专题07 平行四边形（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题07 平行四边形 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02 利用平行四边形的性质证明 题型03平行四边形的判定 利用平行四边形的性质求解题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，则下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，则N点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川广安·期末）在平行四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川广安·期末）若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较小的内角度数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，．若，，则的长（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．4 8．（23-24八年级下·四川凉山·期末）将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A．或） B．或 C．或或 D．或或 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，相交于点O．若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 10．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，的对角线与交于点，，，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则平行四边形的面积是（    ） A．12 B．24 C．20 D．40 13．（23-24八年级下·四川达州·期末）下列说法错误的是（    ） A．对角相等，邻角互补的四边形是平行四边形 B．一组锐角相等，这组锐角的对边也相等的两个直角三角形全等 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．平行四边形的对角线互相垂直平分 14．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，点M为的中点，若则的长为（   ） A． B．9 C． D．10 15．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，交于点O，，已知，，则面积为 ． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为对角线的中垂线，交，于，．已知的周长为5，则的周长为 ． 19．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，交于点，则的度数是 ． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为 ． 21．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，以，，，为顶点构造平行四边形，请写出一个满足条件的点的坐标 ． 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 23．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，且的面积为，点是边上的一点（不与点、重合），把沿着直线翻折，点的落点为点，当点在一条边的延长线上时，的长度为 ． 24．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，将平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和份，如果阴影部分面积是面积的，则的值为 ． 25．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，的顶点B在第一象限内，顶点O，A，C的坐标分别是，，，则点B的坐标为 ． 26．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边的中点，连结、．若的面积为3，则的面积为 ． 27．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的对角线，延长至，使，点是的中点，连接，．与相交于点，若是等边三角形，，则的长为 ．    28．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 29．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，已知直线与直线交于点，将线段绕点顺时针旋转得到，若平面内存在一点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是 ． 30．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为 ． 31．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则 ． 32．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点为线段中点，四边形为平行四边形，且轴，垂直于轴的直线从轴出发向右平移，平移过程中直线被所截得的线段长度与直线上点的横坐标之间的函数图象如图2，则直线所对应的函数解析式应是 ． 三、解答题 33．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 34．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)P是平面内一点，若四边形为平行四边形，直接写出点P坐标为______ 35．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 36．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)若点为在第一象限上的动点，且满足，求点横坐标的取值范围； (3)在平面内，是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出草图，并直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 37．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 38．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，直线与直线交于点与轴交于点与轴交于点． (1)求点B和点C的坐标； (2)P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m之间的函数关系式； (3)点M是y轴上一点，点N是直线上一点，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出点N的坐标． 39．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，对角线平分，点M为射线上一点，连接，将沿直线翻折得到，连接．    (1)如图1，点在边上，，求的度数； (2)射线与射线交于点F，在射线上取一点G，使，连接，交于点H． ①如图2，点M在线段上，求证：； ②点M在线段延长线上，和，之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 40．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图所示，的边在轴上，点在轴上．已知，，，从点出发的点，以每秒1个单位的速度向点移动．是的中点，的延长线交于点． (1)求点，的坐标． (2)当四边形是平行四边形时，求点移动的时间（秒）． (3)当为等腰三角形时，求的长． 41．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 42．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点B、C作直线交x轴于点D． (1)求点B、C的坐标和直线的表达式； (2)若点E为线段上一点，且的面积为，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 利用平行四边形的性质证明题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，则下列结论不一定正确的是（   ） A．与的面积相等 B． C．的周长为 D． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中，一定正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、解答题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 5．