高二下期末真题百题大通关（8大模块题型）（基础版）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选修二）

高二下期末真题百题大通关（8大模块题型）（基础版） 题型一 坐标平面上的直线 题型二 圆锥曲线 题型三 空间向量及其应用 题型四 数列 题型五 导数及其应用 题型六 计数原理 题型七 概率初步（续） 题型八 成对数据的统计分析 题型汇聚 题型练习 题型一 坐标平面上的直线 1．（23-24高二下·上海奉贤·期末）“”是“直线与直线垂直”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直求出值即可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 则“”是“直线与直线垂直”的充要条件. 故选：C. 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由两直线互相垂直可得，求解可得结论. 【详解】由直线与直线互相垂直， 可得，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为 . 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可得解. 【详解】因为直线的斜率为，则倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线的斜率为 ． 【答案】/ 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】转换成斜截式即可得. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海杨浦·期末）直线的倾斜角大小是 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据倾斜角和斜率关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为， 所以， 故答案为:. 6．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 7．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】平行直线及之间的距离. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角. 【详解】因为直线的方程为， 所以直线的斜率1， 令直线的倾斜角为，则， 因为， 所以. 故答案为：. 10．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【详解】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 题型二 圆锥曲线 11．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 12．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线平行、判断直线与圆的位置关系 【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【详解】如图：    直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B 13．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、抛物线的中点弦 【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线的距离为． 故选：A． 14．（24-25高二下·上海·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，最后点斜式写出所求直线方程； 【详解】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1， 所以所求直线为，即． 故答案为：. 15．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法，计算即得. 【详解】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 16．（23-24高二下·上海·期末）双曲线的渐近线是 . 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据渐近线方程的公式即可求解. 【详解】双曲线的渐近线是， 故答案为： 17．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，即可得准线方程. 【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上， 所以其准线方程为. 故答案为：. 18．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 19．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】． 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程． 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 20．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 21．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解． 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 22．（22-23高二下·上海闵行·期末）如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 【答案】４米 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立如图的平面直角坐标系，抛物线的方程是标准方程，由已知求得抛物线方程即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，且， 由题意在抛物线上，则，，即抛物线方程为． 水面上升1米，到位置，即，，， ∴水面宽度为 故答案为：４米． 23．（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【答案】 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，设圆的方程为，由、两点在圆上建立关于、的方程组，解出、的值即可得出所求圆的方程． 【详解】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 24．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】双曲线中的参数及范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程得到，求出双曲线方程，写出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）由，得到或，表达出，根据对称轴为得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 25．（23-24高二下·上海青浦·期末）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、求直线与圆交点的坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）由焦点坐标和短轴的两个顶点坐标可得半个椭圆的方程，由圆弧经过的焦点坐标和短轴的两个顶点坐标，可求出圆弧方程，可得图中“果圆”的方程； （2）通过联立方程组求出A、B两点坐标，可求弦AB的长度. 【详解】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与. 可得，即， 所以半个椭圆的方程为； 圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与， 设圆弧方程为， 利用，解得，所以， 得. 所以果圆方程为，. （2）由，解得，得， 由，解得，得， 所以. 题型三 空间向量及其应用 26．（23-24高二下·上海杨浦·期末）设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若且，则a、b的位置关系是（    ）． A．相交 B．平行 C．异面 D．不能确定 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】由正方体模型即线面平行的性质易判断a、b的位置关系. 【详解】由正方体的模型可得若且， 则a、b的位置关系可能平行，也可能相交，也可能异面， 故a、b的位置关系不能确定. 故选：D. 27．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 28．（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 【答案】4 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据向量平行得到关于m的等式，解出m即可. 【详解】因为与平行， 所以存在实数使即， 所以解得 故答案为：4. 29．（23-24高二下·上海嘉定·期末）在空间直角坐标系中一点关于坐标平面的对称点的坐标为 【答案】 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】由空间直角坐标系中点关于面对称的性质计算即可得. 【详解】由关于坐标平面对称的点的横坐标相反，纵坐标与竖坐标相等可得. 故答案为：. 30．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则 ． 【答案】 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量的坐标运算 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面xOz的对称点为， 则，所以. 故答案为：. 31．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以. 故答案为： 32．（22-23高二下·上海宝山·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则 .    【答案】 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】由空间向量的线性运算即可求解. 【详解】， 故答案为： 33．（22-23高二下·上海宝山·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 . 【答案】 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据给定条件，直接求出关于坐标面对称点的坐标作答. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为. 故答案为： 34．（23-24高二下·上海闵行·期末）沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为 ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意不妨设，结合数量积求的模长即可. 【详解】由题意可知：，且， 不妨设，则， 可得， 即，所以此三个力的合力的大小为. 故答案为：. 35．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】0/ 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据题意可得，可知∥平面或平面，即可得结果. 【详解】由题意可得：，即， 可知∥平面或平面， 所以直线与平面所成的角为0. 故答案为：0. 36．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    【答案】 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 37．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算 【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可. 【详解】，又， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 38．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值，即可得解； （2）求出平面的法向量，由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，垂直于平面，如建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 又，所以，即异面直线与所成角为； （2）因为，，， 设平面的法向量为，则，取， 则点到平面的距离. 39．（22-23高二下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由四边形为正方形， 可知为中点，为中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    题型四 数列 40．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②. 【详解】由，可得，故①正确； ， 当时，，不适合上式， 所以，故②正确. 故选：C. 41．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【详解】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 42．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【知识点】数学归纳法 【分析】直接用数学归纳法证明可得答案． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 43．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、圆的弦长与中点弦 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可. 【详解】曲线，即 由已知圆的圆心为，半径为，因为， 所以点在圆内，且， 所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长， 从而公差. 故选：B 44．（22-23高二下·上海浦东新·期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 【答案】B 【知识点】等比数列的定义、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合等比数列的概念即得. 【详解】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列， 由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”， 故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件. 故选：B. 45．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知数列为等差数列，，，则公差 . 【答案】2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列的通项公式列方程组直接计算即可. 【详解】由数列为等差数列,则有，解得. 故答案为：. 46．（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则 . 【答案】2 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项分析求解即可. 【详解】因为为等差数列，则，所以. 故答案为：2. 47．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，则 ． 【答案】0 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可． 【详解】等差数列中，， 则公差，则． 故答案为：0. 48．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，，则 ． 【答案】260 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列求和公式求解即可． 【详解】利用等差数列求和公式：可得， ． 故答案为：260. 49．（23-24高二下·上海·期末）已知数列满足：（为正整数），则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】已知式减去的递推式可得解. 【详解】当时，， 当时，， ， 两式相减得，可得， 综上，. 故答案为：. 50．（23-24高二下·上海·期末）已知数列为正项等比数列，，，则 ． 【答案】3 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】等比数列中， 因为，所以， 又为正项的等比数列，所以. 故答案为：3. 51．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 【答案】6 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 52．（23-24高二下·上海浦东新·期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 【答案】或 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】由于1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，从而得解． 【详解】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列， 则，联立得到，解得或． 当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意； 当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意． 综上所得，x、y的值分别是或． 故答案为：或． 53．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】根据数列的递推关系式，计算出前4项，再计算前4项和； 【详解】，. 当时； 当时； 当时； 所以数列的前4项和等于. 故答案为：. 54．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【知识点】数学归纳法 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 55．（23-24高二下·上海宝山·期末）中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里. 【答案】96 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列， 公比，， 因为，解得， 所以（里）. 故答案为：96. 56．（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，，则的值是 . 【答案】12 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】应用等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中， ，则， 所以. 故答案为：12 57．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 58．（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】（1）解得： （2）解得： 59．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列为等比数列，，． (1)求的值； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题意，由条件可得数列的通项公式，然后代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分组求和法结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为数列为等比数列，则，即，又， 则，所以. （2）由（1）可知，，则， 设数列的前n项和， 则 . 题型五 导数及其应用 60．（22-23高二下·上海静安·期末）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据瞬时速度含义，求导运算即可. 【详解】因为物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系， 所以，令，得. 故选：A 61．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【详解】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 62．（23-24高二下·上海·期末）设的导函数是连续函数，则下面不正确的是（    ） A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数 【分析】根据导函数与原函数的关系、函数的奇偶性的性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】对于A：当是奇函数时，则，则有，故必是偶函数，故A正确； 对于B：是偶函数，则，则，故必是奇函数，故B正确； 对于C：是周期函数，则，则，故必是周期函数，故C正确； 对于D：设不是周期函数，， ，是周期函数，但不是周期函数，故D错误. 故选：D． 63．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解． 【详解】函数的导函数为，且满足， ，把代入可得， 解得． 故选：C． 64．（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】导数的运算法则 【分析】利用积的导数法则可求解. 【详解】由，可得. 故答案为：. 65．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点是 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求导，根据导数即可求解. 