第08讲 统计与概率【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

第08讲 统计与概率 【复习目录】 · 一、简单随机抽样与分层随机抽样 · 二：随机数表 · 三:几种常见统计图表的应用 · 四：频率分布直方图 · 五：众数、平均分与中位数 · 六、平均数和方差的和差性质 · 七：百分位数 · 八、判断互斥事件与对立事件、独立事件 · 九、古典概型 · 十、几何概型 · 十一、统计与概率综合 【知识梳理】 1．总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量． 2．简单随机抽样：抽签法和随机数法是比较常用的两种方法． 3．分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 4．统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． 常用结论 1．利用比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等． 2．在比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋. 3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆． 4、用样本估计总体的集中趋势参数 1.平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。 5：频率直方图中的数字特征 (1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 (2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积相等”来求出。 (3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。 6、用样本估计总体的离散程度参数 1.极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。 2.方差和标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 7、百分位数 1.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步，计算 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步，如果 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。 3.四分位数常用的分位数有25百分位数，50百分位数(即中位数)和75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数。 8：随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 9：事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 10：交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 11：互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 12、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 13：古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 14、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 【题型归纳】 题型一、简单随机抽样与分层随机抽样 1．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 2．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则参加体检的人数是（ ） A．120 B．360 C．240 D．300 3．（23-24高一上·江西景德镇·期末）下列调查方式中，可用普查的是（    ） A．调查某品牌电动车的市场占有率 B．调查2023年杭州亚运会的收视率 C．调查某校高三年级的男女同学的比例 D．调查一批玉米种子的发芽率 题型二：随机数表 4．（23-24高一上·江西九江·期末）总体由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成. 利用下列随机数表，从20个体中选取6个体选取方法；从随机数表的第1行第5列开始，从左至右依次选取两个数字（作为个体编号），则选出的第6个个体编号是（    ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3623 4869 6938 7481 A．08 B．04 C．02 D．01 5．（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 6．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（   ） 0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410 9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179 A．36 B．16 C．11 D．14 题型三:几种常见统计图表的应用 7．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 8．（23-24高一下·陕西·期末）如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（    ） A．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 B．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例比前日降低了1045人 C．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天是最少的一天16倍多 D．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于500人的有10天 9．（22-23高一下·河北衡水·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：    用样本估计总体，以下四个选项不正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30~41周岁参保人数最多 题型四：频率分布直方图 10．（23-24高一下·河北张家口·期末）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 11．（23-24高一下·贵州毕节·期末）某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 12．（23-24高一下·天津滨海新·期末）某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中 B．估计样本数据的第80百分位数为93分 C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分 D．测试成绩低于80分的人数为450人 题型五：众数、平均分与中位数 13．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 14．（23-24高一下·吉林·期末）四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（    ） A．平均数为，极差为 B．中位数为，众数为 C．平均数为，方差为 D．平均数为，中位数为 15．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（   ） A．5 B．12 C．18 D．20 题型六、平均数和方差的和差性质 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 17．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据：，下列结论正确的是（    ） A．平均数是124.6，方差为64 B．平均数是124.6，标准差为32 C．平均数是123.6，方差为32 D．平均数是123.6，标准差为8 18．（23-24高一下·广东·期末）有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（    ） A．数据的标准差不小于数据的标准差 B．数据的中位数与数据的中位数相等 C．若数据的方差为m，则数据的方差为 D．