专题06 解三角形在几何与实际中的应用10种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题06 解三角形在几何与实际中的应用10种常考题型总结 题型概览 题型01 角度与三角函数值的最值范围 题型02 边长与周长的最值范围 题型03 面积的最值范围 题型04 三角形的中线问题 题型05 三角形的角平分线问题 题型06 三角形的高线问题 题型07 多三角形问题 题型08 测量距离问题 题型09 测量高度问题 题型10 测量角度问题 ( 题型01 ) 角度与三角函数值的最值范围 1．（2023春•谯城区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若为锐角，求的取值范围． 2．（2021秋•合肥期末）锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则　　，的取值范围是 　　． 3．（2022春•宣城期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．若，则的取值范围是 　　． 4．（2019春•舒城县期末）在锐角三角形，若 （Ⅰ）求角； （Ⅱ）求的取值范围． 5．（2024秋•安徽校级期末）已知函数． （1）化简并求出它的最小正周期； （2）在△中，若，求的最大值． ( 题型02 ) 边长与周长的最值范围 6．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，且，则　　 A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 7．（2024春•怀宁县校级期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 8．（2024春•亳州期末）记锐角的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，求的取值范围． 9．（2024春•庐阳区校级期末）已知函数，若锐角的内角，，所对的边分别为，，，且（A）． （1）求角； （2）求的取值范围． 10．（2023春•亳州期末）在锐角中，三内角，，对应的边分别为，，，且．则的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．（2023春•宣城期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，且．且满足． （1）求角的大小； （2）求周长的取值范围． ( 题型03 ) 面积的最值范围 12．（2024春•太和县校级期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 13．（2024春•蜀山区校级期末）已知为锐角三角形，角，，的对边分别为，，，若，则面积的取值范围为 　　． 14．（2024春•安徽期末）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，且，求面积的取值范围． 15．（2022春•定远县校级期末）已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角三角形中，角、、的对边分别为，，，且，求面积的取值范围． ( 题型04 ) 三角形的中线问题 16．（2023秋•裕安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 17．（2024春•宣城期末）已知在中，，． （1）求的大小； （2）若，求边上的中线长度． 18．（2024春•金安区校级期末）在中，角、、所对的边分别是、、，满足． （1）求角； （2）若，边上的中线，求的周长． 19．（2023春•安庆期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若的外接圆周长为，求边上的中线长． 20．（2022春•阜阳期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若，求边上中线长的最小值． ( 题型0 5 ) 三角形的角平分线问题 21．（2024春•宣城期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，的角平分线交于点，且，则面积的最小值为 　　． （多选）22．（2023秋•迎江区校级期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，的角平分线交于，，则　　 A． B． C． D． 23．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，其面积为． （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，求的值． 24．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，角的内角平分线交边于点，且线段的长度为，则的最小值为　　 A．8 B．9 C．12 D．16 （多选）25．（2023春•安庆期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，角的平分线交于点，，，则以下结论正确的是　　 A． B． C．的面积为 D． 26．（2022春•定远县校级期末）在三角形中，角，，的对边分别是，，，若，角的角平分线交边于点，且，则边的大小为 　　． ( 题型0 6 ) 三角形的高线问题 27．（2024春•阜阳期末）在中，角，，所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边上，且，若_____3（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①是边上的高；②是边上的中线；③是角的平分线． 28．（2021春•东至县校级期末）在三角形中，已知，，分别为角，，的对边，． （1）若，，平分角交于，求的长； （2）若，为函数的两个不同的零点，求边上的高． 29．（2023春•涡阳县期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 30．（2023春•阜阳期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）设边上的高为，且，求面积的最小值． 31．