专题03 方程与不等式-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题03 方程与不等式 题型概览 题型01 一次方程（组） 题型02 一元二次方程 题型03 分式方程 题型04 不等式（组） 题型05 方程与不等式综合 ( 题型 01 )一次方程（组） 1．（2025·辽宁盘锦·二模）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出五十， 盈十六；人出四八， 不足二十，问人数、物价各几何？”意思为： 几个人一起去买东西，如果每人出50钱， 就多了16钱； 如果每人出48钱， 就少了20钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）《孙子算经》中有一题：“今有买物，三鸡二鸭共直十钱；二鸡四鸭共直十二钱．问鸡、鸭各直几何？”其大意是：现购买3只鸡和2只鸭，共花费10钱；购买2只鸡和4只鸭，共花费12钱．问每只鸡和每只鸭的价格分别是多少？设每只鸡的价格为x钱，每只鸭的价格为y钱，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）《九章算术》卷七“盈不足”中（一四）题：“今有大器五，小器一容三斛；大器一，小器五容二斛，问大，小器各容几何？”其译文是：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器，小容器的容积各是多少？”如果设大容器容积为x，小容器容积为y，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁阜新·二模）《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·二模）如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 7．（2025·辽宁丹东·二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）2024年入冬以来，到哈尔滨赏冰玩雪的游客络绎不绝．2024年12月1日至21日，哈尔滨机场运送旅客万人次，同比增长，求2023年同期哈尔滨机场运送旅客多少万人次．若设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁铁岭·二模）方程组的解为 ． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）某小区为了绿化环境，计划分两次购进两种花草，第一次分别购进两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进两种花草12棵和5棵，两次共花费940元（两次购进的两种花草价格均分别相同）．求两种花草每棵的价格分别是多少元？ 11．（2025·辽宁沈阳·二模）某校积极开展劳动教育，两次购买锄头和铁锹，购买记录如下表： 锄头（把） 铁锹（把） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求锄头和铁锹的单价； (2)若该校再次计划购买锄头和铁锹共60把，锄头和铁锹的单价不变，其中锄头计划购买把，购买这60把锄头和铁锹共需要元，求与的函数表达式． ( 题型 02 )一元二次方程 1．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（　 　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2025·辽宁丹东·二模）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　 　） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）解方程：． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）解方程：． 7．（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 8．（2025·辽宁抚顺·二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 9．（2025·辽宁盘锦·二模）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)该玩具的日销售利润能否达到820元？如果能，求出当天玩具的销售单价是多少元？如果不能，说明理由． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. (1)求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） (2)若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 11．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． ( 题型 03 )分式方程 1．（2025·辽宁大连·二模）用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少?设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）古书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少文钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行35千米的时间与乙匀速骑行40千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时少骑行2千米，设甲每小时骑行千米，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁锦州·二模）方程的解是 ． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）分式方程 的解是 ． 6．（2025·辽宁辽阳·二模）代数式与代数的值相等，则 ． 7．（2025·辽宁鞍山·二模）解方程：． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）解分式方程： 9．（2025·辽宁本溪·二模）解方程：． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 11．（2025·辽宁葫芦岛·二模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的兴趣爱好，某校准备为社团购买，两种型号的“文房四宝”共套，共花费元，其中购买型号的“文房四宝”花费元．若每套型号“文房四宝”的价格是每套型号“文房四宝”价格的倍，求型号“文房四宝”的单价是多少元． ( 题型 0 4 )不等式（组） 1．（2025·辽宁本溪·二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 6．（2025·辽宁营口·二模）不等式组的解集为 ． 7．（2025·辽宁丹东·二模）要使分式有意义，则的取值应该满足的条件为 ． 8．（2025·辽宁葫芦岛·二模）解不等式组：． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）解不等式组： 10．（2025·辽宁阜新·二模）解不等式组 11．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，校园围墙内有一块等腰直角三角形区域，学校想要对此区域进行绿化改造：首先在区域内种植一棵景观树，然后再把区域分成三块分别种上不同花卉. (1)请在内部找一点M，在点M处种植景观树，并到三边距离相等，并分别连接将分为三个三角形（保留作图痕迹，不写画法）； (2)已知学校种植的三种花卉价格不同，第一种花卉需要的资金是a元，第二种花卉需要资金比第一种花卉需要资金的2倍还多100元，第三种花卉的资金是前两种花卉资金的和，若学校计划种植花卉资金不超过800元，试求第一种花卉需要的资金最多是多少元？ 12．（2025·辽宁铁岭·二模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． ( 题型 0 5 ) 方程与不等式综合 1．（2025·辽宁营口·二模）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时． (1)求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩； (2)现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩? 2．（2025·辽宁沈阳·二模）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨. (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨? (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与把吨土方全部运走，那么大型渣土运输车至少需要多少辆? 3．（2025·辽宁铁岭·二模）年关将至，幸福小区物业决定采购A，B两种型号的灯笼．若购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元． (1)求A，B两种型号灯笼的单价； (2)若需要购买A，B两种型号的灯笼共200个，总费用不超过3000元，至少需要购买A型灯笼多少个？ 4．（2025·辽宁抚顺·二模）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，该超市准备用不多于5400元的金额再次采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台． 5．（2025·四川成都·二模）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 6．（2025·辽宁盘锦·二模）某同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒，请问： (1)该同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高到64秒以内，他至少需要冲刺几秒？ 7．（2025·辽宁沈阳·二模）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人． (1)求八年级的学生总数x的取值范围； (2)如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 8．（2025·辽宁沈阳·二模）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 9．（2025·辽宁铁岭·二模）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等． (1)A，B两种机器每天各处理多少吨垃圾？ (2)该垃圾处理厂现有680吨垃圾要在不超过一天时间处理完，如果购进的A型机器比B型机器多2台，那么至少购进A型机器多少台才能按时处理完这些垃圾？ 10．（2025·辽宁本溪·二模）我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到亿（含预售），某商家推出两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要元． (1)求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ (2)若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共个，那么至少购买种挂件多少个？ 11．（2025·辽宁铁岭·二模）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 12．（2025·辽宁锦州·二模）为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． (1)求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； (2)便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 13．（2025·辽宁大连·二模）某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． (1)求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ (2)若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 14．（2025·辽宁丹东·二模）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书，已知每本乙种课外书的价格比每本甲种课外书的价格高出一半，若购进甲、乙两种课外书的费用分别为480元和600元，则所购买的乙种课外书比甲种课外书少4本． (1)求每本甲种课外书的价格； (2)学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过1300元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 15．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 16．（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式 题型概览 题型01 一次方程（组） 题型02 一元二次方程 题型03 分式方程 题型04 不等式（组） 题型05 方程与不等式综合 ( 题型 01 )一次方程（组） 1．（2025·辽宁盘锦·二模）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出五十， 盈十六；人出四八， 不足二十，问人数、物价各几何？”意思为： 几个人一起去买东西，如果每人出50钱， 就多了16钱； 如果每人出48钱， 就少了20钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出50钱，就多了16钱；如果每人出48钱，就少了20钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设共有x人，物品的价格为y钱， 根据题意有：， 故选：D． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）《孙子算经》中有一题：“今有买物，三鸡二鸭共直十钱；二鸡四鸭共直十二钱．问鸡、鸭各直几何？”其大意是：现购买3只鸡和2只鸭，共花费10钱；购买2只鸡和4只鸭，共花费12钱．问每只鸡和每只鸭的价格分别是多少？设每只鸡的价格为x钱，每只鸭的价格为y钱，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查列二元一次方程组，设每只鸡的价格为x钱，每只鸭的价格为y钱，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设每只鸡的价格为x钱，每只鸭的价格为y钱，根据题意得 故选：D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）《九章算术》卷七“盈不足”中（一四）题：“今有大器五，小器一容三斛；大器一，小器五容二斛，问大，小器各容几何？”其译文是：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器，小容器的容积各是多少？”如果设大容器容积为x，小容器容积为y，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设大容器容积为x，小容器容积为y，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设大容器容积为x，小容器容积为y， 由题意可得：， 故选：A． 5．（2025·辽宁阜新·二模）《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设人数为，根据每人出钱，会多4钱可得琎石的价格为元，根据每人出钱，又差3钱可得琎石的价格为元，据此列出方程即可得到答案． 【详解】解：设人数为， 由题意得，， 故选：A． 6．