专题12.2证明、定理（3大考点+6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题12.2证明、定理（3大考点+6大题型） 1.感受一些观察、操作活动，并能对获得的数学猜想进行实验验证，体验直观判断不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据给出证明，知道证明的意义和证明的必要性 2.知道证明的基本步骤和书写格式· 3.会运用平行线的判定、性质以及三角形的内角和定理及其推论等去解决一些简单的问题，并能用几何语言进行简单的推理论证. 知识点01 证明与定理 1.证明 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明 2.定理 经过证明的真命题称为定理，定理一见是真命题，真命题不一是是足理 3.证明与图形有关的命题的一般步骤 (1)根据题意，画出图形： (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)写出证明过程. 4.证明命题的方法 证明一个命题时，可从结论出发，先探求出使结论成立时所需的条件，然后结合图形及巳知 条件，根据基本事实和常用的定理及推论逐步得出所需的条件，从而完成证明过程， 【即学即练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）证明：两个奇数之和是偶数． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 知识点02 三角形的内角与外角 1.三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 2.推论1 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和！ 3.推论2 三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角 【即学即练】 4．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 5．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图，．求的度数． 6．（22-23八年级上·河南许昌·阶段练习）在中，，，求的各内角的度数． 7．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，，，，求的度数． 8．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 知识点03 多边形的内角与外角 1.多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． 2多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-（n-2）•180°=360°． 【即学即练】 9．（22-23九年级上·西藏拉萨·阶段练习）五边形的内角和为 ． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2证明、定理（3大考点+6大题型） 1.感受一些观察、操作活动，并能对获得的数学猜想进行实验验证，体验直观判断不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据给出证明，知道证明的意义和证明的必要性 2.知道证明的基本步骤和书写格式· 3.会运用平行线的判定、性质以及三角形的内角和定理及其推论等去解决一些简单的问题，并能用几何语言进行简单的推理论证. 知识点01 证明与定理 1.证明 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明 2.定理 经过证明的真命题称为定理，定理一见是真命题，真命题不一是是足理 3.证明与图形有关的命题的一般步骤 (1)根据题意，画出图形： (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)写出证明过程. 4.证明命题的方法 证明一个命题时，可从结论出发，先探求出使结论成立时所需的条件，然后结合图形及巳知 条件，根据基本事实和常用的定理及推论逐步得出所需的条件，从而完成证明过程， 【即学即练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查写逆命题，并证明命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据命题写出已知，求证，进行证明即可． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题是真命题． 已知：在中，， 求证：是直角三角形， 证明：如图所示，在中，（三角形三个内角的和等于）． （等式的性质）． 已知， （等量代换）， 是直角三角形． 知识点02 三角形的内角与外角 1.三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 2.推论1 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和！ 3.推论2 三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角 【即学即练】 4．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设，，，由三角形内角和定理得，求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义以及三角形内角和定理的应用，分别求出即可求解． 【详解】解： ． 6．（22-23八年级上·河南许昌·阶段练习）在中，，，求的各内角的度数． 【答案】，， 【分析】根据题意，再由三角形内角和得出一个等式，结合条件将三个等式联立即可解出答案． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴的各内角中，，，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，熟记三角形内角和为是解题关键． 7．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角，延长，交于点，先求出，再根据三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交于点． ， ． ，． ． ，， ． 8．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和以及三角形内角和等于是解题的关键． 先根据三角形外角的性质得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】证明：∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 知识点03 多边形的内角与外角 1.多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． 2多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-（n-2）•180°=360°． 【即学即练】 9．（22-23九年级上·西藏拉萨·阶段练习）五边形的内角和为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 【答案】4，6 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，多边形的外角和的应用； （1）直接利用多边形的内角和定理求解即可； （2）设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，可得，求解，再结合外角和可得答案． 【详解】（1）解：当时， 多边形的内角和； （2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意，得， 解得， ． 题型01证明 1．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 2．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 题型02三角形的内角和 4．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若中，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用， 先设，再根据三角形内角和定理得，求出即可得出答案． 【详解】解：设，根据题意，得 ， 解得， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，这是由一副三角尺拼成的图案，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理即可解决问题．熟知三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， ，， ， ． 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， 故答案为： 7．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若 ，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键． 【详解】解： ， 设， ，， ， 解得：， ， ，， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ， 故的度数为． 8．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设、、的度数分别为 、、，    由三角形内角和定理可得： 解得 所以 、 ，                 所以是等腰直角三角形，, 则 9．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 题型03三角形的外角 10．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 【答案】75 【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为 ． 【答案】/230度 【分析】本题考查角平分线的定义，四边形的内角和，三角形的外角，先根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角得出，进而求出，根据，进而可得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 13．