（2022春•合肥期末）在中，，，分别为，，所对边，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求边上的高． ( 题型0 7 ) 多三角形问题 32．（2023秋•迎江区校级期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌．如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．某人在扶梯上点处（异于点观察广告牌的视角．当人在点时，观测到视角的正切值为． （1）求扶梯的长； （2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长． 33．（2023秋•迎江区校级期末）高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，，点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值． 34．（2023春•田家庵区校级期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为地路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角，已知，． （1）求喷头到地面的距离； （2）设，求面积的最小值并求此时的值． 35．（2022春•阜阳期末）“寸影千里法”是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法．其具体做法是：在同一天（如夏至）的中午，在南北方向上的两地分别竖起同高的表杆，然后测量表杆的影长，并根据日影差一寸实地相距千里的原则推算两地距离．如图，把太阳看成质点，古人在夏至当天，分别在同一水平面上的，两地竖起高度均为3尺的表杆与，与在地面的影长分别为与，再按影长与的差用“寸影千里法”来推算，两地的距离．若，，则按照“寸影千里法”的原则，，两地的距离大约为（一尺等于十寸）　　 A．里 B．里 C．里 D．里 ( 题型0 8 ) 测量距离问题 36．（2024春•安徽期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则　　 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 37．（2023秋•安庆期末）如图所示，为了测量，处岛的距离，小张在处观测，测得，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为　　海里． A． B． C． D．10 （多选）38．（2024春•叶集区校级期末）湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点，之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，，测得米，，，则　　 A．米 B．米 C．米 D．米 39．（2023春•芜湖期末）如图所示，某小区内有，，，四栋楼，在栋楼处测得米，，，，． （1）求两栋楼间的距离； （2）若小区决定沿方向取，两点与建设一个三角形花园，且始终满足，求面积的最小值． ( 题型0 9 ) 测量高度问题 40．（2024春•芜湖期末）某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）．现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，，则塔高约为　　（精确到，参考数据： A． B． C． D． 41．（2024春•庐阳区校级期末）2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，、、三点在同一水平面上的投影、、，满足，，，．由点测得点的仰角为，由点测得点的仰角为，则的高度为 　　． 42．（2024春•蒙城县校级期末）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶、楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为　　 A． B． C． D． 43．（2023春•蚌埠期末）“一部剧带火一座城”，五一期间，我市的地标建筑——中国南北分界线雕塑成为了网红打卡地，某校数学课外兴趣小组，拟借助所学知识测量该建筑的高度．记该雕塑的最高点为点，其在地面的投影点为点，在点南偏西方向的点处测得点的仰角为，在点正东方向的点处测得点的仰角为，点，相距米，则该雕塑的高度为 　40　米． ( 题型 10 ) 测量角度问题 （多选）44．（2022春•池州期末）如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则下列结论正确的是　　 A． B．、之间的距离为海里 C．、两处岛屿间的距离为海里 D．、之间的距离为海里 1．（2023秋•安徽期末）如图，在△中，的平分线交边于点，点在边上，，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求△的面积． 2．（2024秋•安徽期末）在△中，在边上，． （1）当时，求△的面积； （2）当时，求线段的长度． 3．（2023春•定远县校级期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，在 ①， ②两个条件中任选一个完成以下问题： （1）求； （2）若在上，且，求的最大值． 4．（2021春•合肥期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形．改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域． （1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值． 5．（2024春•蜀山区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论错误的是　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 6．（2024春•铜陵期末）在锐角三角形中，内角，，所对应的边分别为，，，点，分别为边，的中点，满足． （1）求的值； （2）求的取值范围． 7．（2022春•金安区校级期末）在平面五边形中，已知，，，，，． （1）当时，求； （2）当五边形的面积时，求的取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形在几何与实际中的应用10种常考题型总结 题型概览 题型01 角度与三角函数值的最值范围 题型02 边长与周长的最值范围 题型03 面积的最值范围 题型04 三角形的中线问题 题型05 三角形的角平分线问题 题型06 三角形的高线问题 题型07 多三角形问题 题型08 测量距离问题 题型09 测量高度问题 题型10 测量角度问题 ( 题型01 ) 角度与三角函数值的最值范围 1．（2023春•谯城区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若为锐角，求的取值范围． 【解析】（1）， ，即， ， 又，则， ，，则， 又，或； （2）角是锐角，由（1）得，， ， ，， ，即，， 的取值范围是，． 2．（2021秋•合肥期末）锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则　　，的取值范围是 　　． 【解析】由，得， 即， 即， 即， ， ，即，则， ， 令，，则， 则原式， ，， 在锐角三角形中，， 得， 则， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，， 时，， 即的取值范围是，． 故答案为：，，． 3．（2022春•宣城期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．若，则的取值范围是 　　． 【解析】因为，由正弦定理可得， 在三角形中，， 所以可得，整理可得， 所以，且或（舍， 可得， 在锐角中，， 所以，，可得， 所以， 故答案为：． 4．（2019春•舒城县期末）在锐角三角形，若 （Ⅰ）求角； （Ⅱ）求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由题意得，， 化简得，， 由余弦定理得，， 又三角形为锐角三角形，所以角； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，，， 又三角形为锐角三角形，所以， 解得， 所以， 由，所以， 即， 所以所求的范围是：，． 5．（2024秋•安徽校级期末）已知函数． （1）化简并求出它的最小正周期； （2）在△中，若，求的最大值． 【解析】（1）根据题意， ，所以的周期； （2）由（1）得， 在△中，，所以，解得， 结合，可得，即， 所以 ， 因为，即， 所以当，即时，取得最大值． ( 题型02 ) 边长与周长的最值范围 6．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，且，则　　 A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【解析】由题意的内角，，的对边分别为，，，且， 可得，解得， ，可得， ， 又， ，所以不正确；，所以不正确； 在中，，且，， （当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），所以不正确； ，，， ，， ， ，， ， ， ，所以正确． 故选：． 7．（2024春•怀宁县校级期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，， 由正弦定理得：， 即， 又，且， 所以，由，可得； （2）由正弦定理得；， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 所以，所以， 故，即的取值范围为． 8．（2024春•亳州期末）记锐角的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 所以， 在锐角中，可得， 所以， 又因为， 可得； （2），由正弦定理可得：， 所以， 在锐角中，， 可得， 所以，所以， 所以． 9．（2024春•庐阳区校级期末）已知函数，若锐角的内角，，所对的边分别为，，，且（A）． （1）求角； （2）求的取值范围． 【解析】（1）由题意可得（A）， ，，，； （2）由（1）可得，， 又为锐角三角形，， ，， 由正弦定理可得， ，，，，． 即，． 10．（2023春•亳州期末）在锐角中，三内角，，对应的边分别为，，，且．则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】因为，可得， 又， 所以利用正弦定理可得， 因为，， 所以， 而， 所以， 即， 因此，可得， 由和得到，， 因此，， 于是． 故选：． 11．（2023春•宣城期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，且．且满足． （1）求角的大小； （2）求周长的取值范围． 【解析】（1）解：，，且， ， 由正弦定理得， 故，即， 又，，则， 又，则； （2）由（1）得， 由正弦定理得且，， ，， ， 为锐角三角形， ，解得， ，， ，即， 故周长的取值范围为． ( 题型03 ) 面积的最值范围 12．（2024春•太和县校级期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 所以， 即，即， 所以，可得， 所以或， 又，所以． （2）由正弦定理，可得， 所以， 所以， 又由为锐角三角形，且，则 ，解得，因为在上单调递增，所以， 所以，即的面积的取值范围是． 13．（2024春•蜀山区校级期末）已知为锐角三角形，角，，的对边分别为，，，若，则面积的取值范围为 　　． 【解析】，， 又为锐角三角形，故， 解得，， 由正弦定理可得，， ， ，． 故答案为：，． 14．（2024春•安徽期末）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 即． 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）结合（1）问，因为 所以，即， 所以，即，． 因为在锐角中，，所以． 因为，所以． 在中，由正弦定理可得，即， 在中易得， ， 因为为锐角三角形，且，且易得， 所以，得，所以， 易得，即， 所以． 故面积的取值范围为． 15．