专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 平行关系的判定 题型 02 线面平行的证明 题型 03 面面平行的证明 题型 04 平行关系的探索性问题 ( 题型01 ) 平行关系的判定 1．（2024春•亳州期末）已知直线和平面，则成立的一个充分条件是　　 A．存在一条直线，且 B．存在一条直线，且 C．存在一个平面，且 D．存在一个平面，且 【解析】存在一条直线，，且，则或，故错误； 存在一条直线，，且，则或，故错误； 存在一个平面，，且， 则由平面与平面平行的性质知，故正确； 存在一个平面，，且，则或，故错误． 故选：． 2．（2024春•金安区校级期末）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②，，相交于一点； ③； ④平面． 其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】①中，连接、、，因为、分别是、的中点，多面体是正方体， 所以，，， 因为，所以与是同一平面内的相交直线，所以①错误； ②中，由①可知共面，平面，所以与为异面直线，所以，，不会相交于一点，所以②不正确； ③中，连接与交于点，连接、， 由正方体性质易知，是中点， 因为是中点，所以，， 因为，，所以，， 故四边形是平行四边形，，所以③错误； ④中，因为，平面，平面， 所以平面，所以④正确 故选：． （多选）3．（2024春•蒙城县校级期末）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是　　 A． B． C． D． 【解析】选项中，如图（1），连接，取的中点，连接， 因为，分别为和的中点，所以，所以与平面不平行． 选项中，如图（2），连接，在正方体中，，， 所以，因此平面． 选项中，如图（3），连接，在正方体中，知， 又因为，分别为所在棱的中点，所以， 所以，所以平面． 选项中，如图（4），连接，在正方体中，知， 又因为，分别为所在棱的中点，所以，所以， 所以平面． 故选：． ( 题型0 2 ) 线面平行的证明 4．（2024春•金安区校级期末）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点． （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：． 【解析】（1）解：是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点； （2）证明：取的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 因为，所以平面， 因为平面， 所以． 5．（2023秋•琅琊区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点为中点，点为棱上靠近点的三等分点． （1）求证：直线平面； 【解析】（1）证明：在上取点，使得，即，连接，， 因为点为中点，点为棱上靠近点的三等分点 又因为，，为的中点， 所以，且， 因为， 因为，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面； 6．（2024春•铜陵期末）如图，已知圆锥，为底面直径，是底面圆周上不同于、的一点，母线长为4． （1）若点为的中点，证明：平面； （2）若该圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的表面积． 【解析】（1）证明：连接，， 因为，分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）解：因为该圆锥的轴截面是， 所以， 所以， 又，所以或， 当，时为等边三角形，所以，则， 所以该圆锥的表面积， 当时，则， 所以， 所以该圆锥的表面积； 综上可得该圆锥的表面积为或． 7．（2024春•庐阳区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接，交于，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点，而为的中点， 所以， 又因平面，平面， 所以； （2）解：设点到平面的距离为，平面， 平面， 所以， ，点是的中点， 所以，， 正方形，可得， 因为， ，所以平面平面，平面平面， 平面， 所以， 所以， 所以， 所以， ， 到平面的距离为， 所以，即， 即，可得， ， 设直线与平面所成角为， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． ( 题型0 3 ) 面面平行的证明 8．（2021春•定远县校级期末）已知在正方体中，、、、分别是、、、的中点．求证： （1）、、、四点共面； （2）平面平面． 【解析】证明（1）、分别是、的中点，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 即、确定一个平面，故、、、四点共面． （2）、分别是，的中点， ， 又平面， 平面， 平面， 连接，则， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 、都在平面内，且， 平面平面． 9．（2021春•定远县校级期末）如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证： （1），，，四点共面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）、分别为，中点，， 三棱柱中，， 、、、四点共面； （2）、分别为、中点， 又、分别为三棱柱侧面平行四边形对边、中点， 四边形为平行四边形， 平面中有两条直线、分别与平面中的两条直线、平行 平面平面． 10．（2016秋•芜湖期末）如图所示，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，求证： （1），，，四点共面； （2）面平面． 【解析】证明：（1），分别是，的中点， ， ，， ，，，，四点共面． （2），分别是，的中点， ， ，， ，分别是、的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， 面面． ( 题型0 4 ) 平行关系的探索性问题 11．（2021春•裕安区校级期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明． 【解析】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以； （2）存在，且当点是的中点时，平面平面．下面给出证明： 因为、分别是、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知，，又是的中点，，所以， 所以四边形是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 又因为，所以，平面平面． 12．（2020秋•花山区校级期末）如图，四棱锥中，，，为的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，． 因为为的中点， 所以，． 又，， 所以，． 因此四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 因此平面． （2）解：如图所示，取的中点，连接，， 所以 又，所以． 又，所以四边形为平行四边形， 因此． 又平面，所以平面． 由（1）可知平面． 因为，故平面平面． 13．（2024春•蒙城县校级期末）如图：在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由． 【解析】（1）证明：连结交于，连结． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为， 所以平面平面． 14．（2022春•谯城区校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面； （2）求证：为的中点； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】证明：（1）连接交于，连接，如下图： 由为平行四边形，则为中点，又为棱的中点， 所以为中位线，则， 又面，面，故平面； 证明：（2）由题设知：，面，面， 所以面， 又面，面面， 所以，又为棱的中点，即是的中位线， 故为的中点； 解：（3）存在使得平面且，理由如下： 为中点，连接， 由题设且， 由（2）知且， 所以且，即为平行四边形， 所以，而面，面， 所以面，故所求点即为点， 则上存在点使得平面，且． 15．（2022春•蚌埠期末）如图所示的几何体中，，平面，，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 又是的中点，所以， ，， 与共面， 平面，平面， ， ，是的中点， ， ，，， 平面， 平面， ． （2）存在点，当时，满足条件，证明如下， 连接交于，连接， ，， ， ， ， 平面，不在平面内， 平面． 1．（2024春•蚌埠期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【解析】对于，由，，，知，或与相交，所以选项错误； 对于，，时，，所以选项错误； 对于，，，时，，或，或与相交，所以选项错误； 对于，，时，，选项正确． 故选：． 2．（2023秋•安徽期末）如图所示，为所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，　　． 【解析】连接，交于点， 连接． 平面，平面，平面平面， ， ， 故答案为：． 3．（2023春•金安区校级期末）下列说法正确的是　　 A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线，，则 D．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 【解析】若直线平行于平面内的无数条直线， 当这无数条直线是平行线时，与不一定平行，故不正确； 若直线在平面外，则或与相交，故不正确； 若直线，，则或，故不正确； 若直线，，则平行或， 平行于平面内的无数条直线，故正确． 故选：． （多选）4．（2023春•谯城区校级期末）如图，在长方体中，，分别为棱，的中点，则下列判断正确的是　　 A．直线与是异面直线 B．平面 C．平面 D． 【解析】由与平面相交于点，且不在直线上，平面， 故与是异面直线，故正确； 根据题意知为长方体，故平面，故正确； 取的中点为，连接，且，故四边形为平行四边形，故， 又与平面相交于点，故与平面不平行， 即与平面不平行，故错误； 因为，且与不垂直，所以与也不垂直，故错误． 故选：． （多选）5．（2023春•黄山期末）如图，已知棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点，点为的中点，则　　 A．平面 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 【解析】 选项，如图，连接，在正方体中， ，，则四边形为平行四边形， 故，又，所以与相交， 故与平面相交，故错误； 选项，因为， 故直线与直线所成角即为， 又平面，平面， 所以，在△中， ， ，故正确； 选项，由已知，，，， 则，， 所以， 设点与点到平面的距离分别为和， 则由可得：，解得， 由可得：，解得， 则点与点到平面的距离之比为，故正确； 选项，如右图所示，取的中点，的中点，连接，， 由正方体棱长为2，可得， 故以为球心，为半径的球面与侧面的交线即为以为圆心， 半径为1的圆周的，即交线为， 所以，故正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 平行关系的判定 题型 02 线面平行的证明 题型 03 面面平行的证明 题型 04 平行关系的探索性问题 ( 题型01 ) 平行关系的判定 1．（2024春•亳州期末）已知直线和平面，则成立的一个充分条件是　　 A．存在一条直线，且 B．存在一条直线，且 C．存在一个平面，且 D．存在一个平面，且 2．（2024春•金安区校级期末）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②，，相交于一点； ③； ④平面． 其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）3．（2024春•蒙城县校级期末）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是　　 A． B． C． D． ( 题型0 2 ) 线面平行的证明 4．（2024春•金安区校级期末）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点． （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：． 5．（2023秋•琅琊区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点为中点，点为棱上靠近点的三等分点． （1）求证：直线平面； 6．（2024春•铜陵期末）如图，已知圆锥，为底面直径，是底面圆周上不同于、的一点，母线长为4． （1）若点为的中点，证明：平面； （2）若该圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的表面积． 7．（2024春•庐阳区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． ( 题型0 3 ) 面面平行的证明 8．（2021春•定远县校级期末）已知在正方体中，、、、分别是、、、的中点．求证： （1）、、、四点共面； （2）平面平面． 9．（2021春•定远县校级期末）如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证： （1），，，四点共面； （2）平面平面． 10．（2016秋•芜湖期末）如图所示，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，求证： （1），，，四点共面； （2）面平面． ( 题型0 4 ) 平行关系的探索性问题 11．（2021春•裕安区校级期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明． 12．（2020秋•花山区校级期末）如图，四棱锥中，，，为的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 13．（2024春•蒙城县校级期末）如图：在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由． 14．（2022春•谯城区校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面； （2）求证：为的中点； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 15．（2022春•蚌埠期末）如图所示的几何体中，，平面，，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2024春•蚌埠期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．（2023秋•安徽期末）如图所示，为所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，　　． 3．（2023春•金安区校级期末）下列说法正确的是　　 A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线，，则 D．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 （多选）4．（2023春•谯城区校级期末）如图，在长方体中，，分别为棱，的中点，则下列判断正确的是　　 A．直线与是异面直线 B．平面 C．平面 D． （多选）5．（2023春•黄山期末）如图，已知棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点，点为的中点，则　　 A．平面 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$