第05讲 全称量词与存在量词（3个知识点+5个考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 知识点2 存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 知识点3 含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 教材习题01 写出下列命题的否定： (1)一切分数都是有理数； (2)正方形都是菱形； (3)，使； (4)，有． 解题方法 （1）“一切分数都是有理数”的否定为：存在一个分数，不是有理数； （2）“正方形都是菱形”的否定为：存在一个正方形，不是菱形； （3）“，使”的否定为：，有； （4）“，有”的否定为：，使 【答案】(1)存在一个分数，不是有理数 (2)存在一个正方形，不是菱形 (3)，有 (4)，使 教材习题02 判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无解； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数． 解题方法 （1）不是 （2）是；存在量词是“有些”； （3）是；存在量词是“存在”； （4）是；存在量词是“存在”. 【答案】(1)不是 (2)是；“有些” (3)是；“存在” (4)是；“存在” 教材习题03 判断下列命题的真假： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得． 解题方法 （1）因为，，从而有，即．因此（1）是真命题； （2）因为，但当时，不成立，因此（2）是假命题； （3）因为且，因此（3）是真命题； （4）因为只有两个实数根或，所以当时，因此（4）是假命题； （5），，三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设是外接圆的圆心，则，因此（5）是真命题． 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)真命题 考点一 判断命题是否为全称命题 1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 2．指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数，； (2)对某个大于10的正整数，． 3．用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 考点二 判断命题是否为特称命题 1．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 2．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 3．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 考点三 判断全称命题与特称命题的真假 1．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 （多选题）3．下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 （多选题）4．下列四个命题中，其中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 5．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 5．已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 考点五 含有一个量词的命题的否定的应用 1．若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 2．若“”是假命题，则实数a的取值范围是 . 3．若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是 . 知识导图记忆 知识目标复核 1．全称量词与全称量词命题 2．存在量词与存在量词命题 3．含有一个量词的命题的否定 1．设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 2．若：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（   ） A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭 C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭 4．某校组织了一次“我劳动、我快乐”的主题活动，旨在引导学生以自己的切身感受，体验劳动带来的乐趣，以促进学生道德品质的提高．已知参加此次活动的人数有50人，其中男生30名，女生20名，负责人将这些同学平均分为5个小组展开活动，则命题“存在某个小组，至少分配到1名女生”的否定是（    ） A．存在某个小组，至少分配到2名女生 B．任意一个小组，至少分配到1名女生 C．任意一个小组，没有分配到女生 D．存在某个小组，没有分配到女生 5．甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员 甲说：“冠军是李亮或张正” 乙说：“冠军是林帅或张正” 丙说：“林帅和李亮都不是冠军” 丁说：“陈奇是冠军”． 结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（   ） A．林帅 B．李亮 C．陈奇 D．张正 6．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 （多选题）8．下列说法中，正确的有（    ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 （多选题）9．下列判断正确的是（    ） A．方程组的解集为 B．“四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件 C．若，则的取值集合为 D．“”是存在量词命题 （多选题）10．以下正确的选项是（    ） A．不等式的解是 B．集合，若，则的值为2或 C．集合，则 D．命题为真命题 （多选题）11．下列说法正确的是（   ） A．空集是任意非空集合的真子集 B．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C．已知，，则与是两个不同的集合 D．已知命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则中有不属于的元素 12．命题“不是所有的实数都能写成小数形式”用量词符号“”或“”表示为 ．它是 （填“真”或“假”）命题． 13．命题，则是 ． 14．设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得.上述三个命题的否定是真命题的序号是 ． 15．命题的真假判断 因为命题p与命题互为否定，所以它们的真假一定 ．其真假情况如下： （1）若p真，则假； （2）若p假，则真． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全称量词与存在量词 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 知识点2 存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 知识点3 含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 教材习题01 写出下列命题的否定： (1)一切分数都是有理数； (2)正方形都是菱形； (3)，使； (4)，有． 