（2025·辽宁大连·二模）如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】多边形内角和问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了多边形四边形内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键 根据四边形内角和定理，列方程，求解x的值即可． 【详解】已知在四边形中，，，． 根据四边形内角和定理得：， ． 解得；． 所以x的值是65； 故选：B． 7．（2025·辽宁丹东·二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设清酒斗，醑酒斗，根据一共有5斗酒可得方程，根据一共有30斗谷子可得方程，据此建立方程组即可得到答案． 【详解】解；设清酒斗，醑酒斗， 由题意得，， 故选：A． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）2024年入冬以来，到哈尔滨赏冰玩雪的游客络绎不绝．2024年12月1日至21日，哈尔滨机场运送旅客万人次，同比增长，求2023年同期哈尔滨机场运送旅客多少万人次．若设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题关键能准确找出题目中的现期量、基期量和增长率； 根据同比增长率公式“现期量=基期量×(1+增长率)”，列出方程即可． 【详解】解：设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，根据题意得 ． 故选：A． 9．（2025·辽宁铁岭·二模）方程组的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①+②，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 方程组的解为， 故答案为：． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）某小区为了绿化环境，计划分两次购进两种花草，第一次分别购进两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进两种花草12棵和5棵，两次共花费940元（两次购进的两种花草价格均分别相同）．求两种花草每棵的价格分别是多少元？ 【答案】种花草每棵的价格是20元；种花草每棵的价格是5元 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出正确的方程组是解本题的关键．设种花草每棵的价格是元，种花草每棵的价格是元，根据第一次分别购进两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进两种花草12棵和5棵，两次共花费940元；列出方程组，即可解答． 【详解】解：设种花草每棵的价格是元，种花草每棵的价格是花， 根据题意得， 解得， 答：种花草每棵的价格是20元；种花草每棵的价格是5元． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）某校积极开展劳动教育，两次购买锄头和铁锹，购买记录如下表： 锄头（把） 铁锹（把） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求锄头和铁锹的单价； (2)若该校再次计划购买锄头和铁锹共60把，锄头和铁锹的单价不变，其中锄头计划购买把，购买这60把锄头和铁锹共需要元，求与的函数表达式． 【答案】(1)锄头单价为20元，铁锹单价为30元 (2) 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】设锄头单价是a元，铁锹的单价是b元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设锄头计划购买把，则购进铁锹把，根据题意，得，，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，列出代数式． 【详解】（1）解：设锄头单价是a元，铁锹的单价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：锄头单价是20元，铁锹的单价是30元． （2）解：设锄头计划购买把，则购进铁锹把，根据题意，得，， 整理得． ( 题型 02 )一元二次方程 1．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 2．（2025·辽宁锦州·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（　 　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，根据，即可判断根的情况． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（2025·辽宁丹东·二模）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得，，则原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意正确列出方程即可． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为， 故答案为：． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）解方程：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练找到合适的解题方法是解答本题的关键． 【详解】 方程化为 因式分解，得 于是得或 解得， 6．（2025·辽宁沈阳·二模）解方程：． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解题方法是关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 其中，，， ， ， 解得：， 7．（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：配方，得 由此可得， 解得：； （2）解： 因式分解，得 于是，得，或 解得：． 8．（2025·辽宁抚顺·二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】(1)当天可盈利1692元 (2)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利润，每件利润，件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【详解】（1）解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：元，销售数量件， 当天可盈利（元） 答：当天可盈利1692元； （2）解：根据题意得， 整理，得 解得， 为了尽快减少库存， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元. 9．（2025·辽宁盘锦·二模）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)该玩具的日销售利润能否达到820元？如果能，求出当天玩具的销售单价是多少元？如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程，是解答本题的关键． （1）设一次函数的关系式为，采用待定系数法即可求解； （2）设当天玩具的销售单位是x元，由题意得，，然后计算即可判断． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为， 由题图可知，函数图象过点和点把这两点的坐标代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的关系式为． （2）解：不能， 理由：设当天玩具的销售单位是x元， 由题意得，， 化简，得 ∴， ∴方程无解， ∴该玩具的日销售利润不能达到820元． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. (1)求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） (2)若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)销售单价应为14元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的数量关系． （1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式； （2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 把代入得， ， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设销售单价应为x元,根据题意得： ， 解得，，， ∵销售单价不得高于22元，即， ∴， ∴销售单价应为14元． 11．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可． 【详解】（1）解：设， 由题意，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元． 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数解应用题、一元二次方程解应用题，读懂题意，准确求出一次函数关系式，由等量关系列出一元二次方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，设与之间的函数关系式为，由函数图象，将，，代入函数关系式，由待定系数法解方程组即可得到答案； （2）由总利润单个商品利润销量得到，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数关系式为． 根据图象，可得该函数图象经过点，，将其代入函数关系式， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：能． 由题意，可得， 整理，得， 解得． 答：商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元． ( 题型 03 )分式方程 1．（2025·辽宁大连·二模）用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少?设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程， 故选：B． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）古书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少文钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程解应用题，若设绫布有尺，则罗布有尺，先由绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，表示出绫布和罗布的单价，再由绫布和罗布各出售1尺共收入120文，可知单价和为120，即可列出方程，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：若设绫布有尺，则罗布有尺， ，则， 故选：D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行35千米的时间与乙匀速骑行40千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时少骑行2千米，设甲每小时骑行千米，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲每小时骑行千米，则乙每小时骑行千米，再根据甲匀速骑行35千米的时间与乙匀速骑行40千米的时间相同列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 4．（2025·辽宁锦州·二模）方程的解是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键．将方程分别去分母，化为整式方程，解方程然后检验即可． 【详解】解：， ， ， 经检验，是方程的解； 故答案为：． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）分式方程 的解是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验，当， ∴原方程的解为， 故答案为：． 6．（2025·辽宁辽阳·二模）代数式与代数的值相等，则 ． 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先根据题意列出方程，再解分式方程，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：7． 7．（2025·辽宁鞍山·二模）解方程：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程．运用解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的根． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）解分式方程： 【答案】(2)无解 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的求解；原方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即可. 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解. 9．（2025·辽宁本溪·二模）解方程：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解： 解：， ， ． 经检验：是原方程解， 原分式方程的根是． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)，； (2)每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【难度】0.65 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． （1）根据方程形式，可判断变量表示的含义； （2）根据表示的含义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 11．（2025·辽宁葫芦岛·二模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 【答案】A车的平均数速度为 【难度】0.65 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的相等关系是解题的关键． 设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为，然后依据A车行驶时间比B车少列方程求解即可． 【详解】解：设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A车的平均数速度为． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的兴趣爱好，某校准备为社团购买，两种型号的“文房四宝”共套，共花费元，其中购买型号的“文房四宝”花费元．若每套型号“文房四宝”的价格是每套型号“文房四宝”价格的倍，求型号“文房四宝”的单价是多少元． 【答案】种型号“文房四宝”的单价200元 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号“文房四宝”的单价是元，根据购买 ，两种型号的“文房四宝”共套列方程求解即可． 【详解】解：设型号“文房四宝”的单价是元，由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种型号“文房四宝”的单价元． ( 题型 0 4 )不等式（组） 1．（2025·辽宁本溪·二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题考查了解不等式和在数轴上表示不等式的解集，求出不等式的解集，把解集表示在数轴上即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解集在数轴上表示如图， 故选A． 2．（2025·辽宁锦州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题考查的是不等式的解集在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线 ． 求得不等式的解集，将不等式的解集在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 将解集在数轴上表示为， 故选：B． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点、不包含用空心点是解题的关键． 根据不等式的解集即可解答． 【详解】 解：在数轴上表示不等式的解集为． 故选：A． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识，正确解该不等式组是解题关键．分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后将其表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， ∴该不等式的解集为 ， 将其表示在数轴上如图所示： 故选：B． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第二个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式可得． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∵不等式组无解， ∴， 故a的取值范围是：． 6．（2025·辽宁营口·二模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，解得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 7．（2025·辽宁丹东·二模）要使分式有意义，则的取值应该满足的条件为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 8．（2025·辽宁葫芦岛·二模）解不等式组：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法；先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可. 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：. 9．（2025·辽宁沈阳·二模）解不等式组： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知相关计算法则是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 10．（2025·辽宁阜新·二模）解不等式组 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找（空集）”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 11．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，校园围墙内有一块等腰直角三角形区域，学校想要对此区域进行绿化改造：首先在区域内种植一棵景观树，然后再把区域分成三块分别种上不同花卉. (1)请在内部找一点M，在点M处种植景观树，并到三边距离相等，并分别连接将分为三个三角形（保留作图痕迹，不写画法）； (2)已知学校种植的三种花卉价格不同，第一种花卉需要的资金是a元，第二种花卉需要资金比第一种花卉需要资金的2倍还多100元，第三种花卉的资金是前两种花卉资金的和，若学校计划种植花卉资金不超过800元，试求第一种花卉需要的资金最多是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)第一种花卉需要的资金最多是元 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的作法，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键. （1）根据题意可得点M为三边角平分线的交点，分别作的角平分线，交于点M，连接即可； （2）根据题意求出第二种花卉需要的资金为元，第三种花卉需要的资金为元，由种植花卉资金不超过800元，列出一元一次不等式，求解即可. 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：根据题意：第二种花卉需要的资金为元，第三种花卉需要的资金为元， 则， 解得：， 答：第一种花卉需要的资金最多是元. 12．（2025·辽宁铁岭·二模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识，解答本题的关键是掌握运算法则，按照运算法则依次计算即可．根据一元一次不等式的解法去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化1即可得解，然后将得到的解集在数轴上表示即可； 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 将这个不等式的解集在数轴上表示如下， ． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解．分别求解不等式组中的两个不等式，再取交集得到解集并在数轴上表示． 【详解】解：解不等式组 解不等式： 解得：， 解不等式： 解得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集如图所示： ( 题型 0 5 ) 方程与不等式综合 1．（2025·辽宁营口·二模）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时． (1)求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩； (2)现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩? 【答案】(1)亩； (2)无人机至少喷洒农药亩． 【难度】0.85 【知识点】分式方程的工程问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是关键． （1）设一个人每小时喷洒农药亩，一架无人机平均每小时喷洒农药亩，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时．据此列方程，解方程并检验即可； （2）设无人机喷洒农药亩，则人工喷洒农药亩，要求最多6小时完成喷洒工作，据此列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设一个人每小时喷洒农药亩，一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 则 解得, 经检验，是分式方程的解且符合题意； 答：一架无人机平均每小时喷洒农药亩； （2）设无人机喷洒农药亩，则人工喷洒农药亩， 则， 解得 答：无人机至少喷洒农药亩． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨. (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨? (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与把吨土方全部运走，那么大型渣土运输车至少需要多少辆? 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨 (2)至少需要大型渣土车辆 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的综合应用题，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键， （1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方 x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y 吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要安排 m 辆大型渣土运输车，则安排辆小型渣土运输车，根据题意列不等式求解，根据实际情况取整数即可得到答案． 