专题05 正余弦定理解三角形6种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题05 正余弦定理解三角形6种常考题型总结 题型概览 题型01 余弦定理解三角形 题型02 正弦定理解三角形 题型03 三角形解的个数判断 题型04 正余弦定理边角互化 题型05 三角形的面积问题 题型06 多边形的形状判断 ( 题型01 ) 余弦定理解三角形 1．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　 A．3 B．1 C．1或3 D．无解 2．（2023春•马鞍山期末）已知是钝角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是 　　．（结果用区间表示） 3．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）若，求． 4．（2022春•迎江区校级期末）在中，，，，则　　 A．1 B．2 C． D． ( 题型02 ) 正弦定理解三角形 5．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•裕安区校级期末）若△中，，则△的外接圆半径为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023春•宣城期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则　　 A． B．或 C．或 D．或 8．（2020秋•金安区校级期末）在△中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 三角形解的个数判断 9．（2024春•铜陵期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知．若有两个解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． （多选）10．（2021春•谯城区校级期末）已知中，，，，若三角形有两解，则不可能的取值是　　 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 ( 题型04 ) 正余弦定理边角互化 11．（2024秋•安徽期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，则　　 A． B． C． D．2 （多选）12．（2024秋•萧县校级期末）在中，已知，且，则的值可以是　　 A．4 B．8 C．2 D． 13．（2024秋•阜阳期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求△的周长． 14．（2024春•颍州区校级期末）在△中，内角，，所对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 三角形的面积问题 15．（2023春•金安区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 16．（2024秋•萧县校级期末）已知的内角，，的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 17．（2023春•谯城区校级期末）在中，，，其面积为，则等于　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•瑶海区校级期末）钝角的内角，，的对边分别是，，，若，则的面积为　　 A． B． C． D．或 19．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为 　　． ( 题型0 6 ) 多边形的形状判断 20．（2024秋•安徽校级期末）在中，已知，且满足，则的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 21．（2020春•镜湖区校级期末）已知的三个内角、、的对边分别为，，，若，则该三角形一定是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 22．（2024春•大观区校级期末）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 23．（2024春•蜀山区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论错误的是　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 （多选）24．（2024春•蜀山区校级期末）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有　　 A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 1．（2024春•金安区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的面积最大值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•安徽期末）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论错误的是　　 A．角为钝角 B． C．的最小值为 D． 3．（2024春•阜阳期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，则　　，当时，面积的最大值为 　　． （多选）4．（2024春•霍山县校级期末）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形或者直角三角形 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 正余弦定理解三角形6种常考题型总结 题型概览 题型01 余弦定理解三角形 题型02 正弦定理解三角形 题型03 三角形解的个数判断 题型04 正余弦定理边角互化 题型05 三角形的面积问题 题型06 多边形的形状判断 ( 题型01 ) 余弦定理解三角形 1．（2024春•叶集区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　 A．3 B．1 C．1或3 D．无解 【解析】，，， 由余弦定理得， 即，所以或3． 故选：． 2．（2023春•马鞍山期末）已知是钝角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是 　　．（结果用区间表示） 【解析】由题意可得，，即，解得， 又三角形两边之和大于第三边， 故， 综上所述，最大边的取值范围为． 故答案为：． 3．（2023春•滁州期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）若，求． 【解析】（1）由正弦定理可得， ，， 又，所以或； （2）由，， ，，， ，，，代入可求得． 4．（2022春•迎江区校级期末）在中，，，，则　　 A．1 B．2 C． D． 【解析】在中，由，，， 得， 则． 故选：． ( 题型02 ) 正弦定理解三角形 5．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为中，，，， 由正弦定理，可得． 故选：． 6．（2023秋•裕安区校级期末）若△中，，则△的外接圆半径为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为， 所以由正弦定理得：，即， 解得：，所以△的外接圆半径为1． 故选：． 7．（2023春•宣城期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则　　 A． B．或 C．或 D．或 【解析】因为，，， 所以由正弦定理，可得， 所以， 又， 所以，， 则或． 故选：． 8．（2020秋•金安区校级期末）在△中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】，，， 由正弦定理可得． 故选：． ( 题型03 ) 三角形解的个数判断 9．（2024春•铜陵期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知．