精品解析：广东省佛山市南海区2024-2025学年高二下学期素养提升学业水平测试数学试卷

南海区2024至2025学年第二学期高二素养提升学业水平测试 数学试卷 本试卷共4页，19题，淌分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有3名同学去听同时进行的2个有关人工智能的知识讲座，每名同学可以自由选择其中的1个讲座，则不同的选法种数共有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 9种 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘法原理可直接得解. 【详解】由分步乘法计数原理可知，不同的选法种数共有种． 故选：C 2. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，求导得，又因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 故选：A. 3. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的通项公式代入求解即可. 【详解】． 故选：D. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在处取得最大值 C. 在（0，2）单调递增 D. 在处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调性，结合极值与最值的概念，即可求解. 【详解】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值. 故选：C. 5. 记为等差数列的前项和，若，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式可得结果. 【详解】，解得． 故选：B. 6. 已知公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则（ ） A. －5 B. 5 C. －3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由已知可得，进而求得公比，进而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以，所以，， 又因为，所以，所以． 故选：A. 7. 某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 35 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】由甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法、不含有甲的选法，根据分类计数原理得到结果． 【详解】由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有种，不含有甲的选法有种，共有种. 故选：B 8. 已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，求得，求得函数的单调性，进而得到答案. 【详解】由题意得，商品的利润， 则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也时函数的最大值． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最大自然数是16 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得，公差，再结合等差数列及其前项和的性质逐项判断即可. 【详解】因为，则，公差， 当时，；当时，，所以当时，取得最大值． ，所以使得成立的最大自然数是15． 故选：AC． 10. 已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若互斥，则 D. 若独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可． 【详解】选项A中：由对立事件定义可知,选项正确； 选项中：， 选项B正确； 选项C中：A，B互斥，，,，故选项C错误； 选项D中：A，B独立，则，则,故选项D正确. 故选：. 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线的图象与轴有交点 B. 当时，在处有极大值 C. 存在，使得是曲线的对称中心 D. 当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数零点的定义可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；由，得，设，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可判断D选项. 【详解】对于选项A，因为，所以曲线的图象与轴有交点，A正确； 对于选项B，当时，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以在处有极大值，B正确； 对于选项C，若是曲线的对称中心，则， 等式两边求导得，即， 所以函数的图象关于直线对称，即，可得， 此时， 因为 ， 所以，此时函数的图象关于点对称，不合乎题意，所以C错误； 对于选项D，当时，， 由，得， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 所以当时，取得最小值，即，且， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图像有两个不同的交点， 此时曲线与曲线在上有两个交点，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 在的展开式中，的系数为____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得展开式通项为，进而确定含项的r值，即可求其系数. 【详解】由题设，展开式通项为， 所以，令有，则的系数为. 故答案为： 13. 设函数是函数的导函数，且满足，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先求导，令即可求解. 【详解】由，得，令，得． 故答案为：1. 14. 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是_____；甲同学第局赢的概率_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用全概率公式求乙同学第2局赢的概率，根据题设得，应用构造法及等比数列的定义求通项公式即可. 【详解】记事件“第局甲赢”，则乙同学第2局赢的概率是 ， ，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2） 当时，在单调递增；当时， 在单调递减，在单调递增． 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，根据和分类讨论，可求得单调区间. 【小问1详解】 当时，． ，即切点为． ，则． 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 ． ①当时，，所以在单调递增． ②当时，由可得，由可得． 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递增；当时， 在单调递减，在单调递增． 16. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【小问1详解】 设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． 【小问2详解】 因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 17. 如图，长方体中，点在棱上，． （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 长方体中，平面平面，则， 而平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求出面面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 由，得，解得，， 设平面的法向量为，由，令，得， 设平面的法向量为为，由，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 18. 甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． （1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； （2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 【答案】（1） 的分布列为 2 3 4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列； （2）设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 【小问2详解】 解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”， 则，，彼此互斥，且， 可得， 且， 所以 19. 已知函数． （1）若当时，，求的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，当时，有．当且仅当时等号成立， 令，有，当且仅当时等号成立， 令，可得． 则， 即， 即 于是． 【解析】 【分析】（1）构造，并求导，分和两种情况分别讨论单调性即得结果； （2）当时，令，可得，赋值并结合裂项相消证明. 【小问1详解】 构造． 当时，有，当时，有，于是在单调递减， 所以，即，所以在上不恒成立． 当时，有，当，有，于是在单调递增， 所以，即，满足题意． 综上所述，的取值范围是． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海区2024至2025学年第二学期高二素养提升学业水平测试 数学试卷 本试卷共4页，19题，淌分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有3名同学去听同时进行的2个有关人工智能的知识讲座，每名同学可以自由选择其中的1个讲座，则不同的选法种数共有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 9种 2. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在处取得最大值 C. 在（0，2）单调递增 D. 在处取得最大值 5. 记为等差数列的前项和，若，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则（ ） A. －5 B. 5 C. －3 D. 3 7. 某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 35 D. 42 8. 已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最大自然数是16 10. 已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若互斥，则 D. 若独立，则 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线的图象与轴有交点 B. 当时，在处有极大值 C. 存在，使得是曲线的对称中心 D. 当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 在的展开式中，的系数为____________.（用数字作答） 13. 设函数是函数的导函数，且满足，则_____． 14. 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是_____；甲同学第局赢的概率_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 16. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，长方体中，点在棱上，． （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． （1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； （2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 19. 已知函数． （1）若当时，，求的取值范围； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $