专题07 解三角形全章综合12种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题07 解三角形全章综合12种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形 题型02判断三角形的形状 题型03边角互化的应用 题型04判断三角形的个数 题型05三角形周长问题 题型06三角形面积问题 题型07正余弦定理的实际应用 题型08三角形中线问题 题型09三角形角平分线问题 题型10三角形高线问题 题型11多三角形问题 题型12三角形的最值问题 ( 题型01 ) 解三角形 1．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•裕安区校级期末）若△中，，则△的外接圆半径为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　 A．3 B．1 C．1或3 D．无解 4．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）若，求． ( 题型02 ) 判断三角形的形状 5．（2024春•合肥期末）在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：；乙：；丙：；丁：．判断结果与其它三个不一样的是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（2024春•大观区校级期末）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 （多选）7．（2024春•蜀山区校级期末）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有　　 A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 （多选）8．（2024春•霍山县校级期末）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形或者直角三角形 ( 题型03 ) 边角互化的应用 9．（2024春•怀宁县校级期末）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若（C），，，求边． 10．（2022春•合肥期末）在中，，，分别是角，，的对边，若，且． （1）求的值； （2）求的值． 11．（2021春•庐阳区校级期末）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则　　 A． B． C． D． 12．（2020秋•亳州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则　　 A． B． C． D．3 ( 题型04 ) 判断三角形的个数 13．（2024春•铜陵期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知．若有两个解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． （多选）14．（2022春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是　　 A．若，，，则有2解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 （多选）15．（2021春•谯城区校级期末）已知中，，，，若三角形有两解，则不可能的取值是　　 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 ( 题型0 5 ) 三角形周长问题 16．（2024秋•黄山校级期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求△的周长． 17．（2024秋•阜阳期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求△的周长． 18．（2024春•蒙城县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求△周长． 19．（2023秋•蜀山区校级期末）在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 20．（2024春•金安区校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为． （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． 21．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，且，则　　 A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 ( 题型0 6 ) 三角形面积问题 22．（2024春•宣城期末）在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的面积为　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•瑶海区校级期末）钝角的内角，，的对边分别是，，，若，则的面积为　　 A． B． C． D．或 24．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 25．（2023秋•裕安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 26．（2024春•金安区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的面积最大值为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•阜阳期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，则　　，当时，面积的最大值为 　　． 28．（2024春•阜阳期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，满足，若，则的最小值为 　　． ( 题型0 7 ) 正余弦定理的实际应用 29．（2024春•安徽期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则　　 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 30．（2023秋•安庆期末）如图所示，为了测量，处岛的距离，小张在处观测，测得，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为　　海里． A． B． C． D．10 31．（2024春•芜湖期末）某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）．现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，，则塔高约为　　（精确到，参考数据： A． B． C． D． 32．（2023秋•迎江区校级期末）高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，，点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值． 33．（2024春•蒙城县校级期末）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶、楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为　　 A． B． C． D． 34．（2024春•霍山县校级期末）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择、两观测点，且在、两点测得塔顶的仰角分别为、，在水平面上测得，、两地相距，则电视塔的高度是　　 A． B． C． D． ( 题型0 8 ) 三角形中线问题 35．（2024春•宣城期末）已知在中，，． （1）求的大小； （2）若，求边上的中线长度． 36．（2024春•金安区校级期末）在中，角、、所对的边分别是、、，满足． （1）求角； （2）若，边上的中线，求的周长． 37．（2023春•安庆期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若的外接圆周长为，求边上的中线长． 38．（2023春•宣城期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若边上中线长为，求的面积． ( 题型0 9 ) 三角形角平分线问题 39．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，角的内角平分线交边于点，且线段的长度为，则的最小值为　　 A．8 B．9 C．12 D．16 （多选）40．（2023春•安庆期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，角的平分线交于点，，，则以下结论正确的是　　 A． B． C．的面积为 D． 41．（2024春•宣城期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，的角平分线交于点，且，则面积的最小值为 　　． （多选）42．（2023秋•迎江区校级期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，的角平分线交于，，则　　 A． B． C． D． ( 题型 10 ) 三角形高线问题 43．（2024春•阜阳期末）在中，角，，所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边上，且，若_____3（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①是边上的高；②是边上的中线；③是角的平分线． 44．（2023春•涡阳县期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 45．（2023春•阜阳期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）设边上的高为，且，求面积的最小值． ( 题型 11 ) 多三角形问题 46．（2023秋•安徽期末）如图，在△中，的平分线交边于点，点在边上，，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求△的面积． 47．（2024秋•安徽期末）在△中，在边上，． （1）当时，求△的面积； （2）当时，求线段的长度． 48．（2024春•滁州期末）在中，，点在边上，且，则长为　　 A． B．1 C． D． 49．（2024春•蚌埠期末）在△中，，，点满足，则 　　． 50．（2024春•安徽期末）已知在中，，，，为线段的延长线上一点，的平分线所在的直线与直线交于点，则　　． 参考数据：． （多选）51．（2024春•黄山期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则　　 A． B． C． D． ( 题型 12 ) 三角形的最值问题 52．（2024春•蜀山区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论错误的是　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 53．（2024春•怀宁县校级期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 54．（2024春•铜陵期末）在锐角三角形中，内角，，所对应的边分别为，，，点，分别为边，的中点，满足． （1）求的值； （2）求的取值范围． 55．（2023春•谯城区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若为锐角，求的取值范围． 56．（2024春•蜀山区校级期末）已知为锐角三角形，角，，的对边分别为，，，若，则面积的取值范围为 　　． 57．（2024春•安徽期末）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，且，求面积的取值范围． 58．（2024春•庐阳区校级期末）已知函数，若锐角的内角，，所对的边分别为，，，且（A）． （1）求角； （2）求的取值范围． 59．（2024春•安徽期末）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论错误的是　　 A．角为钝角 B． C．的最小值为 D． 60．（2024春•怀宁县校级期末）如图，平面四边形中，，，，，则的长为 　　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解三角形全章综合12种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形 题型02判断三角形的形状 题型03边角互化的应用 题型04判断三角形的个数 题型05三角形周长问题 题型06三角形面积问题 题型07正余弦定理的实际应用 题型08三角形中线问题 题型09三角形角平分线问题 题型10三角形高线问题 题型11多三角形问题 题型12三角形的最值问题 ( 题型01 ) 解三角形 1．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为中，，，， 由正弦定理，可得． 故选：． 2．（2023秋•裕安区校级期末）若△中，，则△的外接圆半径为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为， 所以由正弦定理得：，即， 解得：，所以△的外接圆半径为1． 故选：． 3．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　 A．3 B．1 C．1或3 D．无解 【解析】，，， 由余弦定理得， 即，所以或3． 故选：． 4．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）若，求． 【解析】（1）由正弦定理可得， ，， 又，所以或； （2）由，， ，，， ，，，代入可求得． ( 题型02 ) 判断三角形的形状 5．（2024春•合肥期末）在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：；乙：；丙：；丁：．判断结果与其它三个不一样的是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解析】对于甲：，由正弦定理可得， 即，又，，，所以或，即或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于乙：，由正弦定理可得， 所以， 又，，所以，， 所以， 即，又，，，所以或， 即或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于丙：，由正弦定理可得， 所以，又，且， 所以，所以，即，所以为等腰三角形； 对于丁：，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 即， 所以或， 又，，且， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且． 故选：． 6．（2024春•大观区校级期末）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解析】由余弦定理及， 得， 化简可得：，即， 由余弦定理及，得， 化简可得：， 由勾股定理的逆定理可得：为直角， 所以是等腰直角三角形． 故选：． （多选）7．（2024春•蜀山区校级期末）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有　　 A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 【解析】对于、因为，所以，由余弦定理得，， 又，所以，所以，所以， 所以，所以为等边三角形，故正确； 对于，因为，，所以或， 当时，，所以，所以为等边三角形； 当时，，所以为等腰三角形．故错误； 对于，因为且，所以；所以，所以， 又，所以，所以为等边三角形．故正确； 对于，因为，由正弦定理可得， 即，即，所以或， 当时，，所以，所以为等边三角形； 当时，，所以，，所以为直角三角形．故错误． 故选：． （多选）8．（2024春•霍山县校级期末）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形或者直角三角形 【解析】对于，若，则，所以，所以正确； 对于，由且，， 根据函数在上单调递减，可得，所以错误； 对于，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，所以正确； 对于，因为，所以，即， 又，，所以，，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，所以正确． 故选：． ( 题型03 ) 边角互化的应用 9．（2024春•怀宁县校级期末）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若（C），，，求边． 【解析】（1）由 由已知可得； （2）由， 则 则， 由， 所以的值为3． 10．（2022春•合肥期末）在中，，，分别是角，，的对边，若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【解析】（1）法一：根据正弦定理：， 由，得， 即， 所以， 因为，所以． 法二：根据正弦定理，由得，故， 所以，由，得， 故， 因为，所以，故， 所以， （2）因为，， 所以， ， 所以． 即的值为． 11．（2021春•庐阳区校级期末）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 可得， 因为， 所以． 故选：． 12．（2020秋•亳州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则　　 A． B． C． D．3 【解析】由余弦定理，得， 即，也即， 解得或（舍去）， 所以， 故选：． ( 题型04 ) 判断三角形的个数 13．（2024春•铜陵期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知．若有两个解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由余弦定理，得， 结合，可得，整理得， 将其看成关于的一元二次方程，该方程有两个不相等的正数根， 所以两根之和为，两根之积为，解得， 且根的判别式△，即，整理得，可得． 综上所述，，即的取值范围是，． 故选：． （多选）14．（2022春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是　　 A．若，，，则有2解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【解析】对于，由正弦定理可得：， ， 此时无解，错误； 对于，， ，根据同角三角函数基本关系式可知，故正确； 对于，， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故正确； 对于，，由余弦定理可得：，整理得：， ，或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，故正确． 故选：． （多选）15．（2021春•谯城区校级期末）已知中，，，，若三角形有两解，则不可能的取值是　　 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【解析】已知：在中，，，，若三角形有两解， 所以， 解得：． 故选：． ( 题型0 5 ) 三角形周长问题 16．（2024秋•黄山校级期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求△的周长． 【解析】（1）因为， 所以，即， 因为，所以，即， 由正弦定理可知，， 即，且， 所以，则，， 所以． （2）由正弦定理可知，， 即，则，， 所以，，所以， 且，，则， 由正弦定理可知，，即， ， 所以，则， 所以△的周长为． 17．（2024秋•阜阳期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求△的周长． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 解得， 又， 所以； （2）为线段的中点，，，且， 所以，所以， 即， 整理可得，① 在△中，由余弦定理得， 即，② ①②两式联立可得，，即， 可得， 从而△的周长为． 18．（2024春•蒙城县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求△周长． 【解析】（1）因为， 所以，即， 由为三角形内角，得， 即； （2）因为， ，由正弦定理可得：， 可得， 又因为，所以，， 在△中，由正弦定理得， 所以，， 所以△的周长为． 综上，△的周长为． 19．（2023秋•蜀山区校级期末）在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 【解析】（1）因为，所以， 因为， 所以， 由正弦定理，得， 整理得， 所以， 因为， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以． （2）由（1）知， 由余弦定理知，①， 因为，所以②， 联立①②，得，即， 所以， 所以， 故的周长为． 20．（2024春•金安区校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为． （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． 【解析】（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝， ∴3csinBsinA＝2a， 由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA， ∵sinA≠0， ∴sinBsinC＝； （2）∵6cosBcosC＝1， ∴cosBcosC＝， ∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣， ∴cos（B+C）＝﹣， ∴cosA＝， ∵0＜A＜π， ∴A＝， 由正弦定理，可得＝＝＝2R＝＝2， ∴sinBsinC＝•＝＝＝， ∴bc＝8， 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣bc＝9， ∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33， ∴b+c＝ ∴周长a+b+c＝3+． 21．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，且，则　　 A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【解析】由题意的内角，，的对边分别为，，，且， 可得，解得， ，可得， ， 又， ，所以不正确；，所以不正确； 在中，，且，， （当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），所以不正确； ，，， ，， ， ，， ， ， ，所以正确． 故选：． ( 题型0 6 ) 三角形面积问题 22．（2024春•宣城期末）在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的面积为　　 A． B． C． D． 【解析】由余弦定理：，可得：， 又，可得， 由，可得：，可得， ， ， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得：， ，，可得：， 外接圆的面积． 故选：． 23．（2023秋•瑶海区校级期末）钝角的内角，，的对边分别是，，，若，则的面积为　　 A． B． C． D．或 【解析】， ，整理得，解得或， 又是钝角三角形，为最大边， 角为最大角，即为钝角， ①当时，，符合题意， 此时的面积为； ②当时，，不符合题意； 综上所述，的面积为， 故选：． 24．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 【解析】（1）在中，由，可得， 又由及，可得． 由余弦定理得，得， 由，解得． 所以． （2）由（1）知，， 所以的面积． 25．（2023秋•裕安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 【解析】（1）在中，角，，的对边分别为，，，， 由余弦定理得，化简得， ， ， ； （2）由 （1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， ． 26．（2024春•金安区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的面积最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】，， 由余弦定理得， 即， 则，当且仅当时取等号， 则的面积， 即的面积最大值为， 故选：． 27．（2024春•阜阳期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，则　　，当时，面积的最大值为 　　． 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 所以，可得， 若，则的值为任意正实数， 若，则解得的值为1， 可得， 所以， 令，， 解得时，， 所以． 故答案为：1或任意正实数，． 28．（2024春•阜阳期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，满足，若，则的最小值为 　　． 【解析】因为，，， 所以，整理得， 因为，所以，即， 即，解得不符合题意，舍去）， 因为，所以， 在锐角中，，，则， 根据正切函数在锐角范围内是增函数，可得， 因为， 根据，可得，所以， 可得，即， 因为， 所以 ， 设，则，当且仅当，即时取等号， 因此，的最小值为． 故答案为：． ( 题型0 7 ) 正余弦定理的实际应用 29．（2024春•安徽期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则　　 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【解析】在中，，， 又因为，，所以， 所以， 由正弦定理可得：， ， 所以， 在中，，，可得， 所以为等边三角形，即， 在中，由余弦定理可得 ， 所以． 故选：． 30．（2023秋•安庆期末）如图所示，为了测量，处岛的距离，小张在处观测，测得，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为　　海里． A． B． C． D．10 【解析】如图所示： 可知：，，，，， 所以，， 在中，可得， 在直角中，由于，， 所以， 在中，由余弦定理得：， 解得， 故选：． 