专题08 三角形的中位线与多边形（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题08 三角形的中位线与多边形 题型概览 题型01与三角形中位线有关的求解问题 题型02与三角形中位线有关的证明 题型03多边形的内角和与外角和 与三角形中位线有关的求解问题题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，点D、E分别为的边的中点，连接，平分交于点P．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，因为为的中位线，进而得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，推出，即可得出结论． 【详解】解：∵点D、E分别为的边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴； 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在平行四边中，是上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接，下列结论中：①，②四边形是平行四边形，③若，则，④，其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据题意得，，由三角形中位线定理可判定为的中位线，则有，，即可判定四边形为平行四边形，故②正确；结合，则，故①正确；根据假设得，利用三线合一即可得，故③正确；设点P到的距离为h，那么点P到的距离为，则，结合，故④正确． 【详解】解：∵四边形为平行四边， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∴， 则，故①正确； 若，则， ∵， ∴，故③正确； 设点P到的距离为h，那么点P到的距离为， ∵ ∴，故④正确； 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，点在上，连接，点是的中点，连接，若，则（    ）    A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线的判定以及性质，由等腰三角形三线合一的性质可得出点D是的中点，结合已知条件可判定出是的中位线，根据三角形中位线的性质可得出，根据线段的和差可得出，进一步即可得出的值． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 即点D是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，点是上一点，点是上一点，连接．若是的中点，，且为直角三角形，则线段的长度为（    ） A．5或 B．或 C．5或 D．5 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等面积法，三角形中位线定理等知识，运用勾股定理求出，再分当时和当时两种情况讨论即可得解，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的中点，， ∴ 当时，， 即， ∴， ∴； 当时，， ∴， 取的中点为P， 又∵是的中点， ∴， ∴点P即为点E(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行) ∴； 综上所述：线段的长度为5或， 故选：A． 5．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，的平分线交于点，已知，，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，连接交于点D；再分别以A，C两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q，连接交于点E，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-基本作图，中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点B作于点F，由作图可知垂直平分线段垂直平分线段，得出，，根据直角三角形的性质和勾股定理得出，，再根据勾股定理求出，最后根据中位线的性质求出． 【详解】解：如图，过点B作于点F， 则， 由作图可知垂直平分线段垂直平分线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵D、E分别为，的中点， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点P为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，勾股定理；根据中位线的性质可得进而求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：点、分别为、的中点， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，与格线分别交于点E，F．分别与格线交于点M，N，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，三角形中位线定理．利用三角形中位线定理分别求得和的长，得到点M，N的水平距离和垂直距离，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据网格的特点，，， 是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴点M，N的水平距离为，垂直距离为， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由含直角三角形的性质结合勾股定理得出，推出四边形周长，则要使四边形周长最小，则要最小，取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，，证明四边形为平行四边形得出，则当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接，证明，得出，，证明出是直角三角形，求出、的长，再由勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴四边形周长， ∴要使四边形周长最小，则要最小， 取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，， 则是的中位线， ∴，， 由折叠的性质可得：点、关于直线对称， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 在中，，点为的中点，则为的中点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形周长, 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形的变化规律，根据三角形中位线定理、线段中点的定义求出四边形的各边长，从而得出边长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点，，分别为边的中点， ∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：， 同理可得：四边形的周长， 四边形的周长， 四边形的周长， …， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知中，D为的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点；③连接．若的周长为，则的周长为 ．    【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段的垂直平分线，中位线的性质，先根据中位线的性质得出，然后根据的周长为，求出的周长即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分， ∴E为的中点， ∵D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为周长的2倍， ∵的周长为， ∴的周长为． 故答案为：．    12．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 连接交于点G，连接，过点G作于点H，证得，则，再利用勾股定理可得的长，然后由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接交于点G，连接，过点G作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ， ， ， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：5． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为的等腰直角三角形硬纸片（其中，分别为，，的中点，分别为的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，中点性质，勾股定理，根据题意，求出各线段的长度，再根据题意进行拼图，即可求出所拼成的四边形的不同周长，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可求出各线段长度如图所示： 第一种拼法：如图，可知所拼四边形为平行四边形，其周长为； 第二种拼法：如图，可知所拼四边形为矩形，其周长为； 第三种拼法：如图，可知所拼四边形为直角梯形，其周长为； 第四种拼法：如下图，可知所拼四边形为正方形，其周长为， 综上，所能拼成的四边形的周长为或或或， 故答案为：或或或． 14．（23-24八年级下·四川自贡·期末）在中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，，的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，勾股定理；根据题意得出是的中位线，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线分别交，于点，， ， 又， 是的中位线， 又的周长为， ， 在中， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上一点，点、分别为，的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，得，当时，的值最小，此时的值也最小，根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识点．解题的关键是掌握：三角形的中位线等于第三边的一半． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段，中点D，E，测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵D，E是线段，中点， ∴是的中位线， ∴， 即A，B两点之间的距离是， 故答案为：16． 17．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，勾股定理．根据三角形中位线的性质得出为直角三角形是解题关键．根据三角形中位线的性质可得出，，，，从而可求出，，进而得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由翻折可知，． ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴． ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在边长为1个单位长度的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，已知点和的顶点均在格点上．    (1)和关于点中心对称，请画出； (2)将点向左平移个单位长度后得到点，当的值为______时，四边形是平行四边形，且平行四边形的周长为______； (3)将向左平移3个单位长度，交于点，交于点，则线段的长度为______． 【答案】(1)见解析 (2)：2，6 (3) 【分析】本题考查了中心对称作图，平移性质，平行四边形性质和判定，三角形中位线性质，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想解决问题． （1）将A、B、C按中心对称性质找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到． （2）根据平行四边形的判定，得到点向左平移的单位长度，再利用图形和平行四边形公式得到平行四边形的周长即可； （3）根据题意画出线段，证明四边形是平行四边形，得到，利用三角形中位线性质进而得到，即可解题． 【详解】（1）解：所作如图所示：    （2）解：如图，将点向左平移个单位长度后得到点，四边形是平行四边形，且平行四边形的周长为：，    故答案为：2，6． （3）解：根据题意画出线段， 由题易知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 19．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，．点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或3或 【分析】由旋转的性质得，，进一步得到，结合，可证得即可得到； 过点C作交于点H，有题意可得，则，结合勾股定理即可证得成立； 由题意得，，且为中位线，有，，①当，此时，点P、点N和点E重合，则；②当，得，且，则；③当，则，，则即可． 【详解】（1）证明：∵线段绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵．， ∴，， ∵点D，E分别为，的中点， ∴为中位线， ∴，， ①当，此时，点P、点N和点E重合，则； ②当， ∵线段绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， 由（1）得， 则， ∴； ③当，则， 由（1）得， ∴； 故的长为或3或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的应用． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【答案】(1)8 (2) (3)8 【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如图3，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， 、为、的中点， 是的中位线， ， 即线段中点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作辅助线，推出中点的运动路径长为的长是解题关键． 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． (1)求直线的表达式； (2)若是直角三角形，求点的坐标； (3)若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得出，将，，代入，即可求解． （2）作的平行线，交轴分别为，根据题意，得出点在上运动，进而分两种情况讨论，①当时，得出，求得直线的解析式为，进而联立直线，即可求解；②当，则则，根据中点坐标公式，即可求解； （3）点是线段上一点，又直线的表达式为得出，，由（2）可得是的中点，得出，直线经过点时，得出，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将，，代入 得， 解得： ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，作的平行线，交轴分别为， ∴， ∴，是等腰直角三角形 又∵ ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线； ∴点在上运动 ①当时，，过点作于点， ∴ 又∵是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， 设直线的解析式为，将代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立，解得： ∴； ②当，则 ∴， ∵，， ∴； 综上所述，或； （3）∵点是线段上一点，又直线的表达式为 ∴，， ∴ ∴直线过定点， 由（2）可得是的中点， ∴，即 当直线与的边有两个交点， ∴直线经过点时，则 解得：（舍去）或 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，中位线的性质，一次函数的平移，等腰三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长； (2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由，可得，根据，可得，，又是等腰直角三角形，即得； （2）连接，证明，得，从而，根据G为的中点，有，证明，得，故； （3）在上取一点H，使，连接，证明，可得，当最小时，最小，此时，故的最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴线段的长为； （2），理由如下： 连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）在上取一点H，使，连接，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 与三角形中位线有关的证明题型02 一、解答题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明结论； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出、，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∵，是的边上的中线， ∴是的中位线， ∴、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，点在边上（不与，重合），连接，点，分别为，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理， （1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 即线段的长度为． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上，且平行四边形的一条边的长度等于长度的一半．可以怎样裁？请说明理由． 【答案】先找出铁皮零料各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮；见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；设E、F、G、H分别为、、、的中点，连接，则是的中位线，得出，是的中位线，得出，，推出，，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：先找出铁皮零料各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮． 理由：如图，分别取、、、的中点E，F，G，H．连接， 则是的中位线， ，． 同理是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，平分交于点，连接并延长交于． (1)求证：； (2)若，求的大小(用含的式子表示)： (3)用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线，平行线，等腰三角形的性质，即可得出； （2）由可推出，从而得到的度数； （3）根据中位线定理可得，再证即可得出结论． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：是中点， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ，， ， ，， 是中点， 是中点， 是的中位线， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图1，在中，点是上任意一点，交于点；点分别是的中点，直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，当四边形为平行四边形时，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解决此题的关键． （1）由三角形的中位线定理可得，再由即可证得四边形是平行四边形； （2）先证出，再证出，然后三角形的中位线定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵点M､N分别是､的中点， ∴，即 ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 多边形的内角和与外角和题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知正边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正边形的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和、正多边形的内角等知识点，掌握正多边形的内角和与外角和成为解题的关键． 根据题意列出方程求得边数，再求得内角和，最后求出每个内角即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴这个正n边形的内角和为：， ∴这个正边形的内角为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线，先根据该多边形的内角和是外角和2倍，可得出：，求出多边形的边数n，再根据n边形对角线的总条数为：，求解即可． 【详解】解：∵该多边形的内角和是外角和2倍， ∴， 解得：， ∴这个多边形的对角线的总条数为：． 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 【答案】A 【分析】利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案．本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形边数为，内角和为， 多边形外角和为， 解得：， 故选：A． 二、填空题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了 米． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的知识，解题的关键是掌握正多边形的外角和，求出有几条边，即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进米后向左转， ∴他走过的图形为正多边形， ∴正多边形的边数为：， ∴第一次回到出发地点时，一共走了， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是 ． 【答案】正十二边形 【分析】利用任意图形一个顶点处的各内角之和为，可以求出第三种正多边形的一个内角的度数，根据多边形外角和公式即可得出答案．此题主要考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 第三种正多边形的一个内角的度数为， 第三种正多边形的边数为， 第三种正多边形的形状是正十二边形． 故答案为：正十二边形． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题重点考查正多边形内角度数的求法、旋转的性质等知识，求得是解题的关键． 由五边形是正五边形，求得，若点在的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 点在的延长线上， ， ， 旋转的最小度数为， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）填写表格： 正多边形边数 3 4 5 6 正多边形内角的度数 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及五边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质以及内角和的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正五边形的内角的度数为， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等． 由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：蚂蚁从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了（厘米）． 故答案为：30． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是 ． 【答案】6/六 【分析】本题主要考查了内角与外， ∴这块正多边形纸板的边数是． 故答案为：6 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形的中位线与多边形 题型概览 题型01与三角形中位线有关的求解问题 题型02与三角形中位线有关的证明 题型03多边形的内角和与外角和 与三角形中位线有关的求解问题题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，点D、E分别为的边的中点，连接，平分交于点P．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在平行四边中，是上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接，下列结论中：①，②四边形是平行四边形，③若，则，④，其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，点在上，连接，点是的中点，连接，若，则（    ）    A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 4．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，点是上一点，点是上一点，连接．若是的中点，，且为直角三角形，则线段的长度为（    ） A．5或 B．或 C．5或 D．5 5．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，的平分线交于点，已知，，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，连接交于点D；再分别以A，C两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q，连接交于点E，连接．若，，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点P为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则的长为 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，与格线分别交于点E，F．分别与格线交于点M，N，连接，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    11．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知中，D为的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点；③连接．若的周长为，则的周长为 ．      12．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 ． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为的等腰直角三角形硬纸片（其中，分别为，，的中点，分别为的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为 ． 14．（23-24八年级下·四川自贡·期末）在中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，，的周长为，则 ． 15．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上一点，点、分别为，的中点，则的最小值是 ． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段，中点D，E，测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离是 ． 17．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为 三、解答题 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在边长为1个单位长度的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，已知点和的顶点均在格点上．    (1)和关于点中心对称，请画出； (2)将点向左平移个单位长度后得到点，当的值为______时，四边形是平行四边形，且平行四边形的周长为______； (3)将向左平移3个单位长度，交于点，交于点，则线段的长度为______． 19．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，．点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N． (1)求证：； (2)求证：； (3)在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． (1)求直线的表达式； (2)若是直角三角形，求点的坐标； (3)若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长； (2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 与三角形中位线有关的证明题型02 一、解答题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，点在边上（不与，重合），连接，点，分别为，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上，且平行四边形的一条边的长度等于长度的一半．可以怎样裁？请说明理由． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，平分交于点，连接并延长交于． (1)求证：； (2)若，求的大小(用含的式子表示)： (3)用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图1，在中，点是上任意一点，交于点；点分别是的中点，直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，当四边形为平行四边形时，求证：． 多边形的内角和与外角和题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知正边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正边形的内角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 二、填空题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了 米． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    9．（23-24八年级下·四川成都·期末）某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是 ． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$