第09讲 直线与圆的位置关系-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第09讲 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 教材习题01 解题方法 直线与圆相切的判定 【答案】 教材习题02 解题方法 切线长定理 【答案】 教材习题03 解题方法 三角形内切圆的性质 【答案】 / 考点一 直线与圆的位置关系的判定 1．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，已知的半径为，点到直线的距离为，则把直线向上平移 cm，才能使与相切． 【答案】或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，，为上一点，且于点，以点为圆心，半径为2的圆与直线的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，含直角三角形的性质， 根据直角三角形的性质求出，再根据得出结论即可． 【详解】解：在中，， ∴． ∵， ∴圆与直线相交． 故答案为：相交． 3．在中，，，，以为圆心，为半径作，则和的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了直线和园的位置关系，过C作于D，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，和的半径比较即可． 【详解】解：过C作于D， 在中，由勾股定理得：，   由三角形面积公式得：， ∴， ∴C到的距离等于的半径长， ∴和的位置关系是相切， 故答案为：相切． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系．由题意易得的圆心到x的距离为6，半径为5，进而可根据直线与圆的位置关系可求解． 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴的圆心到x的距离为6， ∵的半径为5， ∴轴与的位置关系是相离； 故答案为：相离． 考点二 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 1．（2025·浙江金华·二模）如图，是的弦，与相切于点，经过圆心．若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；连接，根据切线性质得，再由三角形的内角和求出的度数，并根据同圆的半径相等求出结论． 【详解】解：连接，   是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的性质、垂径定理和勾股定理．设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接， 边与相切， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， 在中，，即， 解得：（舍去）， 正方形的边长为 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、多边形内角和定理；由切线可知，，由圆周角定理，得，进而根据四边形内角和求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A，与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，是直径，四边形内接于，，过D点的切线与直线交于点P，则的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，即，又因为，故，所以；又因为为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， 则， 又∵，四边形内接于， 故， ∴； ∵ ∴ 又∵为切线， ∴， ∵ ∴， 即． 故答案为：． 5．（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据切线的性质及切线长定理得，再证明，根据全等三角形的性质得，然后结合已知条件答案可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：25． 考点三 切线的判定 1．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键．连接，先证明得到，再利用平行线的性质得到，进而利用切线的判定定理可得结论． 【详解】证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴是的切线． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，进而可证得结论； （2）利用直角三角形的性质，勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明： 是半圆O的直径， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知的直径为，点在圆周上（异于，），． (1)若，求的长； (2)若是的平分线，求证：直线是的切线． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解； （2）连结，证明，再得到，利用切线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴． 为直径， ， ，， ∴根据勾股定理可得：， ∴的长为8． （2）解：连接，如图所示： ， 是的角平分线， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定定理等内容，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图，直线经过上的点C，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． （1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的判定即可得出答案； （2）根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， 为的半径， 直线是的切线． （2）解：， ， ， ， 在中，由勾股定理，得： ． 考点四 切线的性质与判定的综合运用 1．（2023·福建厦门·二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，由圆周角定理，得到，然后由平行线的判定和性质，即可得到结论成立； （2）由题意，先求出的半径，然后由弧长公式进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：，又为的半径， 为的切线；    （2）解：设的半径为， 则， 由（1）可知：， 为直角三角形， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，切线的判定定理，以及平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 2．（2023·江苏扬州·二模）如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）直接根据“”证明即可得出结论； （2）设的半径为，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， 则， 在中，， 即， 解得：， 故的半径为. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线和垂直可得，得到，再根据，得到，则，由此即可求解； （2）作，可得四边形是矩形，设，则，在中由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：作， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴设，则， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，掌握切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 考点五 利用切线长定理的性质求线段长度或周长 1．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为P、C、D．如果．则的长为 ． 【答案】2 【分析】由于是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵、为的切线， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 故答案为：2． 4．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理．根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，据此计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 考点六 三角形的内切圆与内心 1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内心可得平分，平分，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，连接，由圆周角定理可得，从而得出，由三角形内心的定义可得，求出，得出，从而可得，，再由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图：延长交于点，连接，   ， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内心的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，是的内切圆，分别切于点D，E，F，P是上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 连接，切线的性质，得到，四边形的内角和求出的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是的内切圆，E，F是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵内切圆分别于、、相切于点、、， ∴， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 直线与圆的位置关系 2.切线性质 3.切线的判定 4.切线长的定理 5.三角形的内切圆与内心 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为，而圆心到直线的距离为，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为，圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：B． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据三角形中位线定理、平行线的性质与判定、切线的判定定理证明，判断即可． 【解答】解：、，， 是△的中位线， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； B、由选项可知：是的切线，故本选项不符合题意； C、， ， ， ， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的判定，三角形中位线定理、平行线的性质与判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离．则直线与的公共点的个数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握根据圆心到直线的距离与半径的大小关系是判段点的个数的关键． 若圆心到直线的距离，圆的半径， 当时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点； 当时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点； 当时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点． 【详解】解： 的半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点， 故选：B． 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，切线的性质，先证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵切于点A， ∴， ∵， ∴， 故选：B 5．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，即可求解；掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解： 是的内切圆，切点分别为，，， ， ， ， 的周长为： ； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，，分别与圆相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则 °． 【答案】42 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接、，根据切线的性质得到，，根据四边形内角和是求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别与圆相切于A，B两点， ∴，， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：42． 9．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质—“圆的切线垂直于经过切点的半径”，也考查了圆周角定理和勾股定理．掌握切线的性质和圆周角定理是解本题的关键． 连接，如图，先根据切线的性质得到，则可计算出，再判断为等边三角形得到，接着利用圆周角定理得到，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为直径， ， ． 故答案为：． 10．（22-23九年级上·云南昆明·期中）如图，，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查切线长定理，由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 【详解】解：∵、分别切于A、B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 11．（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆的综合题，菱形的性质，切线的判定与性质，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 连接，由菱形的性质得，再由三角函数即可解答． 【详解】解：连接．   四边形是菱形， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ． 12．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（2025·广东广州·二模）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，连接，由圆周角定理得到，由切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵分别与圆相切于两点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，则的半径为 ． 【答案】 【分析】运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，结合内接圆可得四边形是正方形，设的半径，则，所以，则，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，， ∵的内切圆与分别相切于点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定和性质，三角形内接圆，切线长定理的综合，掌握切线长定理是解题的关键． 三、解答题 15．（2025·山东济南·二模）如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，然后利用∠得到，即可得出结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵点D是弧的中点，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为r，则， 在中，∵，，， ∴， 解得， 即的半径为3． 16．（2025·湖北襄阳·二模）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定和，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识的综合运用，掌握切线的判定，角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可证，，，结合切线的判定即可求解； （2）如图，过点作于点，可证，则，在中，根据勾股定理得到，由即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． （2）解：如图，过点作于点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的直径，且， ∴， 在中，， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 教材习题01 解题方法 直线与圆相切的判定 【答案】 教材习题02 解题方法 切线长定理 【答案】 教材习题03 解题方法 三角形内切圆的性质 【答案】 / 考点一 直线与圆的位置关系的判定 1．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，已知的半径为，点到直线的距离为，则把直线向上平移 cm，才能使与相切． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，，为上一点，且于点，以点为圆心，半径为2的圆与直线的位置关系是 ． 3．在中，，，，以为圆心，为半径作，则和的位置关系是 ． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是 ． 考点二 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 1．（2025·浙江金华·二模）如图，是的弦，与相切于点，经过圆心．若，则 ．    2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，是直径，四边形内接于，，过D点的切线与直线交于点P，则的度数为 ． 5．（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 考点三 切线的判定 1．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，则的长． 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知的直径为，点在圆周上（异于，），． (1)若，求的长； (2)若是的平分线，求证：直线是的切线． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图，直线经过上的点C，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 考点四 切线的性质与判定的综合运用 1．（2023·福建厦门·二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 2．（2023·江苏扬州·二模）如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分； (2)若，求的半径． 考点五 利用切线长定理的性质求线段长度或周长 1．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为P、C、D．如果．则的长为 ． 4．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 考点六 三角形的内切圆与内心 1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，是的内切圆，分别切于点D，E，F，P是上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 直线与圆的位置关系 2.切线性质 3.切线的判定 4.切线长的定理 5.三角形的内切圆与内心 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离．则直线与的公共点的个数为（   ）． A． B． C．或 D．或 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 二、填空题 6．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 ． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，，分别与圆相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则 °． 9．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为 ． 10．（22-23九年级上·云南昆明·期中）如图，，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 11．（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．    12．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 13．（2025·广东广州·二模）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 14．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，则的半径为 ． 三、解答题 15．（2025·山东济南·二模）如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．（2025·湖北襄阳·二模）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线： (2)若，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$