若数据的极差为d，则数据的极差为 题型七：百分位数 19．（23-24高一下·贵州黔西·期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组数据的第75百分位数是（    ） A．34.5 B．46 C．49 D．52 20．（23-24高一下·江苏苏州·期末）某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第百分位数为（    ） A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5 21．（23-24高一下·天津南开·期末）某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.035 B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C．估计全校学生的平均成绩为84分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 题型八、判断互斥事件与对立事件、独立事件 22．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 23．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 24．（23-24高一下·北京丰台·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 题型九、古典概型 25．（24-25高一上·江西·期末）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·江西宜春·期末）一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 题型十、几何概型 28．（21-22高一下·青海海东·期末）已知直角的两条直角边分别为3，4，且的三个顶点都在圆O上，若在圆O内随机取一点，则此点取自内的概率是（    ） A． B． C． D． 29．（20-21高一下·陕西西安·期末）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）． A． B． C． D． 30．（20-21高一下·广东茂名·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 题型十一、统计与概率综合 31．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 32．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 33．（24-25高二上·云南·阶段练习）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·山东威海·期末）已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（   ） A．7 B．8 C．12 D．13 3．（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 5．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 二、多选题 7．（24-25高一上·江西景德镇·期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（    ） A．样本中男生的人数为30 B．每个女生入样的概率均为 C．样本的平均数为166 D．样本的方差为22.2 8．（24-25高三下·江苏扬州·期末）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（     ） A．样本观测数据的极差不大于50 B．样本观测数据落在区间上的频率为 C．样本观测数据的75百分位数为70 D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务 9．（24-25高一上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 10．（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 11．（24-25高一下·全国·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D． 12．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 三、填空题 13．（24-25高二上·四川成都·期末）在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为 ，方差为 ． 14．（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 15．（23-24高一下·福建福州·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为 克． 16．（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 17．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 . 18．（23-24高一下·山东聊城·期末）甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 . 四、解答题 19．（24-25高一上·江西）某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地的8000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测重，其重量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成6组：，，，，，，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数，并说明理由； (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃，并提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以5元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以15元每千克收购，请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率） 20．（24-25高一上·江西抚州·期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 21．（24-25高一上·江西赣州·期末）赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 22．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 统计与概率 【复习目录】 · 一、简单随机抽样与分层随机抽样 · 二：随机数表 · 三:几种常见统计图表的应用 · 四：频率分布直方图 · 五：众数、平均分与中位数 · 六、平均数和方差的和差性质 · 七：百分位数 · 八、判断互斥事件与对立事件、独立事件 · 九、古典概型 · 十、几何概型 · 十一、统计与概率综合 【知识梳理】 1．总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量． 2．简单随机抽样：抽签法和随机数法是比较常用的两种方法． 3．分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 4．统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． 常用结论 1．利用比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等． 2．在比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋. 3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆． 4、用样本估计总体的集中趋势参数 1.平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。 5：频率直方图中的数字特征 (1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 (2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积相等”来求出。 (3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。 6、用样本估计总体的离散程度参数 1.