专题06 分式方程（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题06 分式方程 题型概览 题型01根据分式方程的解的情况求参数 题型02解分式方程 题型03分式方程的实际应用 根据分式方程的解的情况求参数题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的分式方程的解为非负数，可得，，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴，， 解得，且， 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，以及分式方程有意义的条件，解分式方程得出，根据分式方程有意义的条件可得出，即，根据分式方程的解为负数可得出，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 则，且，即 又∵ ∴，且 ∴且． 故选：D． 4．（23-24八年级下·四川巴中·期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则非负整数m的所有个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得不等式，解不等式，可得答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项、合并，得：， ∵分式方程的解为正数， ， ， 解得：且， ∴非负整数解有0，1，2，4共4个， 故选：B． 5．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如果关于的分式方程有正数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程以及不等式组的解法，解题的关键是先将分式方程和不等式分别解出，然后求出的范围即可求出所有整数的和． 【详解】解：， ∵关于的分式方程有正数解， 解得：且 解得：且 该不等式组的解集为， ， ， 的范围是：且， 是整数， ，0，1，3 符合条件的所有整数的和为：3 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的不等式组至少有2个整数解，关于y的分式方程的解不小于1，则所有满足条件的整数m的和为 【答案】10 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，根据至少有2个整数解和的解不小于1可求得的取值范围，再将所有满足条件的整数m相加即可解题． 【详解】解：， 解不等式①得：， 结合②得：， 不等式组至少有2个整数解， ， 解分式方程得：， 分式方程的解不小于1， 即，，即， ， 且， 的取值有2、3、5， 此时所以整数的和为：， 故答案为：10． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则或． 因为，所以关于x的方程的两个解分别为． 利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程的两个解分别为．则 （2）已知关于x的方程的两个解分别为，则的值为 【答案】 1 【分析】本题考查分式方程的解： （1）根据材料，得到，，进行求解即可． （2）将方程转化为，利用题中的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）由材料可知：，， ∴； 故答案为：． （2）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴或 ∵ ∴ ∴ 故答案为：1． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）若方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先解分式方程得出，再由原分式方程有增根得出，从而得出，计算即可得解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵方程有增根， ∴，即， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解不等式组和分式方程，先求出不等式组的解集，然后根据不等式组有且仅有5个整数解，得出，根据a为整数得出，解关于y的分式方程，得，根据关于y的方程有整数解，求出结果即可． 【详解】解：由等式组得， 由仅有5个整数解，知， 从而， 解得， 从而整数； 解关于y的分式方程，得， ∵关于y的方程有整数解， ∴， 当时，， 经检验，是分式方程的解， ∴． 故答案为：6． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程的解是正数，且的最小整数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出的范围即可． 【详解】解：根据题意：解得， 依题意，且， 得且， 故m的最小整数值为7， 故答案为：7． 11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当x的系数为0时，方程无解，求出a的值；当x的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出a的值即可． 【详解】解：去分母得∶， 整理得：， 分两种情况：当时，即，此整式方程无解，所以原方程无解，． 当时，， 解得：， ∴当或时，关于x的分式方程无解， 故答案为∶或3． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为0．首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围． 【详解】解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵原分式方程得解为正数，且， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的解、利用增根求字母的值，解题关键是熟练掌握增根问题的解法． 增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 移项可得，， 又该分式方程有增根，即，， ． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·四川巴中·期末）若关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．先求出，再根据原分式方程有增根可得，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为： 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的增根，解一元一次不等式方程（组）和一元一次不等式组的整数解，根据不等式组有且仅有个整数解，可得整数解为，，，，根据分式方程有增根，可得，所以不等式为，解得，和是不等式的解，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：解不等式，得： 解不等式，得：， 该不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，，， ， 方程两边同乘以，得 解得， 关于的分式方程有增根， ， 解得， 不等式为， 解得， 和是不等式的解， 不等式组的整数解是不等式的解的概率为． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·四川达州·期末）若使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程以及一元一次不等式组的整数解，分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有个整数解，确定出符合条件的值，再相加即可．掌握解分式方程的一般步骤及确定一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：在方程两边同乘以，得： ， 解得：， ∵该分式方程的解为非负数， ∴，且， ∴且， ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴， ∵不等式组只有个整数解， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴满足条件的整数有，， ∴， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解是关键．先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求的取值范围． 【详解】解：去分母得： ， 方程的解为正数 解得： 即 故， 解得： 综上所述：实数的取值范围是且 故答案为：且 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】2 【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 分式方程有增根， ，即， 将代入，得：， 故答案为：2． 解分式方程题型02 一、解答题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程； （2）解不等式组：． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解分式方程，注意最后对方程的解进行检验，解不等式组时熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组： （2）解分式方程： 【答案】（1）（2） 【分析】此题考查了求不等式组的解集和解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集取公共部分即可； （2）去分母化为整式方程并解方程，代入最简公分母检验即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是； （2） 两边同乘以得， 整理得， 解方程得， 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组；     （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出答案． 