【详解】（1）解：设一辆大型渣土运输车一次运输土方 x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y 吨， 根据题意得 ： 解得：. 答：一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方 5 吨； （2）解：设需要安排 m 辆大型渣土运输车，则安排辆小型渣土运输车， 根据题意得：， 解得：. 又∵，且为正整数， ∴， 答：至少需要大型渣土车辆. 3．（2025·辽宁铁岭·二模）年关将至，幸福小区物业决定采购A，B两种型号的灯笼．若购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元． (1)求A，B两种型号灯笼的单价； (2)若需要购买A，B两种型号的灯笼共200个，总费用不超过3000元，至少需要购买A型灯笼多少个？ 【答案】(1)A，B两种型号灯笼的单价分别为12元和20元 (2)125个 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A，B两种型号灯笼的单价分别为元和元，由“购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元”； （2）设需要购买A型灯笼个，则需要购买B型灯笼个，由总费用不超过3000元建立不等式求解． 【详解】（1）解：设A，B两种型号灯笼的单价分别为元和元 根据题意列方程组得 解得， 答：A，B两种型号灯笼的单价分别为12元和20元； （2）解：设需要购买A型灯笼个，则需要购买B型灯笼个 根据题意得 解得 答：至少需要购买A型灯笼125个． 4．（2025·辽宁抚顺·二模）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，该超市准备用不多于5400元的金额再次采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台． 【答案】(1)A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元 (2)A种型号的电风扇最多能采购10台 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，根据题意列方程组求解； （2）设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇台，根据“不多于5400元的金额”列不等式求解； 【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元． 由题意，得， 解得． 答：A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元． （2）解：设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇台． 由题意，得． 解得． 答：A种型号的电风扇最多能采购10台． 5．（2025·四川成都·二模）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 【答案】(1)数学书有本，语文书有本； (2)最多还可以摆本语文书． 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是正确理解题意并得出二元一次方程组及一元一次不等式． （1）设书架上数学书有本，语文书有本，由题意得出二元一次方程组后求解即可； （2）设再摆本语文书，列出不等式后求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本， 由题意得：， 解得， 答：数学书有本，语文书有本． （2）解：设再摆本语文书， 根据题意得：， 解得：， 答：最多还可以摆本语文书． 6．（2025·辽宁盘锦·二模）某同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒，请问： (1)该同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高到64秒以内，他至少需要冲刺几秒？ 【答案】(1)5秒 (2)8秒 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）利用路程时间速度及以6米/秒跑过的路程冲刺阶段跑过的路程列出一元一次方程，求解即可； （2）根据64秒的总路程不低于400米列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该同学冲刺的时间为x秒， ， 解得， 答：该同学冲刺的时间为5秒； （2）解：设冲刺的时间为t秒， ， 解得，， 答：至少需要冲刺8秒． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人． (1)求八年级的学生总数x的取值范围； (2)如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 【答案】(1)八年级的学生总数x的取值范围为 (2)这个学校八年级学生有300人 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程． （1）根据“给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款；多购买60支，可以按批发价付款”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围； （2）由按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，可得出批发价是零售价的，利用单价总价数量，结合批发价是零售价的，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：的取值范围为； （2）解：按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同， 批发价是零售价的． 根据题意得：， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：这个学校八年级学生有300人． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； (2)不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 9．（2025·辽宁铁岭·二模）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等． (1)A，B两种机器每天各处理多少吨垃圾？ (2)该垃圾处理厂现有680吨垃圾要在不超过一天时间处理完，如果购进的A型机器比B型机器多2台，那么至少购进A型机器多少台才能按时处理完这些垃圾？ 【答案】(1)A型机器每天处理100吨垃圾，B型机器每天处理60吨垃圾 (2)至少购进A型机器5台才能按时处理完这些垃圾 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设B型机器每天处理吨垃圾，则A型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出分式方程，解出的值即可解答； （2）设购进台A型机器，则购进台B型机器，根据题意列出不等式，求出的范围，即可解答． 【详解】（1）解：设B型机器每天处理吨垃圾，则A型机器每天处理吨垃圾． 根据题意，得， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 则， 答：A型机器每天处理100吨垃圾，B型机器每天处理60吨垃圾． （2）解：设购进台A型机器，则购进台B型机器， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进A型机器5台才能按时处理完这些垃圾． 10．（2025·辽宁本溪·二模）我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到亿（含预售），某商家推出两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要元． (1)求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ (2)若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共个，那么至少购买种挂件多少个？ 