专题11 平行四边形（5大题型37题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题11 平行四边形 题型概览 题型01 多边形及其内角和 题型02 利用平行四边形的性质求解 题型03 平行四边形的判定 题型04 平行四边形的综合题 题型05 与三角形中位线有关的求解问题 ( 题型01 )多边形及其内角和 1．（2025·河南平顶山·一模）有一个内角和为的正多边形图案，那么这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·一模）洛阳明堂的底部是一个正八边形造型，其每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·一模）如图，正六边形的边长为1，分别以B、D、F为圆心，1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南驻马店·一模）如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，射线l与正六边形的边交于点P．射线l从射线的位置开始，绕点沿逆时针方向旋转，每次旋转．已知，则第2024次旋转结束时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·一模）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 ( 题型02 )利用平行四边形的性质求解 7．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，且，，．将绕点O逆时针旋转，得到四边形，使点C的对应点落的延长线上，与交于点E，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 9．（2025·河南漯河·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上．已知点的坐标为，点的坐标为．若将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南南阳·一模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2025·河南周口·一模）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为（    ）． A． B． C． D． 12．（2025·河南周口·一模）如图，将边长为5的正方形的边绕点A逆时针旋转至，连接，过点D作垂直于直线，垂足为E，连接，，当以，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，的长为 ． 13．（2025·河南三门峡·一模）如图，与交于点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 14．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 15．（2025·河南焦作·一模）如图，在中，，点，在轴上，．将绕点旋转，当点落在轴的负半轴上时，点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 16．（2025·河南焦作·一模）如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 17．（2025·河南开封·一模）在平行四边形中 ，，，点为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为 ( 题型03 )平行四边形的判定 18．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)先用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 19．（2025·河南洛阳·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，请证明（1）中得到的四边形是平行四边形． 20．（2025·河南·一模）如图，已知矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若F为边上一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 21．（2025·河南周口·一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． (2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． (3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 22．（2025·河南平顶山·一模）如图，为的外接圆，，过点作交于点，过点作的切线交射线于点．连接，作射线交射线于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． ( 题型0 4 )平行四边形的综合题 23．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 24．（2025·河南周口·一模）如图1，在四边形中，，，，是对角线的中点，点从点出发沿方向匀速运动，到达点时停止．设点的运动路程为，的面积为，与的大致图象如图2所示，则的长为（    ） A． B． C．12 D． 25．（2025·河南·一模）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 26．（2025·河南·一模）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 27．（2025·河南·一模）如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ． 28．（2025·河南·一模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 29．（2025·河南·一模）如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为 ． ( 题型0 5 )与三角形中位线有关的求解问题 30．（2025·河南周口·一模）如图，直角三角形中，，点 P 为平面内一动点，，连接，点Q 是线段的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 31．（2025·河南商丘·一模）如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ． 32．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，D，E分别是边的中点． (1)尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 33．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 34．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为 ． 35．（2025·河南郑州·一模）如图（1），在中，点O为其中心，，．动点P从点A出发，沿运动到点E，再从点E沿直线运动到上的点F．设点P运动的路程为x，的面积为y（当点A，O，P共线时，），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则的长为（   ） A． B． C．3 D．4 36．（2025·河南信阳·一模）如图，在中，， ，是的中位线． (1)请用无刻度直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，求证：． 37．（2025·河南·一模）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在边上运动（不与B、C重合），交于点G，则下列等式错误的是（    ）    A． B． C． D． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平行四边形 题型概览 题型01 多边形及其内角和 题型02 利用平行四边形的性质求解 题型03 平行四边形的判定 题型04 平行四边形的综合题 题型05 与三角形中位线有关的求解问题 ( 题型01 )多边形及其内角和 1．