【详解】解：（1）解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； （2）去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：；     （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出答案． 【详解】解：（1）解不等式得：； 解不等式得：． 所以，原不等式组的解集为． （2）去分母得：， 去括号得：， 解得：． 经检验，为原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）（）解不等式组：； （）解分式方程：． 【答案】（）；（）． 【分析】（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，掌握解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为； （）方程两边都乘以最简公分母得，， 解得， 经检：把代入最简公分母得，， ∴是原方程的解． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程： （2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查解分式方程及分式的化简求值， （1）先把方程两边乘以得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）先将括号内的式子进行通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到，然后利用分式有意义的条件及题中的的限制条件确定的值，最后把的值代入计算即可； 解题的关键掌握解分式方程的一般步骤，分式混合运算的运算法则、分式有意义的条件及相应的公式． 【详解】（1）在方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2） ， ∵且且， 即且且， 又∵是满足条件的合适的非负整数， ∴， 当时，原式． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】 （1）；（2）原分式方程无实数解；（3），． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解分式方程，以及求解一元一次不等式组，负整数指数幂，熟知相关运算法则是解答此题的关键． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）先去分母，将分式方程化为整式方程求解，并检验，即可解题； （3）首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再利用负整数指数幂得到的值，最后代值计算，即可解题． 【详解】（1）解：由，解得：， 由得：解得， 则不等式组的解集为． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 检验：当时，，是增根，舍去， 原分式方程无实数解． （3）解：原式， ， ， 当时， 原式． 9．（23-24八年级下·四川甘孜·期末）（1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查分解因式与解分式方程． （1）提公因式分解即可； （2）先去分母，将方程转化成整理式方程求解，再检验即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）方程两边同时乘以，得 ， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组并将其解集表示在所给数轴上． （2）解分式方程：（要求写出检验过程） 【答案】（1），表示解集见解析；（2） 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解不等式组，解分式方程，掌握解分式方程及解不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别解两个不等式，再取公共集，最后把解集表示在数轴上即可； （2）先把分式化为整式方程求解，再检验即可得解． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为：， 把表示在数轴上如图所示， （2） ， 检验：把代入得， ∴是原方程的解． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程：； （2）先化简：，然后从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 【答案】（1）；（2）；当时，原式． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解分式方程， （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后把的值代入最简公分母进行检验即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为1得，， 经检验是原分式方程的解； （2） ， ，且为整数， ，0，1，2， ，，， ，1，， 当时，原式． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：， 化成整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 把代入得，， ∴是原方程的解． 13．（23-24八年级下·四川巴中·期末）我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则__________，__________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义得到，即得，； （2）根据新定义得到，得到或，即得； （3）根据新定义得到，，得到． 【详解】（1）∵为“十字分式方程”， ∴， ，； 故答案为：，； （2）∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴； （3）∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴，， ∴． 14．（23-24八年级下·四川巴中·期末）（1）解不等式组 （2）解方程：． （3）先化简：，然后从中选一个你认为合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】（1）；（2）；（3）x；当时，原式或当时，原式 【分析】（1）根据解不等式组的一般步骤求解即可； （2）根据解分式方程的一般步骤求解即可； （3）先利用分式的性质进行化简，再根据分式有意义的条件可得，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集是：； （2）解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 把代入，得， ∴是原方程的解； （3）解：原式 ， 要使分式有意义，且， ， ∵x满足条件的一个整数， ∴当时，原式；当时，原式． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程、分式的混合运算及分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程：； （2）解不等式组 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程； （1）根据解分式方程的步骤求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 解得：， 当时，分母， 故原分式方程的解为； （2）解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为． 16．（23-24八年级下·四川达州·期末）（1）分解因式：； （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来； （3）解分式方程：． 【答案】（1）；（2），数轴见解析；（3）是分式方程的解． 【分析】本题主要考查了因式分解，解一元一次不等式组，解分式方程，在数轴上表示不等式组的解集： （1）利用先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可； （3）先去分母把原方程化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 由不等式①得：，即， 整理得：， 解得：， 由不等式②得：， 整理得：， 故原不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集如图所示：    （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程： （1）分别求出两个不等式的解集，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； （2） 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程组的解为． 18．（23-24八年级下·四川达州·期末）（1）解分式方程：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）无解；（2），在数轴上表示见解析 【分析】本题主要考查解分式方程以及解不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则解方程再进行验算； （2）根据不等式的运算法则计算不等式，再将解集联立． 【详解】解：（1）解：两边同时乘以，得：， 化简得：， 解得； 经检验，是方程的增根，分式方程无解； （2）解：解不等式①： 解得； 解不等式②： 化简得： 解得 解得 综上所述，． 19．（23-24八年级下·四川巴中·期末）（1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简，再从中选择合适的整数x值代入求值． 