（2022春•定远县校级期末）已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角三角形中，角、、的对边分别为，，，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）函数， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为，，； （2）由（A），即， 是锐角三角形，，可得，， 所以，可得， 因为，由正弦定理得，即， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得，可得，，， 所以的面积，． ( 题型04 ) 三角形的中线问题 16．（2023秋•裕安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 【解析】（1）在中，角，，的对边分别为，，，， 由余弦定理得，化简得， ， ， ； （2）由 （1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， ． 17．（2024春•宣城期末）已知在中，，． （1）求的大小； （2）若，求边上的中线长度． 【解析】（1）， 由正弦定理可得，即， 当时，，即，不符合题意，舍去， ， ，即． （2）面积为， ， ， ，解得， 由题意，如图，设边上的中线为，则由余弦定理可得，可得． 18．（2024春•金安区校级期末）在中，角、、所对的边分别是、、，满足． （1）求角； （2）若，边上的中线，求的周长． 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理得， 又因为， 则， 因为，可得， 所以， 即， 化简得，解得或， 因为，可得，所以， 所以； （2）由边的中线，可得， 两边平方可得， 即，即， 在中，由余弦定理， 可得， 联立方程组，可得，， 所以， 所以，， 所以的周长为． 19．（2023春•安庆期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若的外接圆周长为，求边上的中线长． 【解析】（1）因为， 根据正弦定理可得， 因为， 所以， 即，因为，所以； （2）由（1），所以， 如图，取中点，连接， 记的外接圆的半径为，则，解得， 根据正弦定理可得，所以，即． 根据余弦定理可得 ， 所以，故边上的中线长为． 20．（2022春•阜阳期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若，求边上中线长的最小值． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得：， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． （2）在中，，由余弦定理得， 所以，① 因为为边上的中线， 所以， 所以，② 由①得，③ 代入②得，④ 由③得， 所以，当且仅当，即时取等号， 代入④得， 所以， 所以长的最小值为1． ( 题型0 5 ) 三角形的角平分线问题 21．（2024春•宣城期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，的角平分线交于点，且，则面积的最小值为 　　． 【解析】，的角平分线交于点， 则， ，， ，化简整理可得，，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故面积的最小值为． 故答案为：． （多选）22．（2023秋•迎江区校级期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，的角平分线交于，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为是角的平分线， 所以． 由题意可知， 即， 所以， 即， 因为为锐角三角形， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以，即，故错误； 在中，，即， 因为为锐角三角形， 所以，解得，故正确； 由正弦定理得，即， 因为， 所以，即， 所以，故正确； 由正弦定理， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，故正确． 故选：． 23．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，其面积为． （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，求的值． 【解析】（1）由于， 所以， 由于， 所以． （2）由于，所以，即， 由可得， 解得，故． 在中，由余弦定理得， 解得． 24．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，角的内角平分线交边于点，且线段的长度为，则的最小值为　　 A．8 B．9 C．12 D．16 【解析】因为在中，， 所以， 所以，因为， 则，所以， 又角的内角平分线交边于点，且线段的长度为， ， ， 可得，即． 则， 当且仅当，即，即时等号成立． 即的最小值为16． 故选：． （多选）25．（2023春•安庆期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，角的平分线交于点，，，则以下结论正确的是　　 A． B． C．的面积为 D． 【解析】因为，角的平分线交于点，，， 所以可得， 所以， 所以整理可得， 因为， 所以，故正确； 由角平分线性质可知，故错误； 由于，故正确； 在中，由余弦定理得， 所以，故错误． 故选：． 26．（2022春•定远县校级期末）在三角形中，角，，的对边分别是，，，若，角的角平分线交边于点，且，则边的大小为 　　． 【解析】因为，所以， 故，所以， 由于，所以， 故由可得， 又，故，联立， 解得，， 故， 故． 故答案为：． ( 题型0 6 ) 三角形的高线问题 27．（2024春•阜阳期末）在中，角，，所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边上，且，若_____3（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①是边上的高；②是边上的中线；③是角的平分线． 【解析】（1）在中，由及余弦定理， 可得，整理得， 于是，而， 所以； （2）选①，是边上的高，， 由三角形面积公式得， 即，由（1）知，，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以当时，取得最小值； 选②，是边上的中线，则， 两边平方得， 即， 当且仅当时取等号，于是， 由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值； 选③，是角的平分线，由三角形面积公式， 得，即， 整理得，当且仅当时取等号，故， 由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值． 28．（2021春•东至县校级期末）在三角形中，已知，，分别为角，，的对边，． （1）若，，平分角交于，求的长； （2）若，为函数的两个不同的零点，求边上的高． 【解析】（1）因为， 在三角形中，由正弦定理得，， 因为，，所以． （2）因为，为函数的两个不同的零点， 所以， 在三角形中，由余弦定理得，， 设边上的高为，因为， 所以，所以． 29．（2023春•涡阳县期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【解析】（1）由余弦定理得：， ， ，， 由正弦定理：， ， ，，， ， ； （2）设边上的高为， 由余弦定理得：， 即， ，， ，， ， ， 边上的高为． 30．（2023春•阜阳期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）设边上的高为，且，求面积的最小值． 【解析】（1）由正弦定理及，知， 因为， 所以，整理得， 因为，所以， 又，所以． （2）的面积， 所以，即， 在中，由余弦定理知，， 所以， 整理得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 故面积的最小值为． 31．（2022春•合肥期末）在中，，，分别为，，所对边，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求边上的高． 【解析】（Ⅰ）由得，， ， ， ，， ，且， ； （Ⅱ）设边上的高为，则， 由得，，， ，即， ， ， ， ， 即边上的高为． ( 题型0 7 ) 多三角形问题 32．（2023秋•迎江区校级期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌．如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．某人在扶梯上点处（异于点观察广告牌的视角．当人在点时，观测到视角的正切值为． （1）求扶梯的长； （2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长． 【解析】（1）设．，则． ，． ．化为：， 解得或． ． ．． （2）设，，，． 则，．． 作，垂足为点，则． ，． ， ，时， 取得最大值， ． 33．（2023秋•迎江区校级期末）高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，，点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值． 【解析】（1）三角形为直角三角形，，， 在直角中，，，， 点为半圆上一点，，又， ，，， ，当，即时，达最大值， （2）在直角中，， ， ，，又，， 在直角中，， ，， 当即时，达到最大值为． 34．（2023春•田家庵区校级期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为地路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角，已知，． （1）求喷头到地面的距离； （2）设，求面积的最小值并求此时的值． 【解析】（1）点到地面的距离． （2）因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 所以， 因为，所以，， 所以当，即时，取得最小值， 此时面积取得最小值． 35．（2022春•阜阳期末）“寸影千里法”是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法．其具体做法是：在同一天（如夏至）的中午，在南北方向上的两地分别竖起同高的表杆，然后测量表杆的影长，并根据日影差一寸实地相距千里的原则推算两地距离．如图，把太阳看成质点，古人在夏至当天，分别在同一水平面上的，两地竖起高度均为3尺的表杆与，与在地面的影长分别为与，再按影长与的差用“寸影千里法”来推算，两地的距离．若，，则按照“寸影千里法”的原则，，两地的距离大约为（一尺等于十寸）　　 A．里 B．里 C．里 D．里 【解析】把太阳看成质点，古人在夏至当天，分别在同一水平面上的，两地竖起高度均为3尺的表杆与， 与在地面的影长分别为与，再按影长与的差用“寸影千里法”来推算，两地的距离， 在中，，所以， 在中，，所以，所以， ，两地的距离大约为里， 故选：． ( 题型0 8 ) 测量距离问题 36．（2024春•安徽期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则　　 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【解析】在中，，， 又因为，，所以， 所以， 由正弦定理可得：， ， 所以， 在中，，，可得， 所以为等边三角形，即， 在中，由余弦定理可得 ， 所以． 故选：． 37．（2023秋•安庆期末）如图所示，为了测量，处岛的距离，小张在处观测，测得，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为　　海里． A． B． C． D．10 【解析】如图所示： 可知：，，，，， 所以，， 在中，可得， 在直角中，由于，， 所以， 在中，由余弦定理得：， 解得， 故选：． （多选）38．（2024春•叶集区校级期末）湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点，之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，，测得米，，，则　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【解析】在中，，， 则米，选项正确． 在中，， 又，则， 由正弦定理可得，即， 解得米，选项正确； 中同理可得米，选项错误； 在中，由余弦定理得， 所以米，选项正确． 故选：． 39．（2023春•芜湖期末）如图所示，某小区内有，，，四栋楼，在栋楼处测得米，，，，． （1）求两栋楼间的距离； （2）若小区决定沿方向取，两点与建设一个三角形花园，且始终满足，求面积的最小值． 