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若，． (1)若，，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据对顶角的性质和已知条件证明，再根据平行线的性质证明，然后利用三角形外角的定义及性质求出即可； （2）先根据（1）中证明的，然利用平行线的性质求证，最后利用已知条件证明，最后根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·吉林长春·期中）（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 题型04多边形的内角和 15．（24-25九年级下·云南昭通·期中）已知过n边形的一个顶点有6条对角线，一个m边形的内角和是，则（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形对角线及内角和问题，熟练掌握多边形对角线及内角和公式是解题的关键；因此此题可根据过多边形的一个顶点有条对角线，多边形内角和公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴； 故选：D． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）小华在计算几个多边形内角和时，分别得到下列4个答案：①，②，③，④．其中，计算正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．n边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答． 【详解】解：多边形的内角和公式是， ∴多边形的内角和是的整数倍， ∵， ， ，不是整数， ， ∴计算正确的是①②④， 故选：B． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）每一个内角都是的多边形有 条边； （2）若一个多边形的内角和是，则它的边数是 ． 【答案】 18 20 【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式，是解题的关键： （1）设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）设多边形为边形，由题意，得：， 解得：； 故答案为：18； （2）设多边形为边形，由题意，得：， 解得：； 故答案为：20． 18．（23-24八年级上·广西河池·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质， （1）根据多边形内角和公式与外角和列式计算即可解答； （2）根据正多边形的性质及多边形内角和公式解答即可； 解题的关键是掌握：①边形的内角和为（且为正整数），外角和为；②正边形的每条边相等、每个内角相等、每个外角相等． 【详解】（1）解：依题意，得： ， 解得：， 即的值为； （2）（2）依题意，得： ， 解得：， 即的值为． 19．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）（1）如图1，在中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ； （2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ （3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可得，即可求解； （2）由三角形外角的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，再由四边形内角和定理，即可求解； （3）由三角形外角的性质可得，再由对顶角相等可得，然后由角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1， ∵分别平分和， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 故答案为：． （2）由题意，如图2， ∵是的一个外角， ∴． 又∵分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． （3）由题意，如图3， ∵是的一个外角， ∴． 又∵， ∴． 又∵分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，多边形的内角和定理，角平分线的定义等知识的综合，掌握多边形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 题型05多边形的外角和 20．（2025·北京顺义·一模）每一个外角都是的正多边形为（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角及外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键； 根据正多边形的每个外角相等，且外角和为，即可求解． 【详解】解：（边）， ∴这个正多边形是正五边形． 故选：C． 21．（19-20七年级下·江苏常州·期中）若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了多半小时外角和内角综合，设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为，再根据正多边形一个内角的度数与一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据外角和为360度求出边数即可． 【详解】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为， ∴， 解得． ∴该多边形一个外角的度数为， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设边数为，根据题意， ， 则． 故选：C． 23．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知一个正多边形的边数为． (1)若，求这个正多边形的内角和． (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多，求的值． 【答案】(1)这个正多边形的内角和为 (2) 【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形内角和的公式是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理解答，即可求解； （2）设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，根据邻补角的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 这个正多边形的内角和； 答：这个正多边形的内角和为； （2）解：这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， 根据题意得， 解得：， ， 的值为． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以 两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 题型06平行线的综合问题 25．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，． (1)图中的度数是多少？请说明理由； (2)将沿直线平移，使得点与重合，再将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转________度，使得与平行； (3)将沿直线平移，当点在上时，求的度数； (4)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的关系． （1）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出答案； （2）根据平行线的性质推出当时，，求出，根据即可求解； （3）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，再次利用三角形内角和定理可求出答案； （4）结合题意，画出图形：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，分两种情况进行讨论，画出图形，分别进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， （2）解：如图， 当时，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转，使得； （3）解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）解：或或或， 理由如下： 分两种情况，Ⅰ．当向上平移时， ①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴； ②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵ ∴， ∵， ∴； ③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时 ∵，， ∴， ∵， ∴； Ⅱ．当向下平移时，如图4所示： ④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或． 26．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 27．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 【答案】(1) (2)的值不会变化，理由见详解 (3)或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：，这个值不会变化，理由如下， 由（1）可知，， ∵，， ∴，即是定值， ∴，不会发生变化； （3）解：当时，如图所示， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； 当时，如图所示，设， 由（2）可知，（Ⅰ）， ∵，平分， ∴，即是等腰三角形， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴②， 把②代入①得，，整理得，（Ⅱ）， 由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，， 解得，， ∴； 当时，如图所示， 同理，是等腰三角形，，， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时，， ∵， ∴，即， ∴该种情况不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或或． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $