8.1 平方根-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 要点提示 1.平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于，即x=a,那么这个数x叫作《的平方根成二决方 根.求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 2.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数.正数a的正的平方根记为“a”,读作“根号a”,另一 个负的平方根记为“一√ā”，读作“黄很号a”,其中叫作被开方数.0的平方根是0，负数没有平方根. 。。。。 O1固基础 。。 5)(-22): 品 知识点1平方根的定义及开平方 1.(2024内江)16的平方根是 A.2 B.-4 C.4 D.±4 2.如果a2=(一3)2，那么a的值为 ( A.3 B.-3 C.9 D.士3 3.下列计算正确的是 ( 7.求下列各式中x的值： A.√-49=-7 B.√49=±7 (1)16.x2+2=11:(2)2(2x-1)2-50=0. C.V(-49)=49 D.土49=7 4.(-号)的平方根是 5.如果一个数的平方根是士11，那么这个数是 知识点2平方根的性质 6.求下列各数的平方根： 8.(2024新余期中)若m十4与m-2是同一个 正数的两个平方根，则m的值为() (1)81: 2寄： A.3 B.-3C.1 D.-1 9.若x十1是16的一个平方根，则x的值是 10.已知一个正数的两个平方根分别是a十3 和2a-15,求： (1)这个正数： (3)1.69: (40249 (2)√a+12的平方根. 数学七年级RJ版 ◆O2提能力 17.(教材变式)【实践与探究】 (1)计算：√32= 11.若a2=25,b1=3,则a+b的值是( A.-8 B.±8 √0.5= C.±2 D.士8或士2 √0= 12.若a是（一4）2的平方根，b的一个平方根是 √(-6)F= 2,则a十b的值为 A.8 B.0 郭 C.8或0 D.4或-4 【归纳与应用】 13.现定义一种运算，其规则为ab=a一. (2)观察(1)中的等式，根据其中的规律，猜 根据此规则，如果x满足(x十2)5=0，那 想√a与a的关系是 么x的值为 (3)利用你得到的规律，计算： 14.若(x2+y2一5)2=64，则x2+y2的值为 ①若x<2,则√(x一2)= ②√(3.14-π) 15.若2a一4与3a+1是同一个正数的平方 … O3拓思维之…… 根，则a的值为 18.已知正数x的两个平方根分别为a和a十b. 16.求下列各式中x的值： (1)若a=-2,则a十b的值为 (1)25.x2-16=0: 的值为 (2)当b=6时，求a的值： (3)若a2x十(a十b)2x=8,求x的值. (2)(x+1)2-49=0: (3)(2x-1)2=81. 下册第八章 第2课时算术平方根 要点提示 L.算术平方根：(1)正数a有两个平方根，其中正的平方根√a叫作a的算本平方根，正数a的算术平方根用a来 表示，(2)0的算本平方根是0，即石=0. 2.用计算器求正数的算术平方根的操作程序：首先按√■能，接着输入被开方数，最后按曰健显示其算术平 方根的值 O1固基础 8.已知√a-2+√b+3=0,求(a+b)25+1 的值 知识点1算术平方根的定义及求法 1.(2024新余期末)“16的算术平方根”这句话 用数学符号表示为 A.土√I6 B.16 C. D.土4 2.下列各数中，没有算术平方根的是( A.0 B.36 C.1-6|D.-10 3.算术平方根等于它本身的数是 知识点3算术平方根的估算及用计算器求 4.若m是16的算术平方根，则m十3= 算术平方根 9.(2024天津)估算10的值在 5.求下列各数的算术平方根： A.1和2之间 B.2和3之间 49(4023 (1)121:(2)1.44:(3)16: C.3和4之间 D.4和5之间 1 10.用计算器计算下列各式并观察： (1)√8100= (2)√8I= (3)0.81= (4)0.0081= 通过上述各式，你能发现什么规律？用自 知识点2算术平方根的非负性 己的语言叙述出来： 6.下列说法：①任何数都有算术平方根：②一 个数的算术平方根一定是正数：③a2的算术 平方根是a:④（π一4）2的算术平方根是π一 4:⑤算术平方根不可能是负数.其中不正确 的有 易错点误将求a的算术平方根求成a A.2个 B.3个C.4个 D.5个 的算术平方根而出错 7.若a-1|十(b-3)2=0,则a十b的值的算术 16 11. √8的算术平方根是 平方根是 数学七年级RJ版 O2提能力 一块岩石上，眼睛离海平面的高度h是 5m.此时小红能看到的最远距离d约是 12.若√15一n是整数，则正整数n的值不可能 多少？ 为 ( A.6 B.9 C.11 D.14 13.已知a一4与b+3都是非负数，且它们的 算术平方根互为相反数，则(a十b)22s的值 为 ( A.1 B.-1 C.0 n 14.(教材变式)已知a为整数，且I3<a √17，则a的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 O3拓思维) ， 15.用计算器计算：√92+19，√992+199， 19.纠错题王老师给同学们布置了这样一道 √999+1999，√99992+19999，…观察 习题：一个数的算术平方根为2m一6，它的 所得结果，总结规律.应用得到的规律计算 平方根为士(m一2)，求这个数， 小张的解法如下： 99…92+199…9的值为 2025个225个9 依题意可知，2m-6是m一2或一(m一2) 16.求下列各数的算术平方根： 两个数中的一个，① (1)0.0016:(2)(-7)2:(3)10. 当2m一6=m一2时.解得m=4,② ∴.2m-6=2X4-6=2, .这个数为4： 当2训一6=一(m一2)时，解得m=号.国 32m-6=2×号-6=-号6 17.已知2a-7的算术平方根是5,2a+b-1 二这个数为吉 的算术平方根是4，求一√a十b的值. 综上所递，这个数为4或行.国 王老师看到后，说小张的解法是错误的.你 知道小张错在哪里吗？请你予以改正， 18.应用意识“欲穷千里目，更上一层楼”说的 是登得高看得远.如下图，若观测点的高度 是h(单位：km),观测者能看到的最远距离 是d(单位：km),则d≈②h下，其中R是地 球半径，通常取6400km.小红站在海边的 下册第八章本章小结 1.A2.B3.82.5或202.5 4.解：(1)OF⊥AB, .∠FOB=90. ,(OE平分∠AOC, ∠AOC ∠COE=1 B (2)将扫过的部分填补为一个长为6，宽为2的长方 ∠AOC=∠BOD, 形，则扫过的面积为6×2一 ∴∠0oE=号∠BOD, ×1X2-×1×8 :∠COE+∠BOD=69°， 名×2x1-号 ∴2∠B0D+∠BOD=69. 15.解：(1)（答案不唯一）如图所示. .∠BOD=46°， ∴.∠DOF=∠B0D+∠FOB=46+90°=136 (2)相等的角有∠AOE=∠COE,∠AOC=∠BOD, ∠AOD=∠BOC. (2)设三个图中除去阴影部分后剩下部分的面积分别 5.C6.C7.30°8.140 为S,S,Ss,则S=ab-b,S。=ab-b,S,=ab-b. 9.解：(1)互补 (3)由(2)可知，这块菜地的面积为40×10一10×1=390 (2)证明：：AB∥CD, (m) .∠1=∠AED,∠A+∠ADC=180 第八章实数 :DE平分∠ADC,BF平分∠ABC, 8.1平方根 ∴∠1=号∠ADC,∠2=2∠ABC 第1课时平方根 'AD∥BC,,,∠A+∠ABC=180° 1.D2.D3.C4.±号5.121 .∠ADC=∠ABC,.∠1=∠2，∠2=∠AED, 6.解：(1)：（士9）=81，.81的平方根是士9. ∴.ED∥BF,∠1和∠2是“平行角” 10.解：(1)如图①，：∠1=50°， (②：（士-高…高的平方根是±品 ∴.∠4=∠1=50°， (3):(士1,3)=1.69,1.69的平方根是士1.3. ∴.∠6=180°-∠1-∠4=180° 6 50°-50°=80 (④：（士）=2希2品的平方根是士兴。 m∥n, 52 7 ∴.∠2+∠6=180°， 0 6:(-2）广-器（±2）-器 ∴.∠2=100° 图①D (-2)广的平方根是士2 (2)如图②，过点A作AB∥m. m∥n, 6 6):(士成)广=10d0=市“的平方银是 1 ∴.AB∥n,∠2+∠6=180° 根据题意，得∠4=∠1，∠7=∠5， 52 ±高 .∠1+∠4+∠5+∠7=(180° 7.解：(1D16.2=9, ∠6)+(180°-∠2)=360°-（∠2 +∠6)=360°-180°=180°， 图2 r=0, ..∠1+∠7=90 AB∥m,AB∥n, =士 .∠1=∠PAB,∠7=∠BAQ, (2)2(2x-1)3=50, ∴.∠3=∠PAB+∠BAQ=∠1+∠7=90 (2.x-1)2=25, 11.B 2x-1=5或2x-1=-5, 12.解：内错角相等，两直线平行∠C=∠GCG∥EF x=3或x=-2. ∠CBH=∠FEH两直线平行，同位角相等 8.D9.3或-5 ∠CBH∠FEH 10.解：(1)根据题意，得a十3+2a一15=0， 解得a=4,.a十3=7， 13.证明：EF⊥AC,DM⊥AC, ∴这个正数是7=49. ,∴.∠CFE=∠CMD=90°， (2)"a=4,∴.a+12=4+12=16,∴.a+12=4, ∴.EF∥DM,∴∠3=∠CDM. ∴.√a+12的平方根是士√A=士2. :∠2=∠3. ∴.∠2=∠CDM,∴.MN∥CD,∴.∠AMN=∠C 11.D12.C13.3或-714.1315.三或-5 :∠1=∠C.∴.∠1=∠AMN, 16.解：(1)25x2=16, ,.AB∥MN. 14.解：(1)如图所示，三角形ABC即为所求. 16 251 164 数学七年级RJ版 =士台 m=号时，2m一6=一号<0m=号不符合题意，合 (2)(x+1)2=49, 去，综上所述，这个数为4. x+1=7或x+1=-7, 8.2立方根 x=6或x=一8. 1.A2.C3.C4.24 (3)2x-1=9或2x-1=-9, x=5或x=-4. 5.解：(1)原式=-3× _60+(-10)+9 27 17.解，180.506号 =-3×(-号)-10+9 (2)a=lal =3 (3)①2-x②π-3.14 18.解：(1)24 ②原武-哥-摄+√层 (2),正数x的两个平方根分别为a和a十b ∴.a+a+b=0. b=6,.a=-3. (3),正数x的两个平方根分别为a和a十b, ∴.a2=x.(a十b)2=x 6.解：(1)x2=0.216, a2x+(a+b)x=8,.x[a+(a+b)2]=8, x=0.6. x(x十x)=8,.2=8, r=-房 .x=2(负值已舍去). 第2课时算术平方根 1.B2.D3.0和14.5 (3)(x-2)=-27, 5.解：(1)112=121，.121的算术平方根是11. x-2=-3, (2)1.2=1.44..1.44的算术平方根是1.2. x=-1. （3:(号)广=指号的算术平方根是号 (4)(2.x-1)=8, 2.x-1=2, w-票（借}- =2 2酷的算术平方根是号 7.1.28.B9.7或110.D11.D12.1或3 13.7 6.C7.2 14.解：(1)设魔方的棱长为xcm,则x=216,.x=6. 8.解：：√a-2+/+3=0,√/a-2≥0，√+3≥0， 故该魔方的棱长为6cm. ./a-2=0,/b+3=0,∴.a-2=0,b+3=0, (2)设该长方体纸盒的长为ycm,则高为ycm. 解得a=2,b=一3， 由题意可知.6y=600, ∴.(a+b)2s+1=(2-3)205+1=-1+1=0. .y=10(负值已舍去). 9.C 故该长方体纸盒的表面积为10×10×2+10×6×4 10.(1)90(2)9(3)0.9(4)0.09一个数缩小为原 =440(cm). 来的，则它的算术平方根缩小为原来的品 15.解：：M="√m+3是m十3的算术平方根， ∴m+3=√m+3, 1.号12.B13.A14.D15.10 m一4=2，解得m=6, 16.解：(1)0.042=0.0016，.0.0016的算术平方根是 ,∴.M=/6+3=3. 0.04. :N=m-2是m一2的立方根， (2)(-7)2=49,且7=49， “m-2-n-2, ∴.（一7）的算术平方根是7. ∴.2m-4n十3=3，即12-4n+3=3,解得n=3, (3)100=10,.10的算术平方根是100. .N=/3-2=1, 17.解：2a-7=5,.2a-7=25, ∴.M-N=3-1=2, 解得a=16. ∴M一N的值的平方根是士√2. /2a+b-I=4,∴.2a+b-1=16, 16.解：(1)（士3）=81， 解得b=-15. ,.81的四次方根是士3. 故-√a+b的值为-4十(-15)=-19. (2)(-2)°=-32， 18.解：：R=6400km,h=5m=0.005km, .一32的五次方根是-2， ∴.d≈√/2hF=√2X0.005X6400=8(km). (3)①x=16, 故此时小红能看到的最远距离d约是8km. x=士16， 19.解：小张的解法在第⑤步开始出错.改正如下：，2m x■土2. 一6是某个数的算术平方根，.2m一6为非负数.当 ②100000x=243, 下册参考答案 165