极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。 2.方差和标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 7、百分位数 1.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步，计算 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步，如果 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。 3.四分位数常用的分位数有25百分位数，50百分位数(即中位数)和75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数。 8：随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 9：事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 10：交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 11：互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 12、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 13：古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 14、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 【题型归纳】 题型一、简单随机抽样与分层随机抽样 1．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 【答案】B 【分析】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案． 【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生， 根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误． C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体． B：样本的容量是100正确． 故选:B． 2．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则参加体检的人数是（ ） A．120 B．360 C．240 D．300 【答案】D 【分析】设出参加体检的员工中营销部门与研发部门的人数，由分层抽样得比例关系，结合题意建立方程组求解，两部门体检人数再相加可得. 【详解】设参加体检的员工中营销部门的人数为，研发部门的人数为， 因为采用分层抽样的方法，则①； 参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则②， 联立①②解得，故参加体检的人数共. 故选：D. 3．（23-24高一上·江西景德镇·期末）下列调查方式中，可用普查的是（    ） A．调查某品牌电动车的市场占有率 B．调查2023年杭州亚运会的收视率 C．调查某校高三年级的男女同学的比例 D．调查一批玉米种子的发芽率 【答案】C 【分析】根据普查适合调查对象数目较少的情况来判断即可. 【详解】选项ABD调查对象的数目较多，适合采用抽查；C调查对象的数目较少，适合采用普查. 故选：C 题型二：随机数表 4．（23-24高一上·江西九江·期末）总体由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成. 利用下列随机数表，从20个体中选取6个体选取方法；从随机数表的第1行第5列开始，从左至右依次选取两个数字（作为个体编号），则选出的第6个个体编号是（    ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3623 4869 6938 7481 A．08 B．04 C．02 D．01 【答案】B 【分析】根据随机数表的规则确定． 【详解】从随机数表的第1行第5列开始选， 个体编号依次为：08，02，14，07，02（重复，剔除），01，04， 第6个编号为04， 故选：B． 5．（24-25高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D 6．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（   ） 0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410 9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179 A．36 B．16 C．11 D．14 【答案】C 【分析】根据随机数表法来求得正确答案. 【详解】由左至右依次读取，编号为：， 所以选出来的第5个零件编号是. 故选：C 题型三:几种常见统计图表的应用 7．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 【答案】A 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【详解】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 8．（23-24高一下·陕西·期末）如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（    ） A．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 B．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例比前日降低了1045人 C．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天是最少的一天16倍多 D．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于500人的有10天 【答案】C 【分析】直接利用折线图以及统计的相关知识逐一分析即可 【详解】对于A， 19日后新增确诊病例人数与之前的各天新增确诊病例人数相比较呈大幅下降趋势， 故防控取得了阶段性的成果，但新增人数还较多，故防控要求不能降低，故A正确； 对于B，由图可知18日新增确诊病例人数1660人，19日新增确诊病例人数615人， 故2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例比前日降低了1045人，故B正确； 对于C，由图新增确诊病例最多一天的人数为1690， 新增确诊病例最少一天的人数111人， 故2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天人数与最少的一天的人数的比值为，C错误， 对于D，由图得到，病例低于500人的有2月20日、21日、23日、24日、25日、26日、27日、28日、3月1日、2日，共10天，故D正确； 故选：C. 9．（22-23高一下·河北衡水·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：    用样本估计总体，以下四个选项不正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30~41周岁参保人数最多 【答案】C 【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可. 【详解】对A：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故A正确； 对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B正确； 对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故C错误； 对D：由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故D正确． 故选：C． 题型四：频率分布直方图 10．（23-24高一下·河北张家口·期末）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图求出、众数、平均数、中位数判断即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，车速在内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误； 对于C，车速的平均数为， 车速的中位数，则，解得，C错误； 对于D，车速的中位数估计值是62.5. 故选：D 11．（23-24高一下·贵州毕节·期末）某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 【答案】D 【分析】A项，由已知频率可得关系；B项，由各组频率之和为与A项所得频率关系求解，由，估计第60百分位数值所在区间，再利用矩形面积计算估值即可；C项，由最大值与最小值的取值区间，再由不等式的性质可得极差范围；D项，样本平均数由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和近似代替，计算可得. 【详解】选项A，由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3， 则，解得，故A正确； 选项B，由各组频率之和为得，， 联立解得， 故五组的频率分别为， 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 且， 设样本数据的第60百分位数值为，则， 由，解得， 故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确； 选项C，设样本数据中的最小值为，最大值为， 由频率分布直方图可知，最小值，最大值， 所以，则由不等式的性质可得极差， 即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确； 选项D，由频率分布直方图样本平均数的近似值为， 估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是小时，故D错误. 故选：D. 12．（23-24高一下·天津滨海新·期末）某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中 B．估计样本数据的第80百分位数为93分 C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分 D．测试成绩低于80分的人数为450人 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质，百分位数的概念，平均数概念，逐个计算判断即可. 【详解】，，选项错误； 的频率为0.25，第80百分位数在中， 估计样本数据的第80百分位数为（分，选项错误； （分，选项错误； 测试成绩低于80分的频率为， 测试成绩低于80分的人数为，选项正确． 故选：． 题型五：众数、平均分与中位数 13．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 【答案】B 【分析】由众数、百分位数、极差、中位数的定义即可得出答案. 【详解】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误； 将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82； 易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值， 即为，B正确； 极差为，C错误； 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，D错误. 故选：B. 14．（23-24高一下·吉林·期末）四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（    ） A．平均数为，极差为 B．中位数为，众数为 C．平均数为，方差为 D．平均数为，中位数为 【答案】D 【分析】举反例可以逐一判断A、B、C是错误的，逻辑推理即可判断D选项. 【详解】对于A，数据为2，4，5，5，6，A错误； 对于B，数据为3，3，4，5，6，B错误； 对于C，数据为1，2，2，4，6，C错误； 对于D，所有数据和为15，中位数为4，如果出现6，那么其余三个数的和为5，且其中有一个数至少为4，这组数据不可能，D正确； 故选：D. 15．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（   ） A．5 B．12 C．18 D．20 【答案】C 【分析】设丢失的数据为，即可求出平均数与众数，再对分和两种情况讨论，得到中位数，即可得到方程，解得即可； 【详解】设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3， 若，则中位数为，此时，解得； 若，则中位数为5，此时，解得. 综上所述，丢失的数据可能是4，18. 故选：C. 题型六、平均数和方差的和差性质 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（   ） A． =10，=14 B． =9，=44 C． =29，=45 D． =29，=44 【答案】C 【分析】根据平均数和方差公式计算即可． 【详解】解：原来数据平均值为，方差为则， 方差为 ． 故选：C． 17．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据：，下列结论正确的是（    ） A．平均数是124.6，方差为64 B．平均数是124.6，标准差为32 C．平均数是123.6，方差为32 D．平均数是123.6，标准差为8 【答案】D 【分析】直接由平均数、方差（标准差）的性质即可求解. 【详解】若样本数据：的平均数是62.3，方差为16， 则对于样本数据：，平均数是，标准差为. 故选：D. 18．（23-24高一下·广东·期末）有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（    ） A．数据的标准差不小于数据的标准差 B．数据的中位数与数据的中位数相等 C．若数据的方差为m，则数据的方差为 D．若数据的极差为d，则数据的极差为 【答案】B 【分析】对于A，根据题意以及标准差的意义即可判断；对于B，根据中位数定义即可判断；对于C，由方差性质即可判断；对于D，根据极差定义直接计算即可得解. 【详解】对于A， 因为， 所以根据标准差的意义可知数据的标准差小于等于数据的标准差， 故A错误； 对于B，根据中位数定义可知，数据的中位数与数据的中位数是相同数据所得， 所以两组数据中位数相等，故B正确； 对于C，若数据的方差为m， 则由方差性质得数据的方差为，故C错误； 对于D，由题意数据的极差为， 所以数据的极差为，故D错误. 故选：B. 题型七：百分位数 19．（23-24高一下·贵州黔西·期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组数据的第75百分位数是（    ） A．34.5 B．46 C．49 D．52 【答案】C 【分析】根据题意结合百分位数的定义运算求解. 【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是第9位数和第10位数的中位数. 故选：C. 20．（23-24高一下·江苏苏州·期末）某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第百分位数为（    ） A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5 【答案】B 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】因为， ， 所以第百分位数位于，设为， 则，解得. 故选：B 21．（23-24高一下·天津南开·期末）某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.035 B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C．估计全校学生的平均成绩为84分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 【答案】C 【分析】由频率分布直方图求得x值判断A；由频率求得学生数判断B；由频率频率分布直方图估计平均数判断C；由频率分布直方图求出百分位数判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图得，解得x=0.03，A错误； 对于B，成绩在区间的学生数为（人），B错误； 对于C，平均成绩为（分），C正确； 对于D，全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为（分），D错误. 故选：C 题型八、判断互斥事件与对立事件、独立事件 22．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 23．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 24．（23-24高一下·北京丰台·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 【答案】D 【分析】举反例结合不可能事件、互斥事件的定义判断AC；计算，判断B；由对立事件的定义判断D. 【详解】对于A：当第一次向上的点数为2，第二次向上的点数为3时，事件同时发生，则A错误； 对于B：， 则，则与不相互独立，故B错误； 对于C：当第一次向上的点数为1，第二次向上的点数为6时，事件同时发生，则C错误； 对于D：设样本空间为，事件C与事件D不能同时发生，且，则C与D互为对立，故D正确； 故选：D 题型九、古典概型 25．（24-25高一上·江西·期末）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知． 故选：C． 26．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 27．（23-24高一下·江西宜春·期末）一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，， 选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球， 则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率； 第一次摸出2号球，第二次摸出1号球的概率； 所以选到3号球的概率. 故选：C. 题型十、几何概型 28．（21-22高一下·青海海东·期末）已知直角的两条直角边分别为3，4，且的三个顶点都在圆O上，若在圆O内随机取一点，则此点取自内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的面积和圆的面积，由几何概型求解概率． 【详解】的面积为：， 由题意得圆O的半径为，则圆的面积为：， 所以所求的概率为. 故选：C． 29．（20-21高一下·陕西西安·期末）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知全部结果构成的区间长度为， 构成取到的数小于的区间长度为， 所以取到的数小于的概率为， 故选：A 30．（20-21高一下·广东茂名·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成． 大等腰直角三角形的面积为， 梯形的上底为，下底为，高为，面积为， 故所求概率． 故选：D. 题型十一、统计与概率综合 31．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】(1) (2) (3)该生态园选择方案获利更多． 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的计算方法列式求解即可； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【详解】（1）设样本的中位数为， 则， 即，解得； （2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； （3）方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 32．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【答案】(1)78分 (2)平均数90，方差 (3) 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 33．（24-25高二上·云南·阶段练习）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）设出事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解；②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解； （2）由已知，整理得，即可得当时，概率最小，求解可得. 【详解】（1）①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； （2）由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·山东威海·期末）已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（   ） A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25 【答案】C 【分析】根据一组数据的极差，平均数，中位数，百分位数的定义依次求解即可. 【详解】由题意可知：数据的极差为：，故A错误； 数据的中位数为：，故B错误； 因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确； 因为数据的平均数为：，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（   ） A．7 B．8 C．12 D．13 【答案】C 【分析】先根据分层抽样计算出抽取人中男生、女生的比例，然后根据总体方差的计算公式求得正确答案. 【详解】名高一学生，男生人，则女生人， 所以抽取的人中，男生人，女生人， 总体平均数为， 所以总体方差为. 故选：C 3．（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为； 若比赛三场甲获胜，则概率为； 甲获得冠军的概率. 故选：A. 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 5．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 【答案】B 【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率. 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误． 故选：B． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高一上·江西景德镇·期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（    ） A．样本中男生的人数为30 B．每个女生入样的概率均为 C．样本的平均数为166 D．样本的方差为22.2 【答案】AC 【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算样本的均值可判断C；计算样本的方差可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：抽样比为， 所以样本中男生有人，故选项A正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人， 所有的样本均值为：，故选项C正确； 对于D：设男生分别为，，，，平均数，， 女生分别为，，，，平均数，， 样本的平均数为，方差为， 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以， 故选项D不正确； 故选：AC 8．（24-25高三下·江苏扬州·期末）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（     ） A．样本观测数据的极差不大于50 B．样本观测数据落在区间上的频率为 C．样本观测数据的75百分位数为70 D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务 【答案】AD 【分析】由频率分布直方图，结合极差、频率、百分位数的计算公式逐项判断即可； 【详解】解：对于A，据频率分布直方图可得最小数值不小于45，而最大数值小于95， 所以极差不大于50，故A正确； 对于B，样本观测数据落在区间上的频率为，故B错误； 对于C，样本观测数据落在区间上的频率为， 样本观测数据落在区间上的频率为， 则样本观测数据的75百分位数在之间，设为x， 则，解得，故C错误; 对于D，据频率分布直方图加工产品的数量的频率为， 则估计的工人能完成任务，故D正确. 故选：AD 9．（24-25高一上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 【答案】AC 【分析】根据数据平均数列方程求即可判断A；根据百分数的定义求数据中第分位数判断B；根据简单随机抽样各个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值判断C；根据方差的性质求新数据的方差，进而确定其标准差判断D. 【详解】A：由，可得，显然这组数据的众数是3，对； B：将数据从小到大排序为， 又，所以第分位数是，错； C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为，对； D：由样本数据的标准差为6，即方差为， 则数据，，，的方差为，故标准差为，错. 故选：AC 10．（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 11．（24-25高一下·全国·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】AC 【分析】根据互斥、对立、相互独立定义和并事件概率的计算公式判断各个选项； 【详解】样本空间为，，，． 