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，的对角线、交于点O，点E在上，点F在上，．求证：四边形是平行四边形． 6．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平行四边形中，分别是上的点，且，连接交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 平行四边形的判定题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．，        3．（23-24八年级下·四川成都·期末）依据所标角度和边长的数据，下列四边形一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，根据下列条件，能够判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．且 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，平移到的位置，则下列结论不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形是平行四边形 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 7．（23-24八年级下·四川巴中·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．平行四边形对角线相等 D．等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 10．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别是边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 12．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，于点，于点，连结，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； (3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，． (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)画出绕点O按顺时针旋转后的图形； (3)在平面直角坐标系内作点D，使得点A、B、C、D围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点D的坐标为______． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）【问题背景】 （1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程． 【迁移应用】 （2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的周长． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，如图，，在边的中垂线上有两点和，满足，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 19．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 21．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 22．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在平行四边形中，F、E分别是延长线上的点，且． 求证：四边形是平行四边形． 23．（23-24八年级下·四川成都·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．    24．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点E、F是对角线上的两点，且． 求证：四边形是平行四边形． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行四边形 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02 利用平行四边形的性质证明 题型03平行四边形的判定 利用平行四边形的性质求解题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，则下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质；由平行四边形的性质得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴选项A、B、C正确，D不正确； 故选：D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题．本题考查了平行四边形的判定以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 故选：A． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，则N点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质和平移，根据题意先确定点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，根据相同的平移方式即可得到N点坐标. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到， ∴点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，即N点坐标是， 故选：B 4．（23-24八年级下·四川广安·期末）在平行四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直接利用平行四边形的对角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级下·四川广安·期末）若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较小的内角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质．首先设平行四边形中两个内角分别为，由平行四边形的邻角互补，即可得，继而求得答案． 【详解】解：设平行四边形中两个内角分别为， 则， 解得：， ∴其中较小的内角是． 故选：A． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，．若，，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，，进而得到，由角平分线的定义可得，即可得到，得到，即得，最后利用勾股定理即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据勾股定理求出，利用平行四边形的性质得到，，利用勾股定理求出，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 8．（23-24八年级下·四川凉山·期末）将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A．或） B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平行四边形存在性，熟练掌握此类题型的平移法或中点法是解题的关键．分三种情况进行讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别利用对边的平移方式相同解决即可． 【详解】解：当为对角线时，如图：    利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向右平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图：      利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图：    利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向下平移个单位， 则点平移后为， 即； 综上，点坐标为或或， 故选：D． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，相交于点O．若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形对角线互相平分，再根据勾股定理即可求出，进而可得的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ， 故选：D． 10．