专题09 空间几何体的结构特征、表面积和体积7种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题09 空间几何体的结构特征、表面积和体积 7种常考题型总结 题型概览 题型 01 空间几何体的结构特征 题型 02 空间几何体的直观图 题型 03 多面体的表面积计算 题型 04 多面体的体积计算 题型 05 旋转体的表面积计算 题型 06 旋转体的体积计算 题型 07 几何体的截面问题 ( 题型0 1 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•庐江县期末）下列说法正确的是　　 A．三个点可以确定一个平面 B．若直线在平面外，则与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形 2．（2020秋•蚌埠期末）下列命题正确的是　　 A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面 C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形 （多选）3．（2021春•庐阳区校级期末）下面关于空间几何体叙述不正确的是　　 A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．棱柱的侧面都是平行四边形 C．直平行六面体是长方体 D．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 ( 题型0 2 ) 空间几何体的直观图 4．（2024春•安徽期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为　　 A． B．2 C． D． 5．（2024春•蒙城县校级期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为　　 A．2 B． C．3 D． 6．（2024春•霍山县校级期末）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•金安区校级期末）如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•蚌埠期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过斜边的中点，则中边上的高为　　 A． B． C．2 D．4 9．（2023秋•裕安区校级期末）如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 　　． ( 题型0 3 ) 多面体的表面积计算 10．（2022春•安徽期末）如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为1，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为　　 A． B． C． D． 11．（2022春•定远县校级期末）如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； （2）与的长； （3）此三棱柱的表面积． 12．（2021春•马鞍山期末）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是　　 A． B． C． D． ( 题型0 4 ) 多面体的体积计算 13．（2024秋•安徽校级期末）已知四面体的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面．当该球的体积最小时，四面体体积的最大值为　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•亳州期末）已知四面体的棱，分别是同一个圆柱上、下底面的直径，若圆柱的体积为，则四面体体积的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2024秋•宣城期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为，则该几何体的体积为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•亳州期末）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，，分别在棱，上，，，记四棱锥三棱锥与三棱锥的体积分别为，，，则　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•太和县校级期末）现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时 　37　分钟． ( 题型0 5 ) 旋转体的表面积计算 18．（2022秋•庐江县期末）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为　　 A． B． C． D． 19．（2023春•庐江县期末）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 20．（2020秋•池州期末）已知圆台上、下底面的底面积分别为，，且母线长为13． （1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积． 21．（2024秋•黟县校级期末）我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）　　（附 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 旋转体的体积计算 22．（2024秋•颍泉区校级期末）已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 23．（2018秋•黄山期末）设矩形边长分别为、，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不确定 24．（2024秋•安徽期末）已知圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，圆锥的底面半径为，高为，当该圆锥的体积取得最大值时，　　． 25．（2024春•太和县校级期末）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 26．（2023春•芜湖期末）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为，这两个圆锥的体积之和为，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•安徽期末）已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为，，则　　． 28．（2023秋•包河区校级期末）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为　　 A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 几何体的截面问题 29．（2024秋•裕安区校级期末）如图，正方体的棱长为2，是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 　　． 30．（2024春•宣城期末）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为　　 A． B． C． D． 31．（2024秋•铜陵校级期末）在棱长为6的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为　　 A． B． C． D． 32．（2022秋•临泉县校级期末）已知正方体的棱长为2，、分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为　　 A． B． C． D． 1．（2019秋•包河区校级期末）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，，平行于轴．已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为　　． 2．（2024秋•太和县校级期末）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•芜湖期末）如图，在三棱柱中，点是棱上一点，且，过直线的一个平面与棱交于，与棱交于，记截面的面积为，的面积为，的面积为，则的取值范围是 　 ． 4．（2024秋•迎江区校级期末）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图．这两个三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为　　 A． B． C．27 D． 5．（2023春•宣城期末）已知矩形，，，将△沿折起到△．若点在平面上的射影落在△的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是　　 A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 空间几何体的结构特征、表面积和体积 7种常考题型总结 题型概览 题型 01 空间几何体的结构特征 题型 02 空间几何体的直观图 题型 03 多面体的表面积计算 题型 04 多面体的体积计算 题型 05 旋转体的表面积计算 题型 06 旋转体的体积计算 题型 07 几何体的截面问题 ( 题型0 1 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•庐江县期末）下列说法正确的是　　 A．三个点可以确定一个平面 B．若直线在平面外，则与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形 【解析】三个共线的点不可以确定一个平面，错误； 若直线在平面外，则或与相交，当与相交有一个公共点，错误； 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台，正确； 斜棱柱的侧面可以是矩形，错误． 故选：． 2．（2020秋•蚌埠期末）下列命题正确的是　　 A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面 C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形 【解析】对于：棱柱的每个侧面都是平行四边形，故错误； 对于：棱柱的侧面最少由三个侧面，故一个棱柱最少有五个面，故正确； 对于：正方体是正四棱柱，每个对面都互相平行，故错误； 对于：平行六面体的侧面为平行四边形，故错误； 故选：． （多选）3．（2021春•庐阳区校级期末）下面关于空间几何体叙述不正确的是　　 A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．棱柱的侧面都是平行四边形 C．直平行六面体是长方体 D．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 【解析】对于，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故错误； 对于，由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，故正确； 对于，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是平行四边形，它不是长方体，故错误； 对于，直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故错误． 故选：． ( 题型0 2 ) 空间几何体的直观图 4．（2024春•安徽期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为　　 A． B．2 C． D． 【解析】在直角梯形中，，，， 显然，于是， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ，，，， 所以该平面图形的高为． 故选：． 5．（2024春•蒙城县校级期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为　　 A．2 B． C．3 D． 【解析】如图， 作平面直角坐标系，使与重合，在轴上，且，在轴上，且， 过作，且，则四边形为原平面图形，其面积为． 故选：． 6．（2024春•霍山县校级期末）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，由直观图可得原图形， 所以，，， 所以，原图形的周长为． 故选：． 7．（2024春•金安区校级期末）如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为　　 A． B． C． D． 【解析】依题意，由于，，，， 则四边形是平行四边形，，，且与之间的距离， 则的面积， 则四边形的直观图面积． 故选：． 8．（2024春•蚌埠期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过斜边的中点，则中边上的高为　　 A． B． C．2 D．4 【解析】根据题意，设原图中，中边上的高为， 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，其面积， 则原图的面积， 则有，变形可得． 故选：． 9．（2023秋•裕安区校级期末）如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 　　． 【解析】根据题意，由斜二测画法，将直观图还原后，分析可得△为直角三角形， 且两条直角边，， 故△的面积为． 故答案为：8． ( 题型0 3 ) 多面体的表面积计算 10．（2022春•安徽期末）如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为1，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为　　 A． B． C． D． 【解析】将棱台的截面拿出来分析，如图， 根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上， 注意到梯形的底角是，，解得， 设球心为，，则△是等边三角形， ， 可确定球心在梯形下底下方， ，， ，， ，是上下底面正方形的对角线， 上下底面积之比为： ． 故选：． 11．（2022春•定远县校级期末）如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； （2）与的长； （3）此三棱柱的表面积． 【解析】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为； （2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到点的位置，连接， 则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线． 设，即， 在中，由勾股定理得， 解得，或（舍， 所以，又因为， 所以； （3）此三棱柱的表面积． 12．（2021春•马鞍山期末）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：． 三棱锥的表面积是：． 故选：． ( 题型0 4 ) 多面体的体积计算 13．（2024秋•安徽校级期末）已知四面体的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面．当该球的体积最小时，四面体体积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，，， 易得，作关于的对称点， 则易得三角形与三角形为边长为1的等边三角形， △的外接圆的半径为， 要使四面体的外接球的体积最小， 则需△的外接圆为大圆，即球的球心为，半径为， 平面平面， 在底面的射影点，必落在上，连接， 要使此时三棱锥的高最大，只需最小，且最小值为， 高的最大值为， 此时四面体体积的最大值为． 故选：． 14．（2024秋•亳州期末）已知四面体的棱，分别是同一个圆柱上、下底面的直径，若圆柱的体积为，则四面体体积的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】设圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，点到平面的距离为， 因为是的中点，所以到平面的距离也为， 则，当平面时，等号成立， 因为圆柱的体积为，所以， 所以四面体体积为 ， 当且仅当时，即平面时，等号成立， 所以四面体体积的最大值为4． 故选：． 15．（2024秋•宣城期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为，则该几何体的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，被截正方体的棱长为，则截正方体的体积， 截去四面体的体积之和， 故该几何体的体积． 故选：． 16．（2023秋•亳州期末）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，，分别在棱，上，，，记四棱锥三棱锥与三棱锥的体积分别为，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意易知， 又易知到底面的距离等于到底面的距离， 而到底面的距离等于到平面的距离， ， 即， 又，，， ， ， 故只有选项正确． 故选：． 17．（2024秋•太和县校级期末）现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时 　37　分钟． 【解析】设正四棱台的高为，所以， 即， 解得， 因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 甲容器内水的体积为， 设注水的速度为，则， 解得， 当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 水的体积为， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟． 故答案为：37． ( 题型0 5 ) 旋转体的表面积计算 18．（2022秋•庐江县期末）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为　　 A． B． C． D． 【解析】右图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知：，， 设圆台的上底面半径为，下底面半径，母线长为，球的半径为， 则有，，，过点作的垂线，垂直是，则有， ， 在△中，， ， 圆台的侧面积与球的表面积之比为； 故选：． 19．（2023春•庐江县期末）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示， 圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，即，解得； 所以； 所以该圆锥的侧面展开图的面积为． 故选：． 20．（2020秋•池州期末）已知圆台上、下底面的底面积分别为，，且母线长为13． （1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积． 【解析】（1）依题意，圆台上、下底面的底面积分别为，， 所以圆台的上底面半径，下底面半径， 又圆台的母线长为13， 故圆台的高； （2）圆台的侧面积． 21．（2024秋•黟县校级期末）我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）　　（附 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，， 由题意可知：，，则圆台的母线长， 所以其侧面积为． 故选：． ( 题型0 6 ) 旋转体的体积计算 22．（2024秋•颍泉区校级期末）已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的母线长为，圆柱的高为，它们的底面半径均为， 由题意知，则， 设圆锥的母线与底面的夹角为，则， 圆锥的高， ， 易知， 所以， 故． 故选：． 23．（2018秋•黄山期末）设矩形边长分别为、，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不确定 【解析】当高为时，底面周长为， 则底面半径为： 故， 同理可得当高为时，， 故选：． 24．（2024秋•安徽期末）已知圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，圆锥的底面半径为，高为，当该圆锥的体积取得最大值时，　　． 【解析】由题意圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，圆锥的底面半径为，高为， 设球的半径为，则球心到圆锥底面圆心距离，， 由，得，圆锥的体积， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上递增，在上递减， 当时，圆锥的体积取得最大值，此时， 所以． 故答案为：． 25．（2024春•太和县校级期末）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【解析】（1）平面四边形的平面图如下图所示： 由上图可知，平面四边形为直角梯形， 所以面积为； （2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即， 圆锥的高为，母线长为， 所以体积， 所以表面积． 26．（2023春•芜湖期末）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为，这两个圆锥的体积之和为，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示， 设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径， 设球心为，球的半径， 由题意知，，解得， 又因为，解得， 所以在△中，， 因为底面积相同的圆锥，高较大者体积较大， 所以体积较小圆锥的高为， 体积较大圆锥的高为， 所以体积较小者的高与体积较大者的高的比值为． 故选：． 27．（2024春•安徽期末）已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为，，则　　． 【解析】由题可知：球心在圆锥的高上， 所以圆锥的底面半径为， 所以． 故答案为：． 28．（2023秋•包河区校级期末）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，惊鸟铃的体积约为， 又由铜的密度为， 则该惊鸟铃的质量约为． 故选：． ( 题型0 7 ) 几何体的截面问题 29．（2024秋•裕安区校级期末）如图，正方体的棱长为2，是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 　　． 【解析】根据题意，连接，与的延长线交于点，连接与交于点， 如图：，且， 为的中点，则为的中点， 故截面为梯形， 其中，，， 则梯形的周长为，即所得的截面图形的周长是． 故答案为：． 30．（2024春•宣城期末）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为　　 A． B． C． D． 【解析】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则， 所以，，，四点共面，，， ， 在中，边上的高， 记边上的高为， 则， 所以， 所以． 故选：． 31．（2024秋•铜陵校级期末）在棱长为6的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点，，的截面，取的中点，靠近的三等分点， 连接、、， 则，又，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以，，，四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接，、， 同理可证，，，所以， 所以，，，四点共面； 所以，，，、五点共面； 又，，， 所以截面周长为． 故选：． 32．（2022秋•临泉县校级期末）已知正方体的棱长为2，、分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，如图：过、的平面所得截面为四边形， 当截面为时，其面积最大，此时，，高， 其面积； 故选：． 1．（2019秋•包河区校级期末）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，，平行于轴．已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为　　． 【解析】根据题意，得 ， 则原图形为一个直角梯形， 上下底面的边长和、相等， 高为梯形的高的倍， 原平面图形的面积为． 故答案为：． 2．（2024秋•太和县校级期末）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 显然当是在底面的射影时，才可能最小． 将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则， 所以， 得， 同理，而， 显然当，，三点共线且时，取得最小值， 此时． 故选：． 3．（2022秋•芜湖期末）如图，在三棱柱中，点是棱上一点，且，过直线的一个平面与棱交于，与棱交于，记截面的面积为，的面积为，的面积为，则的取值范围是 　 ． 【解析】连接，，并延长交于点， ，面，面， ，面，面， 面面，则， 设，，由题意，， ，则， 设的面积为，则，即， ，，则，则，则， ，则， ，， 令，，， 由对勾函数的性质得当，时，单调递减， 当，时，单调递增， 又，（1），（2），， 的取值范围是，． 故答案为：，． 4．（2024秋•迎江区校级期末）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图．这两个三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为　　 A． B． C．27 D． 【解析】如图所示：几何体为直三棱柱与两个三棱锥，， 设直三棱柱的底面的面积为，高为，所求的几何体为， 因为，， 则，， 即． 故选：． 5．（2023春•宣城期末）已知矩形，，，将△沿折起到△．若点在平面上的射影落在△的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】当在平面上的投影在上时，点到平面的距离，此时三棱锥的体积最大， ， 如图，当在平面上的投影在上时，体积最小， 则点到平面的距离为，作于，连接， 因为，，所以， 因为，，所以平面，所以， ， ， ， 所以四面体的体积的取值范围是． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$