专题16 概率全章综合7种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题16 概率全章综合7种常考题型总结 题型概览 题型 01 随机事件的判断 题型 02 互斥与对立事件的判断 题型 03 互斥与对立事件的概率 题型 04 古典概型的概率计算 题型 05 相互独立事件的判断 题型 06 相互独立事件的概率 题型 07 用频率估计概率综合 ( 题型01 ) 随机事件的判断 1．（2021春•舒城县期末）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是　　 A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 2． （2021春•合肥期末）在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则事件“取出的球是白球”为 　　事件（填“必然”、“随机”或“不可能” ． ( 题型0 2 ) 互斥与对立事件的判断 3．（2023春•合肥期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是　　 A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 4．（2024春•霍山县校级期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是　　 A．与互为对立事件 B．（A）（B） C．与相等 D．与互斥 5．（2024春•怀宁县校级期末）掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为2，：红骰子的点数为3，：两个骰子的点数之和为7，：两个骰子的点数之和为9，则　　 A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 6．（2024春•滁州期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”， 表示事件“出现一次1点”， 表示事件“两次抛出的点数之和是8”， 表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是　　 A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件包含于事件 7．（2024春•宣城期末）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是　　 A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件 C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 ( 题型0 3 ) 互斥与对立事件的概率 8．（2024春•大观区校级期末）设，是一个随机试验中的两个事件且，则　　 A． B． C． D． 9．（2024春•铜陵期末）已知随机事件，，满足（A），（B），则下面说法正确的是　　 A．若事件与互斥，则 B．若，则事件与可能互斥 C．若事件与相互独立，则 D．若，则事件与互斥 （多选）10．（2023春•金安区校级期末）若，则　　 A． B．事件与不互斥 C．事件与相互独立 D．事件与不一定相互独立 11．（2021春•定远县校级期末）抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则　　 A． B． C． D． 12．（2024春•蜀山区校级期末）已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且（A）（B），则　　 A． B． C． D． ( 题型0 4 ) 古典概型的概率计算 13．（2024春•安徽期末）某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为　　 A． B． C． D． 14．（2024春•安徽期末）从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•庐江县期末）定义：，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为　　 A． B． C． D． 16．（2024春•金安区校级期末）某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同．甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•芜湖期末）有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是 　　． 18．（2024春•亳州期末）某企业有，两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： 车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 （1）以频率作为概率，估计，两车间生产该批次产品的合格率； （2）分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ ( 题型0 5 ) 相互独立事件的判断 19．（2024春•黄山期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是　　 A．事件与事件不是相互独立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 （多选）20．（2024春•安徽期末）已知随机事件，的概率都大于0，表示事件的对立事件，则　　 A．当时，，相互独立 B．当时，（A）（B） C．当时， D．当（A）（B）时， 21．（2023春•包河区校级期末）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则　　 A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立 ( 题型0 6 ) 相互独立事件的概率 22．（2023春•安庆期末）已知事件，，两两相互独立，若，则（A）　　． （多选）23．（2023春•田家庵区校级期末）已知事件与，且（A），（B），则下列结论正确的是　　 A．如果与互斥，那么 B．如果与相互独立，则 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 24.（2023春•金安区校级期末）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月27日至8月12日在法国巴黎举办，我国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在河北正定国家乒乓球训练基地进行封闭式训练．为了提高训练效果，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打4个球甲赢的概率； （2）求该局打5个球结束的概率． 25．（2023春•金安区校级期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空． （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率． 26．（2023春•合肥期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．记事件 “甲第一轮猜对”， “乙第一轮猜对”， “甲第二轮猜对”， “乙第二轮猜对”． （1）求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率； （2）求“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等且至少为1的概率． 27．（2022春•合肥期末）甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲，乙两袋中各任取1个球，则下列结论错误的是　　 A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 ( 题型0 7 ) 用频率估计概率综合 28．（2023春•宣城期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为　　 A． B． C． D． 29．（2024春•金安区校级期末）袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 　　． 30．（2022春•宣城期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器产生之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 533 224 344 151 254 424 142 435 414 335 132 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为　　 A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 （多选）1．（2024春•金安区校级期末）下列对各事件发生的概率判断正确的是　　 A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 2．（2023春•芜湖期末）设样本空间，2，3，4，5，6，7，含有等可能的样本点，且事件，2，3，，事件，2，3，，事件，，，，使得（A）（B）（C），且满足，，两两不独立，则　　． （多选）3．（2023春•宣城期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是　　 A．取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件 B．至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 C．事件 “两个球同色”，则（A） D．事件 “至少有一个红球”，则（B） （多选）4．（2023春•芜湖期末）下列说法正确的为　　 A．数据2，2，3，5，6，7，7，8，10，11的下四分位数为8 B．数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为 C．如果三个事件，，两两互斥，那么（A）（B）（C）成立 D．对任意两个事件与，若（A）（B）成立，则事件与事件相互独立 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 概率全章综合7种常考题型总结 题型概览 题型 01 随机事件的判断 题型 02 互斥与对立事件的判断 题型 03 互斥与对立事件的概率 题型 04 古典概型的概率计算 题型 05 相互独立事件的判断 题型 06 相互独立事件的概率 题型 07 用频率估计概率综合 ( 题型01 ) 随机事件的判断 1．（2021春•舒城县期末）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是　　 A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【解析】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 分析可得：，是随机事件，是不可能事件，是必然事件； 故选：． 2． （2021春•合肥期末）在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则事件“取出的球是白球”为 　　事件（填“必然”、“随机”或“不可能” ． 【解析】根据题意，在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球， 事件“取出的球是白球”可能发生，也可能不发生， 则该事件为随机事件． 故答案为：随机． ( 题型0 2 ) 互斥与对立事件的判断 3．（2023春•合肥期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是　　 A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 【解析】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确； 对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是红球”不可以同时发生，对立，不正确； 对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确； 对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确． 故选：． 4．（2024春•霍山县校级期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是　　 A．与互为对立事件 B．（A）（B） C．与相等 D．与互斥 【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”， 事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故均错误； （A）（B），故正确； 事件与事件不是同一个事件，故错误． 故选：． 5．（2024春•怀宁县校级期末）掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为2，：红骰子的点数为3，：两个骰子的点数之和为7，：两个骰子的点数之和为9，则　　 A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【解析】对于，事件：红骰子的点数为2，：红骰子的点数为3， 与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如4，错误； 对于，：两个骰子的点数之和为7， ：两个骰子的点数之和为9，与不可能同时发生，故与互斥，错误； 对于，两个骰子的点数之和为7的情况有， 则， 所以，所以与相互独立，正确； 对于，两个骰子的点数之和为9的情况有， ， 所以，错误． 故选：． 6．（2024春•滁州期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”， 表示事件“出现一次1点”， 表示事件“两次抛出的点数之和是8”， 表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是　　 A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件包含于事件 【解析】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，共有36种结果， 事件表示事件“没有出现1点”，包含，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25种， 表示事件“出现一次1点”，包含，，，，，，，，，，共10种，故错误； 表示事件“两次抛出的点数之和为8”，包含，，，，，共5种， 表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，，，，，，共6种， 事件与事件不互斥，故错误； 由上面分析知道包含，，，，，5种情况， 且，（A），（D）， （A）（D），则事件与事件不是相互独立事件，故错误； 事件包含于事件，故正确． 故选：． 7．（2024春•宣城期末）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是　　 A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件 C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“， 所以与事件“两次均击中”不是对立事件，故错误； 对于，事件“最少一次击中”包含“一次击中”与“二次击中”， 事件“最多次击中”包含“一次击中”与“0次击中”， 故两事件可以同时发生，不是互斥事件，故不正确； 对于，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故正确； 对于，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故错误． 故选：． ( 题型0 3 ) 互斥与对立事件的概率 8．（2024春•大观区校级期末）设，是一个随机试验中的两个事件且，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故． 故选：． 9．（2024春•铜陵期末）已知随机事件，，满足（A），（B），则下面说法正确的是　　 A．若事件与互斥，则 B．若，则事件与可能互斥 C．若事件与相互独立，则 D．若，则事件与互斥 【解析】随机事件，，满足（A），（B）， 对于，若事件与互斥，则（A）（B），故错误； 对于，（A）（B），则事件与不可能互斥，故错误； 对于，若事件与相互独立，则与也相互独立， 则，故正确； 对于，若，又（A）， 则（A）， 与相互独立，则事件与相互独立， 事件与可能同时发生， 事件与不互斥，故错误． 故选：． （多选）10．（2023春•金安区校级期末）若，则　　 A． B．事件与不互斥 C．事件与相互独立 D．事件与不一定相互独立 【解析】因为， 所以（A），错误； 又（B），（A）（B）， 故，独立，正确，错误； 由可知，，不互斥，正确． 故选：． 11．（2021春•定远县校级期末）抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则　　 A． B． C． D． 【解析】事件为掷出向上为偶数点，（A）； 事件为掷出向上为3点，（B）， 又事件、是互斥事件，事件为事件、有一个发生的事件， ． 故选：． 12．（2024春•蜀山区校级期末）已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且（A）（B），则　　 A． B． C． D． 【解析】事件，互斥，它们都不发生的概率为， 则（A）（B）①， （A）（B）②， 联立①②，解得（A），（B）， 故（A）． 故选：． ( 题型0 4 ) 古典概型的概率计算 13．（2024春•安徽期末）某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】设装有变形金刚玩具的盒子分别为，，，，装积木玩具的盒子为， 则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法为： ，，，，，， ，，，，共10种不同方法， 恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有： ，，，，共4种不同方法， 故所求概率，故，，错误． 故选：． 14．（2024春•安徽期末）从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况， 满足乘积不超过1的为，，，，共有4种不同的情况， 故所求的概率为． 故选：． 15．（2024春•庐江县期末）定义：，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个， 其中“凸数”有12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个基本事件， 从中任意抽取一个，其恰好为“凸数”的概率为． 故选：． 16．（2024春•金安区校级期末）某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同．甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同， 甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回， 则他们取到不同颜色球的概率为： ． 故选：． 17．（2024春•芜湖期末）有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是 　　． 【解析】首先，我们把编号为1的红球记为，编号为2的红球记为， 编号为1的黑球记为，编号为2的黑球记为， 则基本事件总数为种，符合条件的有，，，，共4种， 且设概率为，则． 故答案为： 18．（2024春•亳州期末）某企业有，两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： 车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 （1）以频率作为概率，估计，两车间生产该批次产品的合格率； （2）分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 【解析】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， 车间生产该批次产品的合格量为5，频率为， 车间生产该批次产品的合格量为5，频率为， 以频率作为概率，，两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， ，车间生产的产品质量比车间生产的产品质量更稳定， 故选车间生产的产品更好． ( 题型0 5 ) 相互独立事件的判断 19．（2024春•黄山期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是　　 A．事件与事件不是相互独立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 【解析】事件与事件满足：，，， 则有（A）（B）， 则事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，与事件相互独立． 故选：． （多选）20．（2024春•安徽期末）已知随机事件，的概率都大于0，表示事件的对立事件，则　　 A．当时，，相互独立 B．当时，（A）（B） C．当时， D．当（A）（B）时， 【解析】对于（B），，相互独立，故正确； 对于，如图，阴影部分表球事件，无法判断（A）与（B）的大小，故错误； 对于：根据题意，得到如图所求，阴影部分代表事件， 由图知（B），故正确； 对于：根据对立事件的定义，（A）（B），（B），得与不一定是对立事件， 与不一定相等，故错误． 故选：． 21．（2023春•包河区校级期末）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则　　 A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立 【解析】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所求可能情况为36种， 则（甲，（乙， 丙事件包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，共7种，所以（丙， 丁事件包含的基本事件有，，，，，，，，，，共5种，所以（丁， （甲丙）（甲（丙，甲与丙相互独立，故选项正确， （甲丁）（甲（丁，甲与丁不相互独立，故选项错误， （乙丁）（乙（丁，乙与丁不相互独立，故选项错误， （丙丁）（丙（丁，丙与丁不相互独立，故选项错误， 故选：． ( 题型0 6 ) 相互独立事件的概率 22．（2023春•安庆期末）已知事件，，两两相互独立，若，则（A）　　． 【解析】因为事件，，两两相互独立，若， 所以， ， ， 解得． 故答案为：． （多选）23．（2023春•田家庵区校级期末）已知事件与，且（A），（B），则下列结论正确的是　　 A．如果与互斥，那么 B．如果与相互独立，则 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 【解析】选项，如果与互斥，那么（A）（B），正确； 选项，如果与相互独立，则（A）（B），正确； 选项，如果与相互独立，那么，正确，错误． 故选：． 24.（2023春•金安区校级期末）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月27日至8月12日在法国巴黎举办，我国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在河北正定国家乒乓球训练基地进行封闭式训练．