暑假作业08 解三角形中的角平分线定理、张角定理、平行四边形定理（3大巩固提升练+3大能力培优练+1大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 拓展专题3 角平分线定理、张角定理、平行四边形定理 【知识点1 角平分线定理】 1.角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 【注】角平分线定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下. 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 【知识点2 张角定理】 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 【知识点3 平行四边形定理】 1.平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用角平分线定理解决长度问题（重点）】 【知识讲解】 角平分线定理实际上构建了角平分线分对边形成的两条线段长度与该角的两条邻边长度之间的关系，题目中出现角平分线条件时，可以考虑使用这组关系列式子解决问题. 1． 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，AB边上的角平分线长度为t，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D． 【答案】A 【解析】如图所示，令， 则，解得：（负舍），， 在中，，； 又为角平分线，由角平分线性质可得，所以， 在中，①，在中， ②， 由①②可得：，所以, 故选：A. 2.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则______. 【答案】 【解析】解法1：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则， 由图可知，所以，即， 解得：，所以，故. 解法2：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则， 由Stewart公式，，解得：，所以， 故. 3.在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则______. 【答案】 【解析】根据角平分线定理有，于是， 又，，于是再对使用余弦定理有，进而得到，因此. 4.在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 解法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 解法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 5.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】解法1：由角平分线性质定理，，所以，设，，则，由得：，由图可知， 所以，即，化简得：，因为，所以. 6.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】解法一（角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式）： 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同解法一． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理可知. 由余弦定理可得， 又，所以. （2）由题意知， 所以， 所以， 解得. 【题型二：利用张角定理解决三角形的边、角问题】 【知识讲解】 张角定理的本质是通过三角形的面积公式构建三角方程. (1)如果是已知的，使用张角定理可以建立AD，b，c之间的关系； (2)如果AD，b，c是已知的，使用张角定理可以得到满足的三角方程. 8.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【答案】2 【解析】 如图，由题意，，， 由张角定理，， 所以，解得：，故. 9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD= . 【答案】 【解析】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即,即 解得, ∴ 【题后反思】因为本题条件中出现，所以联想到张角定理得到 使用张角定理得到，这是解决本题的关键. 10.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，点D在边上，，若，，则_______. 【答案】 【解析】解法一：， 又，所以，因为，所以，故，结合可得， 如图，，，因为， 所以，故，从而，解得：或（舍去），从而. 解法二：，又， 所以，因为，所以，故， 结合可得， 设，由张角定理，，即， 又，所以，解得：，从而. 【题型三：利用平行四边形定理解决中线问题（重点）】 【知识讲解】 平行四边形定理常用于解决三角形中线长的相关问题．如图所示，在中，如果是的中点，我们倍长中线即可得到平行四边形，根据平行四边形定理有，于是就有，因此得到与，这样就能较为快速地处理中线长相关问题． 11.在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 【答案】1 【解析】如图，在中，设D为边的中点， 则，,所以, 故，而, 所以 ,则， 由于，故， 所以 ，设的外接圆的半径为R, 则 . 12.在中，. （1） 求； （2） 求边上的中线长. 【答案】(1)8;(2). 【解析】（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， 根据平行四边形定理可得， 则， 解得，即边上的中线为. 【技巧点拨】（2）平行四边形定理给出了平行四边形的四边和两条对角线的关系，而三角形的中线相当于对角线的一半，必要时可构造平行四边形. 13.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）由余弦定理得：，所以， 由正弦定理得：，因为，所以， 所以，，即或 （1） 设等腰三角形腰长为， 即，，且由于，， 在中，，解得， 设BC的中点为D，如图所示: 根据平行四边形定理可得， 则，解得：， 所以， 则的周长为． 【题型二：利用角平分线定理解决面积问题（重点】 1.在中，，的平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则（ ） A.     B.     C.     D. 【答案】A 【解析】因为， 即c=3b，在中，作AB边上高，垂足为， 则 故选:A. 【技巧点拨】三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪形结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中的“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷. 2.已知中，为的角平分线，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ∵，则 即，可得 ∵，则 ∴，则. 故选：B. 3.在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且是的平分线，求的面积． 【答案】(1) ; 【解析】（1）由倍角公式得：，所以， 因为，即， 所以，所以. （2）由平分得：， ， 即. 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ， 4.在中，已知． (1)若，求的值； (2)已知中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 【解析】（1）由，可得，所以，即， 又由平方关系，可得， 整理得，解得或. （2）由，可得， 整理得，即，所以， 因为角平分线交于，且，， 可得，所以，解得， 又因为是的中点，所以， 因为，可得， 由余弦定理得，解得，可得， 又由，所以， 所以的面积为. 【题型二：角平分线张角定理的应用（重点】 5.的内角的对边分别为，角的平分线交于点．，，则 ，的面积为 ． 【答案】, 【解析】    由正弦定理可知：，∴，，同理， ， ，化简可得：， ∴或（舍）， ∴，或， ∴或 ． 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，的角平分线交边于点D，则______. 【答案】 【解析】解法1：如图，由角平分线性质定理，， 所以，从而， 所以，故. 解法2：由张角定理，，即，解得：. 【答案】 【题型四：利用张角定理解决最值（范围）问题（难点）】 7．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】解法1：如图，， ， 所以，故，从而， 当且仅当时取等号，所以的最小值为4. 解法2：如图，由张角定理，， 所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的面积最小值为_______. 【答案】 【解析】解法1：如图，， ， 所以，从而，故，当且仅当时取等号， 因为，所以的面积的最小值为. 解法2：如图，由张角定理，，所以，故， 从而，故，当且仅当时取等号，因为，所以的面积的最小值为. 9．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】解法1：如图，由角平分线性质定理，， 设，，则，由，得：， 由Stewart公式，，故，因为，所以. 解法2：如图，设，，则， 故，，故，即. 解法3：设，则， 由张角定理，， 所以，因为，所以. 【答案】 10.在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 【题型三：利用平行四边形定理解决最值（范围）问题（难点）】 11 .在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 【答案】B 【解析】先利用平行四边形定理得到，设，，再由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值. 根据平行四边形定理可得， 即，又因为，且， 所以，即， 设，， 由得， 则，（当且仅当，即，是取等）， ∴周长的最大值为6． 故选：B 【技巧点拨】利用平行四边形定理解决三角形的中线长的最值问题时，要主要合理构造平行四边形，进而得到三边与中线长的关系. 12.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为 ；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为 ． 【答案】, 【解析】∵，∴， 而， ∴， ∵，∴ 即， ∵，∴，∴，故； 延长中线到点，使得， 不妨设中线长为，如图所示，即， 由平面几何知识易得四边形是平行四边形，而， ∴，，， ∴在中，由余弦定理得， ∴，当且仅当时等号成立. 13.在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) ;(2)24 【解析】（1）由有，故， 由正弦定理可得，故， 即，又，故. 若，则，故，则为直角三角形. 设，则，则，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 设，则，由余弦定理可得， 即，由可得， 故. 故，当时取得最大值， 为. 【题型一：结构不良题（难点）】 1． 已知的内角，，的对边分别为，，，，且. (1)求的大小 (2)在下列条件①②中选择一个作为已知条件，求的面积. ①的周长为；②边上的中线的长为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1);(2) 【解析】（1）由， 根据正弦定理得. ∵，∴， ∴，∴， ∴. ∵，∴， ∴，解得. （2）选条件①： 由（1）知为等腰三角形，且. 在中，. ∵的周长为，所以，解得. ∴. 选条件②： 由（1）知为等腰三角形，且，设，则， 在中，由余弦定理得 ， 得，所以. 所以. 【技巧点拨】求解此类问题的关键：一是正确分析已知等式中的边角关系，合理地设计“边往角化”或“角往边化”，活用正弦定理､余弦定理；二是求角的大小时应注意已知条件对角的取值范围的限制. 2． 已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求： (1)求角的大小； (2)求边中线长的最小值. 条件①：; 条件②：. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）选条件①：, 因为中，所以， 由正弦定理可得， 即，， 又,所以. 选条件②： 由余弦定理可得即， 由正弦定理可得， 因为，所以，所以，即， 又,所以. （2）由（1）知，的面积为，所以，解得， 由平面向量可知， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故边中线的最小值为. 3．已知的三个内角所对的边分别是．已知 (1)求角； (2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长． ①为的角平分线；②为的中线． 【答案】(1) ;(2) 【解析】（1）在中，由正弦定理知， 所以， 又，所以， ， 又， ， 化简得，即， 又，所以． （2）选①，为的角平分线， 由得：， 即，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 所以. 选②，为的中线， 则，平方得， 所以，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 拓展专题3 角平分线定理、张角定理、平行四边形定理 【知识点1 角平分线定理】 1.角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 【注】角平分线定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下. 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 【知识点2 张角定理】 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 【知识点3 平行四边形定理】 1.平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用角平分线定理解决长度问题（重点）】 【知识讲解】 角平分线定理实际上构建了角平分线分对边形成的两条线段长度与该角的两条邻边长度之间的关系，题目中出现角平分线条件时，可以考虑使用这组关系列式子解决问题. 1． 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，AB边上的角平分线长度为t，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D． 2.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则______. 3.在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则______. 4.在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 5.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为______. 6.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 【题型二：利用张角定理解决三角形的边、角问题】 【知识讲解】 张角定理的本质是通过三角形的面积公式构建三角方程. (1)如果是已知的，使用张角定理可以建立AD，b，c之间的关系； (2)如果AD，b，c是已知的，使用张角定理可以得到满足的三角方程. 8.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD= . 10.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，点D在边上，，若，，则_______. 【题型三：利用平行四边形定理解决中线问题（重点）】 【知识讲解】 平行四边形定理常用于解决三角形中线长的相关问题．如图所示，在中，如果是的中点，我们倍长中线即可得到平行四边形，根据平行四边形定理有，于是就有，因此得到与，这样就能较为快速地处理中线长相关问题． 11.在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 12.在中，. （1） 求； （2） 求边上的中线长. 13.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 【题型二：利用角平分线定理解决面积问题（重点】 1.在中，，的平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则（ ） A.     B.     C.     D. 2.已知中，为的角平分线，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3.在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且是的平分线，求的面积． 4.在中，已知． (1)若，求的值； (2)已知中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 【题型二：角平分线张角定理的应用（重点】 5.的内角的对边分别为，角的平分线交于点．，，则 ，的面积为 ． 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，的角平分线交边于点D，则______. 【题型四：利用张角定理解决最值（范围）问题（难点）】 7．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的面积最小值为_______. 9．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为_______. 10.在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 【题型三：利用平行四边形定理解决最值（范围）问题（难点）】 11 .在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 12.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为 ；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为 ． 13.在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 【题型一：结构不良题（难点）】 1． 已知的内角，，的对边分别为，，，，且. (1)求的大小 (2)在下列条件①②中选择一个作为已知条件，求的面积. ①的周长为；②边上的中线的长为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2． 已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求： (1)求角的大小； (2)求边中线长的最小值. 条件①：; 条件②：. 3．已知的三个内角所对的边分别是．已知 (1)求角； (2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长． ①为的角平分线；②为的中线． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$