【答案】（1）；（2）；（3），时，值为1 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式方程、分式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值、零次幂、负整数指数幂，再运算加减，即可作答； （2）根据分式方程的解法，去分母，解整式方程，再验根即可； （3）先通分括号内，再进行除法运算，然后化简，注意分式有意义，再代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 检验：把代入最简公分母 ∴是原方程的解． （3）解： ∵，， ∴ ∵，且x为整数， ∴当时，原式 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程： （1）分别求出两个不等式的解集，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为；， （2） 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 21．（23-24八年级下·四川乐山·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴方程的解为：． 22．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，即可求出 m的值． 【详解】（1）解：去分母得 ， 解得 ， 经检验：是方程的解； （2）解：去分母得 ，即 ，              当时，即时，整式方程无解，符合题意； 当时，则 ∴或， ∴或，       综上所述，或或. 分式方程的实际应用题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前2天完成任务”，列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 由题意得：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）某家具厂要在开学前赶制套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多套，结果提前天完成任务，问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成套桌凳，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天完成套桌凳，根据题意，列出分式方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天完成套桌凳， 由题意可得，， 故选：． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行x小时可以完成总任务，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，学生组的工作效率为，家长组的工作效率为，然后根据题意即可得到方程，然后即可判断哪个选项符合题意．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设技术升级前每天装配辆汽车，根据工作时间工作总量工作效率结合“现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设技术升级前每天装配辆汽车，则现在平均每天装配辆汽车， 依题意，得． 故选：A． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 根据题意，得：， 故选：A． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，依题意得到，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 依题意得，， 故选：A． 7．（23-24八年级下·四川达州·期末）上周末，李老师准备去离家15千米的研学基地考察，由于恰逢打出租车高峰期，他决定骑自行车前往研学基地，结果比打出租车要多花40分钟．已知出租车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，若设骑自行车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据出租车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，结果比打出租车要多花40分钟，列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的平均速度为千米/时，则出租车的速度为千米/时， 由题意，得：； 故选A． 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵？若设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，根据题意，设买了棵三角梅树苗，由杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，建立等量关系列方程即可得到答案，读懂题意，准确找到等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为， 故选：A． 二、填空题 9．（23-24八年级下·四川乐山·期末）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象，分式方程的应用．熟练掌握函数图象，分式方程的应用是解题的关键． 设燃气汽车每千米所需的费用为元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，根据燃油汽车所需费用元时与燃气汽车所需费用元时的路程相等，列分式方程即可． 【详解】解：设燃气汽车每千米所需的费用为元，则燃油汽车每千米所需的费用为元， 依题意得，， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）重庆、昆明两地相距，渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从重庆到昆明的时间缩短了，求长途客车现在的平均速度．设长途客车现在的平均速度为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，根据从重庆到昆明的时间缩短了为等量关系列出分式方即可． 【详解】解：设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为， 根据题意有：， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元 (2)①；②节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元 【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用480元购进A粽子的数是节后用200元购进的数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可； ②设获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，根据m的范围，一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际， 答：节后每千克A粽子的进价为10元． （2）解：①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得： ， 解得：； ②获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，且最大值为：， 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买篮球和足球用于“特色球类”活动．已知一个足球比一个篮球少元，且用元购买足球的数量和用元购买篮球的数量相等． (1)求每个足球和每个篮球的价格； (2)学校计划采购足球和篮球共个，且足球的数量不超过篮球数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买足球多少个？资金总额最少为多少元？ 【答案】(1)每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元 (2)最多购买足球个，资金总额最少为元 【分析】本题考查了一次函数和分式方程的应用，熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据题意列关于的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为元，写出关于的函数，根据该函数的增减性，确定当取何值时取最小值，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的根，且满足题意， ， ∴每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元； （2）解：设购买足球个，则购买篮球个， 根据题意，得， 解得， 设花费的资金总额为元，则， ， 随的增大而减小， 且为整数， 当时，取最小值，， 要想花费的资金总额最少，则最多购买足球个，资金总额最少为元． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）郫县豆瓣是川菜之魂、回锅肉的灵魂伴侣．某商场从厂家用元购进甲种郫县豆瓣和用元购进乙种郫县豆瓣的千克数相同．已知每千克乙种郫县豆瓣价格比每千克甲种郫县豆瓣的价格多元． (1)求甲、乙两种郫县豆瓣每千克的进货价格； (2)因两种郫县豆瓣销售都好，商场决定再购进这两种郫县豆瓣共千克，且乙种郫县豆瓣的数量不超过甲种郫县豆瓣数量的倍，甲种郫县豆瓣以元/千克销售，乙种郫县豆瓣以元/千克销售，请问甲、乙两种郫县豆瓣各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元 (2)当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数图象性质的综合，掌握分式方程，一次函数图象性质是解题的关键． （1）设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，总利润为元，根据题意可得，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意，从而， 答：每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元； （2）解：设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克， 根据题意得：， 解得：， 设再次购进的两种豆瓣全部售出后获得的总利润为元， 则，即， 由，得随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时， 答：当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）年成都世界园艺博览会于月日至月日举行，成都东部新区设主会场，同步呈现新津现代农艺、温江川派盆景、郫都花卉产业、邛崃生物多样性保护个分会场．小明计划和家人自驾到主会场游玩，小明家汽车是油电混合动力汽车，有用油和用电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，经过计算，该汽车从小明家行驶到主会场，全程用油驱动需元油费，全程用电驱动需元电费，已知每行驶千米，用油比用电的费用多元． (1)求该汽车用电驱动方式行驶千米的电费； (2)若驾驶该汽车从小明家行驶至主会场，游玩后再按原路返回家，需要用油和用电两种驱动方式，往返全程用电和用油的总费用不超过元，则最多用油行驶多少千米？ 【答案】(1)元； (2)千米． 【分析】（）设小明家到主会场的距离为千米，根据题意列出分式方程求出小明家到主会场的距离，进而再求出该汽车用电驱动方式行驶千米的电费即可； （）根据（）求出行驶千米的油费，设用油行驶千米，则用电行驶千米， 根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解； 本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设小明家到主会场的距离为千米， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解， ∴小明家到主会场的距离为千米， ∴该汽车用电驱动方式行驶千米的电费为元； （2）解：由（）可得，该汽车用油驱动方式行驶千米的油费为元， 设用油行驶千米，则用电行驶千米， 由题意可得，， 解得， 答：最多用油行驶千米． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线的全程是千米，但交通比较拥堵，路线比路线的全程多千米，但平均车速比走路线时能提高%，若走路线能比走路线少用分钟．求走路线和路线的平均速度分别是多少？ 【答案】走路线的平均速度是千米时，走路线的平均速度是千米时． 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设走路线的平均速度为千米时，则走路线的平均速度为千米时，走路线需用时小时，走路线需用时小时，根据“走路线能比走路线少用分钟”即可列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】解：设走路线的平均速度为千米时， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． ． 答：走路线的平均速度是千米时，走路线的平均速度是千米/时． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）年成都糖酒会于月日至月日举行．某商店用元购进第一批糖果若干件，很快售完；接着又用元购进第二批相同件数的同种糖果，且第二批糖果每件的进价比第一批高元． (1)第一批糖果每件的进价是多少元？两批糖果所购数量均为多少件？ (2)两批糖果均按每件元出售，为加快销售，商家决定将最后的件打折销售，如果两批糖果全部售完后所得利润不低于元（不考虑其他因素），求的最小值． 【答案】(1)第一批糖果每件的进价是元，两批糖果所购数量均为件； (2) 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，根据第二批数量与第一批箱数相同，列方程求解； （2）根据两批糖果全部售完后所得利润不低于元，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：第一批糖果每件的进价是元，则第二批糖果每件的进价是元，依题意列方程得 解得： 经检验，是所列方程的解， ∴第一批糖果每件的进价是元，两批糖果所购数量均为件； （2）解：依题意得 解得：， ∴的最小值为 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）新能源汽车既是汽车产业发展的大势所趋，也是新动能的重要支撑点．为加快补齐重点城市之间路网充电基础设施短板，某高速路服务区停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划花费不超过26万元购买A，B两种型号充电桩共计25个，且B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的一半．问共有几种购买方案？购买总费用最少为多少万元？ 【答案】(1)型充电桩的单价是0.9万元，型充电桩的单价是1.2万元； (2)共有3种购买方案，总费用最少万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价是万元，根据用15万元购买型充电桩与用20方元购买型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据该停车场计划花费不超过26万元购买，两种型号的充电桩，且型充电桩的数量不少于型充电桩数量的一半．列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价是0.9万元，型充电桩的单价是1.2万元； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， ，15，16， 共有3种购买方案： ①购买14个型充电桩、11个型充电桩，总费用为（万元）； ②购买15个型充电桩、10个型充电桩，总费用为（万元）； ③购买16个型充电桩、9个型充电桩；总费用为（万元）． 购买方案③总费用最少万元． 18．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）为进一步落实“五育并举”工作，宜宾市某校准备从商场一次性购买若干个篮球和足球，已知篮球的单价比足球的单价高元，用元购买篮球的数量和用元购买足球的数量相等．求篮球和足球的单价分别是多少元？ 【答案】足球的单价为元，篮球的单价为元 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设足球的单价为元，则篮球的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， ∴足球的单价为元，篮球的单价为元． 19．（23-24八年级下·四川巴中·期末）为深化全民阅读，推进“书香巴中”建设，我校图书借阅室决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多8元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1600元和1200元． (1)求甲、乙两种书的单价； (2)由于借书学生人数较多，学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过3000元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】(1)甲、乙两种书的单价分别为32元、24元 (2)75本 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和不等关系列出不等式． （1）设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1600元和1200元，列出方程，解方程即可； （2）设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，根据总费用不超过3000元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，由题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ， 答：甲、乙两种书的单价分别为32元、24元． （2）解：设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，由题意得： 解得：， 答：该校最多购买75本甲种书． 20．（23-24八年级下·四川内江·期末）为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果--草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．” (1)根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价； (2)由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）． 【答案】(1)甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元； (2)采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式、函数解析式成为解题的关键． （1）设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元．根据题意可列不等式可求得且m为正整数，再用m表示出总费用W，然后运用一次函数的增减性求最值即可解答． 【详解】（1）解：∵甲、乙种草莓的单价之比为4：5， ∴设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元， 由题意得，解得． 经检验，是方程的解，且符合题意， ，， 答：甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元； （2）解：设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元． 由题意知，， 解得，，且m为正整数， ∴总费用． ∵， ∴W随m的增大而减小， 又∵，且m是整数， ∴当时，． 答：采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334元． 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）多年来，双流区政府切实为残疾人办实事，在人行道上或其他场所铺设一种固定形态的地面砖，使视觉障碍者产生盲杖触觉及脚感，引导视觉障碍者向前行走和辨认方向以到达目的地的通道，盲道建设让视障人士越来越有安全感．在某一道路改造工程中，甲、乙两工程队合作，18天可以完成，共需付施工费64800元；如果甲、乙两工程队单独完成此项工程，乙工程队所用时间是甲工程队的倍，乙工程队每天的施丁费比甲工程队每天的施工费少1400元． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个工程队单独完成这项工程，哪个工程队的施工费较少？ 【答案】(1)甲公司单独完成此项工程需30天，乙公司单独完成此项工程需45天 (2)乙公司的施工费较少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， （1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需天，根据合作18天完成列出方程求解即可； （2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论； 解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解． 【详解】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需天． 根据题意，得， 解得， 经检验知是方程的解且符合题意． ∴， 答：甲公司单独完成此项工程需30天，乙公司单独完成此项工程需45天； （2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为元， 根据题意得， 解得：， ∴甲公司单独完成此项工程所需的施工费：（元）， 乙公司单独完成此项工程所需的施工费：（元）， ∵， ∴甲公司的施工费较少， 答：若让一个公司单独完成这项工程，乙公司的施工费较少． 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛千米，舰艇距离该小岛千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的倍，结果舰艇提前分钟到达，顺利完成了登岛任务． (1)求舰艇，的速度； (2)根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月(天)，已知舰艇，的巡航费用分别为万元天，万元天． ①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式； ②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 【答案】(1)舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时； (2)①总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为；②舰艇应巡航天，巡航的费用最少． 【分析】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式的应用； （1）设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，根据舰艇比舰艇提前分钟到达列出方程，解方程即可； （2）①根据总费用，两种舰艇的费用之和列出函数解析式； ②根据舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时， 根据题意得：， 解得， 此时， 答：舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时； （2）①根据题意得：， 总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为； ② 解得， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：舰艇应巡航天，巡航的费用最少． 23．（23-24八年级下·四川达州·期末）端午节是中华民族的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．端午节前夕，某商店准备购进A，两种粽子，A种粽子每件的进价比种粽子每件的进价多5元，用750元购进A种粽子和用600元购进种粽子的件数相同． (1)求A种粽子每件的进价和种粽子每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1320元的资金购进A，两种粽子共60件，其中种粽子的数量不超过A种粽子数量的2倍，该商店有几种进货方案？ (3)商店将种粽子每件的售价定为40元，种粽子每件的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每件A种粽子售价优惠2元，种粽子售价不变，在（2）的条件下，要使销售完这60件粽子获总利润最大，应如何进货？ 【答案】(1)A种粽子每件的进价和种粽子每件的进价分别为25元、20元 (2)该商品有5种进货方案 (3)A粽子进货24件，商品进货36件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出分式方程、不等式组和函数表达式成为解题的关键． （1）设种粽子的进价为每件元，则A种粽子的进价为每件元，根据题意列出分式方程即可； （2）设A粽子进货件，则粽子进货件，然后根据题意列出不等式组求得a的取值范围，再根据为正整数，确定a的可能取值即可解答； （3）设销售A，两种粽子共获利元，再根据题意列出w与a的函数关系式，再运用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种粽子的进价为每件元，则A种粽子的进价为每件元， 由题意得：，解得：， 经检验是原方程的解， （元）． 答：A种粽子每件的进价和种粽子每件的进价分别为25元、20元． （2）解：设A粽子进货件，则粽子进货件， 由题意得：，解得：， 为正整数， 的取值可能为20、21、22、23、24， 该商品有5种进货方案． （3）解：设销售A，两种粽子共获利元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时获利最大，此时，即粽子进货24件，商品进货36件，可最多获利744元． 24．（23-24八年级下·四川资阳·期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球选修课程．学校需购进一批篮球、足球．若购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，足球单价比篮球单价贵40元． (1)求足球、篮球的单价分别是多少元． (2)学校计划采购足球、篮球共60个，并要求足球不少于25个，且总费用不多于6000元．有几种购买方案？并求出购买资金最少为多少元？ (3)某经销商足球、篮球的进价分别为110元/个，65元/个，为了促销，经销商决定每售出一个篮球返还顾客现金a元，而足球售价不变，如果（2）中的所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是120元； (2)6种方案，5800元 (3)5 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．（3）理解“与（2）中的所有方案获利相同”并正确列式． （1）设篮球的单价是元，则足球的单价是元，由题意：购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，列出分式方程，解方程即可； （2）设采购篮球个，则采购足球为个，由题意：足球不少于25个，，且总费用低于6000元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． （3）设利润为，根据利润等于单件利润乘上数量进行列式，化简得出，结合“与（2）中的所有方案获利相同，”，故与的取值无关，即，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，则足球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：篮球的单价是80元，足球的单价是120元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， 由题意得：， 解得：， 又为整数， 的值可为30，31，32，33，34，35， 共有6种购买方案： ①采购篮球30个，足球30个； ②采购篮球31个，足球29个； ③采购篮球32个，足球28个； ④采购篮球33个，足球27个； ⑤采购篮球34个，足球26个； ⑥采购篮球35个，足球25个． ∵篮球单价低于足球单价 ∴当购买的足球数量越少，篮球数量越多时，则购买资金最少 即（元）． （3）解：设利润为， 依题意，得， ∵“与（2）中的所有方案获利相同，”， ∴与的取值无关， 即， 解得：． 25．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 26．（23-24八年级下·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市 美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次博览会的会花．现有，两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，种商品单价是种商品单价的1.25倍． (1)求、两种商品的单价； (2)现在购买一件种商品赠送一件种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且种商品数量少于种商品数量的，问采购方案有多少种？ 【答案】(1)种商品的单价为36元，种商品的单价为45元 (2)共有10种采购方案 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，利用数量总价单价，结合360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即种商品的单价），再将其代入中，即可求出种商品的单价； （2）设购买件种商品，则购买件种商品，根据“购买费用不超过4590元，且购买种商品数量少于种商品数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有10种采购方案． 【详解】（1）解：设种商品的单价为元，则种商品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：种商品的单价为36元，种商品的单价为45元； （2）设购买件种商品，则购买件种商品， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为70，71，72，73，74，75，76，77，78，79， 共有10种采购方案． 