【详解】，令，解得， 故答案为：. 66．（23-24高二下·上海·期末）函数 的驻点为 ． 【答案】1 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【详解】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 67．（23-24高二下·上海·期末）函数的驻点是 . 【答案】2 【知识点】导数的乘除法、函数极值点的辨析 【分析】根据驻点定义求导判断即可. 【详解】令，解得，所以函数的驻点是2. 故答案为：2. 68．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案. 【详解】,，则 . 故答案为：1. 69．（23-24高二下·上海·期末）已知，则 ． 【答案】4 【知识点】求某点处的导数值 【分析】求导代值即可. 【详解】，. 故答案为：4. 70．（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 71．（23-24高二下·上海·期末）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为7 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】用导数求出在上单调性，再比较的大小即可求解. 【详解】， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 又，所以在上的最小值为. 72．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）只需分别求得即可得解. （2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解. 【详解】（1），故所求为. （2）因为， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 而， 所以， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 73．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【详解】（1）由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 74．（23-24高二下·上海浦东新·期末）（1）求函数的单调区间． （2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间；（2）证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、判断数列的增减性 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）根据题意，由即可证明. 【详解】（1）因为，所以单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）证明：因为，则， 则 ， 即，所以， 所以数列是严格减数列 75．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值点． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为.极大点为，极小值点为 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的加减法、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的运算即可求解； （2）令，求出方程的根，再列表分析即可求解. 【详解】（1）由题得. （2）的定义域为， ， 令，或. 当变化时，的变化情况如下表， 正 0 负 0 正 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 函数的极大值点为，极小值点为. 76．（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)最大值为，最小值为 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 题型六 计数原理 77．（22-23高二下·上海闵行·期末）化简：=（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质化简计算得解. 【详解】. 故选：D 78．（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、其他排列模型 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲乙，再从剩下4名同学任选2人排列即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种选择， 又因为乙也不担任四辩，共有2种选择， 从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有种， 所以一共有种. 故选：B. 79．（23-24高二下·上海虹口·期末）的二项展开式中的系数为 . 【答案】56 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项展开式通项，令，解得，回代即可求解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的二项展开式中的系数为. 故答案为：56. 80．（22-23高二下·上海闵行·期末）某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有 种不同的选法，(用数字回答) 【答案】20 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，可用排列数求解即得. 【详解】依题意，即从5人中选出2人分别参加两项竞赛，故选法数为. 故答案为：20. 81．（23-24高二下·上海·期末）从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为 ． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】先求得12条棱中任选2条方法数，再求得异面的取法数，可求概率. 【详解】从12条棱中任选2条有中选法， 从12条棱中任选一条，其任11条中有3条与其平行，有4条与其相交， 只有4条与其异面，故异面直线有对， 所以从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为. 故答案为：. 82．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知实数，在的二项展开式中. (1)求项的系数； (2)若第三项不大于第五项，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据题意可得通项为，令，运算求解即可； （2）由（1）可得：，，根据题意列式求解即可. 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 令，解得， 所以项的系数为. （2）由（1）可得：，， 由题意可知：，且，解得， 所以的取值范围为. 题型七 概率初步（续） 83．（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 【答案】B 【知识点】两点分布、建立二项分布模型解决实际问题、正态分布的实际应用、超几何分布的分布列 【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可. 【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布； 将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验， 一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为， 在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布； 件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为， 则服从超几何分布； 若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布； 所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动， 设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布. 故选：B 84．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量 服从正态分布 ，则 ． 【答案】12 【知识点】正态曲线的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】由已知求得，再由方差的性质可求得． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 又，所以． 故答案为：12. 85．（23-24高二下·上海·期末）一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是 ． 【答案】 【知识点】二项分布的方差 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】每1粒种子发芽的概率为，发芽种子数量， 所以发芽种子数量的方差是. 故答案为： 86．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.2/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为正态分布曲线的对称轴为，, 所以. 故答案为：. 87．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则 . 【答案】 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 88．（21-22高二下·上海浦东新·期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球． (1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值； (2)求从乙盒取出2个红球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】超几何分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解. 【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 分布列如下： 0 1 2 所以. （2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒， 此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0； (ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒， 此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； (iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒， 此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； 所以从乙盒取出2个红球的概率为. 题型八 成对数据的统计分析 89．（22-23高二下·上海金山·期末）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 【答案】C 【知识点】相关关系与函数关系的概念及辨析 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错. 故选：C. 90．（23-24高二下·上海·期末）下列命题为真命题的有（    ）个. ①若随机变量的方差为，则； ②对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立； ③相关系数越大，两组数据的相关程度越强. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】相关系数的意义及辨析、条件概率性质的应用、独立事件的判断、方差的性质 【分析】①，由方差的性质计算；②，由对立事件概率公式和条件概率公式得到；③，相关系数越大，两组数据的相关程度越强. 【详解】对于①，若随机变量的方差为，则，①错误； 对于②，，故， ，即，则事件A与B独立，②正确； 对于③，相关系数越大，两组数据的相关程度越强，③错误. 故选：B 91．（23-24高二下·上海·期末）为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 【答案】B 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计、相关系数的意义及辨析、判断正、负相关 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，由相关系数公式即可判断B，根据回归方程代入计算即可判断C，由的正负即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故B正确； 当时，y的预测值为，故C错误； 因为，所以与的样本是正相关，故D错误. 故选：B 92．（23-24高二下·上海·期末）某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程万千米/万千米 1 2 4 5 维修保养费用万元/万元 0.50 0.90 2.30 2.70 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是 ． 【答案】5.66 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】先利用线性回归方程必过样本中心点，求出，再用回归方程进行估计. 【详解】因为，， 由利用线性回归方程必过样本中心点，得：， 所以当时，. 故答案为：5.66 93．（23-24高二下·上海奉贤·期末）①事件A和事件B互斥，则； ②数据2，3，6，7，8，10，13，15的第50百分位数为7； ③在线性回归模型中，拟合误差越小，表示回归的效果越好； ④随机变量X的方差，则. 其中正确命题的序号为 . 【答案】①③ 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、互斥事件的概率加法公式、总体百分位数的估计 【分析】由互斥的并事件的概率判断①，利用百分位数的定义计算可判断②，拟合误差越小，表示回归的效果越好可判断③，利用方差的性质计算可判断④. 【详解】对于①，事件A和事件B互斥，则，故①正确； 对于②，因为，所以数据2，3，6，7，8，10，13，15的第50百分位数为，故②不正确； 对于③，在线性回归模型中，拟合误差越小，表示回归的效果越好，故③正确； 对于④，随机变量X的方差，则，故④错误. 故答案为：①③. 94．（23-24高二下·上海长宁·期末）某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与气温.由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 度. 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 【答案】40 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】先求解，代入方程求得，然后可得气温为时用电量的度数. 【详解】， ， 所以，所以当时，. 故答案为：40. 95．（23-24高二下·上海·期末）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程． x(次数/分钟) 20 30 40 50 60 y(℃) 25 27.5 29 32.5 36 则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为 ． 【答案】 【知识点】计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】根据给定数表求出样本的中心点，再求出值并求出预报值. 【详解】依题意，，， 于是，解得，则y关于x的线性回归方程为， 当时，， 所以该地当时的气温预报值为（℃）. 故答案为： 96．（23-24高二下·上海·期末）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 【答案】有 【知识点】卡方的计算、独立性检验的基本思想、独立性检验解决实际问题 【分析】根据列联表数据和的计算公式求出即可根据小概率值的独立性检验得到结论. 【详解】零假设为改款盲盒与性别无关联. 由列联表数据计算得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故有的把握认为改款盲盒与性别有关. 故答案为：有. 97．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 【答案】 【知识点】根据样本中心点求参数 【分析】根据经验回归方程必过样本点中心，代入数值后，即可求解. 【详解】由题意可得，， 则. 故答案为：185 98．（22-23高二下·上海松江·期末）某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示（单位：万元）： 广告费 4 2 3 5 销售额 49 26 39 54 根据上表建立线性回归方程中的为10，预测广告费为6万元时，销售额约为 万元. 【答案】67 【知识点】计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】样本中心代入回归方程，求出，得到回归方程，再由回归方程进行预测. 【详解】，， 把代入回归方程，有，得， 所以线性回归方程为， 当时，有. 故答案为：67 99．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】(1)，与具有较高的线性相关程度 (2) 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【详解】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 100．（23-24高二下·上海奉贤·期末）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望. 附：，. 【答案】(1)有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2) 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用表格中的数据计算的观测值，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，进而求出数学期望. 【详解】（1）零假设：患慢性气管炎与吸烟无关， ， 由，而，从而否定原假设， 即有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人， 的可能值为0，1，2，3， ，，，， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下期末真题百题大通关（8大模块题型）（基础版） 题型一 坐标平面上的直线 题型二 圆锥曲线 题型三 空间向量及其应用 题型四 数列 题型五 导数及其应用 题型六 计数原理 题型七 概率初步（续） 题型八 成对数据的统计分析 题型汇聚 题型练习 题型一 坐标平面上的直线 1．（23-24高二下·上海奉贤·期末）“”是“直线与直线垂直”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为 . 4．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线的斜率为 ． 5．（23-24高二下·上海杨浦·期末）直线的倾斜角大小是 ． 6．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 7．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 8．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 . 10．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 题型二 圆锥曲线 11．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 12．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 13．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 14．（24-25高二下·上海·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 15．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 16．（23-24高二下·上海·期末）双曲线的渐近线是 . 17．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 18．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 19．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 20．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 21．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 22．（22-23高二下·上海闵行·期末）如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 23．（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 24．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 25．（23-24高二下·上海青浦·期末）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 题型三 空间向量及其应用 26．（23-24高二下·上海杨浦·期末）设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若且，则a、b的位置关系是（    ）． A．相交 B．平行 C．异面 D．不能确定 27．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 28．（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 29．（23-24高二下·上海嘉定·期末）在空间直角坐标系中一点关于坐标平面的对称点的坐标为 30．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则 ． 31．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 32．（22-23高二下·上海宝山·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则 .    33．（22-23高二下·上海宝山·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 . 34．（23-24高二下·上海闵行·期末）沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为 ． 35．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 36．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    37．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 38．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 39．（22-23高二下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型四 数列 40．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 41．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 43．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（22-23高二下·上海浦东新·期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 45．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知数列为等差数列，，，则公差 . 46．（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则 . 47．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，则 ． 48．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，，则 ． 49．（23-24高二下·上海·期末）已知数列满足：（为正整数），则 ． 50．（23-24高二下·上海·期末）已知数列为正项等比数列，，，则 ． 51．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 52．（23-24高二下·上海浦东新·期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 53．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ． 54．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 55．（23-24高二下·上海宝山·期末）中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里. 56．（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，，则的值是 . 57．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 58．（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 59．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列为等比数列，，． (1)求的值； (2)求数列的前n项和． 题型五 导数及其应用 60．（22-23高二下·上海静安·期末）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 61．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 62．（23-24高二下·上海·期末）设的导函数是连续函数，则下面不正确的是（    ） A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 63．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 64．（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则 ． 65．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点是 ． 66．（23-24高二下·上海·期末）函数 的驻点为 ． 67．（23-24高二下·上海·期末）函数的驻点是 . 68．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则 ． 69．（23-24高二下·上海·期末）已知，则 ． 70．（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 71．（23-24高二下·上海·期末）求函数在上的最大值和最小值． 72．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 73．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 74．（23-24高二下·上海浦东新·期末）（1）求函数的单调区间． （2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列． 75．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值点． 76．（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 题型六 计数原理 77．（22-23高二下·上海闵行·期末）化简：=（   ）. A． B． C． D． 78．（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 79．（23-24高二下·上海虹口·期末）的二项展开式中的系数为 . 80．（22-23高二下·上海闵行·期末）某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有 种不同的选法，(用数字回答) 81．（23-24高二下·上海·期末）从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为 ． 82．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知实数，在的二项展开式中. (1)求项的系数； (2)若第三项不大于第五项，求的取值范围. 题型七 概率初步（续） 83．（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 84．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量 服从正态分布 ，则 ． 85．（23-24高二下·上海·期末）一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是 ． 86．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 87．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从二项分布，则 . 88．（21-22高二下·上海浦东新·期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球． (1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值； (2)求从乙盒取出2个红球的概率． 题型八 成对数据的统计分析 89．（22-23高二下·上海金山·期末）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 90．（23-24高二下·上海·期末）下列命题为真命题的有（    ）个. ①若随机变量的方差为，则； ②对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立； ③相关系数越大，两组数据的相关程度越强. A．0 B．1 C．2 D．3 91．（23-24高二下·上海·期末）为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 92．（23-24高二下·上海·期末）某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程万千米/万千米 1 2 4 5 维修保养费用万元/万元 0.50 0.90 2.30 2.70 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是 ． 93．（23-24高二下·上海奉贤·期末）①事件A和事件B互斥，则； ②数据2，3，6，7，8，10，13，15的第50百分位数为7； ③在线性回归模型中，拟合误差越小，表示回归的效果越好； ④随机变量X的方差，则. 其中正确命题的序号为 . 94．（23-24高二下·上海长宁·期末）某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与气温.由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 度. 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 95．（23-24高二下·上海·期末）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程． x(次数/分钟) 20 30 40 50 60 y(℃) 25 27.5 29 32.5 36 则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为 ． 96．（23-24高二下·上海·期末）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 97．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 98．（22-23高二下·上海松江·期末）某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示（单位：万元）： 广告费 4 2 3 5 销售额 49 26 39 54 根据上表建立线性回归方程中的为10，预测广告费为6万元时，销售额约为 万元. 99．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 100．（23-24高二下·上海奉贤·期末）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望. 附：，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$