解题方法 （1）“一切分数都是有理数”的否定为：存在一个分数，不是有理数； （2）“正方形都是菱形”的否定为：存在一个正方形，不是菱形； （3）“，使”的否定为：，有； （4）“，有”的否定为：，使 【答案】(1)存在一个分数，不是有理数 (2)存在一个正方形，不是菱形 (3)，有 (4)，使 教材习题02 判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无解； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数． 解题方法 （1）不是 （2）是；存在量词是“有些”； （3）是；存在量词是“存在”； （4）是；存在量词是“存在”. 【答案】(1)不是 (2)是；“有些” (3)是；“存在” (4)是；“存在” 教材习题03 判断下列命题的真假： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得． 解题方法 （1）因为，，从而有，即．因此（1）是真命题； （2）因为，但当时，不成立，因此（2）是假命题； （3）因为且，因此（3）是真命题； （4）因为只有两个实数根或，所以当时，因此（4）是假命题； （5），，三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设是外接圆的圆心，则，因此（5）是真命题． 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)真命题 考点一 判断命题是否为全称命题 1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个” (2)是，“所有” (3)是，“任意” (4)是，“” (5)是，“” 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 2．指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数，； (2)对某个大于10的正整数，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合． 该命题可以写成“，”； （2）命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合． 该命题可以写成“，，”， 或者写成“，，”． 3．用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 【答案】(1)，的内角和是 (2)，表示的相反数 (3)， 【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是”，因此使用特称量词可直接转换为“，的内角和是”. （2）由题意“任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“，表示的相反数”. （3）由题意“存在实数，”，因此使用特称量词可直接转换为“，”. 考点二 判断命题是否为特称命题 1．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 2．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 3．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形. 考点三 判断全称命题与特称命题的真假 1．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 2．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. （多选题）3．下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【答案】AB 【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． （多选题）4．下列四个命题中，其中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以，由于不能同时取得， 所以为真命题，故A正确； 当时，，所以为假命题，故B错误； 当时，成立，故为真命题，故C正确； 因为，，所以或时，有最小值，故为假命题，故D错误. 故选：AC 5．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则其否定是. 故选：C 3．已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以的否定为，． 故选：C． 4．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 5．已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，. 考点五 含有一个量词的命题的否定的应用 1．若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】因为“”为假命题， 所以其否定恒成立， 所以在上恒成立， 所以即， 所以的取值可以是5. 故选：A 2．若“”是假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得：“”为真命题， 所以，解得或. ∴实数a的取值范围为 故答案为： 3．若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若“存在，使得”是假命题， 则“任意，使得”是真命题， 根据一次函数在上单调递减，所以，即. 故答案为：. 知识导图记忆 知识目标复核 1．全称量词与全称量词命题 2．存在量词与存在量词命题 3．含有一个量词的命题的否定 1．设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【详解】因为，且1是奇数，所以A正确． 2．若：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出. 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，若：，，则是“，”. 故选：C. 3．定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（   ） A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭 C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】集合新定义、常用数集或数集关系应用 【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误. 【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对； B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对； C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对； D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错. 故选：D 4．某校组织了一次“我劳动、我快乐”的主题活动，旨在引导学生以自己的切身感受，体验劳动带来的乐趣，以促进学生道德品质的提高．已知参加此次活动的人数有50人，其中男生30名，女生20名，负责人将这些同学平均分为5个小组展开活动，则命题“存在某个小组，至少分配到1名女生”的否定是（    ） A．存在某个小组，至少分配到2名女生 B．任意一个小组，至少分配到1名女生 C．任意一个小组，没有分配到女生 D．存在某个小组，没有分配到女生 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用存在量词命题的否定可求解. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是“任意一个小组，没有分配到女生”． 故选：C. 5．甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员 甲说：“冠军是李亮或张正” 乙说：“冠军是林帅或张正” 丙说：“林帅和李亮都不是冠军” 丁说：“陈奇是冠军”． 结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（   ） A．林帅 B．李亮 C．陈奇 D．张正 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】推理案例赏析 【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可. 【详解】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误； 对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误； 对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确； 对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误. 故选：C 6．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定首先是改量词，把量词“”改为量词“”，不要忘记对结论否定. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为“，” 故选：B 7．下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可. 【详解】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误； 原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误； 原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误； 原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确． 故选：D. （多选题）8．下列说法中，正确的有（    ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据否定的定义判断A，应用特殊值法判断B，D，根据二次函数对称轴判断C. 【详解】命题，则命题的否定为，A选项错误； 当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，B选项错误； 对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，C选项正确； 当时，得，则命题“若，则”是假命题，D选项正确. 故选：CD. （多选题）9．下列判断正确的是（    ） A．方程组的解集为 B．“四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件 C．若，则的取值集合为 D．“”是存在量词命题 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法表示集合、判断命题的充分不必要条件、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】求出方程组的解集判断A；利用充分不必要条件的定义判断B；由元素与集合的关系求出判断C；利用存在量词命题的定义判断D. 【详解】对于A，方程组的解集为，A错误； 对于B，梯形有一组对边平行，但有一组对边平行的四边形不一定是梯形，B正确； 对于C，当时，，由，得，C正确； 对于D，是存在量词命题，D正确的. 故选：BCD （多选题）10．以下正确的选项是（    ） A．不等式的解是 B．集合，若，则的值为2或 C．集合，则 D．命题为真命题 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断两个集合的包含关系、特称命题的否定及其真假判断、利用不等式求值或取值范围 【分析】由绝对值不等式的解法可得A正确；由集合中未知元素得4再结合元素的互异性可得B正确；由集合的意义和空集的性质可得C正确；由方程的解可得D错误； 【详解】对于A，不等式等价于，解得，故A正确； 对于B，由题意可得或，解得或或， 当时，符合题意； 当时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，； 所以的值为2或，故B正确； 对于C，集合表示横坐标大于2，纵坐标小于的点集，有无穷多个，所以，故C正确； 对于D，，不为整数，故D错误. 故选：ABC. （多选题）11．下列说法正确的是（   ） A．空集是任意非空集合的真子集 B．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C．已知，，则与是两个不同的集合 D．已知命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则中有不属于的元素 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等、判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断、子集的概念 【分析】由真子集的概念可判断A选项；由充分条件、必要条件的判断方法可判断B选项；由集合相等概念可判断C选项；结合该命题否定的真假可判断D选项. 【详解】对于A：由真子集的概念可知，空集是任意非空集合的真子集，故A正确； 对于B：正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形， “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件，故B正确； 对于C：因为，， 所以集合与集合的元素相同，即，故C错误； 对于D：命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题， 则命题的否定“存在非空集合中的元素，不是集合中的元素”是真命题， 所以中有不属于的元素，故D正确. 故选：ABD. 12．命题“不是所有的实数都能写成小数形式”用量词符号“”或“”表示为 ．它是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 不能写成小数形式 真 【难度】0.85 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题 【详解】因为“不是所有的实数都能写成小数形式”即“存在实数不能写成小数形式”，所以可以表示为：不能写成小数形式．又无理数是不能写成小数形式的，所以它是真命题． 13．命题，则是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果. 【详解】因为命题为全称量词命题，则是. 故答案为：． 14．设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得.上述三个命题的否定是真命题的序号是 ． 【答案】①② 【难度】0.94 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】举特例，根据元素与集合关系判断各项命题是否为真即可. 【详解】根据题意，设，则A与B之间不存在包含关系． 因为且，所以①②是假命题； 由， 若，即对于，都有， 若且不存在包含关系，则必，使， 所以③是真命题． 综上，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题． 故答案为：①② 15．命题的真假判断 因为命题p与命题互为否定，所以它们的真假一定 ．其真假情况如下： （1）若p真，则假； （2）若p假，则真． 【答案】不同 【难度】0.94 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用命题p与命题的真假关系判断即得. 【详解】命题p与命题互为否定，所以它们的真假一定不同. 故答案为：不同 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$