【答案】(1)每个种哪吒纪念挂件的进货是6元 (2)至少购买种挂件个 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解． （1）设每个种挂件的进价是元，则每个种挂件的进价是元，根据题意可列式，求解即可． （2）设购买种挂件个，则购买种挂件个，根据题意可列不等式，解得，再取其中的最小整数值，即可求解． 【详解】（1）解：设每个种挂件的进价是元，则每个种挂件的进价是元． 由题意可得：， 解得：， ， 即每个种哪吒纪念挂件的进货是元，每个种哪吒纪念挂件的进货是元， 答：每个种哪吒纪念挂件的进货是元． （2）解：设购买种挂件个，则购买种挂件个． 由题意可得：， 解得：， 取整数， 最小为， 答：至少购买种挂件个． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 【答案】(1)1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元 (2)4200 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程组和不等式是解题的关键． （1）设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元，根据题意列出方程组求解即可． （2）设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，根据“公司要求生产部门生产总费用不超过500000元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元， 则， 解得：， 答：1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元； （2）解：设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，， 则， 解得：， 答：最多可生产4200个A 型充电宝． 12．（2025·辽宁锦州·二模）为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． (1)求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； (2)便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； (2)甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程组是解题关键． （1）设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个，根据题意列出不等式求解得出，设利润为w元，根据题意列出一次函数解析式，然后求解即可． 【详解】（1）解：设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； （2）解：设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个， 由题意得：， 解得， 设利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵a为整数， ∴a最大为16，， ∴元， ∴甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 13．（2025·辽宁大连·二模）某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． (1)求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ (2)若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 【答案】(1)A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元 (2)该公司至少要采购5台A型电脑 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．解题关键在于准确找出题目中的等量关系和不等关系，通过合理设未知数，列出方程组和不等式，进而求解得出答案． （1）已知两种不同的采购组合及对应的花费，通过设未知数，利用这两个等量关系列出二元一次方程组．方程组中表示“1台型电脑和2台型电脑花费万元” ，表示“3台型电脑和1台型电脑花费万元” ．然后通过解方程组得出、两种型号电脑的单价． （2）已知要采购两种电脑共台，设采购型电脑台，则采购型电脑台．根据“总费用不超过万元”这一不等关系列出一元一次不等式．不等式左边表示采购、两种电脑的总费用，通过解不等式得出的取值范围，进而得到型电脑最少的采购数量． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电脑每台的售价分别为万元和万元． 解得． 答：A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元． （2）解：设该公司要采购A型电脑a台． ． 解得． 答：该公司至少要采购5台A型电脑． 14．（2025·辽宁丹东·二模）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书，已知每本乙种课外书的价格比每本甲种课外书的价格高出一半，若购进甲、乙两种课外书的费用分别为480元和600元，则所购买的乙种课外书比甲种课外书少4本． (1)求每本甲种课外书的价格； (2)学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过1300元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 【答案】(1)每本甲种课外书的价格为20元； (2)该校最多可以购买30本乙种书． 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设每本甲种课外书的价格为元，则每本乙种课外书的价格为元，根据“购进甲、乙两种课外书的费用分别为480元和600元，则所购买的乙种课外书比甲种课外书少4本”列分式方程，即可求解； （2）设购买本乙种书，则购买本甲种书，根据“两种书的总费用不超过1300元”列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每本甲种课外书的价格为元，则每本乙种课外书的价格为元， 根据题意得， 解得， 答：每本甲种课外书的价格为20元； （2）解：设购买本乙种书，则购买本甲种书， 根据题意得， 解得， 答：该校最多可以购买30本乙种书． 15．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品5包，B种食品4包 (2)最多能选用2包A种食品 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设选用A种食品包，B种食品包，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设选用包种食品，根据题意列出不等式，求出的范围，结合是整数，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设选用A种食品包，B种食品包， 由题意得，， 解得：， 答：应选用A种食品5包，B种食品4包． （2）解：设选用包A种食品， 由题意得，， 解得：， 是整数， 的最大值为2， 答：最多能选用2包A种食品． 16．（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验． （1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过80天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设计划每天挖掘米，根据题意，得 ， 解得． 经检验是原方程的根． 实际每天挖掘为米． 答：实际每天挖掘6米． （2）解：设每天应多挖掘米，根据题意得， 解得． 答：至少每天应多挖掘2米． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$