（2025·河南平顶山·一模）有一个内角和为的正多边形图案，那么这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和及外角和，设这个正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式求得n的值，再利用多边形的外角和列式计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 由题意，得， 解得， 则， 即这个正多边形的每个外角为． 故选：C． 2．（2025·河南洛阳·一模）洛阳明堂的底部是一个正八边形造型，其每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形内角问题，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 正八边形的内角为； 故选B． 3．（2025·河南周口·一模）如图，正六边形的边长为1，分别以B、D、F为圆心，1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，多边形内角，含30度直角三角形，阴影部分面积等于三个扇形的面积减去正六边形的面积，熟练运用扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：观察图形可得， 六边形为正六边形， 每个内角为， 如图，连接，过点作交于点， ， 则， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2025·河南驻马店·一模）如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正五边形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 过点作于点，先求出正五边形的内角，再根据其轴对称性求出，再由三角形的外角性质即可解决． 【详解】解：过点作于点， ∵ ∵，， ∴， ∵正五边形是轴对称图形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，射线l与正六边形的边交于点P．射线l从射线的位置开始，绕点沿逆时针方向旋转，每次旋转．已知，则第2024次旋转结束时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，连接，得到是等边三角形， 得到，又由，可知射线每旋转次为一个循环，由，可得第次旋转结束时，射线的位置如图所示，下线与轴正半轴重合，即点与点重合，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可知，是等边三角形， ， ， ∴射线每旋转次为一个循环， ， ∴第次旋转结束时，射线的位置如图所示，下线与轴正半轴重合，即点与点重合， ∴点的坐标为， 故选：C． 6．（2025·河南·一模）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A ( 题型02 )利用平行四边形的性质求解 7．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，且，，．将绕点O逆时针旋转，得到四边形，使点C的对应点落的延长线上，与交于点E，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握是解答本题的关键． 过点作于点，过点作轴于点，根据题意可求，再利用勾股定理可求，易证，求得，易证，求得，即可求解． 【详解】解：设交轴于点，过点作于点，过点作轴于点， ， 由四边形是平行四边形，， 可得，，， ， 由旋转得，，， 在和中， ， ， ， 在直角中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：B． 8．（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中，， 在中，． 故答案为：2；． （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． ②如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为或． 9．（2025·河南漯河·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上．已知点的坐标为，点的坐标为．若将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得绕点顺时针旋转次，回到起始位置，第次旋转结束时点的坐标与第一次旋转结束时点的坐标相同，如图所示即为点的坐标，求出，得到，根据旋转的性质得到，，，，得出的横坐标为，纵坐标为，即可得到第次旋转结束时，点的对应点的坐标为． 【详解】解：， 绕点顺时针旋转次，回到起始位置， ， 第次旋转结束时点的坐标与第一次旋转结束时点的坐标相同， 如图所示即为点的坐标， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由旋转的性质可知，，，， 的横坐标为，纵坐标为， ， 第次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 故选：A． 10．（2025·河南南阳·一模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质．取的中点，连接，证得是的中位线，求得，，再求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∴是的中位线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（2025·河南周口·一模）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是得到． 根据折叠的性质得到，根据平行四边形的性质得到，即可求出． 【详解】解：由折叠可得，， 在中，． 又 ∵． ， ， 故选：A． 12．（2025·河南周口·一模）如图，将边长为5的正方形的边绕点A逆时针旋转至，连接，过点D作垂直于直线，垂足为E，连接，，当以，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，的长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和勾股定理，三角形面积计算，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∵四边形是平行四边形，正方形的边长为5， ∴，， ，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ； 当为平行四边形的边时，如图所示： 此时四边形为平行四边形，点E与点A重合， ∴， ∴． 综上分析可知：或10． 故答案为：10或． 13．（2025·河南三门峡·一模）如图，与交于点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，进而可以解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，关键是得到． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 14．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】取的中点G，连接，在中，根据，是的平分线，可得，即得，根据三角形中位线的性质可得，，根据即可求出答案． 【详解】解：取的中点G，连接， 在中，， ， 又是的平分线， ， ， ， O是的中点，F为的中点， ，， G是的中点，F为的中点， ，， ， O，F，G在同一条直线上， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（2025·河南焦作·一模）如图，在中，，点，在轴上，．将绕点旋转，当点落在轴的负半轴上时，点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，解直角三角形，坐标与图象，根据已知得出，根据旋转的性质可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点旋转，当点落在轴的负半轴上时，点的对应点为, ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即 ∵，点，在轴上，． ∴， ∴， ∴ ∴ ∵旋转， ∴， 过点作轴于点， ∴ ∴， ∵， 故选：B． 16．（2025·河南焦作·一模）如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用；根据平行四边形的性质，角平分线的定义得出，等角对等边可得，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴； ∵ ∴ ∴, ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长为， 故选：B． 17．（2025·河南开封·一模）在平行四边形中 ，，，点为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为 【答案】或 【分析】由平行四边形的性质可得，，分两种情况：当，当时，根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质求解即可． 【详解】解： 四边形是平行四边形，点为对角线的中点， ，， 当，即时，平行四边形是菱形， ， 是等边三角形， ； 当时， ， ， ， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． ( 题型03 )平行四边形的判定 18．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)先用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)图见解析，四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】此题考查的是反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，尺规作图． （1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；再根据点的横坐标，即可求得点的坐标； （2）利用尺规作图作出图形即可，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）解：点和的刻度分别为和， ， ，轴， ， 把代入得，，解得， 反比例函数解析式为； 点的坐标为； （2）解：如图所示， 猜想：四边形是平行四边形． 理由如下：轴，是的中点，，， ， 又点纵坐标为，轴， ， ， ∵， 四边形是平行四边形． 19．（2025·河南洛阳·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，请证明（1）中得到的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，则； （2）先证明，再证明，得到，，然后根据平行四边形的判定方法得出结论． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了尺规基本作图作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握线段垂直平分线的性质和平行四边形的判定是解题的关键． 20．（2025·河南·一模）如图，已知矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若F为边上一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、线段垂直平分线的作图等知识，准确作图是关键． （1）作线段垂直平分线，在线段上截取等于线段即可； （2）证明，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． 21．（2025·河南周口·一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． (2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． (3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①四边形是平行四边形，理由见解析；② 【分析】（1）根据邻余四边形的定义求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据勾股定理求出，在中根据勾股定理的逆定理可判定，根据三角形内角和定理可求出，然后根据邻余四边形的定义即可得证； （3）根据邻余四边形的定义、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理可求出，证明，得出，，则，最后根据平行线的判定即可得出结论； ②过A作交的延长线于F，连接，可证，得出，，由邻余四边形知，可求出，根据勾股定理求出，最后根据线段的垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （3）解：①四边形是平行四边形， 理由：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②过A作交的延长线于F，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由邻余四边形知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理与逆定理，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 22．（2025·河南平顶山·一模）如图，为的外接圆，，过点作交于点，过点作的切线交射线于点．连接，作射线交射线于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于，连接，根据切线的性质得，然后证明为的中垂线，即可得，最后根据平行四边形的判定解答即可； （2）先根据“弧，弦，圆心角的关系”得，再根据垂径定理得，接下来根据勾股定理求出， 然后设的半径为，则，根据勾股定理求出，进而得，再证明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于，连接， 与相切于点， . ，， 为的中垂线， ， . ， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， 即， ， ， . 在中，， 设的半径为，则， 在中，，解得， ． ， ， ， 即， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行四边形的判定，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，勾股定理是求线段长的常用方法． ( 题型0 4 )平行四边形的综合题 23．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，结合勾股定理可得的长，再根据平行四边形的性质和判定，可得四边形为平行四边形，进而可得四边形的周长． 【详解】解：在中，，， ∴，． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴四边形的周长为． 故选：B． 24．（2025·河南周口·一模）如图1，在四边形中，，，，是对角线的中点，点从点出发沿方向匀速运动，到达点时停止．设点的运动路程为，的面积为，与的大致图象如图2所示，则的长为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质与判定，勾股定理；过点作于点，根据题意得出四边形是平行四边形，根据得出，，进而根据图2得出，，根据三角形中线的性质以及三角形的面积公式得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 根据图2可得，当时，的面积最大， ∴当重合时， 又∵是对角线的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 25．（2025·河南·一模）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 26．（2025·河南·一模）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④四边形是菱形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④四边形是菱形． 27．（2025·河南·一模）如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案， 【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即， 在中，， ∴． ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴ 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴和均为等腰三角形，且， ∴， 由得到，则， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 28．（2025·河南·一模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M，    由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 29．（2025·河南·一模）如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为 ． 【答案】2或/2或2 【分析】分两种情况讨论：①若PA′与AO交于点F，连接A′O，易得S△DFP=S△ODP=S△A′DP，即可得到DF=OD=OF，PF=A′P=A′F．从而可得四边形A′DPO是平行四边形，即可得到OP=A′D，从而可求出OP；②若DA′与OC交于点G，连接AA′，交DP与H，如图，同理可得GP=OG，DG=DA′=1，根据三角形中位线定理可得AP=2，此时点P与点C重合，从而可求出OP． 【详解】解：①若PA′与为OA交于点F，连接A′O，如图． ∵点D是AO的中点， ∴OD=AD=2． 由折叠可得A′D=AD=2， 由题可得S△DFP=S△ODP=S△ADP=S△A′DP， ∴DF=OD=OF，PF=A′P=A′F． ∴四边形A′DPO是平行四边形， ∴OP=A′D=2； ②若DA′与BO交于点G，连接AA′，交DP与H，如图． 同理可得GP=OP=OG，DG=DA′=×2=1． ∵OD=AD， ∴DG=AP=1， ∴AP=2， 过点A作AC⊥OB于点C， ∵∠AOB=30°，OA=4， ∴AC=2， ∴点P与点C重合， ∴OP=OC=2． 故答案为：2或2． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． ( 题型0 5 )与三角形中位线有关的求解问题 30．（2025·河南周口·一模）如图，直角三角形中，，点 P 为平面内一动点，，连接，点Q 是线段的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了中位线的应用，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，三角形边长关系，取的中点，连接，利用三角形边长关系即可求解，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 点Q 是线段的中点， 是的中位线， ， 根据勾股定理可得， ， 根据三角形边长关系可得， 点在线段上时，线段的最小，最小值为， 点在线段的延长线上时，线段的最大，最大值为， 故答案为：2；3． 31．（2025·河南商丘·一模）如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形中位线的性质，首先根据点，分别为，的中点，可以求出、、，是的中位线，当点，，恰好在一条直线上时，，利用勾股定理可以求出，再分点与点的位置关系分情况求出的长度． 【详解】解：如下图所示，当点，，恰好在一条直线上时， ，，点，分别为，的中点， ， 是的中位线， ，， ， 在中，，，， ， 如下图所示， 当点，，恰好在一条直线上时，， 在中，， ； 如下图所示， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：为或． 32．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，D，E分别是边的中点． (1)尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查复杂作图，平行线分线段成比例以及三角形中位线的性质定理，正确作图是解答本题的关键． （1）作即可； （2）连接，证明是的中位线即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点F，线段即为所求． （2）证明：如图，连接． ∵D，E分别是边的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴，即, ∴F为的中点． ∴是的中位线． ∴． 33．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】如图，取的中点，连接，求解，在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，则为最小，为最长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，则为最小，为最长， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴的最小值为2，最大值为3； 故答案为：2，3 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，圆的确定，圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，确定E的轨迹是解本题的关键． 34．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】取的中点G，连接，则为的中位线，，，证明，推出，，分和两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，四边形为矩形， ，， 取的中点G，连接，则， D为的中点，G为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由图可得，故分两种情况讨论： 当时，如图： ， ， ； 当时，如图：     ， ； 综上可知，点B的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键． 35．（2025·河南郑州·一模）如图（1），在中，点O为其中心，，．动点P从点A出发，沿运动到点E，再从点E沿直线运动到上的点F．设点P运动的路程为x，的面积为y（当点A，O，P共线时，），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则的长为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，连接，过作于，结合题意可得，，三点共线，由函数图象可得：当时，可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得，，三点共线， 由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点， ， 当时，动点从点沿直线运动到上的点， 此时的面积不变， ，， ， 由条件可知， ， ，， ， 由平行线性质可知， ， ； 故选：D． 36．（2025·河南信阳·一模）如图，在中，， ，是的中位线． (1)请用无刻度直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，中位线的性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用尺规作图作一个角等于已知角作图即可； （2）利用，得出，利用则可得，再利用中位线判定，得出四边形是矩形，即可判定． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 37．（2025·河南·一模）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在边上运动（不与B、C重合），交于点G，则下列等式错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线的判定和性质即可求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可推得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可推得． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴ ∴， ∴是的中位线， ∴， 即，故A正确； ∵， ∴， 又∵点D是边的中点， ∴， 即，故B正确； ∵， ∴， 又∵点是边的中点， ∴， 即，故C正确； 不能证明， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的性质，相似三角形的判定和性质，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$