27．（23-24八年级下·四川达州·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了A、B两种型号的快件分拈机器人．已知：每台A型机器人比每台B型机器人每天多分拈100件快件，每台A型机器人分拈4800件快件的时间与每台B型机器人分拈3600件快件的时间相同． (1)求A、B两种型号的机器人每台每天可分拈多少件快件？ (2)某物流中心决定购进A、B两种型号的快件分拈机器人共20台，每台A型机器人费用为10万元，每台B型机器人费用为8万元，购买总费用不超过183万元，若每天需分拈的快件不少于6900件，问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人每天分拈400件，B型机器人每天分拈300件 (2)共有3种购买方案，方案一：A型9台，B型11台；方案二：A型10台，B型10台；方案三：A型11台，B型9台；第一种方案所需购买总费用最少，最少费用是178万元． 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每天分拈件，则A型机器人每天分拈件，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，B型台，根据总费用和分拈的快件数列不等式，求出不等式符合条件整数解，并求得对应的费用即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每天分拈件，则A型机器人每天分拈件， 依题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即A型机器人每天分拈件． 答：A型机器人每天分拈400件，B型机器人每天分拈300件； （2）解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 则当A型，B型，此时所需购买总费用； 当A型，B型，此时所需购买总费用； 当A型，B型，此时所需购买总费用； 答：共有3种购买方案，方案一：A型9台，B型11台；方案二：A型10台，B型10台；方案三：A型11台，B型9台；第一种方案所需购买总费用最少，最少费用是178万元． 28．（23-24八年级下·四川巴中·期末）新学期开始时，某校为了增强学生体育锻炼，准备到一家商场购进一批篮球和足球，花费分别是8400元和5000元，已知篮球的订购单价是足球订购单价的1.2倍，并且订购的篮球数量比足球数量多20个． (1)求该学校订购的篮球和足球的单价分别是多少元？ (2)该学校拟计划再订购篮球和足球共80个，其中足球的订购数量不超过30个且总费用不超过9060元，求该学校共有几种订购方案？本次购买至少准备多少钱？ 【答案】(1)学校订购的篮球和足球的单价分别是120元，100元 (2)学校共有4种订购方案，本次购买至少准备9000元 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式组，，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）设足球的单价为x元，根据题意列分式方程，解方程组可求解； （2）设该学校拟计划再订购足球的数量为m个，则该学校拟再订购的篮球的数量是个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求不等式组的整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设该学校订购的足球的单价是x元，则该学校订购的篮球的单价是12x元， 由题意得： 解得： 经检验，是原分式方程的解，也符合题意． ∴篮球单价：元 答：该学校订购的篮球和足球的单价分别是120元，100元． （2）解：设该学校拟计划再订购足球的数量为m个，则该学校拟再订购的篮球的数量是个， 由题意得： 解得：， ∵m为整数， ∴，28，29，30． ∴共有4种订购方案． 设订购篮球和足球的总费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最小值为 答：该学校共有4种订购方案，本次购买至少准备9000元． 29．（23-24八年级下·四川成都·期末）2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同． (1)每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？ (2)若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？ 【答案】(1)每件A型熊猫挂件的售价是60元，则每件B型熊猫挂件的售价是45元 (2)最多购买A型熊猫挂件13件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件件，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意； ， 答：每件A型熊猫挂件的售价是60元，则每件B型熊猫挂件的售价是45元； （2）解：设购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件件，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m的最大值为13， 答：最多购买A型熊猫挂件13件． 30．（23-24八年级下·四川广元·期末）疫情过后，越来越多的人意识到“强身健体”的重要性，体育用品需求不断增加．某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用3000元购进A种球拍的数量与用2500元购进B种球拍的数量相同． (1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价； (2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共80副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这80副羽毛球拍的资金不超过8900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ (3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润30元，B种羽毛球拍每副可获利润25元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种羽毛球拍每副的进价为120元，B种羽毛球拍每副的进价为100元； (2)该商店最多购进A种羽毛球拍45副； (3)购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍35副时，总获利最大，最大利润为2225元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键． （1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用3000元购进A种球拍的数量与用2500元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据用于购买这80副羽毛球拍的资金不超过8900元，列一元一次不等式，求解即可； （3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解， （元）， 答：A种羽毛球拍每副的进价为120元，B种羽毛球拍每副的进价为100元； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副， 根据题意，得， 解得，m为正整数， 答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副； （3）设总利润为w元， ， ∵， ∴w随着m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大利润为（元）， 此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副）， 答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍35副时，总获利最大，最大利润为2225元． 31．（23-24八年级下·四川乐山·期末）五一节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲，乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． (1)求的值； (2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)购进甲种水果75千克，购进乙种水果25千克，利润最大为850元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进甲种水果千克，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出的取值范围，设总利润为，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴． （2）由（1）知：甲种水果的进价为12元，乙种水果的进价为元， 设购进甲种水果千克，则：购进乙种水果千克，由题意，得：， 解得：， 设总利润为元，由题意，得：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最大值为， ∴购进甲种水果75千克，购进乙种水果25千克，利润最大为850元． 32．（23-24八年级下·四川眉山·期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)现在商场准备一次性购进两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大的利润． 【答案】(1)每台空调进价为元，电冰箱进价为元 (2)当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是： （1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）根据题意，可以写出与的函数关系式，然后根据一次函数的性质和不等式的性质，可以求得获利最大的方案以及最大利润． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则， 答：每台空调进价为1600元，电冰箱进价为2000元． （2）设购进电冰箱台，则进购空调台， ， 购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍， ， 解得， 为正整数，，， 随的增大而减小， 当时，的值最大，即最大利润为（元）， 故当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式方程 题型概览 题型01根据分式方程的解的情况求参数 题型02解分式方程 题型03分式方程的实际应用 根据分式方程的解的情况求参数题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 4．（23-24八年级下·四川巴中·期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则非负整数m的所有个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如果关于的分式方程有正数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的不等式组至少有2个整数解，关于y的分式方程的解不小于1，则所有满足条件的整数m的和为 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则或． 因为，所以关于x的方程的两个解分别为． 利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程的两个解分别为．则 （2）已知关于x的方程的两个解分别为，则的值为 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）若方程有增根，则 ． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为 ． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程的解是正数，且的最小整数值为 ． 11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 14．（23-24八年级下·四川巴中·期末）若关于的分式方程有增根，则 ． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ． 16．（23-24八年级下·四川达州·期末）若使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 17．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是 ． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 解分式方程题型02 一、解答题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程； （2）解不等式组：． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组： （2）解分式方程： 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组；     （2）解方程：． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：；     （2）解分式方程：． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）（）解不等式组：； （）解分式方程：． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程： （2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）解分式方程：． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：； （3）先化简，再求值：，其中． 9．（23-24八年级下·四川甘孜·期末）（1）分解因式：； （2）解方程：． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组并将其解集表示在所给数轴上． （2）解分式方程：（要求写出检验过程） 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程：； （2）先化简：，然后从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）解方程：． 13．（23-24八年级下·四川巴中·期末）我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则__________，__________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 14．（23-24八年级下·四川巴中·期末）（1）解不等式组 （2）解方程：． （3）先化简：，然后从中选一个你认为合适的整数作为x的值代入求值． 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解方程：； （2）解不等式组 16．（23-24八年级下·四川达州·期末）（1）分解因式：； （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来； （3）解分式方程：． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 18．（23-24八年级下·四川达州·期末）（1）解分式方程：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19．（23-24八年级下·四川巴中·期末）（1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简，再从中选择合适的整数x值代入求值． 20．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 21．（23-24八年级下·四川乐山·期末）解方程：． 22．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值．             分式方程的实际应用题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）某家具厂要在开学前赶制套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多套，结果提前天完成任务，问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成套桌凳，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行x小时可以完成总任务，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·四川达州·期末）上周末，李老师准备去离家15千米的研学基地考察，由于恰逢打出租车高峰期，他决定骑自行车前往研学基地，结果比打出租车要多花40分钟．已知出租车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，若设骑自行车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵？若设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级下·四川乐山·期末）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为 ． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）重庆、昆明两地相距，渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从重庆到昆明的时间缩短了，求长途客车现在的平均速度．设长途客车现在的平均速度为，则根据题意可列方程为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买篮球和足球用于“特色球类”活动．已知一个足球比一个篮球少元，且用元购买足球的数量和用元购买篮球的数量相等． (1)求每个足球和每个篮球的价格； (2)学校计划采购足球和篮球共个，且足球的数量不超过篮球数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买足球多少个？资金总额最少为多少元？ 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）郫县豆瓣是川菜之魂、回锅肉的灵魂伴侣．某商场从厂家用元购进甲种郫县豆瓣和用元购进乙种郫县豆瓣的千克数相同．已知每千克乙种郫县豆瓣价格比每千克甲种郫县豆瓣的价格多元． (1)求甲、乙两种郫县豆瓣每千克的进货价格； (2)因两种郫县豆瓣销售都好，商场决定再购进这两种郫县豆瓣共千克，且乙种郫县豆瓣的数量不超过甲种郫县豆瓣数量的倍，甲种郫县豆瓣以元/千克销售，乙种郫县豆瓣以元/千克销售，请问甲、乙两种郫县豆瓣各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？ 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）年成都世界园艺博览会于月日至月日举行，成都东部新区设主会场，同步呈现新津现代农艺、温江川派盆景、郫都花卉产业、邛崃生物多样性保护个分会场．小明计划和家人自驾到主会场游玩，小明家汽车是油电混合动力汽车，有用油和用电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，经过计算，该汽车从小明家行驶到主会场，全程用油驱动需元油费，全程用电驱动需元电费，已知每行驶千米，用油比用电的费用多元． (1)求该汽车用电驱动方式行驶千米的电费； (2)若驾驶该汽车从小明家行驶至主会场，游玩后再按原路返回家，需要用油和用电两种驱动方式，往返全程用电和用油的总费用不超过元，则最多用油行驶多少千米？ 15．（23-24八年级下·四川成都·期末）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线的全程是千米，但交通比较拥堵，路线比路线的全程多千米，但平均车速比走路线时能提高%，若走路线能比走路线少用分钟．求走路线和路线的平均速度分别是多少？ 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）年成都糖酒会于月日至月日举行．某商店用元购进第一批糖果若干件，很快售完；接着又用元购进第二批相同件数的同种糖果，且第二批糖果每件的进价比第一批高元． (1)第一批糖果每件的进价是多少元？两批糖果所购数量均为多少件？ (2)两批糖果均按每件元出售，为加快销售，商家决定将最后的件打折销售，如果两批糖果全部售完后所得利润不低于元（不考虑其他因素），求的最小值． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）新能源汽车既是汽车产业发展的大势所趋，也是新动能的重要支撑点．为加快补齐重点城市之间路网充电基础设施短板，某高速路服务区停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划花费不超过26万元购买A，B两种型号充电桩共计25个，且B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的一半．问共有几种购买方案？购买总费用最少为多少万元？ 18．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）为进一步落实“五育并举”工作，宜宾市某校准备从商场一次性购买若干个篮球和足球，已知篮球的单价比足球的单价高元，用元购买篮球的数量和用元购买足球的数量相等．求篮球和足球的单价分别是多少元？ 19．（23-24八年级下·四川巴中·期末）为深化全民阅读，推进“书香巴中”建设，我校图书借阅室决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多8元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1600元和1200元． (1)求甲、乙两种书的单价； (2)由于借书学生人数较多，学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过3000元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 20．（23-24八年级下·四川内江·期末）为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果--草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．” (1)根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价； (2)由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）． 21．（23-24八年级下·四川成都·期末）多年来，双流区政府切实为残疾人办实事，在人行道上或其他场所铺设一种固定形态的地面砖，使视觉障碍者产生盲杖触觉及脚感，引导视觉障碍者向前行走和辨认方向以到达目的地的通道，盲道建设让视障人士越来越有安全感．在某一道路改造工程中，甲、乙两工程队合作，18天可以完成，共需付施工费64800元；如果甲、乙两工程队单独完成此项工程，乙工程队所用时间是甲工程队的倍，乙工程队每天的施丁费比甲工程队每天的施工费少1400元． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个工程队单独完成这项工程，哪个工程队的施工费较少？ 22．（23-24八年级下·四川成都·期末）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛千米，舰艇距离该小岛千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的倍，结果舰艇提前分钟到达，顺利完成了登岛任务． (1)求舰艇，的速度； (2)根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月(天)，已知舰艇，的巡航费用分别为万元天，万元天． ①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式； ②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 23．（23-24八年级下·四川达州·期末）端午节是中华民族的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．端午节前夕，某商店准备购进A，两种粽子，A种粽子每件的进价比种粽子每件的进价多5元，用750元购进A种粽子和用600元购进种粽子的件数相同． (1)求A种粽子每件的进价和种粽子每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1320元的资金购进A，两种粽子共60件，其中种粽子的数量不超过A种粽子数量的2倍，该商店有几种进货方案？ (3)商店将种粽子每件的售价定为40元，种粽子每件的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每件A种粽子售价优惠2元，种粽子售价不变，在（2）的条件下，要使销售完这60件粽子获总利润最大，应如何进货？ 24．（23-24八年级下·四川资阳·期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球选修课程．学校需购进一批篮球、足球．若购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，足球单价比篮球单价贵40元． (1)求足球、篮球的单价分别是多少元． (2)学校计划采购足球、篮球共60个，并要求足球不少于25个，且总费用不多于6000元．有几种购买方案？并求出购买资金最少为多少元？ (3)某经销商足球、篮球的进价分别为110元/个，65元/个，为了促销，经销商决定每售出一个篮球返还顾客现金a元，而足球售价不变，如果（2）中的所有方案获利相同，则a的值为多少？ 25．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 26．（23-24八年级下·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市 美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次博览会的会花．现有，两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的种商品件数比540元购买的种商品件数少2件，种商品单价是种商品单价的1.25倍． (1)求、两种商品的单价； (2)现在购买一件种商品赠送一件种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且种商品数量少于种商品数量的，问采购方案有多少种？ 27．（23-24八年级下·四川达州·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了A、B两种型号的快件分拈机器人．已知：每台A型机器人比每台B型机器人每天多分拈100件快件，每台A型机器人分拈4800件快件的时间与每台B型机器人分拈3600件快件的时间相同． (1)求A、B两种型号的机器人每台每天可分拈多少件快件？ (2)某物流中心决定购进A、B两种型号的快件分拈机器人共20台，每台A型机器人费用为10万元，每台B型机器人费用为8万元，购买总费用不超过183万元，若每天需分拈的快件不少于6900件，问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少？ 28．（23-24八年级下·四川巴中·期末）新学期开始时，某校为了增强学生体育锻炼，准备到一家商场购进一批篮球和足球，花费分别是8400元和5000元，已知篮球的订购单价是足球订购单价的1.2倍，并且订购的篮球数量比足球数量多20个． (1)求该学校订购的篮球和足球的单价分别是多少元？ (2)该学校拟计划再订购篮球和足球共80个，其中足球的订购数量不超过30个且总费用不超过9060元，求该学校共有几种订购方案？本次购买至少准备多少钱？ 29．（23-24八年级下·四川成都·期末）2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同． (1)每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？ (2)若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？ 30．（23-24八年级下·四川广元·期末）疫情过后，越来越多的人意识到“强身健体”的重要性，体育用品需求不断增加．某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用3000元购进A种球拍的数量与用2500元购进B种球拍的数量相同． (1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价； (2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共80副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这80副羽毛球拍的资金不超过8900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ (3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润30元，B种羽毛球拍每副可获利润25元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 31．（23-24八年级下·四川乐山·期末）五一节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲，乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． (1)求的值； (2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 32．（23-24八年级下·四川眉山·期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)现在商场准备一次性购进两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大的利润． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$