精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

松雷中学2024—2025学年度下学期期中考试高一年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：徐菲 校对人：杨兵兵 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法，根据模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以． 故选：D. 2. 若向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果. 【详解】∵，. ∴，，，∴， 且，则， 故选：B. 3. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的面积计算，可得答案. 【详解】由斜二测画法还原图形可得下图： 则，，，，， 所以梯形的面积为. 故选：C. 4. 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确； 对于选项B，，，，所以， 因为，，所以，，，所以，所以，故B正确； 对于选项C.，若，则或，故C错误； 对于选项D， 若，，平面作直线，则， 又因为，所以，因为，，所以，，所以，故D正确. 5. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 7. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】 如图取的中点，连接、，因为为正六棱锥， 所以，， 所以为侧面与底面的夹角，所以， 又底面，底面，所以， 所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形， 所以，则， 所以， 所以， 所以六棱锥的体积为. 故选：C 8. 已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得点的轨迹是以为球心，半径为的球面与正三棱柱表面的交线，再按点所在位置分类求解. 【详解】由，得点在以为球心，半径为的球面上， 而点在正三棱柱表面上，因此点的轨迹是球与正三棱柱表面的交线， 当点在面内时，由平面，平面，则， ，此时点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，弧长为；令弧的端点为，则， 当点在面内时，点的轨迹分别是以为圆心，为半径， 圆心角为的圆弧，弧长都为； 当点在侧面内时，取中点，连接， 由平面，平面，则， 而，平面，则平面， 又平面，因此，而，则， 此时点的轨迹是以为直径的半圆，弧长为， 所以动点的轨迹的长度为. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，若有两解，则长的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角形的边角关系，结合正、余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A ，因为中，，所以或，若，则，此时是等腰三角形，若，则无法判断是等腰三角形，所以A错误； 对于B ，在中，由正弦定理得，所以，所以B正确； 对于C ，因为，所以，又，所以为锐角，无法判断为锐角三角形，所以C错误； 对于D ，因为有两解，所以，所以，所以D正确. 故选：BD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且方向相同 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据相等向量的定义判断；对于B，利用投影向量公式判断；对于C，利用向量数量积的性质即可判断；对于D，利用平面向量基本定理和数乘向量的意义即可计算判断. 【详解】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确； 对于B，依题意，， 则向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，对任意向量，，，与结果均为实数， 设为，，则，， 而与关系不明确，故得不到，即C错误； 对于D，如图，分别取，则，即得，故， 因，则， 故，即的面积是的面积的2倍，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，复数为纯虚数，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由纯虚数的概念列出等式求解即可. 【详解】由题意可得， 解得：， 故答案为： 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积 【详解】设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以，解得， 所以圆锥的表面积为， 故答案为： 14. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形和题设条件，推出，以及和，利用向量数量积的运算律化简得出，根据图形，即可确定的最大最小值，从而得到的取值范围. 【详解】因，，，则有， 又因是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点， 则得， 因，， 则 ， 由图知，当与同方向时，取得最大值1， 当与反方向时，取得最小值， 故. 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的模的坐标运算公式，即可求解； （2）根据题意，求得且，根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由向量，可得， 所以. 【小问2详解】 由向量， 可得且， 因为与平行，可得， 所以，解得. 16. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 如图、连接BD， ∵，，∴， ∴，∴． ∵平面ABCD，∴， 又，∴平面， ∵平面，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）利用等体积法求解店面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BM，． 由已知可得，，， ∴，∴． 设点B到平面的距离为h， 由（1）知BC⊥平面， ∴三棱锥的体积， 即， 解得，即点B到平面的距离为． 17. 已知的内角的对边分别为，，且. （1）求； （2）若为的中点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，因为， 由余弦定理，求得，即可求得的大小. （2）由（1）求得，因为，利用余弦定理，列出方程求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理，可得， 又因为， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由且，可得，解得，即， 因为，所以， 由余弦定理得， 解得，所以，则， 所以的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，点E，F分别为，的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，请判断平面与平面是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由． 【答案】（1） 因为底面为正方形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2） 取的中点，连接，， 因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. （3）不垂直，理由如下： 假设当平面平面时， 因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以，三角形为以为斜边的直角三角形， 此时，与题干矛盾， 所以平面与平面不垂直. 【解析】 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）假设平面与平面垂直，利用面面垂直得到平面，进而得到，三角形为以为斜边的直角三角形，即可得到与假设矛盾，进而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，求得的值结合的取值范围得到的值； （2）解法一：用表示，再根据的取值范围得到的取值范围，结合函数知识得到的取值范围；解法二：利用三角知识将转化为一角一函数的形式，结合角的取值范围求得的取值范围，进而求的取值范围 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以， 所以，则， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 解法一 由（1）得， 所以， 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，则， 故， 由对勾函数的性质可知在上的值域为， 故， 即的取值范围为. 解法二：由题及（1）得 . 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 故，所以. 故， 因此的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2024—2025学年度下学期期中考试高一年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：徐菲 校对人：杨兵兵 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，若有两解，则长的取值范围是 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且方向相同 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，复数为纯虚数，则_______． 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 14. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 16. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 17. 已知的内角的对边分别为，，且. （1）求； （2）若为的中点，且，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，点E，F分别为，的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，请判断平面与平面是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由． 19. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，. （1）求； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $