上海市高一下期末真题百题大通关（4大模块题型）（基础版）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修二）

高一下期末真题百题大通关（4大模块题型）（基础版） 题型一 三角 题型二 三角函数 题型三 平面向量 题型四 复数 题型汇聚 题型练习 题型一 三角 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．（22-23高一下·上海嘉定·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海黄浦·期末）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 7．（22-23高一下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 9．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 10．（23-24高一下·上海·期末）已知角的终边经过点，则 . 11．（23-24高一下·上海·期末）角属于第 象限角． 12．（23-24高一下·上海松江·期末）半径为6，圆心角等于的扇形的面积是 ． 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，则 . 14．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则 ． 15．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 16．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是 cm． 17．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 18．（23-24高一下·上海徐汇·期末）若为锐角，，则 . 19．（23-24高一下·上海·期末）已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为 ． 20．（23-24高一下·上海·期末）把化成的形式： . 21．（22-23高一下·上海嘉定·期末）把化为弧度 . 22．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知角的终边经过点，则 ． 23．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，则 ． 24．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知角的终边经过点，则角的正弦值是 ． 25．（22-23高一下·上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 26．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知，若，则 ． 27．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，则的值为 . 28．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，，则角 . 29．（22-23高一下·上海杨浦·期末）半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为 弧度. 30．（22-23高一下·上海静安·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为 . 31．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知，则 ． 32．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，且，则的值是 . 33．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在中，，则角的余弦值是 . 34．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知锐角、满足，，求的值． 35．（22-23高一下·上海闵行·期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 36．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，且，求的值， 37．（22-23高一下·上海闵行·期末）剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到.    已知点在圆上，且，记. (1)求在上的投影； (2)若，求镂空四边形的周长. 38．（23-24高一下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 39．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 40．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型二 三角函数 41．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 42．（22-23高一下·上海浦东新·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 43．（23-24高一下·上海·期末）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 47．（22-23高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期为 . 48．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 49．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 50．（23-24高一下·上海·期末）函数，的单调增区间为 ． 51．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 52．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 53．（23-24高一下·上海·期末）函数的值域是 ． 54．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，记 (1)求函数的值域； (2)求函数，的单调减区间； (3)若，恰有2个零点，求实数的取值范围和的值． 55．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 56．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 57．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值及相应的取值. 题型三 平面向量 58．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 59．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 61．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 62．（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 63．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 64．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 65．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数 ． 66．（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则 ． 67．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 (用坐标表示) 68．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系内，已知点，向量，则 ． 69．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 70．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，且，则实数 ． 71．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知向量，设，向量，若，则 ． 72．（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 73．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 74．（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 75．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 76．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，． (1)求； (2)若，求实数k的值． 77．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 题型四 复数 78．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 79．（23-24高一下·上海·期末）若，则至少有一个是虚数是是虚数的（   ） A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 80．（22-23高一下·上海奉贤·期末）“”是“复数是纯虚数”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 81．（23-24高一下·上海·期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 82．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 83．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数满足，则复数 ． 84．（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则 . 85．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 86．（23-24高一下·上海·期末）复数（是虚数单位）的虚部是 . 87．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第 象限． 88．（23-24高一下·上海·期末），若，，则 . 89．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足：，则 ． 90．（23-24高一下·上海·期末）已知复数（其中为虚数单位），则 . 91．（23-24高一下·上海·期末）若复数是方程的一个根，则 ． 92．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（i是虚数单位），则 ． 93．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知复数，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第 象限. 94．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 95．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 96．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 97．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位， (1)若，求实数的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 98．（23-24高一下·上海静安·期末）已知一元二次方程． (1)在复数范围内解该方程； (2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 99．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 100．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足． (1)求的共轭复数； (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期末真题百题大通关（4大模块题型）（基础版） 题型一 三角 题型二 三角函数 题型三 平面向量 题型四 复数 题型汇聚 题型练习 题型一 三角 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角 【分析】根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得. 【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 3．（22-23高一下·上海嘉定·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由于，所以， . 故选：B 4．（22-23高一下·上海黄浦·期末）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式逐一检查每个选项. 【详解】根据三角函数诱导公式，. ，A选项错误；∵，∴B选项正确； ∵，C选项错误；∵，∴D选项错误. 故选：B 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】找出终边相同的角 【分析】由已知结合终边相同的角的表示方法即可得答案. 【详解】因为，或， 所以在和之间与终边相同的角有和， 故选：A 6．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据角与角的终边关于轴对称，即可确定与的关系． 【详解】是与关于轴对称的一个角， 与的终边相同， 即（）， ，（）. 故选：D． 7．（22-23高一下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断 【详解】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误， 对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误， 对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误， 对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确， 所以真命题的个数是1， 故选：A 8．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求得，进而求得正确答案. 【详解】三角形ABC中，， 由正弦定理得， 因为，则B是锐角，所以 故选：A 9．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解. 【详解】由题. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据正切定义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海·期末）角属于第 象限角． 【答案】四 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角的定义即可得． 【详解】与终边相同． 而为第四象限角，所以为第四象限角. 故答案为：四． 12．（23-24高一下·上海松江·期末）半径为6，圆心角等于的扇形的面积是 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】由扇形面积公式即可直接计算求解. 【详解】由题得扇形的面积是. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，则 . 【答案】/0.8 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 14．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理结合配方法就可以求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为， 所以，即， 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/0.28 【知识点】二倍角的余弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义以及余弦倍角公式即可计算求解. 【详解】由题得， 故由三角函数定义得， 所以. 故答案为：. 16．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是 cm． 【答案】10 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长的定义求解即可. 【详解】由题意，弧长是cm. 故答案为：10 17．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式即可得到答案. 【详解】， 则， 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海徐汇·期末）若为锐角，，则 . 【答案】/ 【知识点】诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值，再结合诱导公式求值即可. 【详解】因为为锐角， 所以，则. 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海·期末）已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为 ． 【答案】8 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理，求出，再借助周长求出最大边长即可． 【详解】在中，由正弦定理及，得， 而的周长为18，则，解得， 所以最大的边长． 故答案为：8 20．（23-24高一下·上海·期末）把化成的形式： . 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】根据辅助角公式先将原式提取2，再利用两角和角的正弦公式化简即可． 【详解】. 故答案为：. 21．（22-23高一下·上海嘉定·期末）把化为弧度 . 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故答案为： 22．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/-0.5 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角得三角函数值的定义求解 【详解】根据任意角的三角函数值的定义，. 故答案为： 23．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，则 ． 【答案】/-0.2 【知识点】诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据已知，利用诱导公式计算求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 24．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知角的终边经过点，则角的正弦值是 ． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】根据三角函数的定义可得， 故答案为： 25．（22-23高一下·上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【详解】. 故答案为： 26．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果． 【详解】因为，所以，即， 又，所以. 故答案为：. 27．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】首先求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 则． 故答案为：． 28．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，，则角 . 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据三角函数值求角的方法求解. 【详解】因为，， 所以角， 故答案为： 29．（22-23高一下·上海杨浦·期末）半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为 弧度. 【答案】1 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可 【详解】半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度， 故答案为：1 30．（22-23高一下·上海静安·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】, 故答案为：. 31．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 32．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，且，则的值是 . 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正切公式 【分析】先利用平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解. 【详解】因为，且， 所以，则， 所以. 故答案为：. 33．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在中，，则角的余弦值是 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，， 则. 故答案为：. 34．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知锐角、满足，，求的值． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据已知，利用和角的正切公式计算求解. 【详解】因为，， 所以， 又锐角、，所以， 所以. 35．（22-23高一下·上海闵行·期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 【答案】(1)米 (2)平方米 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 36．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，且，求的值， 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先利用三角函数的平方关系求得与，再利用正弦函数的和差公式即可得解， 【详解】因为且，所以， 因为且，所以， 所以. 37．（22-23高一下·上海闵行·期末）剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到.    已知点在圆上，且，记. (1)求在上的投影； (2)若，求镂空四边形的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、平面向量数量积的几何意义 【分析】（1）连接，因为是直径，所以，结合直角，利用投影的公式，即可求解； （2）作，利用面积公式，求得，再由余弦定理求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，连接，因为是直径，所以， 在直角中，， 所以在上的投影是. （2）解：如图所示，作于，得. 由面积公式，可得. 由余弦定理， 即， 整理得， 所以镂空四边形的周长.    38．（23-24高一下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式即可； （2）求出，再利用两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）因为点为角终边上一点，则， ， 则. （2）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以 . 39．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【知识点】二倍角的正切公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先求出、的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和的正切公式求得的值． （2）先求出，，由、为钝角可得、，得到，从而求得的值． 【详解】（1）由题意，，两点位于第二象限， ，的纵坐标分别为，． ，， ． （2）由于， ， 因为、为钝角，所以、， 故，． 40．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用平方关系可求得，再由二倍角公式计算可得结果； （2）由（1）求得，再利用两角和的正切公式即可计算出. 【详解】（1）由，且， 可得； 由二倍角公式可得； ； 所以； （2）由（1）可得， 所以 题型二 三角函数 41．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 42．（22-23高一下·上海浦东新·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】应用诱导公式化简函数式，结合余弦函数性质判断奇偶性即可. 【详解】由，故该函数为偶函数. 故选：B 43．（23-24高一下·上海·期末）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可，即边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与交点中， 令,不妨取，即， 因为三个相邻的交点构成一个等边三角形， 当时，函数值为，故等边三角形的高为， 由此得到边长为，边长即为函数的周期， 故.所以 故选：A． 44．（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性、求含tanx的函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为定义域为，其在上是严格减函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数；B错误； 对于C，定义域为，， 为奇函数，由正切函数性质知在上是严格增函数，C正确； 对于D，定义域为，，为偶函数；D错误. 故选：C. 45．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 46．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 47．（22-23高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的最小正周期的公式，即可求解. 【详解】由函数，根据正切型函数的性质，函数的最小正周期为. 故答案为：. 48．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 49．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式得到，利用整体思想得到的值域. 【详解】， ，，，，故的值域为. 故答案为：. 50．（23-24高一下·上海·期末）函数，的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】由的取值范围求出的范围，再令，求出的范围，即可得解. 【详解】由，可得， 令，解得， 所以函数，的单调增区间为. 故答案为： 51．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 52．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】余弦函数图象的应用、求cosx(型)函数的值域、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 53．（23-24高一下·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】先利用二倍角公式化简函数，再结合正弦函数的值域，得解． 【详解】由函数， 因为，所以，所以函数的值域为． 故答案为：． 54．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，记 (1)求函数的值域； (2)求函数，的单调减区间； (3)若，恰有2个零点，求实数的取值范围和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的值域计算可得；（2）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的单调性计算可得；（3）化简函数，根据恰有2个零点，求出实数的取值范围；再根据对称性求出的值. 【详解】（1）由题意可知， 则函数函数的值域为 （2）由 因为，所以，令，解得， 函数，的单调减区间 （3） 因为，所以， 根据条件在恰有2个零点，则有两个根， 即有两个根，则，解得 实数的取值范围 根据函数在恰有2个零点，即有两个根， 因为，令，解得，所以关于对称， 则． 55．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 56．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期； （2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果. 【详解】（1） ， 所以， 因为函数的最大为2，所以， 解得； 所以，因此最小正周期为； （2）由，得， 所以的单调递增区间为， 又，取， 得在上的单调递增区间为. 57．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值及相应的取值. 【答案】(1)最小正周期为 (2)时，的最大值为；当时，的最小值为. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由，可得， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减， 所以当时，的最大值为； 又由， 所以当时，的最小值为. 题型三 平面向量 58．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 59．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 60．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 61．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】验证四个选项中的两向量是否共线，从而得到答案. 【详解】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量， 设，故，无解，故、为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误； C选项，设， 故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误； D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确. 故选：D 62．（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据相等向量、零向量的定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误； 对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误． 故选：B． 63．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据题意可得，利用转化法分别求各项的模长，进而可得结果. 【详解】由题意可知：. 对于选项A：； 对于选项B：； 对于选项C：； 对于选项D：； 显然均小于1，大于1，所以模最大的向量是. 故选：D. 64．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 65．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数 ． 【答案】2 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：2. 66．（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据向量的垂直的数量积运算求解即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得. 故答案为：. 67．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 (用坐标表示) 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】利用投影向量定义即可求得向量在向量方向上的投影向量 【详解】，， 则向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 68．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系内，已知点，向量，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据及平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，则，又， 所以. 故答案为： 69．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 【答案】9 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设，结合向量数量积的概念可得结果. 【详解】以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 可得，所以， 故，当时，最大，最大值为9. 故答案为：9. 70．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，且，则实数 ． 【答案】2 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据坐标形式的向量加法规则求出，再利用向量共线的坐标表示直接计算即可. 【详解】由题， 又，故，. 故答案为：. 71．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知向量，设，向量，若，则 ． 【答案】1 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量平行的坐标表示列方程即可求得. 【详解】由，且可得， 解得. 故答案为：1 72．（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意知 （2），， 73．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量共线满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直的坐标关系即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以； （2）因为，所以，所以. 74．（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）根据向量夹角余弦值的坐标公式即可； （2）根据垂直的数量积表示及向量模长即可解出． 【详解】（1）， ， ， 所以， 因为,则. （2）因为向量与互相垂直， 所以， 即，解得：. 75．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案； （2）根据（1）中结论结合向量数量积的运算律和定义即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 则. （2）由（1）知 . 76．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，． (1)求； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、已知向量垂直求参数 【分析】（1）首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以 . （2）因为， 所以，即， 即，解得. 77．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 【答案】（1）；（2）机器狗在点处时，离小明最近. 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点、利用向量垂直求参数 【分析】（1）利用向量的坐标表示得到方程组，求出点P的坐标； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，由平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意得， 故，解得； 故点P的坐标为； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近， 设，则， 所以,若⊥， 则，解得， 故当机器狗在时，离小明最近. 题型四 复数 78．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的乘方、判断复数对应的点所在的象限 【分析】设，，根据复数的乘方运算以及复数的几何意义即可判断. 【详解】设，，则，因为， 则其在复平面上所对应的点在第二象限， 故选：B. 79．（23-24高一下·上海·期末）若，则至少有一个是虚数是是虚数的（   ） A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析 【分析】充分性举反例，必要性用反证法证明； 【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立. 故选：B 80．（22-23高一下·上海奉贤·期末）“”是“复数是纯虚数”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析 【分析】根据纯虚数定义，得到a，b条件，可解. 【详解】复数是纯虚数，则.则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：A. 81．（23-24高一下·上海·期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、复数的坐标表示 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0，虚部为一个非0常数，即为纯虚数． 故选：D． 82．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案. 【详解】由于，所以对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点和点的距离， 其最小值为. 故选：D 83．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】1 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算和复数虚部的概念即可. 【详解】由， 则其虚部为1. 故答案为：1 84．（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则 . 【答案】1 【知识点】数量积的坐标表示、复数的坐标表示 【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：1. 85．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 【答案】． 【知识点】复数的平方根与立方根 【分析】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解． 【详解】令， ，由求根公式可知，， 故． 故答案为：． 86．（23-24高一下·上海·期末）复数（是虚数单位）的虚部是 . 【答案】/ 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数，即可求得虚部. 【详解】 复数的虚部是. 故答案为: . 87．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第 象限． 【答案】二 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故答案为：二. 88．（23-24高一下·上海·期末），若，，则 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，根据已知求出即可得出答案. 【详解】设，则， 所以,即； 由,解得，即，所以. 故答案为：. 89．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足：，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数模的性质求模. 【详解】因为，所以. 故答案为： 90．（23-24高一下·上海·期末）已知复数（其中为虚数单位），则 . 【答案】2 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 91．（23-24高一下·上海·期末）若复数是方程的一个根，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数范围内方程的根 【分析】求出方程的复数根即可求解. 【详解】（为虚数单位）， 故，即， 所以，故. 故答案为：. 92．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】直接计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 93．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知复数，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】二 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算 【分析】先利用复数的除法运算求解复数，再利用复数的几何意义即可判断点所在的象限. 【详解】 故z在复平面内对应的点位于第二象限. 故答案为：二. 94．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的概念可得结果. 【详解】因为，则复数的虚部为，即. 故答案为：. 95．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可得解得答案； （2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案； 【详解】（1）根据题意得，化简， 根据复数相等可得，解得. （2）由（1）可知， 96．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 97．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位， (1)若，求实数的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【知识点】求二次函数的值域或最值、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）化简得到，求出； （2），从而得到时，取得最小值，最小值为. 【详解】（1），， 解得， 经检验，满足要求； （2） ， 当时，取得最小值，最小值为， 故最小值为，此时. 98．（23-24高一下·上海静安·期末）已知一元二次方程． (1)在复数范围内解该方程； (2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的向量表示、向量夹角的坐标表示、复数范围内方程的根、数量积的坐标表示 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）可得，，再根据夹角公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以方程有一对虚数根，设为、， 又， 解得，． （2）由（1）可得，， 所以， 所以与夹角的大小为． 99．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根、向量夹角的坐标表示、复数的向量表示 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【详解】（1）不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以，或； （2）设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 100．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足． (1)求的共轭复数； (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解； （2）将代入一元二次方程中，即可求解． 【详解】（1）． 则， , . （2）由（1）得， 是关于的方程的一个根， 则，， ，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$