第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 【人教A版2019】 模块一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·贵州安顺·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·新疆伊犁·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 模块二 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·陕西安康·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（24-25高二上·河北廊坊·期末）若向量，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3.1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知空间向量，，，则等于（   ） A．18 B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，则（ ） A．4 B．5 C．21 D．26 【变式3.3】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 模块三 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【题型4 空间向量模长的坐标运算】 【例4】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【变式4.2】（23-24高二上·河南开封·期中）设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式4.3】（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知，若平面，则（    ） A．11 B． C．3 D． 【题型5 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例5】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知向量 ，其中，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·山东潍坊·期中）与向量平行的一个向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·北京房山·期末）已知，，如果与为共线向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）已知非零向量和互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6.2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【变式6.3】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【题型7 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例7】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【变式7.3】（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 2．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）空间一点P在xOy平面上的射影为，在xOz平面上的射影为，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知向量，则（   ） A．10 B．2 C．0 D． 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 7．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知向量，，且与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 10．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．A，B，C三点共线 C． D．在上的投影向量为 三、填空题 12．（24-25高二上·广东清远·期末）已知点，向量，且，则点的坐标为 ． 13．（24-25高二上·湖北·期末）已知，，若，则实数λ= ． 14．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知向量且共面，则 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    16．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 18．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 19．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 【人教A版2019】 模块一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【解答过程】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【解答过程】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二上·贵州安顺·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间直角坐标系中点的对称性可得出结果. 【解答过程】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·新疆伊犁·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】关于平面对称的点的特点是横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反，计算即可得. 【解答过程】关于平面对称的点的特点是横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反， 故点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A. 模块二 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量坐标的加减和数乘运算法则直接计算即可. 【解答过程】因为，，则. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·陕西安康·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量坐标运算求得答案. 【解答过程】空间向量， 所以. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】进行空间向量的坐标运算即可. 【解答过程】，，， ． 故选：A． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（24-25高二上·河北廊坊·期末）若向量，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】利用空间向量的坐标运算律计算即得. 【解答过程】由，，得，而， 所以. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知空间向量，，，则等于（   ） A．18 B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的坐标运算计算得解. 【解答过程】由，，得，而， 所以. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，则（ ） A．4 B．5 C．21 D．26 【解题思路】先求的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【解答过程】因为， 所以， 则. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】根据数量积的坐标表示计算可得. 【解答过程】因为，， 所以，解得. 故选：C. 模块三 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【题型4 空间向量模长的坐标运算】 【例4】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量坐标的加法运算可求的坐标，结合模长公式可得结果. 【解答过程】∵， ∴， ∴. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【解答过程】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（23-24高二上·河南开封·期中）设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【解题思路】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【解答过程】因为，且， 所以，解得， 所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知，若平面，则（    ） A．11 B． C．3 D． 【解题思路】先利用线面垂直的性质可得 ， ，再根据数量积为零求出最后根据模长公式求解即可. 【解答过程】平面，平面，平面， 所以 ， ， 所以， 因为， 可得， 解得则 故选：B. 【题型5 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例5】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【解题思路】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知向量 ，其中，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题思路】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【解答过程】由于，所以. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·山东潍坊·期中）与向量平行的一个向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用共线向量的坐标表示，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高二上·北京房山·期末）已知，，如果与为共线向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量共线的坐标表示可得答案. 【解答过程】若与为共线向量，则， 解得. 故选：B. 【题型6 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）已知非零向量和互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用代入坐标计算即得． 【解答过程】由可得， 解得. 故选：C． 【变式6.1】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【解答过程】因为向量，， 所以， 因为，所以， 即，解得，故D正确. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【解题思路】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可； （2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值. 【解答过程】（1）因为空间向量， 所以， 所以； （2）由题得， 由向量与垂直，则， 则，解得：. 【变式6.3】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【解题思路】（1）利用空间向量坐标运算，列出方程求解即得. （2）利用共面向量定理，结合向量的坐标运算求解即得. 【解答过程】（1）由，得，解得， 向量，，则， 由向量与垂直，得，则， 当时，有，矛盾；当时，有，解得， 所以实数和的值分别为和. （2）由向量与向量，共面，设， 则，即，解得， 所以实数的值为. 【题型7 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例7】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量的夹角公式求解即可. 【解答过程】设与的夹角为， 所以. 则与的夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【解答过程】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【解题思路】（1）根据平行关系设，求出，利用向量垂直得到； （2）利用向量夹角余弦公式求出答案． 【解答过程】（1）因为，所以设，即， 故，解得， ， ， ∴，解得， ； （2）， . 【变式7.3】（24-25高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【解题思路】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【解题思路】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【解答过程】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C. 2．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【解答过程】由题知， . 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）空间一点P在xOy平面上的射影为，在xOz平面上的射影为，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据射影的概念，可得答案. 【解答过程】由题意可得点与点的横、纵坐标相同；点与点的横、竖坐标相同， 则点的坐标为，则点在平面上的射影的坐标为. 故选：C. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】依据条件，计算坐标，再利用数量积为0计算即可. 【解答过程】因，，则， 因与垂直，则，得. 故选：C. 5．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知向量，则（   ） A．10 B．2 C．0 D． 【解题思路】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可. 【解答过程】因为， . 所以 . 故选：C. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【解题思路】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【解答过程】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 7．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知向量，，且与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 【解题思路】依题意可得，根据向量相等的坐标表示得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，，且与是共线向量， 所以，所以，解得. 故选：D. 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【解答过程】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【解题思路】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【解答过程】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD. 10．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD. 11．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．A，B，C三点共线 C． D．在上的投影向量为 【解题思路】根据空间向量得出A选项，根据空间向量的平行得出B选项，根据空间向量数量积判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【解答过程】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，，不存在实数，使得， 所以三点不共线，故B错误； 对于C，，， 由， 即与不垂直，故C错误； 对于D，因，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·广东清远·期末）已知点，向量，且，则点的坐标为 ． 【解题思路】利用空间向量的线性运算来进行求解． 【解答过程】设，则， 即， 故答案为：． 13．（24-25高二上·湖北·期末）已知，，若，则实数λ= ． 【解题思路】根据可得，可求的值. 【解答过程】因为， 由 ， 所以 . 故答案为：. 14．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知向量且共面，则 3 ． 【解题思路】根据共面，确定的值，再根据向量的运算和模的概念求值. 【解答过程】因为共面，所以存在，使， 即 . 所以， 所以. 故答案为：3. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【解题思路】根据空间向量的线性运算可得，，进而结合题设求解即可. 【解答过程】由题意 ， 所以. 又， 所以. 16．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）利用空间向量坐标的线性运算可得结果； （3）利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【解答过程】（1）. （2）. （3）， 所以. 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【解题思路】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【解答过程】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 18．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【解答过程】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 19．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【解题思路】（1）首先求出、的坐标，即可求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，即可求出，再由面积公式求出，即可得解. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$