对于A，因为，所以事件与事件互斥，故A正确； 对于B，因为，， 所以事件与事件不对立，故B错误； 对于C，，，，， 即事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件与事件不互斥，故D错误． 故选：AC. 12．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【分析】由样本空间的定义判断A，根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判断BCD． 【详解】对于A，由于的各位数字中，都可能为0或1，则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点，正确； 对于B，若的各位数字都是等可能地取值0或1，则，所以的概率等于的概率，错误； 对于C，若的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”， 可能情况有：，共有5种等可能情况，其概率，正确； 对于D，由于，数字中恰有2个0，即在四个数中恰好有2个0,2个1， 可能情况有：，共有6种情况， 启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为，正确； 故选：ACD． 三、填空题 13．（24-25高二上·四川成都·期末）在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 9 / 【分析】由题意可求出，，再利用平均数以及方差公式即可求出修正后的平均值以及方差. 【详解】由题意知修正前，则， 修正后，故修正后的9个数据的平均数为； 修正前， 即得， 故修正后的方差为 ， 故答案为：9； 14．（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 【答案】0.7424 【分析】先求出电流不能通过，且也不能通过的概率，再利用对立事件的概率公式求出电流能通过的概率，然后利用独立事件的概率公式可求得结果. 【详解】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为， 所以电流不能通过，且也不能通过的概率为， 所以电流能通过的概率为， 因为电流能通过的概率为， 所以电流能在E，F之间通过的概率为. 故答案为： 15．（23-24高一下·福建福州·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为 克． 【答案】39 【分析】利用平均数和方差的公式完成计算． 【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，，2，，6， 草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15， 即，， 则， 则这6个香囊中草药甲含量的方差 ， 所以这6个香囊中草药甲含量的方差为39克． 故答案为：39． 16．（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 【答案】/ 【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，共有4根算筹， 当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17； 当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66； 当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71； 当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80； 其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为， 故答案为： 17．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为. 故答案为： 18．（23-24高一下·山东聊城·期末）甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 . 【答案】 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，即甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分两个互斥事件的和事件，利用相互独立事件及互斥事件和事件的概率加法公式建方程可得 ；事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”， “甲在自主投篮环节得分”，“乙在自主投篮环节得分”， 由题意可知相互独立， 则， 且事件两两互斥， 则. 故答案为：；. 四、解答题 19．（24-25高一上·江西）某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地的8000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测重，其重量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成6组：，，，，，，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数，并说明理由； (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃，并提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以5元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以15元每千克收购，请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率） 【答案】(1) (2)方案二为最佳的出售方案 【分析】（1）先由频率分布直方图计算重量不小于90克的频率，然后估计即可； （2）对于方案一先求出平均重量，然后计算收入，对于方案二先计算重量小于90克的平均重量，和不小于90克的平均重量，然后计算收入比较即可得到最佳方案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，重量不小于90克的频率为：， 所以估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数为个. （2）由频率分布直方图求出每个猕猴桃的平均重量，克， 故方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；则收入为：元. 由频率分布直方图重量小于90克的每个猕猴桃的平均重量为：克， 重量不小于90克的每个猕猴桃的平均重量为：克， 方案二的收入为：元. 因8500>7320,故方案二为最佳的出售方案. 20．（24-25高一上·江西抚州·期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以，. （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件、相互独立，则. （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为， 而由（1）可得小华通过面试的事件记为，则概率为， 由题意可知，事件、相互独立， 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为． 21．（24-25高一上·江西赣州·期末）赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为，利用这个性质可求出的值.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定. （2）先根据分层随机抽样的原理确定从和中抽取的人数，然后利用组合数计算从个人中随机抽两人且在同一区间的概率. （3）求的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算. 【详解】（1）由，解得 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为 （2）从中抽取2人，记为A，B， 从中抽取3人，记为a，b，c 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况， 取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为， 人满意度分值在同一区间的概率为； （3）满意度分值在的频率为，人数为 在的频率为，人数为30， 满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 满意度分值在的方差为s22-2] 22．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$