31．（2024春•芜湖期末）某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）．现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，，则塔高约为　　（精确到，参考数据： A． B． C． D． 【解析】设塔高为，由在点，测得塔顶的仰角分别为，， 可得， 由，，可得， 在中，余弦定理可得， 所以，所以， 解得． 故选：． 32．（2023秋•迎江区校级期末）高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，，点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值． 【解析】（1）三角形为直角三角形，，， 在直角中，，，， 点为半圆上一点，，又， ，，， ，当，即时，达最大值， （2）在直角中，， ， ，，又，， 在直角中，， ，， 当即时，达到最大值为． 33．（2024春•蒙城县校级期末）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶、楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，， 在中，，， 所以， 由正弦定理，， 故， 在中，． 所以估算黄鹤楼的高度为． 故选：． 34．（2024春•霍山县校级期末）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择、两观测点，且在、两点测得塔顶的仰角分别为、，在水平面上测得，、两地相距，则电视塔的高度是　　 A． B． C． D． 【解析】设塔高，在中， 由已知，在中，由已知， 在中， 由余弦定理可得， 即， 解得（负值舍去）． 故选：． ( 题型0 8 ) 三角形中线问题 35．（2024春•宣城期末）已知在中，，． （1）求的大小； （2）若，求边上的中线长度． 【解析】（1）， 由正弦定理可得，即， 当时，，即，不符合题意，舍去， ， ，即． （2）面积为， ， ， ，解得， 由题意，如图，设边上的中线为，则由余弦定理可得，可得． 36．（2024春•金安区校级期末）在中，角、、所对的边分别是、、，满足． （1）求角； （2）若，边上的中线，求的周长． 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理得， 又因为， 则， 因为，可得， 所以， 即， 化简得，解得或， 因为，可得，所以， 所以； （2）由边的中线，可得， 两边平方可得， 即，即， 在中，由余弦定理， 可得， 联立方程组，可得，， 所以， 所以，， 所以的周长为． 37．（2023春•安庆期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若的外接圆周长为，求边上的中线长． 【解析】（1）因为， 根据正弦定理可得， 因为， 所以， 即，因为，所以； （2）由（1），所以， 如图，取中点，连接， 记的外接圆的半径为，则，解得， 根据正弦定理可得，所以，即． 根据余弦定理可得 ， 所以，故边上的中线长为． 38．（2023春•宣城期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若边上中线长为，求的面积． 【解析】（1）， 由正弦定理得，所以， 所以， 因为，所以； （2）由（1）得，因为边上中线长为， 设中点为，所以， 所以，即， 所以， 又因为，所以，解得， 所以． ( 题型0 9 ) 三角形角平分线问题 39．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，角的内角平分线交边于点，且线段的长度为，则的最小值为　　 A．8 B．9 C．12 D．16 【解析】因为在中，， 所以， 所以，因为， 则，所以， 又角的内角平分线交边于点，且线段的长度为， ， ， 可得，即． 则， 当且仅当，即，即时等号成立． 即的最小值为16． 故选：． （多选）40．（2023春•安庆期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，角的平分线交于点，，，则以下结论正确的是　　 A． B． C．的面积为 D． 【解析】因为，角的平分线交于点，，， 所以可得， 所以， 所以整理可得， 因为， 所以，故正确； 由角平分线性质可知，故错误； 由于，故正确； 在中，由余弦定理得， 所以，故错误． 故选：． 41．（2024春•宣城期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，的角平分线交于点，且，则面积的最小值为 　　． 【解析】，的角平分线交于点， 则， ，， ，化简整理可得，，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故面积的最小值为． 故答案为：． （多选）42．（2023秋•迎江区校级期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，的角平分线交于，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为是角的平分线， 所以． 由题意可知， 即， 所以， 即， 因为为锐角三角形， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以，即，故错误； 在中，，即， 因为为锐角三角形， 所以，解得，故正确； 由正弦定理得，即， 因为， 所以，即， 所以，故正确； 由正弦定理， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，故正确． 故选：． ( 题型 10 ) 三角形高线问题 43．（2024春•阜阳期末）在中，角，，所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边上，且，若_____3（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①是边上的高；②是边上的中线；③是角的平分线． 【解析】（1）在中，由及余弦定理， 可得，整理得， 于是，而， 所以； （2）选①，是边上的高，， 由三角形面积公式得， 即，由（1）知，，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以当时，取得最小值； 选②，是边上的中线，则， 两边平方得， 即， 当且仅当时取等号，于是， 由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值； 选③，是角的平分线，由三角形面积公式， 得，即， 整理得，当且仅当时取等号，故， 由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值． 