第03讲 集合的基本运算（5个知识点+6个考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}; Venn图表示: 性质：①A∪A=A ②A∪Φ=A ③A∪B=B∪A ④AA∪B ，BA∪B ⑤A∪B=BAB 知识点2 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}； 交集的Venn图表示： 性质：①A∩A=A ②A∩Φ=Φ ③A∩B=B∩A ④A∩BA ，A∩BB ⑤A∩B=AAB 知识点3 全集与补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：即； 补集的Venn图表示： 性质：①CUU=Φ ②CUΦ=U ③CU(CUA)=A ④(CUA)∩A=Φ ⑤(CUA)∪A=U ⑥CU(A∩B)=(CUA )∪(CUB) ⑦CU(A∪B)=(CUA )∩(CUB) 知识点4 容斥原理 把含有限个元素的集合A叫做有限集，用Card（A）来表示有限集合A中元素的个数。 一般的，对任意两个有限集合A，B有. 知识点5 区间及其相关概念 设a，b是两个函数，而且a＜b，我们规定： （1） 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]; （2） 满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）; （3） 满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)，(a,b]; 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。 实数集R可以用闭区间表示为（−∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“−∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a, +∞),( a, +∞),( −∞，b], ( −∞，b)。 教材习题01 已知集合或，，则与的关系是 ． 解题方法 由或，得； 由，得 所以. 【答案】 . 教材习题02 已知集合，，则 . 解题方法 已知，， 则或， 则. 【答案】. 教材习题03 如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．    解题方法 图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为. 【答案】见解析 考点一 交集的概念与运算 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 考点二 并集的概念与运算 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 考点三 补集的概念与运算 1．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，，则 ，（ ． 考点四 交并补的混合运算 1．已知全集，则 . 2．已知全集，集合，，求，. 3．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 4．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 考点五 容斥原理的应用 1．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 2．某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 3．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 考点六 利用Venn图求集合 1．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 3．设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． （多选题）4．下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 知识导图记忆 知识目标复核 1．并集 2．交集 3．全集与补集 4．容斥原理 5．区间及其相关概念 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 3．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 6．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 （多选题）10．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 11．［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 12．已知集合和，满足，，则实数 ． 13．已知或，，若，则m的取值范围是 . 14．已知集合，则 ． 15．已知集合．若，求实数a的取值范围． 16．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 17．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}; Venn图表示: 性质：①A∪A=A ②A∪Φ=A ③A∪B=B∪A ④AA∪B ，BA∪B ⑤A∪B=BAB 知识点2 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}； 交集的Venn图表示： 性质：①A∩A=A ②A∩Φ=Φ ③A∩B=B∩A ④A∩BA ，A∩BB ⑤A∩B=AAB 知识点3 全集与补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：即； 补集的Venn图表示： 性质：①CUU=Φ ②CUΦ=U ③CU(CUA)=A ④(CUA)∩A=Φ ⑤(CUA)∪A=U ⑥CU(A∩B)=(CUA )∪(CUB) ⑦CU(A∪B)=(CUA )∩(CUB) 知识点4 容斥原理 把含有限个元素的集合A叫做有限集，用Card（A）来表示有限集合A中元素的个数。 一般的，对任意两个有限集合A，B有. 知识点5 区间及其相关概念 设a，b是两个函数，而且a＜b，我们规定： （1） 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]; （2） 满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）; （3） 满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)，(a,b]; 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。 实数集R可以用闭区间表示为（−∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“−∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a, +∞),( a, +∞),( −∞，b], ( −∞，b)。 教材习题01 已知集合或，，则与的关系是 ． 解题方法 由或，得； 由，得 所以. 【答案】 . 教材习题02 已知集合，，则 . 解题方法 已知，， 则或， 则. 【答案】. 教材习题03 如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．    解题方法 图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为. 【答案】见解析 考点一 交集的概念与运算 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 2．已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为集合，，则，则集合的元素个数为3， 所以的真子集个数是， 故选：C. 考点二 并集的概念与运算 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 故选：D 2．设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 【答案】C 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 4．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 考点三 补集的概念与运算 1．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，． 2．已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，∴. 故选：A. 3．已知全集，集合，，则 ，（ ． 【答案】 或 或． 【详解】或  利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图： 则或．又，所以或，或． 考点四 交并补的混合运算 1．已知全集，则 . 【答案】 【详解】全集，则， 所以. 故答案为： 2．已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 3．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 4．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 考点五 容斥原理的应用 1．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 2．某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 3．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 考点六 利用Venn图求集合 1．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 2．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 3．设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，阴影部分不在集合中，也不在集合中，因此不在集合中， 则阴影部分表示为，A正确，BCD错误. 故选：A （多选题）4．下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 知识导图记忆 知识目标复核 1．并集 2．交集 3．全集与补集 4．容斥原理 5．区间及其相关概念 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合中的元素确定集合的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案. 【详解】因为集合，集合， 所以，则，故A，B，D项错误，C项正确. 故选：C. 2．下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算 【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断. 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，①错，应该是. 对于②，是任意非空集合的真子集，②对. 对于③，集合是它本身的子集，③对. 对于④，“”是用于元素与集合的关系，④错. 对于⑤，是用于集合与集合的关系的，⑤错. 所以错误的写法有①④⑤，共3个. 故选：C. 3．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 因此，. 故选：B. 4．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】若，且，则，即. 5．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据图可得阴影部分表示的集合为，利用补集运算求出，由交集运算求出． 【详解】由图知所求阴影部分的集合为， ，， 又， ． 故选：D． 6．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、常用数集或数集关系应用 【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 7．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 8．已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算 【分析】由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义 【详解】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. （多选题）10．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、判断两个集合的包含关系 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 11．［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可. 【详解】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误； 若，则，不满足，B错误； 若，则，满足，C正确； 若，则，满足，D正确. 解法二： 当时，，所以，满足； 当时，此时， 若方程有两个相同实数根，则， 显然当时，方程根为，此时不满足， 当时，方程根为，此时满足， 若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以． 综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确 故选：CD 12．已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 13．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 14．已知集合，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【详解】因为，所以． 15．已知集合．若，求实数a的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算 【分析】由已知可得，分和两种情况列不等式分别求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得； 综上，实数a的取值范围为. 16．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【答案】(1)3 (2)18，，， 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、并集的概念及运算 【详解】（1）由集合，知，，所以. （2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意. 17．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$