【解析】（1），， ， ， 又， ， 在中，． （2）记， 则， 由题可知， 解得， 同理可得， ， 当时，的最小值． ( 题型0 9 ) 测量高度问题 40．（2024春•芜湖期末）某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）．现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，，则塔高约为　　（精确到，参考数据： A． B． C． D． 【解析】设塔高为，由在点，测得塔顶的仰角分别为，， 可得， 由，，可得， 在中，余弦定理可得， 所以，所以， 解得． 故选：． 41．（2024春•庐阳区校级期末）2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，、、三点在同一水平面上的投影、、，满足，，，．由点测得点的仰角为，由点测得点的仰角为，则的高度为 　　． 【解析】因为， ， 分别过，作，，垂足分别为，，在△中，则， 由正弦定理， 可得，， 在，，， 则， 在中，，， 则，所以． 故答案为：． 42．（2024春•蒙城县校级期末）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶、楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，， 在中，，， 所以， 由正弦定理，， 故， 在中，． 所以估算黄鹤楼的高度为． 故选：． 43．（2023春•蚌埠期末）“一部剧带火一座城”，五一期间，我市的地标建筑——中国南北分界线雕塑成为了网红打卡地，某校数学课外兴趣小组，拟借助所学知识测量该建筑的高度．记该雕塑的最高点为点，其在地面的投影点为点，在点南偏西方向的点处测得点的仰角为，在点正东方向的点处测得点的仰角为，点，相距米，则该雕塑的高度为 　40　米． 【解析】由题意可得，，，米， 设，则， 在中，由于，可得， 所以， 在中，由余弦定理， 可得， 解得，即该雕塑的高度的值为40米． 故答案为：40． ( 题型 10 ) 测量角度问题 （多选）44．（2022春•池州期末）如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则下列结论正确的是　　 A． B．、之间的距离为海里 C．、两处岛屿间的距离为海里 D．、之间的距离为海里 【解析】由题意可知，，，，， 所以，， 在中，由正弦定理得，得， 在中，因为，， 所以， 在中，由余弦定理得，， 海里． 故选：． 1．（2023秋•安徽期末）如图，在△中，的平分线交边于点，点在边上，，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求△的面积． 【解析】（Ⅰ）由题意可知，，，， 而因为平分，所以， 所以根据余弦定理， 解得， 所以由余弦定理可得， 即可解得，所以， 即的大小为； （Ⅱ）由题意可知，因为，所以由正弦定理，， 而由（Ⅰ）中的，可得，所以即可得， 而在四边形中，我们知道它的内角和为，所以即有， 所以， 所以即有， 所以即有． 所以△的面积为． 2．（2024秋•安徽期末）在△中，在边上，． （1）当时，求△的面积； （2）当时，求线段的长度． 【解析】（1）当时，因为， 所以，，因为， 所以△为等边三角形，， 所以， 故； （2）设，则， 因为，所以， 在△中，由余弦定理得， 在△中，由余弦定理得， 故， 化简得，解得， 因为，所以， 故． 3．（2023春•定远县校级期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，在 ①， ②两个条件中任选一个完成以下问题： （1）求； （2）若在上，且，求的最大值． 【解析】（1）若选①，由正弦定理得，， 即，即， ， ，． 若选②， ， ，即， 即（舍或， ，． （2），为边上的高，当面积最大时，高取得最大值． 法一：由余弦定理得，， 由重要不等式得， 当且仅当时取等号， ， 边上的高的最大值为． 法二：由正弦定理得外接圆的直径为， 利用正弦定理表示面积得： ， 所以边上的高的最大值为． 4．（2021春•合肥期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形．改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域． （1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【解析】（1）， 所以， 又，所以，所以， ． （2）不妨设，， 于是①， ②， ③， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 5．（2024春•蜀山区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论错误的是　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【解析】选项，由正弦定理及，得， 因为， 所以， 整理得，即， 因为，，所以，即，故选项正确； 选项，由，知， 由正弦定理得，， 若，则， 因为，所以，，， 所以为直角三角形，故选项正确； 选项，因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得，， 所以，， 而在，上单调递增， 所以，，故选项正确； 选项，， 由，，知，，，， 所以， 所以的最小值取不到1，即选项错误． 故选：． 6．（2024春•铜陵期末）在锐角三角形中，内角，，所对应的边分别为，，，点，分别为边，的中点，满足． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【解析】（1）由点，分别为边，的中点，满足， 可得，即， 即有， 化简可得，即； （2）由三角形为锐角三角形，可得，，， 即，，，可得，， 化简可得， 则， 设，由对勾函数的单调性可得在，递减， 在递增， 即有的最小值为，或时，， 则的取值范围是，． 7．（2022春•金安区校级期末）在平面五边形中，已知，，，，，． （1）当时，求； （2）当五边形的面积时，求的取值范围． 【解析】（1）连结，在中，，， 由余弦定理可得，， 所以， 同时可得， 又由五边形内角和可求得， 所以，进而可得四边形为等腰梯形， 过点作于，可求得， 进而． （2）， 又，所以， 设边长为，则， 化简整理得，解得，或， 又，， 所以的取值范围是． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$