10.2 消元——解二元一次方程组-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

当y-2时,r-4; 3斗. 当y-3时,x-1. 12.解:(1)把a-1代入x+5y-3a+7,得x+5y-10.① 把a-1代入x-3y--a-5,得x-3y--6.② 综上所述,方程的正整数解为 -1 联立①②,解得{0..x+y-2. -2. _,-1 (x+5y-3a+7. (2)示例:2x+y-0. 解得 2 (2)由题意,得 14.解:存在. r-3y=-a-5.' ~+3 根据题意,把y一x代入“雅系二元一次方程”y=- +n-1,得x=-十+n-1,解得x-“-1. 2. 把y-x代入“雅系二元一次方程”y-x-n,得x= 1 即无论a为何值,y的值始终比x的值大2. 10.2.2 加减消元法 1x-n.解得:--2n. 又·这两个方程的“完美值”相同..-1--2n,解 5.解;(1)①+②,得3.x-9,解得x-3. 2 把x-3代入①,得3十y-7,解得y-4 得= 故原方程组的解是 =3. 1y-4. (2)②-①,得-2. 把y-2代人①,得3x+8-8,解得x-0. 故原方程组的解是 -x十n-1与y-1x-”的“完美值”相同,此时的 (3)①X2,得2x-2y-2.③ /。 ②十③,得5x-10,解得x-2. “完美值”为x-一 把x=2代入①,得2-y=1,解得y-1 10.2 消元--解二元一次方程组 故原方程组的解为 x=2. -1. 10.2.1 代入消元法 (4①×3,得6x+9y-21.③ 2.D 3.5 1.r-3-2y y- ②×2,得6r+4y-16.④ 4.解:(1)把①代入②,得3x+2(2x+3)=-1. ③-④,得5y-5,解得y-1. 把y=1代入①,得2x十3-7,解得x=2. 解得:--1. 把x=-1代入①,得y=2x(-1)+3=1. 1r--1: 故这个方程组的解为 -1. 6.解;从第二步开始出现错误,正确的解答过程如下 ①×2,得6x-2y-8.③ (2)由②,得y-11-3x.③ ②-③,得一y-2,解得y=-2. 把③代入①,得3x-2(11-3x)-5,解得x=3 把x-3代入③,得y-2. 把y=-2代人①,得3x十2-4,解得 = 故这个方程组的解为 1x-3. -2 故原方程组的解为 5.解:题目中的两种解法都不正确,正确解法如下; 1=-2. 由①,得y-7-2x.③ 7.D 把③代入②,得6x-(7-2x)-17,解得x-3. 8.解:设该商场购进甲种商品x件,乙种商品件 把-3代入③,得y-1. 根据题意,得 20x+50y-13000. 1r-3. 故原方程组的解为 (30-20)x+(80-50)y-7500. -1. 解得 1x=150. 6.C 7.B 8.-6 9.-3或-2或0 y-200. 10.解:把①代入②,得2(y十5)=y十7,解得y=-3. 故该商场购进甲种商品150件,乙种商品200件 把y--3代入①,得2(x+3)=-3十5,解得x= 9.解:(1)① {--2. 1-1 -2. ②3x+--5 (2)不存在有理数a,使得x十3十一0. 理由:'1x+31+y-0.x+3-0,y=0. 11.解;设上等水稻每捆有稻谷x斗,下等水稻每捆有稻 解得-33 谷y斗。 3x十6-10y解得 -0. (x=8. -3-4a-3.① 根据题意,得 15y+1-2x. -3. -3--5a.② 故上等水稻每捆有稻谷8斗,下等水稻每拥有稻谷 由①,解得a-0. 下册 参考答案 由②,解得a一 又:150<a170. '.a所有可能的值为155,160,165. 故不存在有理数a,使得x十3+y-0 第2课时 用二元一次方程组解决行程、工程等问题 [2a十-4,① 10.解:(1)由题意,得 -+36--9.② a十b-30. 1.解:由题意可知: la--20. ②x2+①,得76--14,解得b--2. 解得 [a-25. 把6--2代人①,得2a-2-4,解得a=3 1-5. '-3,6--2. ..长方形lI的面积-(a-b)-5×20=100. (2)由(1),得x*y-3x-2y. 2.271 3m-2n--1,① 由题意,得 3.解;设小华家到学校的平路和下坡路分别有xm,ym. 6m-n-4.② {16+8010. ②x2-①,得9m-9,解得n-1. 解得 1-300. 根据题意,得 把m=1代入②,得6-n-4,解得n-2 #一.# y-400. 'n-1,n-2. 10.3 实际问题与二元一次方程组 故小华家到学校的平路和下坡路分别有300m和 第1课时 用二元一次方程组解决 400m. 数字,和、差、倍、分等问题 4.40 1.B2.A 5.解:设甲工程队整治河道xm,乙工程队整治河道ym 3.解:设甲原来有x文钱,乙原来有y文钱 (十y-360. 由题意,得 解得 (7-240. {-48. 1y-120. 解得 由题意,得 1x-36. 1-24. 故甲工程队整治河道240m,乙工程队整治河道 120m. 故甲原来有36文钱,乙原来有24文钱 6.B 7.900 4.解:(1)设用x张铁皮做盒身,y张铁皮做盒底. 8.解:设甲工程队原计划平均每月修建公路xkm,乙工 2×8.-22y解得 x-110. 程队原计划平均每月修建公路ykm. 根据题意,得 -80. r十,-190. 根据题意,得 30(x+y)-150. 故用110张铁皮做盒身,80张铁皮做盒底,可以正好 (30-5)[(1+50%)x+y]-150. 用完190张铁皮并制成一批完整的盒子 解得/x=2. (2)根据题意,得110×8一880(个). -3. 故这批完整的盒子一共有880个. 故甲工程队原计划平均每月修建公路2km,乙工程队 5.8 6.2 原计划平均每月修建公路3km. 7.解:设甲数是x,乙数是y. 9.解:设甲车行驶到C地时返回,到达A地时燃料恰好 100x+y-201y. 用完,乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用 根据题意,得 100+r-100x+y-1188. 完,作示意图如图所示. C A s. 解得 r-24. y-12. 设AB-xkm.AC-ykm. 故甲数是24,乙数是12 根据题意,得 2x+2y-210×2. x-yx-210. 8.解:设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分 别为x,y. 根据题意,得 x+3+y+11-4+6+7+8. 6+3+7+y-4+x+8+11. 故B地最远可距离A地140km. r十=11, ,-2. 10.解:(1)设工作总量为1,甲公司每周的工作效率为m. 整理,得 解得 -9. _---7, 乙公司每周的工作效率为n. - 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为 6n+6n-1解得{ 2,9. 根据题意,得 9.解:(1)设竖式纸盒加工r个,横式纸盒加工y个. 14n+9n-1. 根据题意,得 4r+3y-3440. -480. 故当竖式纸盒加工500个,横式纸盒加工480个时,恰 故从节约时间的角度考虑应该选择甲公司 好能将这些纸板全部用完. (2)设甲公司每周费用为a万元,乙公司每周费用为/ (2)设加工竖式纸盒n个,加工横式纸盒”个. 万元。 n+2n-80,① 根据题意,得 16a十66-5.4解得{ [4m十3n-a.② 根据题意,得 4+9-5.1, .双.a均为正整数,.,a为5的倍数 由(1)可知,甲公司单独完成需要10周,乙公司单独 数学七年级RJ版10.2 消元-解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 要点提示 1.消元思想:二元一次方程组中有两个未知数,先消去其中一个未知数,然后再设法求另一个未知数,这种将未 知数的个数由多化少,、遂一静决的思想,叫作死思趣. 2.代入消元法:将二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个 方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种解二元一次方程组的方法叫作代入灌死,简称代 战. 固基础 3x-2y-5,① (2) y十3x-11.② 知识点1用含一个未知数的式子表示另一 个未知数 1.(教材变式)已知二元一次方程x十2y一3. 则用含y的式子表示x为 ,用 含1的式子表示y为 知识点②用代入法解二元一次方程组 易错点 循环代入或代入过程中忘记添 加括号 [3x+4y-2,① 2.用代入法解方程组 使得代入 2x--5.② [2x十-7,① 5.判断下列关于方程组 的解法 l6x-y-17② 后化简比较容易的变形是 。 C 是否正确,如果不正确,请写出正确的解法 A.由①得,_2-4 2B.由①得2-3x 4 ) 解法一:由①,得y一7一-2x.③ C.由②得,-+5 22 把③代人①,得2x十(7-2x)-7. D.由②得-2x-5 'c可以为任意实数,则y也为任意实数 x-y5. 