第03讲 三角形的中线、角平分线、高（3个知识点+5个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第03讲 三角形的中线、角平分线、高 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点2 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点3 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【题型1 三角形的角平分线、中线和高线的定义】 【例1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线 【变式1-1】如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列说法正确的个数有（    ） ① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 ② 直角三角形只有一条高 ③ 三角形的高至少有一条在三角形内 ④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 画三角形的高】 【例2】下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【题型3 根据三角形的中线求长度】 【例3】如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【变式3-2】如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3-3】在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【题型4 根据三角形的中线求面积】 【例4】如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式4-2】如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 【变式4-3】如图，是边上任意一点，是的中点，是的中点．若的面积是，则的面积是 ．    【题型5 根据三角形的高计算线段长度】 【例5】如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【变式5-1】如图，在中，，分别是边的中线、高线，过点D作于点F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【变式5-3】已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 1．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 3．如图，的角平分线、中线相交于点O．有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线．其中（　　）    A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 6．下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 7．如图，在中，已知点D、E分别为，的中点，且的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ． 9．如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 10．如图，为钝角三角形，分别过点A、B作、边上的高、，已知，则的长为 ． 11．如图，在中，，，垂足为D，，连接交于点F，连接．若的面积为3，则的面积为 ，的面积为 ． 12．已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 13．在等腰中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 14．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 15．发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形的中线、角平分线、高 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【知识点2 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【知识点3 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【题型1 三角形的角平分线、中线和高线的定义】 【例1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【详解】解：由图①的折叠方式可知，， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，， 所以是的中线． 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意； ②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意； ③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意； ④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意； 说法正确的有③④，共2个， 故选：B． 【变式1-2】下列说法正确的个数有（    ） ① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 ② 直角三角形只有一条高 ③ 三角形的高至少有一条在三角形内 ④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解． 【详解】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误； ②直角三角形有三条高，故错误； ③ 三角形的高至少有一条在三角形内，故正确； ④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误； 故选A． 【变式1-3】如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 【题型2 画三角形的高】 【例2】下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是任何边上的高，故符合题意； C．是任何边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选B． 【变式2-1】如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据三角形高的定义即可解答． 【详解】解：如图，钝角中，边上的高是． 故选C． 【变式2-2】如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是的边上的高线，故该选项符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【题型3 根据三角形的中线求长度】 【例3】如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解： 的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 【变式3-2】如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 【变式3-3】在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 【题型4 根据三角形的中线求面积】 【例4】如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出的面积，进而可得的面积． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵D为的中点， ∴， 故选；B． 【变式4-1】如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 【变式4-2】如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键． 根据点是中点，得到，根据点是的中点，得到，由即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为： ． 【变式4-3】如图，是边上任意一点，是的中点，是的中点．若的面积是，则的面积是 ．    【答案】8 【分析】本题考查了中线平分面积的知识，掌握三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 根据是的中点，的面积是，得到，根据是的中点，得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的中点，的面积是， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8 ． 【题型5 根据三角形的高计算线段长度】 【例5】如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为 12 ， ， ∵是的高线，， ∴，则， 故选：D． 【变式5-1】如图，在中，，分别是边的中线、高线，过点D作于点F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中线和高，熟记它们的定义是解题的关键． 根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-2】如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 【变式5-3】已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 1．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 2．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线． 故选：D． 3．如图，的角平分线、中线相交于点O．有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线．其中（　　）    A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的中线，解本题的关键在熟练掌握相关性质、定义．根据题意得到是的角平分线，即可判断①；根据三角形中线的性质得到E是是中点，而O不一定是的中点，即可得到②． 【详解】解： 是的角平分线， 则是的角平分线， 是的角平分线，故①正确； 是三角形的中线， 则E是是中点，而O不一定是的中点，故②错误． 故选：A． 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：D． 5．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 6．下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 7．如图，在中，已知点D、E分别为，的中点，且的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积．掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据是的中线得，是的中线得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线 ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：C． 8．如图，在中，的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积分别用含、的代数式表示出来，列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值即可． 【详解】解：如图，连接 设，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积为 故答案为： 9．如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．如图，为钝角三角形，分别过点A、B作、边上的高、，已知，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长. 利用三角形的面积公式求得，再利用，求解即可. 【详解】解：，且， ， ，且， ， 解得， 故答案为：6. 11．如图，在中，，，垂足为D，，连接交于点F，连接．若的面积为3，则的面积为 ，的面积为 ． 【答案】 4 6 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．先由，得到，即可求出，则；同理求出，则 ，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；6. 12．已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图，是边上的中线， ， ， ， 即 ． 13．在等腰中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】这个等腰三角形的腰长为 【分析】设，，根据题意可的，然后分当、和、两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案． 【详解】解：设，， ∵为一腰上的中线， ∴， ∵中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴有两种情况： ①当，时，则有 ，解得， ∴三边长分别为，，，且， ∴等腰三角形的腰长为； ②当，时，则有 ，解得， 此时两腰之和， 故这种情况不存在． 综上所述，这个等腰三角形的腰长为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线、二元一次方程组的应用、三角形三边关系等知识，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 14．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 15．发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解： 与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ， 故答案为：； （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ， ， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$