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于①，根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明是等边三角形，进一步可推得，从而可求得，即可求得； 对于②，根据勾股定理可证明，即，进一步可求出，即可判断②错误； 对于③，设，根据①②中的结论，及平行四边形的对角线互相平分，可分别求得，，由此即得结论③； 对于④，由①可知，，根据等腰三角形三线合一性质可得，即知结论④正确； 对于⑤，运用反证法证明，假设，逐步推理得到，这与②中的结论矛盾，从而得到证明． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 所以①正确； 四边形是平行四边形， ，，， 在中，， ， ， ， 所以②错误； 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， 所以③正确； ，， ， 即垂直平分， 所以④正确； 假设，则， ， ， ， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 故， 所以⑤错误； 综上所述，成立的结论是①③④， 所以成立的个数是3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理及反证法，灵活运用相关知识是解题的关键． 11．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，的对角线与交于点，，，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形对边平行且相等；平行四边形两条对角线互相平分；平行四边形的对角相等；两邻角互补；据此解答即可． 【详解】解：∵的对角线与交于点，，，， ∴，，， 当时，， 观察四边形选项，选项D符合题意， 故选：D． 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则平行四边形的面积是（    ） A．12 B．24 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质求面积，涉及勾股定理等性质，先由平行四边形性质得到，在中，由勾股定理可得，从而由平行四边形的面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，对角线相交于点，， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 平行四边形的面积是， 故选：B． 13．（23-24八年级下·四川达州·期末）下列说法错误的是（    ） A．对角相等，邻角互补的四边形是平行四边形 B．一组锐角相等，这组锐角的对边也相等的两个直角三角形全等 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．平行四边形的对角线互相垂直平分 【答案】D 【分析】本题主要考查命题真假的判断，涉及平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定，选项A和D根据平行四边形的判定和性质即可知其正确与否，选项B和C利用证明三角形全等，即可知其正确． 【详解】解：． 对角相等，邻角互补的四边形是平行四边形，该选项正确，不符合题意； ． 可利用证明三角形全等，该选项正确，不符合题意； ．可利用证明三角形全等，即可知等腰三角形两腰上的高相等，该选项正确，不符合题意； ． 平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，该选项错误，符合题意； 故选：D． 14．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，点M为的中点，若则的长为（   ） A． B．9 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据平行四边形的性质，可得，再由等腰三角形的性质，可得，然后根据勾股定理可得的长，再在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 15．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故选：A 16．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 故A，B，D正确，不符合题意； ∵与不一定相等，故C错误，符合题意． 故选：C． 二、填空题 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，交于点O，，已知，，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，再根据垂直的定义得出，然后根据勾股定理得出，将变形将值代入化简得出，最后根据平行四边形的面积即可得出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， 在中，根据勾股定理得 即 面积为 故答案为：． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为对角线的中垂线，交，于，．已知的周长为5，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出的周长，即可得出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的垂直平分线分别交、于点、， ， 的周长， 的周长， 故答案为：10． 19．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，交于点，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关的知识．由平行四边形的性质得出，，由等边对等角得出，由折叠的性质可得：，，最后由三角形的内角和，即可得解． 【详解】解：在中，， ，， ， ， ， ， 由折叠可得：，， ， ， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，可得四边形是平行四边形，，在中，可得的长度，根据勾股定理可得的长度，根据，可得的最小值为，即的最小值为，由此即可求解． 【详解】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴，， ∴， 在中，， 在中，，且， ∴的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，图形平移的性质，两点之间线段最短，平行四边形的判定和性质等知识的综合，掌握合理构造辅助线，运用勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 21．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，以，，，为顶点构造平行四边形，请写出一个满足条件的点的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，分以为对角线时，平行四边形以为对角线时，平行四边形以为对角线时三种情况讨论即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】如图，设， 平行四边形以为对角线时， ∵，，， ∴，，解得：，， ∴； 平行四边形以为对角线时， ∵，，， ∴，，解得：，， ∴； 平行四边形以为对角线时， ∵，，， ∴，，解得：，， ∴； 综上可知：点的坐标为，，， 故答案为：（答案不唯一）． 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质，勾股定理的运用，求出，；以点为圆心，半径为画圆，为，由题意得，沿某一方向平移个单位长度后得到，则在上运动，连接，，；根据三角形三边的关系，当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值，即可；过点作且，以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，；根据三角形三边的关系，当与重合时，此时有最小值，即可． 【详解】解：过点作交于点，连接， ∵平行四边形的面积为 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，半径为画圆，为， ∵沿某一方向平移个单位长度后得到， ∴在上运动，连接，，， 在中，， ∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为； ∴的最大值为； 过点作且， 以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点， ∵，， ∴， ∵点在上运动，， ∴在上运动， 在中，， ∴当与重合时，此时有最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：；． 23．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，且的面积为，点是边上的一点（不与点、重合），把沿着直线翻折，点的落点为点，当点在一条边的延长线上时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形性质，根据点在一条边的延长线上时，分以下情况画图讨论，当点在的边的延长线上时，当点在的边的延长线上时，根据以上情况结合折叠的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：在中，，， ，， 如图，当点在的边的延长线上时， 由折叠的性质可知，，，， 的面积为，， ， 解得， ， ， 如图，当点在的边的延长线上时， 作于点， 的面积为，， ，解得， ，， ，， ， 综上所述，的长度为或； 故答案为：或． 