3.已知方程组 和方程组 故原方程组有无数组解。 x十y十n-0 解法二:由①,得v-7一2x.③ (2x--5. 把③代人②,得6r-7-2x-17,解得r-6 有相同的解,则n的值是 十十n-0 把x-6代入③,得y三-5. 一6. 故原方程组的解为 4.用代入消元法解下列方程组; =-5. [y-2x十3,① (1) 3x十2y--1;② 下册第十章 提能力 2 ......... ......... 当.问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多 少斗,请你结合所学知识:解决这个问题 6.已知x+y+1l+ 2x-y=0,则x-y的 ( 值为 - . B.-1 C. D.1 7.若5a^与2a*是同类项,则x+y的 值为 ( ) A.0 C.2 B.1 D.3 8.若关于x,y的二元一次方程组 [3x十my-6. 1x+y-5 的解满足x一y一3,则的值 为 3拓思维 ......... ....... 2x十ay-6. 9.若方程组 有正整数解,则整数 12.已知x,y同时满足x+5y=3a+7,x-3y -2y-1 --a-5. a的值为 (1)当a=1时,求x十y的值; 2(x-y)-y+5.① 10.用代入消元法解方程组: (2)试说明:无论a为何值,v的值始终比 4(x-y)-y十7.② 的值大2. 11.古代数学文化《九章算术》是我国古代第 一部数学专著,书中记载了这样一个问题 “今有上禾三秉,益实六斗,当下千十秉,下 禾五秉,益实一斗,当上禾二秉,问上、下禾 实一秉各几何,”大意:今有上等水稻3捆, 加稻谷6斗,与下等水稻10捆相当,下等 水稻5捆,加稻谷1斗,与上等水稻2捆相 数学 七年级BJ版 10.2.2 加减消元法 要点提示 加减消元法:将二元一次方程纽化成某个未知数的毂 为相反数戒等的形式,再将两个方程的两边分别相 加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解,这种解二元一次方程 组的方法叫作加减消,法,简称加减法。 0/固基础 (--1,① [2x十3-7,① . ... (③) (4) 3x十2-8;② 3x十2-8.② 知识点用加减法解二元一次方程组 [2x十-3,① 1.解方程组 时,①-②可得 2-3v-4② ( ) A.-2--1 B-2-1 C.4y-1 D.4--1 2+2-3.① 2.解方程组 时,下列消元方法 3a十-4② ( 不正确的是 _ 易错点 利用加减法消元时忘记变号 A.①×3-②×2,消去a 6.请认真阅读下列解二元一次方程组的过程: B.②×2-①,消去b (3xy-4,① C.①十②×2,消去b 解方程组: 16r-3-10.② D.由②,得b-4-3a③,把③代入①中消去 解:①×2,得6x-2y-8.③(第一步) [3a十2b-4. 3.(2024高安期末)已知 则3a十b l2a+3-8. 把y_=一 -2代人①,得3x一(一)-4.解 的值为 4.已知a,久都是有理数,观察表格中的运算; 则n的值为 _: 6 a.b的运算 a 一 (2十) : 故原方程组的解为 (第四步) 10 运算的结果 -4 n 2 5.用加减消元法解下列方程组; 以上求解步骤中,从第几步开始出现错 [x十-7,① 3x+4y-8① () (②) 误?请写出正确的解答过程 l2-y-2;② 3x+5-10:② 下册第十章 提能力 2 ......... ........ (2)是否存在有理数a,使得x十3|十y②}-0? 请写出你的思考过程 7. 用加减法解二元一次方程组 5x-y-6,① 时,下列说法正确的是 3x+2y-14② A.要消去x,可以将①×3十②×5 B.要消去x,可以将①×5一②×3 C.要消去y,可以将①×2-② D.要消去y,可以将①×2十② 8.某商场销售甲、乙两种商品,其中甲种商品 进价为20元/件,售价为30元/件;乙种商 品进价为50元/件,售价为80元/件,现该 商场用13000元购进这两种商品并全部售 拓思维 出,两种商品的总利润为7500元,该商场购 10.运算能力规定新运算:x*y=ax十by(a,b 进甲、乙两种商品各多少件? 是常数).已知2*1=4,(-1)*3=-9. (1)求a,b的值; m*n--1, (2)若 #(2n)#()4. 求m,n的值. (x--4a-3. 9.已知关于x,v的方程组 lr+2y--5a. (1)①当a三0时,该方程组的解是 , ②c与y的数量关系是 (不含字母a). 数学 七年级RJ版