为了提高训练效果，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打4个球甲赢的概率； （2）求该局打5个球结束的概率． 【解析】（1）设甲发球甲赢为事件，乙发球甲赢为事件，该局打4个球甲赢为事件， 由题知，，， ， 该局打4个球甲赢的概率为； （2）设该局打5个球结束时甲赢为事件，乙赢为事件，打5个球结束为事件，易知，为互斥事件， ， ， ， ， 该局打5个球结束的概率为． 25．（2023春•金安区校级期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空． （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率． 【解析】（1）记事件为甲胜乙，则，则， 事件为甲胜丙，则，， 事件为乙胜丙，则，， 则丙被淘汰可用事件来表示， 所以前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为： ； （2）若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ， 所以只需四场比赛就决出冠军的概率为： ． （3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为， 第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件，甲轮空为事件， 所以甲最终获胜的概率 ． 26．（2023春•合肥期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．记事件 “甲第一轮猜对”， “乙第一轮猜对”， “甲第二轮猜对”， “乙第二轮猜对”． （1）求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率； （2）求“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等且至少为1的概率． 【解析】（1）设 “‘星队’至少猜对3个成语”， 则， 则 ， 故“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为． （2）甲两轮猜对1个成语的概率为，甲两轮猜对2个成语的概率为， 乙两轮猜对1个成语的概率为，乙两轮猜对2个成语的概率为， 所以“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等的概率为． 27．（2022春•合肥期末）甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲，乙两袋中各任取1个球，则下列结论错误的是　　 A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【解析】从甲袋中任取1个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为， 从乙袋中任取1个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为． 对于选项，2个球颜色相同的概率为，对； 对于选项，2个球不都是红球的概率为，错； 对于选项，至少有1个红球的概率为，对； 对于选项，2个球中恰有1个红球的概率为，对． 故选：． ( 题型0 7 ) 用频率估计概率综合 28．（2023春•宣城期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，在20组随机数中，恰好第三次结束时就停止有314、134、234、243、324，共有5组， 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 则恰好第三次结束时就停止的概率． 故选：． 29．（2024春•金安区校级期末）袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 　　． 【解析】根据题意，随机数中只有021，001，130，031共4种情况， 则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为：． 30．（2022春•宣城期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器产生之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 533 224 344 151 254 424 142 435 414 335 132 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为　　 A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【解析】在20组随机数中，三位数字中有数字1的即可， 故共有9个随机数中含有数字1， 所以一年内至少有1台设备需要维修的概率为． 故选：． （多选）1．（2024春•金安区校级期末）下列对各事件发生的概率判断正确的是　　 A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【解析】对于，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯， 第3个路口是红灯，所以概率为，故正确； 对于，从1，2，3，4中任取2个不同的数，有，，，，，，共6个结果， 其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，则概率，故正确； 对于，用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则，，， “三个人都不能破译出密码”发生的概率为，所以此密码被破译的概率为，故正确； 对于，易得，即， 即（A）（B）（B）（A），（A）（B），又， ，，故错误． 故选：． 2．（2023春•芜湖期末）设样本空间，2，3，4，5，6，7，含有等可能的样本点，且事件，2，3，，事件，2，3，，事件，，，，使得（A）（B）（C），且满足，，两两不独立，则　　． 【解析】由题意可知（A）（B）（C），所以， 可见1是，，共同的唯一的交集， 又，，两两不独立，即，，， 可见，不可以为4或5， 所以，为6或7， 即． 故答案为：13． （多选）3．（2023春•宣城期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是　　 A．取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件 B．至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 C．事件 “两个球同色”，则（A） D．事件 “至少有一个红球”，则（B） 【解析】对于，两球同时为红球和为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，实验还会发生一个事件，即两球一黑一白，所以两球同时为红球和为黑球的事件为互斥而不对立事件，正确； 对于，至多有一个黑球包括一黑一红和两红球，其对立事件为两黑球，错误； 对于，事件发生的结果数为，实验的总结果数为， 所以（A），正确； 对于，事件的对立事件结果数为1，所以，所以（B），正确． 故选：． （多选）4．（2023春•芜湖期末）下列说法正确的为　　 A．数据2，2，3，5，6，7，7，8，10，11的下四分位数为8 B．数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为 C．如果三个事件，，两两互斥，那么（A）（B）（C）成立 D．对任意两个事件与，若（A）（B）成立，则事件与事件相互独立 【解析】对于，下四分位数位置为，即下四分位数为3，错误； 对于，设数据，，，的平均数为， 则数据，，，的平均数为，，，， 标准差为，正确； 对于，由于三个事件，，两两互斥，所以， 所以（A）（B）（C）（A）（B）（C），正确； 对于，独立事件的定义，正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$