24．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，将平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和份，如果阴影部分面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，平行四边形的性质，记的面积为，根据“阴影部分面积是面积的”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：记的面积为， 则阴影部分面积为：， 整理得：， 解得， 经检验是方程的解． 故答案为：． 25．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，的顶点B在第一象限内，顶点O，A，C的坐标分别是，，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质及平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的对角线互相平分即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， 与互相平分， 又点，，的坐标分别是，，， ，， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 26．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边的中点，连结、．若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，三角形的面积等知识，设与之间的距离为，则，，，求得，，进而求得的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形，为边的中点， ， 设与之间的距离为， ，，， ， ， ， 故答案为：12． 27．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的对角线，延长至，使，点是的中点，连接，．与相交于点，若是等边三角形，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由等边三角形的性质可得，，由平行四边形的性质，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求，的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 故答案为：． 28．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 【答案】或2或4 【分析】本题考查平行四边形的性质、解一元一次方程，设t秒后四边形是平行四边形，由题意得，，，由列方程求解即可；当四边形是平行四边形，由题意得，，，由或列方程求解即可． 【详解】解：设t秒后四边形是平行四边形， 由题意得，，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即秒时四边形是平行四边形； 当四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当时，， 解得， ∴或2或4秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或2或4． 29．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，已知直线与直线交于点，将线段绕点顺时针旋转得到，若平面内存在一点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直线的交点、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 根据交点求得点，过点M作轴于点D，过点N作轴于点F， 则，由旋转得和，可证明，即可求得，设点，根据平行四边形的性质列出方程，求得点即可． 【详解】解：有题意得，解得， 则点， 过点M作轴于点D，过点N作轴于点F，如图， 则， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则点， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴，解得， 则点， 故答案为：． 30．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和平分，可推出，，得到，从而推出，同理可得，最后利用，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，， 又平分 同理可得： ． 故答案为：4． 31．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得，根据得，即可得；掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点为线段中点，四边形为平行四边形，且轴，垂直于轴的直线从轴出发向右平移，平移过程中直线被所截得的线段长度与直线上点的横坐标之间的函数图象如图2，则直线所对应的函数解析式应是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一次函数的几何应用．过点D作于点G，设当直线l过点A时，直线l与x轴交于点H，则，，证明，可得点，从而得到点，然后利用待定系数法解答，即可． 【详解】解：根据题意得：点A的横坐标为4，点D的横坐标为7，点C的横坐标为15，与之间的距离为6， ∴， 如图，过点D作于点G，设当直线l过点A时，直线l与x轴交于点H，则，， ∵轴， ∴， ∵A为线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵，， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为： 三、解答题 33．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线定义得，则，再由直角三角形的性质得，然后由平行线的性质即可得出结论； （2）证，即可得出结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 34．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)P是平面内一点，若四边形为平行四边形，直接写出点P坐标为______ 【答案】(1)点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，图见解析 (3)或或 【分析】本题考查作中心对称图形、旋转作图、平行四边形的性质，正确作出图形是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质，分别作出的对应点即可； （3）分、、为对角线三种情况，利用格点构造平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为； （3）解：如图，利用格点构造平行四边形，可得点P坐标为或或． 故答案为：或或． 35．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，点C的坐标为 (2) (3)、、 【分析】（1）根据直线的关系，设直线的解析式为，代入点的坐标即可求得，联立直线与直线，即可求得点的坐标； （2）求出点P坐标，将四边形周长转化为线段的长度，构造等量线段，进行求解即可； （3）分别以为边或对角线进行讨论，根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：直线与直线平行， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得： 直线的解析式为 联立直线与直线得： ，解得 点C的坐标为； （2）解：设点P， 由得： 解得：， 则点 由题意可知，， 作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接，如下图： 则，，， 由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ∴ 四边形周长为 ∵定长 ∴四边形周长最小，即最小，也就是最小 得到：P、N、F三点共线时最小， 设直线所在直线的解析式为 将、代入得 ，解得 ，令， 解得，即 ∴； （3）解：，绕O点顺时针旋转得到， 过点作于点，如下图： 则， ∴ ∴， G点坐标为， 设直线的解析式为：， 则解得：， 直线的解析式为：， ∴，， 以为邻边时，则，如下图： 又∵，F是直线上的一个动点 ∴点E为直线上，即点E与点D重合， 点M到点G是向上平移个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移个单位，再向右平移一个单位，即得点F坐标为； 以为邻边时，如下图： 由上述可得，点E为直线上，即点E与点D重合， 点G到点M是向下平移个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移个单位，再向左平移一个单位，即得点F坐标为 以为对角线时，则的中点， 设， 由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称， 则，解得 点F的坐标为； 综上所述、点F的坐标为、、． 