第11讲 弧长及扇形面积-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第11讲 弧长及扇形面积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 教材习题01 解题方法 弧长公式计算 【答案】 教材习题02 解题方法 弧长的面积 【答案】 / 考点一 求弧长 1．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长公式，先根据等边对等角得到，由圆周角定理求出，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，则的半径为， ∴的长， 故选：B． 2．（2025·浙江绍兴·二模）若扇形的圆心角为，半径为8，则它的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧长．根据弧长公式即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为8， ∴它的弧长为， 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·二模）如图，是在上的点，，，则的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，掌握以上知识是关键． 根据圆周角定理得到的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（2025·吉林长春·二模）如图，正五边形的边长为2，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆在正五边形内部的的长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据五边形是正五边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一，随着传统服饰日益受到关注，马面裙也强势“出圈”．如图1为马面裙的一种经典款式，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长为0.6米，弧长为米，圆心角，则弧长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键，根据弧长BC为米及的度数，可求出的长，再求出的长，然后利用弧长公式计算即可得解． 【详解】解：∵弧长为米，， ， 解得： ∵长为0.6米，， 的长为1米， ∴弧长为：(米)， 故答案为：． 考点二 求扇形半径 1．（24-25九年级上·广西南宁·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 则， 解得：， 故选：C． 2．（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长．设，则，根据圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设，则， 根据题意可得：， 解得：， ， 故答案为：． 考点三 求圆心角 1．（2025·安徽淮北·二模）已知时钟的分针长，初始时刻为整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，钟面角， 先根据弧长公式求出分针转动的角度，再根据分针1分钟转动可得答案． 【详解】解：设分针走过的角度为， 由题意可知，， 解得， 所以分针走了10分钟，即． 故选：D． 2．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 3．（2025·云南德宏·一模）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，小文同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，则点A绕O点转过的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．设旋转的角度是，根据当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为， 又滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 考点四 求某点的弧形运动路径长度 1．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，利用正六边形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到的长度，最后根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 故选：C． 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【答案】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，先根据旋转性质求得，，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴点A经过的路径长至少为， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图，如图，和是两个完全重合的直角三角板，，长为．三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据三角形内角和和含度的直角三角形三边的关系得到，，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可． 【详解】解：，，， ， ， 三角板绕直角顶点顺时针旋转，点落在边上， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 弧的长度， 即点所转过的路径长． 故答案为：． 考点五 求扇形面积 1．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，由圆周角定理得到，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·贵州贵阳·一模）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据直接求解即可． 【详解】解：如图，． 故选：A． 3．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·湖南常德·二模）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明是等边三角形，求出，得到（），即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， （）， 故答案为： 考点六 求图形旋转后扫过的面积求弓形面积 1．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键． 如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积， ∵，， ∴， 故选：B ． 3．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 考点七 求其他不规则图形的面积 1．（2023九年级·全国·专题练习）家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 2．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 3．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 4．（2025·山西运城·模拟预测）如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在OA，OB上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是扇形面积、30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，根据勾股定理求得的长是解题的关键． 连接，过点作，垂足为点．根据菱形性质可得，，在中，可求，，然后利用在中可求得，最后由阴影部分的面积扇形的面积 求解即可． 【详解】解：连接，过点作，垂足为点． ∵在菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴，扇形的面积， ∴， ， ∵在菱形，， ∴，解得：， ∴ 阴影部分的面积扇形的面积 ． 故选：A． 5．（2025·河南新乡·二模）如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，交于H，由“直径所对的圆周角等于”可得，即 F点是、的交点．由菱形的性质可得，， ，．再证，则可得，进而可得，则可得，求得，则可得，由即可得解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及扇形的面积．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交于H． ∵ 是的直径， ， ∴F点是、的交点， ∵菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B 知识导图记忆 知识目标复核 1.求弧长 2.求扇形的半径 3.求圆心角 4.求扇形的面积 5.求不规则图形的面积 一、单选题 1．（2025·安徽滁州·一模）在扇形中，的长为，，则扇形的半径为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题涉及扇形弧长公式，通过已知的弧长和圆心角，利用弧长公式来求解半径． 将已知条件代入弧长公式，然后通过计算得出半径的值． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：8． 2．（24-25九年级上·广东潮州·期末）若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3．（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轨迹、弧长公式等知识点，正确理解题意及熟练利用弧长公式是解题的关键． 根据鞋尖A在“向右转”的运动中路径是以O为圆心为半径，圆心角为的一段弧，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：依题意可知：鞋尖A在 “向右转”的运动中路径长是一段弧长，其半径是,弧的圆心角为， ∴ 鞋尖A在“向右转”的运动中路径长. 故选：A． 4．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，在矩形中，．若将绕点旋转后，点落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题． 用扇形面积减去的面积来求得正确答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， 所以图中阴影部分的面积是． 故选：C． 