专题04 平面向量全章综合9种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题04 平面向量全章综合9种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本概念 题型02平面向量线性运算 题型03平面向量共线定理 题型04平面向量数量积 题型05向量垂直 题型06向量的模 题型07向量的夹角 题型08投影向量 题型09三角形四心问题 ( 题型01 ) 平面向量基本概念 1．（2024春•安徽期末）若向量是两个单位向量，则　　 A． B． C． D． 2．（2024春•霍山县校级期末）已知非零向量与同向，则　　 A．必定与同向 B．必定与同向 C．必定与是平行向量 D．与不可能是平行向量 3．（2022春•黄山期末）以下说法正确的是　　 A．零向量与任意非零向量平行 B．若，则 C．若为实数），则必为零 D．若和都是单位向量，则 ( 题型02 ) 平面向量线性运算 4．（2024春•蚌埠期末）　　 A． B． C． D． 5．（2024春•金安区校级期末）若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•合肥期末）　　 A． B． C． D． 7．（2024春•金安区校级期末）若为的边的中点，则　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 平面向量共线定理 8．（2024春•金安区校级期末）已知向量，，． （1）若，求； （2）若与共线，求的值． 9．（2024春•安徽期末）已知向量，，，若与共线，则实数　　 A． B． C． D．0 10．（2021春•庐阳区校级期末）设向量，若向量与向量共线，则实数　　 ． 11．（2023春•田家庵区校级期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为　　 A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 12．（2024春•霍山县校级期末）设是不共线的两个向量，．若，，三点共线，则的值为 　　． ( 题型0 4 ) 平面向量数量积 13．（2023秋•合肥期末）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则　　 A． B． C．2 D． 14．（2024春•庐江县期末）在△中，，，，点为边上一点，且，则　　 A．3 B．2 C． D． 15．（2024春•阜阳期末）已知平面向量，均为单位向量，且，则　　． ( 题型0 5 ) 向量垂直 16．（2024春•大观区校级期末）已知单位向量与的夹角为，则　　 A． B． C． D． （多选）17．（2023秋•裕安区校级期末）在直角坐标系中，，，若三角形是直角三角形，则的可能值是　　 A．1 B． C．3 D． 18．（2023秋•合肥期末）已知向量，，且，则　　 A． B． C．6 D．8 19．（2024春•芜湖期末）已知向量，，其中，． （1）求； （2）求． 20．（2024春•叶集区校级期末）已知、、是同一平面内的三个向量，其中，，． （1）若，求； （2）若与共线，求的值． ( 题型0 6 ) 向量的模 21．（2024春•安徽期末）在中，设向量，，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求． 22．（2024春•金安区校级期末）已知向量与的夹角为，则　　 A．12 B．16 C． D．4 23．（2024春•蜀山区校级期末）定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于　　． 24．（2024春•叶集区校级期末）已知向量与的夹角为，，，则　　 A．1 B．3 C．4 D．5 ( 题型0 7 ) 向量的夹角 25．（2024春•宣城期末）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•滁州期末）已知向量，满足，则与的夹角为 　　． 27．（2024春•阜阳期末）若向量满足，则向量的夹角为 　　． 28．（2024春•合肥期末）已知，，，，求： （1）； （2）与的夹角． 29．（2024春•庐江县期末）已知向量与向量的夹角为，且，，． （1）求的值； （2）记向量与向量的夹角为，求． 30．（2023秋•亳州期末）已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 　　． ( 题型0 8 ) 投影向量 31．（2024春•怀宁县校级期末）已知△的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 32．（2024春•颍州区校级期末）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•金寨县校级期末）已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为　　 A．1 B． C． D． 34．（2023秋•蜀山区校级期末）已知，，若在向量上的投影向量为，则向量　　 A． B． C． D． 35．（2024春•蚌埠期末）已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是　　 A． B． C． D． 36．（2024春•安徽期末）已知向量，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． ( 题型0 9 ) 三角形四心问题 （多选）37．（2024春•宣城期末）中，下列说法正确的是　　 A．若，则为钝角三角形 B．若为重心，则 C．若点满足，则 D．若，则点的轨迹一定通过的内心 （多选）38．（2021春•黄山期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有　　 A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心 B．若，则点为的内心 C．若，则点为的外心 D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心 1．（2024春•金安区校级期末）在中，已知，为线段上的一点，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•颍州区校级期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则　　；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 　　． （多选）3．（2024春•亳州期末）已知等腰中，底边，点满足，点是的外接圆上的任意一点，则　　 A． B． C．外接圆半径为 D．的最大值为 4．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 5．（2024春•蒙城县校级期末）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求在上的单调递减区间． 6．（2024春•怀宁县校级期末）已知向量，，设． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值． 7．（2024春•庐江县期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 　　． 8．（2024春•大观区校级期末）已知向量满足． （1）求； （2）若，求的最小值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量全章综合9种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本概念 题型02平面向量线性运算 题型03平面向量共线定理 题型04平面向量数量积 题型05向量垂直 题型06向量的模 题型07向量的夹角 题型08投影向量 题型09三角形四心问题 ( 题型01 ) 平面向量基本概念 1．（2024春•安徽期末）若向量是两个单位向量，则　　 A． B． C． D． 【解析】由单位向量的定义可知，，即，且，故正确，错误； 因为方向和夹角不确定，故错误． 故选：． 2．（2024春•霍山县校级期末）已知非零向量与同向，则　　 A．必定与同向 B．必定与同向 C．必定与是平行向量 D．与不可能是平行向量 【解析】非零向量与同向， 则可能与同向，也可能与同向，故错误， 则必定与是平行向量，故正确． 故选：． 3．（2022春•黄山期末）以下说法正确的是　　 A．零向量与任意非零向量平行 B．若，则 C．若为实数），则必为零 D．若和都是单位向量，则 【解析】，规定：零向量与任意向量平行，正确， ，若时，满足，，但与不一定共线，错误， ，当时，满足，错误， ，当与方向不相同时，，错误， 故选：． ( 题型02 ) 平面向量线性运算 4．（2024春•蚌埠期末）　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 5．（2024春•金安区校级期末）若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 对于，平行四边形对边平行且相等，所以，故正确； 对于，利用向量加法的平行四边形法则得，故正确； 对于，利用向量减法的三角形法则得，故正确； 对于，与是相等的非零向量，，故错误． 故选：． 6．（2023秋•合肥期末）　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 7．（2024春•金安区校级期末）若为的边的中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】为的边的中点， ， ， 故选：． ( 题型03 ) 平面向量共线定理 8．（2024春•金安区校级期末）已知向量，，． （1）若，求； （2）若与共线，求的值． 【解析】（1）向量，，， ， ， ， 解得， ， ； （2）向量，，， ，， 与共线， ， 解得． 9．（2024春•安徽期末）已知向量，，，若与共线，则实数　　 A． B． C． D．0 【解析】根据题意，向量，，， 则， 因为与共线，所以，解得． 故选：． 10．（2021春•庐阳区校级期末）设向量，若向量与向量共线，则实数　　 ． 【解析】向量， ， 向量与向量共线， ， 解得实数． 故答案为：2． 11．（2023春•田家庵区校级期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为　　 A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 【解析】不共线， ， 又与共线， 存在，使， ，解得或1． 故选：． 12．（2024春•霍山县校级期末）设是不共线的两个向量，．若，，三点共线，则的值为 　　． 【解析】，不共线，， ，，三点共线，与共线， 存在实数，使， ， ，解得． 故答案为：． ( 题型0 4 ) 平面向量数量积 13．（2023秋•合肥期末）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则　　 A． B． C．2 D． 【解析】，， 则向量在向量上的投影为， 解得，所以． 故选：． 14．（2024春•庐江县期末）在△中，，，，点为边上一点，且，则　　 A．3 B．2 C． D． 【解析】由，，，可得， 因为点为边上一点，且，可得， 所以， 所以． 故选：． 15．（2024春•阜阳期末）已知平面向量，均为单位向量，且，则　　． 【解析】因为，均为单位向量，且， 所以，所以， 所以则． 故答案为：． ( 题型0 5 ) 向量垂直 16．（2024春•大观区校级期末）已知单位向量与的夹角为，则　　 A． B． C． D． 【解析】依题意，，由， 得， 所以． 故选：． （多选）17．（2023秋•裕安区校级期末）在直角坐标系中，，，若三角形是直角三角形，则的可能值是　　 A．1 B． C．3 D． 【解析】若，则无解； 若，则，； 若，则，； 综上，可能取，两个数． 故选：． 18．（2023秋•合肥期末）已知向量，，且，则　　 A． B． C．6 D．8 【解析】向量，， ， 又， ， 解得：， 故选：． 19．（2024春•芜湖期末）已知向量，，其中，． （1）求； （2）求． 【解析】（1）根据题意，因为， 由于， ， 因此； （2）由（1）可得， 所以． 20．（2024春•叶集区校级期末）已知、、是同一平面内的三个向量，其中，，． （1）若，求； （2）若与共线，求的值． 【解析】（1） ， （2）由已知：，， 因为， 所以：， ( 题型0 6 ) 向量的模 21．（2024春•安徽期末）在中，设向量，，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求． 【解析】（Ⅰ）由已知得，，， 所以， 所以． （Ⅱ）因为，所以， 所以． 22．（2024春•金安区校级期末）已知向量与的夹角为，则　　 A．12 B．16 C． D．4 【解析】向量与的夹角为， ． 故选：． 23．（2024春•蜀山区校级期末）定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于　　． 【解析】由题意得 所以 所以 所以 故答案为8． 24．（2024春•叶集区校级期末）已知向量与的夹角为，，，则　　 A．1 B．3 C．4 D．5 【解析】根据条件，； 解得，或（舍去）． 故选：． ( 题型0 7 ) 向量的夹角 25．（2024春•宣城期末）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设与的夹角为， 由于，则， 若，变形可得，即， 解可得， 又由，故． 故选：． 26．（2024春•滁州期末）已知向量，满足，则与的夹角为 　　． 【解析】因为，所以， 所以，即， 所以， 则与的夹角为． 故答案为：． 27．（2024春•阜阳期末）若向量满足，则向量的夹角为 　　． 【解析】因为，， 所以，，； ，； 设向量的夹角为，则， 所以， 因为，所以． 故答案为：． 28．（2024春•合肥期末）已知，，，，求： （1）； （2）与的夹角． 【解析】（1）由已知，，所以，所以， 所以，所以； （2）与的夹角的余弦值为， 所以与的夹角为． 29．（2024春•庐江县期末）已知向量与向量的夹角为，且，，． （1）求的值； （2）记向量与向量的夹角为，求． 【解析】（1）已知向量与向量的夹角为，且，， 由， 所以． （2）因为， ， 所以， 所以． 30．（2023秋•亳州期末）已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 　　． 【解析】因为向量与的夹角为钝角， 所以，解得， 因为，所以对任意，都有与不共线， 所以的取值范围是． 故答案为：． ( 题型0 8 ) 投影向量 31．（2024春•怀宁县校级期末）已知△的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，△中，，则是的中点， 所以为圆的直径，则有， 又，则△为等边三角形，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：． 32．（2024春•颍州区校级期末）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】向量，满足，且， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 33．（2023秋•金寨县校级期末）已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为　　 A．1 B． C． D． 【解析】向量与的夹角为，且满足，， 则向量在上的投影为，向量在上的投影向量为． 故选：． 34．（2023秋•蜀山区校级期末）已知，，若在向量上的投影向量为，则向量　　 A． B． C． D． 【解析】由题意． 故选：． 35．（2024春•蚌埠期末）已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是　　 A． B． C． D． 【解析】，， 则，， 故向量在上的投影向量的坐标是：． 故选：． 36．（2024春•安徽期末）已知向量，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】， 则． 所以； 故在上的投影向量为． 故选：． ( 题型0 9 ) 三角形四心问题 （多选）37．（2024春•宣城期末）中，下列说法正确的是　　 A．若，则为钝角三角形 B．若为重心，则 C．若点满足，则 D．若，则点的轨迹一定通过的内心 【解析】对于，若，则，因此角为钝角，所以一定为钝角三角形，故正确； 对于，若为的重心，设边的中点为，则，故正确； 对于，如图所示，设的中点为，若点满足，则点为外心，于是有， 又因为，， ，故错误； 对于，因为，分别表示，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致， 若，，，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故正确． 故选：． （多选）38．（2021春•黄山期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有　　 A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心 B．若，则点为的内心 C．若，则点为的外心 D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心 【解析】对于：根据正弦定理：，所以和共线，设点为的中点，所以，故动点的轨迹一定经过的重心，故错误； 对于：由于都为单位向量，满足菱形的性质特征，，故向量和角平分线垂直相交于点，则点为的内心，故正确； 对于：取的中点，由于，且满足，说明则点是垂直平分线上的点，故点为的外心，故正确； 对于：动点满足， 整理得， 所以， 故， 则动点的轨迹一定经过的垂心，故错误． 故选：． 1．（2024春•金安区校级期末）在中，已知，为线段上的一点，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】由，可得，① 由及正弦定理和余弦定理， 可得，整理得，② 由①②可知：，，则， 由，可得，所以， 则， 又为线段上的一点，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：． 2．（2024春•颍州区校级期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则　　；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 　　． 【解析】由题意可知， ， ，，； 如图： 设， 则， 为中点， ， 正方形的边长为1， ，， ， 对于函数，对称轴为， 函数在，上单调递减， 当时，函数取得最小值， 即的最小为． 故答案为：；． （多选）3．（2024春•亳州期末）已知等腰中，底边，点满足，点是的外接圆上的任意一点，则　　 A． B． C．外接圆半径为 D．的最大值为 【解析】因为，所以， 所以，故正确； 因为、，所以、， 又，， 由余弦定理可得 ， 所以， 解得，则，则． 所以 ，故错误； 设的外心为，外接圆的半径为， 由正弦定理得，解得，故正确； 可得， 由平面向量的线性运算知，， 所以， 由图可知． 当且同向时，， 所以最大值为，故正确． 故选：． 4．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，， 所以，即， 则， 则， 即与夹角的余弦值； （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有， 即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且， 即实数的取值范围为． 5．（2024春•蒙城县校级期末）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求在上的单调递减区间． 【解析】（1）解：因为，且， 所以，即， 所以，解得； （2）解：因为，且， 所以，即，所以； （3）解：因为，所以， 所以 ， 即， 今，解得， 所以函数在上的单调递减区间为， 因为，所以函数在上的单调递减区间为． 6．（2024春•怀宁县校级期末）已知向量，，设． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值． 【解析】（1）因为，， 所以 ， 故的最小正周期； （2）由（1）知，， 所以， 又，， 所以， 故 ． 7．（2024春•庐江县期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 　　． 【解析】因为，不妨设，因此， 又由题意可得， 所以， 因此， 延长交于， 记，， 则， 所以， 又由题意易知，则， 在三角形中，由正弦定理可得：， 即， 因此， ， 所以， 因为，即， 整理得， 所以， 又因为， 由平面向量的基本定理可得，， 所以， 另解：由，可得，① 由，可得，② 由，可得， 将②代入①，可得， 化为， 设， 则，， ． 故答案为：． 8．（2024春•大观区校级期末）已知向量满足． （1）求； （2）若，求的最小值． 【解析】（1）向量满足， 解得，， ，， 则，； （2）若，可设，， 则， 当时，取得最小值，且为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$