【点睛】此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题的关键． 36．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)若点为在第一象限上的动点，且满足，求点横坐标的取值范围； (3)在平面内，是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出草图，并直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意得，点坐标为，其中，先求出点坐标，得到，即可得，得到，又可得，最后根据即可求解； （）设，分三种情况：①为平行四边形对角线；②为平行四边形对角线；③为平行四边形对角线；画出图形，结合平行四边形的性质及中点坐标公式解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 将点，代入得， ， 解得， ∴； （2）解：由题意得，点坐标为，其中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （3）解：存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，如图所示， 设， ①当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； ②当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； ③当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； 综上所述，点坐标为或或． 37．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 38．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，直线与直线交于点与轴交于点与轴交于点． (1)求点B和点C的坐标； (2)P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m之间的函数关系式； (3)点M是y轴上一点，点N是直线上一点，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出点N的坐标． 【答案】(1)， (2)或； (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，平行四边形的判定和性质，面积的计算，一次函数与动点问题，用分类讨论的思想是题的关键． （1）将点A分别代入，，得出k，b，求出函数表达式，令，分别代入，即可得出答案； （2）分别表示出点P、Q的坐标，分，，时，利用计算即可； （3）表示出点M、N坐标，然后当AC与MN为对角线，AM与CN为对角线，AN与MC为对角线，分别求解即可． 【详解】（1）将代入得：， ， ， 当时，， ， 将代入得：， ， ， 当时，， ． （2）由题意得：点P的坐标是，点Q的坐标是 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：S与m之间的函数关系式或； （3）设点N的坐标为，点M的坐标为 ∵以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形 当AC与MN为对角线时，， 得， 当AM与CN为对角线时，得， ， ， 当AN与MC为对角线时，得， ， 综上所述：、或． 39．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，对角线平分，点M为射线上一点，连接，将沿直线翻折得到，连接．    (1)如图1，点在边上，，求的度数； (2)射线与射线交于点F，在射线上取一点G，使，连接，交于点H． ①如图2，点M在线段上，求证：； ②点M在线段延长线上，和，之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 【答案】(1)； (2)①详见解析；②，详见解析 【分析】（1）利用翻折和平行四边形性质得出：，，，，再证得和均为等边三角形，推出，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得出，即可求得答案； （2）①设，利用翻折的性质和三角形内角和定理可得，再利用等边三角形判定和性质得出，，即可证得，再由全等三角形的性质即可证得结论；②连接、，设，可证得，得出，再利用线段的和差关系即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，    由翻折得：，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：设，    由翻折得：，，，， 由（1）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：，理由如下： 如图3，连接，，设，    由翻折得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由翻折得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找复杂的数量关系． 40．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图所示，的边在轴上，点在轴上．已知，，，从点出发的点，以每秒1个单位的速度向点移动．是的中点，的延长线交于点． (1)求点，的坐标． (2)当四边形是平行四边形时，求点移动的时间（秒）． (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)坐标为，坐标为 (2) (3)4或12或 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据平行四边形的性质，得到点C与点D的纵坐标相同；横坐标为的长，也就是线段的长，而点的纵坐标为0，横坐标为的长度； （2）根据四边形是平行四边形，构造三角形中位线定理，利用定理解答即可； （3）应用分类思想，解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 是含角的直角三角形 ， 四边形是平行四边形 ∴坐标为，坐标为； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， 是的中位线， 点是的中点， ， ； （3）， ， 当为等腰三角形时 ①当 是的中点 作于点，如图 是直角三角形 ②当时 ③当时， 作于点，如图 ， ． 综上所述，当为等腰三角形时，的长为4或12或． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 41．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或为对角线时，同理可解； （3）证明，则且，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，当时，； ∴， ∵，则，即点， 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 则直线l2的表达式为：； （2）解：设点、点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或； （3）解：设点、点， 设直线交x轴于点， 过点T作交于点M，则为等腰直角三角形，则， 过点T作轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N， ∵， ∴， ∴， 则且， 则，且， 解得：，则点， 将点P的坐标代入得：， 解得：． 42．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点B、C作直线交x轴于点D． (1)求点B、C的坐标和直线的表达式； (2)若点E为线段上一点，且的面积为，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由题意可求，；如图1，作轴于，证明，则，可得，待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可求，如图2，作轴于，设，由题意知，，即，计算求解，然后作答即可； （3）设，由点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形，可知当为边，为边时，是对角线，则的中点为，的中点为，可得，可求，进而可得；当为边，为对角线时，是对角线，同理求解即可；当为对角线时，是对角线，同理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， 当时，，即， 当时，，即； 如图1，作轴于， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 如图2，作轴于，设， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴； （3）解：设， ∵点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为边，为边时，是对角线， ∴的中点为，的中点为， ∴， 解得，， ∴； 当为边，为对角线时，是对角线， 同理可得，； 当为对角线时，是对角线， 同理可得，； 综上所述，存在，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，平行四边形的性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质证明题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质与等腰三角形的判定．