 【解析】（1）证明：连接交于点，连接， 取中点，连接，， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， ． 为正三角形， ， 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又平面， 平面平面； （2）由（1）得平面平面，， 平面平面，平面， 平面，则即为与平面所成的角， 又， 在△中，， ， ． 故与平面所成角为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 空间直线与平面的垂直问题5种常考题型总结 题型概览 题型 01 垂直关系的判定 题型 02 线线垂直的证明 题型 03 线面垂直的证明 题型 04 面面垂直的证明 题型 05 垂直关系的探索性问题 ( 题型01 ) 垂直关系的判定 1．（2024春•庐阳区校级期末）已知为平面内的一条直线，，表示两个不同的平面，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2016春•滁州期末）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是　　 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（2021春•庐阳区校级期末）在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在　　 A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部 4．（2021春•庐阳区校级期末）设是一平面，是一直线，直线，则“”是“”的　　条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ( 题型02 ) 线线垂直的证明 5．（2018春•安庆期末）如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，，为的中点，． （1）求证：； （2）边上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 6．（2024春•金安区校级期末）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点． （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：． 7．（2022春•谯城区校级期末）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． ( 题型03 ) 线面垂直的证明 8．（2020春•宣城期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，．求证： （1）平面； （2）平面． 9．（2020春•安徽期末）如图，在正方体中，，分别是，的中点．证明： （1）平面； （2）平面． ( 题型04 ) 面面垂直的证明 10．（2024春•宣城期末）如图，四边形是边长为2的正方形，为边的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积和表面积． 11．（2024春•安徽期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 12．（2023春•金安区校级期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 13．（2023春•定远县校级期末）如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点． （1）证明：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 14．（2023春•金安区校级期末）如图，在正三棱柱中，为上的点，为上的点，，分别为，的中点，平面． （1）证明：，，，四点共面； （2）证明：平面平面． 15．（2022春•蒙城县校级期末）如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 16．（2022春•涡阳县校级期末）如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面平面； （2）当时，求多面体的体积． 17．（2022春•池州期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，设平面与平面的公共直线为． （1）写出图中与平行的直线，并证明； （2）求证：平面平面． ( 题型0 5 ) 垂直关系的探索性问题 18．（2023春•谯城区校级期末）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 19．（2015春•安庆期末）某家居装饰设计的形状是如图所示的直三棱柱，其中，，是边长为2（单位：米）的正方形，，点为棱上的动点． （Ⅰ）现需要对该装饰品的表面进行涂漆处理，假设每平方米的油漆费是40元，则需油漆费多少元？（提示：，结果保留到整数位） （Ⅱ）当点为何位置时，平面？ 1．（2024春•阜阳期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点． （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：平面平面． （3）若，，求二面角的正切值． 2．（2024春•庐江县期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2023春•庐江县期末）如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点． （1）求证：平面； （2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由． 4．（2023春•包河区校级期末）在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 5．（2023春•安庆期末）如图，在斜三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，为正三角形，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$