5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 6．（21-22九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，圆心运动路径的长度弧的长，根据弧长公式计算即可． 【详解】如图所示： 圆心运动路径的长度弧的长 故选：A． 【点睛】本题考查了轨迹、圆的周长公式等知识，解题的关键是理清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆的周长公式是解题的关键． 二、填空题 7．（2025·四川成都·二模）如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为扇形圆心角的度数）直接求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．根据弧长的公式计算． 【详解】解：根据弧长的公式， ， ∴， 故答案为2． 9．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，，，，两两不相交，且半径都是，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，关键是由图形得到四个扇形的面积之和半径是的圆的面积．四个扇形的面积之和=半径是的圆的面积，由此即可计算． 【详解】解：四边形内角和是， 四个扇形的面积之和半径是的圆的面积， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）如图所示，扇形从图无滑动绕着点旋转到图 ()的位置，再由图紧贴直线运动到图，已知，．由图到图点所运动的路径长是______(结果保留)． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，旋转的性质，解题的关键是正确运用弧长公式进行计算． 由图到图，点所运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由图到图，点所运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长， 根据弧长公式（其中为圆心角度数，为半径）， 可得路径长：， 故答案为：． 11．（2025·宁夏银川·一模）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边的边长为6，则这个“菜洛三角形”的面积是 ．  （结果保留根号和） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积，先根据等边三角形的性质得，，再运用勾股定理算得，，观察图形得这个“菜洛三角形”的面积是，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 过点作，如图所示： ∴， ∴ ∴， ∴这个“菜洛三角形”的面积是； 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键；由旋转的性质可知阴影部分的面积即为扇形的面积，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∵与有一个公共部分， ∴； 故答案为． 三、解答题 13．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，求扇形面积，正确画出变换后的图形是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到A、B、C对应点的位置，再描出，并顺次连接即可得到答案； （3）根据题意可得线段在旋转过程中扫过的面积即为扇形的面积减去扇形，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求，则； （3）解：如图所示，根据题意可得线段在旋转过程中扫过的面积即为扇形的面积减去扇形， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段在旋转过程中扫过的面积． 14．（24-25九年级下·黑龙江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为．请解答下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了作图轴对称和旋转变换及不规则图形面积的求法，熟练掌握轴对称和旋转的性质以及网格特点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （3）根据旋转的性质和扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，证明即可； （2）连接，根据已知求出，从而可得和，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴直线是的切线； （2）连接，如图： ， ， ， ， ， ∵的半径为2， ， 【点睛】本题考查圆的综合题，考查切线判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 弧长及扇形面积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 教材习题01 解题方法 弧长公式计算 【答案】 教材习题02 解题方法 弧长的面积 【答案】 / 考点一 求弧长 1．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江绍兴·二模）若扇形的圆心角为，半径为8，则它的弧长为 ． 3．（2025·浙江杭州·二模）如图，是在上的点，，，则的长为 ．（结果保留） 4．（2025·吉林长春·二模）如图，正五边形的边长为2，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆在正五边形内部的的长为 （结果保留） 5．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一，随着传统服饰日益受到关注，马面裙也强势“出圈”．如图1为马面裙的一种经典款式，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长为0.6米，弧长为米，圆心角，则弧长为 米． 考点二 求扇形半径 1．（24-25九年级上·广西南宁·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 2．（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为 考点三 求圆心角 1．（2025·安徽淮北·二模）已知时钟的分针长，初始时刻为整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南德宏·一模）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，小文同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，则点A绕O点转过的度数为 ． 4．（2025·四川成都·二模）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则 ． 考点四 求某点的弧形运动路径长度 1．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      3．（24-25九年级上·吉林·期中）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 4．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图，如图，和是两个完全重合的直角三角板，，长为．三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ． 考点五 求扇形面积 1．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州贵阳·一模）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南常德·二模）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 考点六 求图形旋转后扫过的面积求弓形面积 1．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 考点七 求其他不规则图形的面积 1．（2023九年级·全国·专题练习）家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西运城·模拟预测）如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在OA，OB上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南新乡·二模）如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 知识导图记忆 知识目标复核 1.求弧长 2.求扇形的半径 3.求圆心角 4.求扇形的面积 5.求不规则图形的面积 一、单选题 1．（2025·安徽滁州·一模）在扇形中，的长为，，则扇形的半径为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．（24-25九年级上·广东潮州·期末）若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，在矩形中，．若将绕点旋转后，点落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·四川成都·二模）如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 9．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，，，，两两不相交，且半径都是，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ． 10．（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）如图所示，扇形从图无滑动绕着点旋转到图 ()的位置，再由图紧贴直线运动到图，已知，．由图到图点所运动的路径长是______(结果保留)． 11．（2025·宁夏银川·一模）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边的边长为6，则这个“菜洛三角形”的面积是 ．  （结果保留根号和） 12．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 13．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 14．（24-25九年级下·黑龙江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为．请解答下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$