证明，则，同理，求出，从而即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，则下列结论不一定正确的是（   ） A．与的面积相等 B． C．的周长为 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，由四边形为平行四边形，对角线相交于点O，得，，由等底同高的两个三角形面积相等，与的面积相等，由对角线不一定相等，可得不一定等，由，即可得的周长为，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】∵四边形为平行四边形，对角线相交于点O， ∴，，故D选项正确，符合题意； ∵的对角线不一定相等， ∴不一定等，故B选项错误，不符合题意； ∵等底同高的两个三角形面积相等， ∴与的面积相等，故A选项正确，符合题意； ∵， ∴的周长为，故C选项正确，符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中，一定正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得①；分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， 若成立，则应当有，从现有条件无法得出这个结论， 故③错误； ④设，则， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：C 二、解答题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，的对角线、交于点O，点E在上，点F在上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，平行四边形的对角线互相平分则，推出，进而可得，即可得证． 【详解】证明：， ，同时对顶角． 又四边形是平行四边形， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 6．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平行四边形中，分别是上的点，且，连接交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明与全等即可求得． （2）由是等腰直角三角形，得出，因为，得出，所以与都是等腰直角三角形，从而求得的长，然后等腰直角三角形的性质即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中 ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，则由勾股定理得到， ， 在等腰 中，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 平行四边形的判定题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，利用了对角线互相平分时，那么对角线是原平行四边形的一部分的四边形要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明．根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形．能判定是平行四边形． B、，缺少夹角相等．不能利用全等判断出 ∴四边形不一定是平行四边形． C、在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，故C能判定是平行四边形； D、同理， ∴， ∴，故D能判定是平行四边形； 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判定即可． 本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】根据平行四边形的判定定理，得 A. ，，是平行四边形，不符合题意；     B. ，，是平行四边形，不符合题意； C. ，，不是平行四边形，符合题意；     D. ，，是平行四边形，不符合题意； 故选C． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）依据所标角度和边长的数据，下列四边形一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故符合题意； B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故不符合题意； C、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故不符合题意； D、有一组对边平行，一组对边相等不能确定是平行四边形，故不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，根据下列条件，能够判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、且， 四边形是平行四边形， 故能够判定四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，平移到的位置，则下列结论不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断即可． 【详解】解：平移到的位置， ∴，故A不符合题意； 不一定等于，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，， 四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B、，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项符合题意； D、，，四边形是平行四边形，故选项不符合题意； 故选：C． 7．（23-24八年级下·四川巴中·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．平行四边形对角线相等 D．等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、两锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，没有边相等不能推导全等，故选项A错误，不符合题意； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B错误，不符合题意； C、平行四边形对角线不一定相等，故选项C错误，不符合题意； D、等腰三角形“三线合一”性质：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合，故选项D正确，符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定以及性质，根据两组对边分别相等可判定A， 根据对角线互相平分可判定C，先利用平行线的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，再根据对角线互相平分可判定D． 【详解】解：A．，，根据两组对边分别相等，可以判定平行四边形，故该选项不符合题意； B．，，无法判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； C．，，根据对角线互相平分，可以判定平行四边形，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选∶B． 9．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B 二、填空题 10．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 如图：分别取中点，连接，易证四边形为平行四边形可得；再证可得，再证为等腰直角三角形，然后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：分别取中点，连接， 在中，是边上的中点， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵等腰和等腰， ∴， 又∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别是边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长是16． 12．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，于点，于点，连结，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）设，则：，勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）由（1）知：， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； (3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，从而证得，然后利用平行四边形面积公式得，最后利用三角形面积公式得． （2）取的中点H，连接，，先证明，再利用直角三角形的性质证得，残存后由等腰三角形“三线合一”性质得到垂直平分，即可由垂直平分线性质得出结论． （3）过点E作交延长线于H，过点A作于M，利用直角三角形的性质先求出，再求出，，然后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． （2）证明：取的中点H，连接，， 由（1）可知：四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：过点E作交延长线于H，过点A作于M，如图， ∵， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，梯形面积公式和三角形面积公式．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，． (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)画出绕点O按顺时针旋转后的图形； (3)在平面直角坐标系内作点D，使得点A、B、C、D围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点D的坐标为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析，坐标为，坐标为 【分析】本题考查坐标与图形—旋转变换、平行四边形的判定，正确画出图形是解答的关键． （1）根据中心对称图形的性质得到对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可； （3）根据平行四边形的判定得到点D位置，进而写成坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：如图，四边形、四边形是平行四边形，则坐标为，坐标为． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）【问题背景】 （1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程． 【迁移应用】 （2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），且，证明见解析；（3）． 【分析】（1）先证明得到，，然后利用勾股定理的逆定理证得，再利用勾股定理求得即可； （2）延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T．证明四边形是平行四边形得到，，然后证明得到，，进而证明是等边三角形．利用等边三角形的三线合一性质和含30度角的直角三角形的性质求解即可； （3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S．先证明得到且，进而可证明为等腰直角三角形，，则当时，最小值为的长，则最小值为，根据含30度角的直角三角形的性质求得，，，利用等面积法求得即可求解． 【详解】（1）解：延长至E，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴（勾股定理逆定理） ∴， ∴． （2），且． 证明： 延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，（也可证得，）， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴（三线合一）且， ∴， ∴． （3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S． ∵，，， ∴， ∴且， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，． ∴当时，最小值为的长，则最小值为， ∵，，， ∴，，， 根据得， ∴最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，在（3）中得到当时，最小值为的长，则最小值为是解答的关键． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解，，；； (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （2）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （3）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了四边形综合，旋转作图，平移作图，勾股定理，平行四边形的判定，准确的在网格中作图及平行四边形的判定是本题的解题关键． 【详解】（1）解：如图，为所求，且，； （2）解：如图，则△为所求，且 （3）解：如图， ， 且， 四边形为平行四边形． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证，然后证，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质，同理可证，得到，根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， 同理可证， ， 在中，， 在中， 的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，如图，，在边的中垂线上有两点和，满足，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题第（1）问考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，第（2）问考查含角的直角三角形的性质以及平行四边形面积的计算． （1）根据为的中垂线，可得，，从而，又因为，根据等角的余角相等可得，从而得到，故，再根据，可得四边形是平行四边形； （2）在中，根据，，可得，，根据为的中垂线，可得，根据平行四边形面积公式即可求得面积． 【详解】（1）证明：为的中垂线， ，， ， ，， ，， ， 又，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：设于交于点， 在中，，， ，， 为的中垂线， ， ． 19．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，进而由勾股定理得，再由全等三角形的性质得，则，得，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ，， ， ，又， ， 由（1）可知，， ， ， 即， ， ． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质．证明，推出，，再证明，根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 22．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在平行四边形中，F、E分别是延长线上的点，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．由平行四边形的性质得，则利用可证明，得，，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23．（23-24八年级下·四川成都·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，可得，再由平分，可得，从而得到，即可； （2）延长至点K，使，连接，证明，可得，，从而得到，然后根据等腰三角形的性质可得，即可； （3）连接，过点F作于点P，，可得到四边形是平行四边形，从而得到，，进而得到，再由的面积是面积的2倍，可得，从而得到，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点K，使，连接，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，过点F作于点P，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点E、F是对角线上的两点，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据四边形是平行四边形得，，则，根据得，利用证明，得，即可得；掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$