44．（2023春•涡阳县期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【解析】（1）由余弦定理得：， ， ，， 由正弦定理：， ， ，，， ， ； （2）设边上的高为， 由余弦定理得：， 即， ，， ，， ， ， 边上的高为． 45．（2023春•阜阳期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）设边上的高为，且，求面积的最小值． 【解析】（1）由正弦定理及，知， 因为， 所以，整理得， 因为，所以， 又，所以． （2）的面积， 所以，即， 在中，由余弦定理知，， 所以， 整理得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 故面积的最小值为． ( 题型 11 ) 多三角形问题 46．（2023秋•安徽期末）如图，在△中，的平分线交边于点，点在边上，，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求△的面积． 【解析】（Ⅰ）由题意可知，，，， 而因为平分，所以， 所以根据余弦定理， 解得， 所以由余弦定理可得， 即可解得，所以， 即的大小为； （Ⅱ）由题意可知，因为，所以由正弦定理，， 而由（Ⅰ）中的，可得，所以即可得， 而在四边形中，我们知道它的内角和为，所以即有， 所以， 所以即有， 所以即有． 所以△的面积为． 47．（2024秋•安徽期末）在△中，在边上，． （1）当时，求△的面积； （2）当时，求线段的长度． 【解析】（1）当时，因为， 所以，，因为， 所以△为等边三角形，， 所以， 故； （2）设，则， 因为，所以， 在△中，由余弦定理得， 在△中，由余弦定理得， 故， 化简得，解得， 因为，所以， 故． 48．（2024春•滁州期末）在中，，点在边上，且，则长为　　 A． B．1 C． D． 【解析】在中，， 设， 由余弦定理得：，即， 解得，即，又， 所以， 在中，由余弦定理得：， 解得． 故选：． 49．（2024春•蚌埠期末）在△中，，，点满足，则 　　． 【解析】如图所示，设，，， ，，， 又，， 由可得， ， 在△，△，△中由余弦定理分别可得 ，，， ，解得， ， ． 故答案为：． 50．（2024春•安徽期末）已知在中，，，，为线段的延长线上一点，的平分线所在的直线与直线交于点，则　　． 参考数据：． 【解析】因为，， 所以， 所以， 因为的平分线所在的直线与直线交于点， 所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 解得． 故答案为：． （多选）51．（2024春•黄山期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由，可得， 则， 由三点，，共线，可得，即，故正确； 由，可得，即，故正确； 由， 可得，故错误； ，故正确． 故选：． ( 题型 12 ) 三角形的最值问题 52．（2024春•蜀山区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论错误的是　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【解析】选项，由正弦定理及，得， 因为， 所以， 整理得，即， 因为，，所以，即，故选项正确； 选项，由，知， 由正弦定理得，， 若，则， 因为，所以，，， 所以为直角三角形，故选项正确； 选项，因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得，， 所以，， 而在，上单调递增， 所以，，故选项正确； 选项，， 由，，知，，，， 所以， 所以的最小值取不到1，即选项错误． 故选：． 53．（2024春•怀宁县校级期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，， 由正弦定理得：， 即， 又，且， 所以，由，可得； （2）由正弦定理得；， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 所以，所以， 故，即的取值范围为． 54．（2024春•铜陵期末）在锐角三角形中，内角，，所对应的边分别为，，，点，分别为边，的中点，满足． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【解析】（1）由点，分别为边，的中点，满足， 可得，即， 即有， 化简可得，即； （2）由三角形为锐角三角形，可得，，， 即，，，可得，， 化简可得， 则， 设，由对勾函数的单调性可得在，递减， 在递增， 即有的最小值为，或时，， 则的取值范围是，． 55．（2023春•谯城区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若为锐角，求的取值范围． 【解析】（1）， ，即， ， 又，则， ，，则， 又，或； （2）角是锐角，由（1）得，， ， ，， ，即，， 的取值范围是，． 56．（2024春•蜀山区校级期末）已知为锐角三角形，角，，的对边分别为，，，若，则面积的取值范围为 　　． 【解析】，， 又为锐角三角形，故， 解得，， 由正弦定理可得，， ， ，． 故答案为：，． 57．（2024春•安徽期末）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 即． 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）结合（1）问，因为 所以，即， 所以，即，． 因为在锐角中，，所以． 因为，所以． 在中，由正弦定理可得，即， 在中易得， ， 因为为锐角三角形，且，且易得， 所以，得，所以， 易得，即， 所以． 故面积的取值范围为． 58．（2024春•庐阳区校级期末）已知函数，若锐角的内角，，所对的边分别为，，，且（A）． （1）求角； （2）求的取值范围． 【解析】（1）由题意可得（A）， ，，，； （2）由（1）可得，， 又为锐角三角形，， ，， 由正弦定理可得， ，，，，． 即，． 59．（2024春•安徽期末）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论错误的是　　 A．角为钝角 B． C．的最小值为 D． 【解析】对于，，即， ，即， ， 又， 一定为钝角，故选项正确； 对于，由选项知，， 由余弦定理知，， 化简得，故选项正确； 对于，， ，故选项正确； 对于，， ， 为钝角，，， ，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，故选项错误． 故选：． 60．（2024春•怀宁县校级期末）如图，平面四边形中，，，，，则的长为 　　． 【解析】，，，， ，且， 又 ， ， 中，根据正弦定理有， 则， 中， ，． 故答案为：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$