若有两个解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由余弦定理，得， 结合，可得，整理得， 将其看成关于的一元二次方程，该方程有两个不相等的正数根， 所以两根之和为，两根之积为，解得， 且根的判别式△，即，整理得，可得． 综上所述，，即的取值范围是，． 故选：． （多选）10．（2021春•谯城区校级期末）已知中，，，，若三角形有两解，则不可能的取值是　　 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【解析】已知：在中，，，，若三角形有两解， 所以， 解得：． 故选：． ( 题型04 ) 正余弦定理边角互化 11．（2024秋•安徽期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，则　　 A． B． C． D．2 【解析】因为，即， 由余弦定理得， 可得， 在△中，， 所以， 可得， 则． 故选：． （多选）12．（2024秋•萧县校级期末）在中，已知，且，则的值可以是　　 A．4 B．8 C．2 D． 【解析】， ，， ， ，即，解得或． 故选：． 13．（2024秋•阜阳期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求△的周长． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 解得， 又， 所以； （2）为线段的中点，，，且， 所以，所以， 即， 整理可得，① 在△中，由余弦定理得， 即，② ①②两式联立可得，，即， 可得， 从而△的周长为． 14．（2024春•颍州区校级期末）在△中，内角，，所对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以由正弦定理可得，， 由余弦定理可得：，即， ， 所以，． 故选：． ( 题型0 5 ) 三角形的面积问题 15．（2023春•金安区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【解析】（1）由正弦定理及，得， 因为，所以，即， 因为， 所以． （2）由（1）得，， 因为，所以， 又，所以， 由余弦定理得，， 所以． 16．（2024秋•萧县校级期末）已知的内角，，的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【解析】（1）因为，可得， 即， 在三角形中，，可得为锐角，所以， 解得； （2）因为，， 由正弦定理可得：， 所以， 由余弦定理，，即， 联立方程组整理得，， 解得或（舍． 所以． 17．（2023春•谯城区校级期末）在中，，，其面积为，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】在中，，，其面积为， 则， 即， 由余弦定理可得：， 即， 由正弦定理可得：， 故选：． 18．（2023秋•瑶海区校级期末）钝角的内角，，的对边分别是，，，若，则的面积为　　 A． B． C． D．或 【解析】， ，整理得，解得或， 又是钝角三角形，为最大边， 角为最大角，即为钝角， ①当时，，符合题意， 此时的面积为； ②当时，，不符合题意； 综上所述，的面积为， 故选：． 19．（2024春•金安区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为 　　． 【解析】在中，， 根据正弦定理化简得，结合余弦定理，可得， 而角为的内角，即，可得． 根据的外接圆的半径， 结合正弦定理可得，所以， 由余弦定理得，即， 而，可得，即，当且仅当时取等号， 因此，的面积，当时，面积的最大值为． 故答案为：． ( 题型0 6 ) 多边形的形状判断 20．（2024秋•安徽校级期末）在中，已知，且满足，则的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解析】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以， 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：． 21．（2020春•镜湖区校级期末）已知的三个内角、、的对边分别为，，，若，则该三角形一定是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解析】，由正弦定理可得， ， 可得． 又， ． 故的形状是等腰三角形， 故选：． 22．（2024春•大观区校级期末）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解析】由余弦定理及， 得， 化简可得：，即， 由余弦定理及，得， 化简可得：， 由勾股定理的逆定理可得：为直角， 所以是等腰直角三角形． 故选：． 23．（2024春•蜀山区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论错误的是　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【解析】选项，由正弦定理及，得， 因为， 所以， 整理得，即， 因为，，所以，即，故选项正确； 选项，由，知， 由正弦定理得，， 若，则， 因为，所以，，， 所以为直角三角形，故选项正确； 选项，因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得，， 所以，， 而在，上单调递增， 所以，，故选项正确； 选项，， 由，，知，，，， 所以， 所以的最小值取不到1，即选项错误． 故选：． （多选）24．（2024春•蜀山区校级期末）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有　　 A．已知且 B．已知且 C．已知且 D．已知且 【解析】对于、因为，所以，由余弦定理得，， 又，所以，所以，所以， 所以，所以为等边三角形，故正确； 对于，因为，，所以或， 当时，，所以，所以为等边三角形； 当时，，所以为等腰三角形．故错误； 对于，因为且，所以；所以，所以， 又，所以，所以为等边三角形．故正确； 对于，因为，由正弦定理可得， 即，即，所以或， 当时，，所以，所以为等边三角形； 当时，，所以，，所以为直角三角形．故错误． 故选：． 1．（2024春•金安区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的面积最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】，， 由余弦定理得， 即， 则，当且仅当时取等号， 则的面积， 即的面积最大值为， 故选：． 2．（2024春•安徽期末）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论错误的是　　 A．角为钝角 B． C．的最小值为 D． 【解析】对于，，即， ，即， ， 又， 一定为钝角，故选项正确； 对于，由选项知，， 由余弦定理知，， 化简得，故选项正确； 对于，， ，故选项正确； 对于，， ， 为钝角，，， ，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，故选项错误． 故选：． 3．（2024春•阜阳期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，则　　，当时，面积的最大值为 　　． 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 所以，可得， 若，则的值为任意正实数， 若，则解得的值为1， 可得， 所以， 令，， 解得时，， 所以． 故答案为：1或任意正实数，． （多选）4．（2024春•霍山县校级期末）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形或者直角三角形 【解析】对于，若，则，所以，所以正确； 对于，由且，， 根据函数在上单调递减，可得，所以错误； 对于，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，所以正确； 对于，因为，所以，即， 又，，所以，，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，所以正确． 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