2025年九年级中考数学复习 二次函数区间最值问题

二次函数区间最值问题 一、知识技能梳理 二次函数区间内的最值问题，是初中二次函数内容中的难点，一般可分为定轴定区间型、动轴定区间型与定轴动区间型三种类型。影响二次函数在闭区间内的最值主要有三个要素：抛物线的开口方向、对称轴、给定区间的位置，解决此类问题的关键是要抓住＂三点一轴＂（顶点，两端点，对称轴），利用图像的对称性、增减性，借助数形结合的思想方法，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。 模块一：定轴定区间求最值 例1分别求出在下列条件下，函数的最值． （1）； （2）； （3）； 【巩固练习ー】 1．已知二次函数，当时，则的取值范围是 ． 2．已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 3．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小；当时，有最大值1，则的值为 。 模块二：定轴动区间求最值 例2已知，当时，求的最大值和最小值． 练习2 1．已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为 。 2．已知函数，若，求该函数的最大值和最小值． 3．已知抛物线，当自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值． 模块三：动轴定区间求最值 例3已知，当时，求的最大值和最小值． 练习3 1． 若二次函数在时的最大值为3，求实数的值． 2．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则的值为 。 3．已知二次函数，当自变量的取值在的范围中时函数有最小值，则的最大值是 。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$二次函数区间最值问题 知识技能梳理 二次函数区间内的最值问题,是初中二次函数内容中的难点,一般可分为定 轴定区间型、动轴定区间型与定轴动区间型三种类型。影响二次函数在闭区间内 的最值主要有三个要素:抛物线的开口方向、对称轴、给定区间的位置,解决此 类问题的关键是要抓住“三点一轴”(顶点,两端点,对称轴),利用图像的对称 性、增减性,借助数形结合的思想方法,使复杂问题简单化、抽象问题具体化。 二、 学习过程 模块一:定轴定区间求最值 例1 分别求出在下列条件下,函数y=x2+2x-3的最值 (1)-2<x<2: (2)0<x<2: (1)-4<x<-3; 【巩固练习一】 1. 已知二次函数y=-x2+4x-3,当0<x<3时,则y的取值范围 是 2. 已知二次函数y三x-2x土k,当-3<x<2时,v的最大值为9,则k的值$ 为 3. 已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+3a2-1,当x<0时,v随x的增大 而减小;当-1<x<3时,有最大值1,则a的值为 模块二:定轴动区间求最值 例2已知y=x2+2x-3,当k<x<k+2时,求y的最大值和最小值. 练习2 1. 已知二次函数y=2x2-4x-1在0<x<a时,y取得的最大值为15,则a的 值为 2. 已知函数y=x2-2x-3,若-3<x<m,求该函数的最大值和最小值 3. 已知抛物线y=x2-2x-3,当自变量x满足m<x<m+1时,此函数的最 大值为p,最小值为q,且p一q=2,求m的值 2 模块三:动轴定区间求最值 例3已知y=x2+2ax+3,当-1<x<1时,求y的最大值和最小值 练习3 1. 若二次函数y三-x2+2mx在-2<x<1时的最大值为3,求实数m的值 2. 已知二次函数=x-2ax+a^}-1,当-1<x<2时,函数的最大值与最小值 的差为3,则a的值为 3. 已知二次函数y=x2-2hx+2h,当自变量x的取值在-1<x<2的范围中 时函数有最小值n,则n的最大值是 1 《二次函数区间最值问题》答案 模块一:定轴定区间求最值 例1分别求出在下列条件下,函数y三x2+2x-3的最值 (1)-2<x<2; (2)0<x<2: (3)-4<x<-3 解:y=x2+2x-3=(x+1)-4,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1 -4). (2)0<x<2 (1)-2<x<2 (3)-4<x<-3 图 过答 .-2<-1<2. ·对称轴为直线x=-1, .对称轴为直线x=-1, .当x=-1时,ymin=-4, .当0<x<2时,y随x的 :当-4<x<-3时,y随x 最 :抛物线开口向上 增大而增大, 的增大而减小, .当x=0时,ymin=-3, :离对称轴越远函数值越大. .当x=-3时,ymin=0. .当x=2时,ymax=5. 当x=2时,ymax=5. 当x=-4时,ymax=5. 【巩固练习一】 1. 已知二次函数y=-x2+4x-3,当0<x<3时,则v的取值范围是-3 1<1. 【解答】解:*y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, >2时,v随x的增大而减小:x<2时,v随x的增大而增大 ._0<x<3. :当x=2时,v取得最大值为1 .当x-0时,y=-3 :0<x<3时,v的取值范围是-3<y<1; 故答案为:-3<y<1. 2. 已知二次函数y=x{-2x+k,当-3<x<2时,v的最大值为9,则k的值 为 【解答】解:'y=x2-2x+k=x-2x+1+k-1=(x-1)+k-1 .抛物线的对称轴是直线x一1. 又:-3<x<2,抛物线开口向上 .当x=-3时,y取最大值,ymax=16+k-1=15+k 又..Ymax=9. .15+k-9. .k=-6.故答案为:-6. 3. 已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+3a2-1,当x<0时,y随x的增大 而减小;当-1<x<3时,有最大值1,则a的值为__1 【解答】解::二次函数y=ax2-4ax+3a2-1 2a 2a .当x<0时,v随x的增大而减小 :开口向上,a0, .当-1<x<3时,v有最大值1 :当x--1时,y-1, :a+4a+3a2-1=1, 解得a=-2或a-- va>o,a的值为 故答案为: 。 模块二:定轴动区间求最值 例2 已知二次函数y三x2+2x一3,当k<x<k+2时,求v的最大值和最小值 【解答】:二次函数y=x2+2x-3, :抛物线的对称轴为直线x=- -B_一 2a ①区间在对称轴左侧:k土2<-1即k<-3时 :抛物线开口向上, :当k<x<k土2时,v随x的增大而减小 :当x=k+2时,ymin=(k+2)2+2(k+2)-3=k2+6k+5; 当x=k时,ymax=k2+2k-3 ②区间在对称轴右侧:即k>一1时 :抛物线开口向上 :当k<x<k土2时,v随x的增大而增大 :当x=k时,ymin=k2+2k-3; 当$=k+2时,ymx=(k+2)+2(k+2)-3=k$+6 +$ ③对称轴在区间中间且左距小于右距 $$<-1<k+2 且-1-k<k+2-(-1)即-2<k<-1$ .当x=-1时,ymin=(-1)+2x(-1)-3=-4; 当$=k+2时,ymax=(k+2)+2 (k+2)-3=k+6 k+$5.$ ④对称轴在区间中间且左距大于等于右距; $$ -1<k+2 且-1-k k+2-(-1)即-3<k<-$ 时$$ :当x=-1时,ymin=(-1)+2x(-1)-3=-4; 当x=k时,ymax=k2+2k-3. 解题要点:1、画简图 2、分类: ①轴在区间左侧; ②轴在区间中间,最低点是顶点,最高点要分情况考虑 (1) 中轴线靠近坐端;(2)中轴线靠近右端 3、描出最高点和最低点 【巩固练习二】 1. 已知二次函数y=2x2-4x-1在0<x<a时,y取得的最大值为15,则a的 值为4. 【解答】解::二次函数y=2x-4x-1=2(x-1)-3 ____. 。 一七)七))) :抛物线的对称轴为x=1,顶点(1,-3) 当y=15时,2(x-1)*-3=15 解得x=4或x=-2. :当0x<a时,v的最大值为15. ..a=4. 故答案为:4. 2. 已知函数y=x2-2x-3,若-2<x<m,求该函数的最大值和最小值 【解答】:y=x2-2x-3-(x-1)-4. .抛物线的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,-4). 当x=-2时,y=(-3-1)2-4=5,由对称轴为直线x=1可得当x=4时,y= -2<m<1 1<m<4 范围 m>4 {# 图象 .对称轴为直线x=1, .对称轴为直线x=1, ·对称轴为直线x三1: 且-2<m<1, 且m>1, 且m>4, :当x=1时,ymn=-4, .当-2<x<m时,y随x :当x=1时,ymn=-4, 最值 的增大而减小. .1<m5, “m>4,且-2<x< .当x=m时,ymin= .当x=-2时,ymax-5. m. m2-2m-3. 当x=m时,ymax=m2- 当x=-2时,ymax=5. 2m-3. 3. 已知抛物线y=x2-2x-3,当自变量x满足m<x<m+1时,此函数的最 大值为p,最小值为q,且p-q=2,求m的值. 【解答】.二次函数y=x2-2x-3, ①区间在对称轴左侧:m+1<1即m<0时 .抛物线开口向上 .当m<x<m+1时,y随x的增大而减小. :当x=m+1时,q=ymtn=(m+1)2-2(m+1)-3=m2-4: 当x=m时,p=ymax=m-2m-3. “p-q=2, C .m2-2m-3-(m-4)=2 解得m--1 ②区间在对称轴右侧:即m>1时. ·抛物线开口向上 :当m<x<m+1时,v随x的增大而增大 .当x=m时,q=ymin=m2}-2m-3; 当$x=m+1时,p=ymax=(m+1)-2(m+1)-3= m2-4; "p-q=2, “m2-4-(m2-2m-3)=2 ③对称轴在区间中间且左距小于右距; m<1<m+1且1-m<m+1-1即<m 1时, .当$x=1时,=ymǐn=1-2ix1-3=-4;$$ 当$=m+1时,=ymax=(m+1)2-2(m+1)-3=m-4 “p-q=2, .m2-4-(-4)=2: .m=2 (舍去)或m=-2(舍去) ④对称轴在区间中间且左距大于等于右距; m<1<m+1且1-m>m+1-1即0<m<时, 当$= 1时,= ymn=1-2x1-3=-4$ 当$x=m时,p=ymax=m2-2m-3 "p-q=2, .m2-2m-3-(-4)=2, .m=1+2(舍去)或m=1-2(舍去) 综上所述,m的值是一-{或{。 10